2.2 DIVISION POLYNOMIALE

(1)

cours 14

2.2 DIVISION

POLYNOMIALE

(2)

Exemple

Avant de regarder la division polynomiale, regardons la division de deux monômes.

Exemple

^13x³

4x² = 13

4 x^{3 2} = 13 4 x x⁵

x³ = x^{5 3} = x²

17x³ 11x⁷

Exemple

₌ ¹⁷

11 x^{3 7} = 17

11 x ⁴ = 17 11x⁴

Remarque:

Pour que le résultat soit un polynôme, il faut que le degré du dénominateur soit plus petit ou égal à

celui du numérateur.

(3)

Exemple

De même, on peut diviser un polynôme par un monôme.

= 4x⁵

2x² + 6x³ 2x²

5x²

2x² + x 2x²

7 2x² 4x⁵ + 6x³ 5x² + x 7

2x²

= 2x³ + 3x 5

2 + 1 2x

7 2x²

On nomme la partie qui n’a pas pu être divisée, le reste de la division

= 2x³ + 3x 5

2 + x 7 2x²

(4)

Exemple

^4x⁵ ^{+ 6x}³ ^5x² ⁺ ^x ⁷

2x² = 2x³ + 3x 5

2 + x 7 2x²

✓ 4x² + 6x³ 5x² + x 7 2x²

◆

2x² =

✓

2x³ + 3x 5

2 + x 7 2x²

◆

2x²

4x² + 6x³ 5x² + x 7 =

✓

2x³ + 3x 5 2

◆

2x² +

✓ x 7 2x²

◆

2x²

4x² + 6x³ 5x² + x 7 =

✓

2x³ + 3x 5 2

◆

2x² + (x 7)

(5)

Cette écriture est semblable à ce qu’on a fait avec les nombres.

34

5 = 6 + 4

5 =) 34 = 6 ⇥ 5 + 4

Ici le reste était un nombre plus petit que ce par quoi on divisait.

Similairement, le reste d’une division polynomiale est un polynôme de degré inférieur au degré du polynôme par lequel on divise.

(6)

Faites les exercices suivants

p.51 # 2.7

(7)

Division polynomiale

La division polynomiale est très similaire à la division avec reste des entiers. Par contre on doit tenir compte que contrairement aux

nombres, les polynômes ont souvent plus d’un terme.

Exemple

^x² ^{+ 5x} ^{+ 4}

x + 1

x² + 5x + 4 x + 1 x

x²

x = x

x(x + 1) = x² + x x² + x

4x + 4

4x

x = 4

4(x + 1) = 4x + 4 4x + 4

0

+4

= x + 4

x² + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)

(8)

Exemple

5x³ + 2x 1 x + 3

5x³

x = 5x² 5x²

5x³ + 15x²

15x² + 2x 1

15x²

x = 15x 15x

15x² 45x

47x 1

47x

x = 47 + 47

47x + 141

5x³ + 2x 1 = (5x² 15x + 47)(x + 3) 142 142

0x²

(9)

Exemple

= 5x³ 15x² + 15x² + 47x 45x + 141 142

= (5x³ 15x² + 47x) + (15x² 45x + 141) 142

= x(5x² 15x + 47) + 3(5x² 15x + 47) 142

5x³ + 2x 1 = (5x² 15x + 47)(x + 3) 142 (5x² 15x + 47)(x + 3) 142

= 5x³ + 2x 1

(10)

Exemple

7x⁵ 4x³ + 2x² 9x + 3 x³ + x 7x²

7x⁵ + 7x³

11x³ + 2x² 9x + 3

11

11x³ 11x

2x² + 2x + 3

deg(2x² + 2x + 3) < deg(x³ + x)

7x⁵ 4x³ + 2x² 9x + 3 = (x³ + x)(7x² 11) + (2x² + 2x + 3)

(11)

Faites les exercices suivants

p.55 # 2.4

(12)

Exemple

2x⁵ + 4x³ x + 6 3x² x

2x⁵

3x² = 2

3 x³

2

3 x³ 2x⁵ 2

3 x⁴ 2

3 x⁴ + 4x³ x + 6

2

3 x⁴

3x² = 2

9 x² + 2

9 x²

2

3 x⁴ 2

9 x³ 38

9 x³ x + 6

38

9 x³

3x² = 38 27 x + 38

27 x

38

9 x³ 38

27 x² 38

27 x² x + 6

38

27 x²

3x² = 38 81

(13)

Exemple

2x⁵ + 4x³ x + 6 3x² x 2

3 x³+ 2

9 x² + 38 27 x 38

27 x² x + 6

38

27 x²

3x² = 38 81 + 38

81

38

27 x² 38 81 x 43

81 x + 6

(14)

Devoir:

^{p.58 # 15}