2 Division euclidienne

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Maths discr`etes, 2012-2013 Universit´e Paris-Sud

R´ esum´ e du cours d’arithm´ etique

Les ensemblesNetZ

N={0,1,2,3, . . .}est l’ensemble des entiers naturels (entiers positifs).

Z={. . . ,−2,−1,0,1,2,3, . . .}est l’ensemble des entiers relatifs.

N^∗=N\ {0}(entiers strictement positifs) etZ^∗=Z\ {0}(entiers relatifs non nuls).

Dans ce qui suit, entier est synonyme d’entier relatif.

1 Divisibilit´ e dans Z

a) Diviseurs et multiples

D´efinition.Soitaetbdeux entiers. On dit queadivisebs’il existe un entierktel queb=ka.

On notea|b. On dit ´egalement queaest undiviseurdebou quebest unmultipledea.

Remarque.Siadiviseb, alorsadivise−b,−adivisebet−adivise−b.

b) Propri´ et´ es

Propri´et´es 1.Soita, b, cdes entiers relatifs.

(1) Sib6= 0 etadivisebalors|a| ≤ |b|. En particulier,b∈Z^∗a un nombre fini de diviseurs.

(2) Siadivisebetbdiviseaalorsa=boua=−b.

(3) Siadivisebetbdivisecalorsadivisec.

(4) Siadivisebetc, alors, pour tous entiersnetm,adivisenb+mc.

La propriété (4) se généralise sans difficulté à 3 termes ou plus.

2 Division euclidienne

Théorème 2 (théorème de la division euclidienne). Soita∈Zetb∈N^∗. Il existe des entiersq etrtels quea=bq+ret 0≤r < b. De plus,qetrsont uniques.

D´efinition.Soita∈Zetb∈N^∗. Effectuer ladivision euclidiennedeaparb, c’est trouver les entiersqetrtels quea=bq+ravec 0≤r < b.qest lequotientetrest lerestede la division euclidienne deaparb.

Propri´et´e 3.Le reste de la division euclidienne deaparbest nul si et seulement sibdivisea.

3 PGCD

a) D´ efinition

D´efinition.Soita, b∈ Z^∗. Le plus grand entier qui divise `a la foisaet bs’appelle leplus grand commun diviseuroupgcddeaetb. On le notepgcd(a, b).

Remarque.pgcd(a, b) = pgcd(|a|,|b|).

Propri´et´e 4.Soita, b∈Z∗. Siadivisebalors pgcd(a, b) =|a|.

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b) Algorithme d’Euclide

Théorème 5 (lemme d’Euclide). Soita, b∈Z^∗. S’il existe des entiersketsavecs6= 0 tels quea=bk+salors les diviseurs communs àaetbsont exactement les diviseurs communs à bets, et pgcd(a, b) = pgcd(b, s).

Algorithme d’Euclide.

Soita∈Z∗ etb∈N∗. On cherched= pgcd(a, b). On noter0=b. On effectue des divisions euclidiennes successives tant que le reste est non nul.

a = r0q1+r1 0< r1< r0

b = r1q2+r2 0< r2< r1

r1 = r2q3+r3 0< r3< r2

...

rn−3 = rn−2qn−1+rn−1 0< rn−1< rn−2

rn−2 = rn−1qn+rn 0< rn< rn−1

rn−1 = rnqn+1+ 0 rn+1= 0

Th´eor`eme 6.Le pgcd deaetbest le dernier reste non nul obtenu par l’algorithme d’Euclide.

Remarque.Sir¹= 0, c’est quebdivisea, donc pgcd(a, b) =b=r⁰. Propri´et´e 7.Soita, b∈Z^∗. Siddiviseaetbalorsddivise pgcd(a, b).

Remarque.On peut définir le pgcd de 3 entiers ou plus. La propriété 7 reste valable. Il n’y a pas d’équivalent de l’agorithme d’Euclide pour calculer le pgcd de 3 entiers. On peut utiliser la propriété suivante : sid= pgcd(a, b) alors pgcd(a, b, c) = pgcd(d, c).

c) Nombres premiers entre eux

D´efinition.Soitaetbdeux entiers non nuls. On dit queaetbsontpremiers entre euxsi pgcd(a, b) = 1. On dit aussi queaest premier avecb.

Propriété 8.Soita, b∈Z∗etd= pgcd(a, b). Alors â_det ^b_dsont premiers entre eux.

4 Th´ eor` emes de B´ ezout et de Gauss

a) Th´ eor` eme de B´ ezout

Théorème 9 (théorème de Bézout).Soitaetbdeux entiers non nuls.

1) Il existe des entiers relatifsuetvtels queau+bv= pgcd(a, b).

2) S’il existe des entiersuetvtels queau+bv= 1 alorsaetbsont premiers entre eux

b) Comment trouver une relation de B´ ezout

Trouver une relation de B´ezout pouraetb, c’est trouveruetvtels queau+bv= pgcd(a, b).

On applique l’algorithme d’Euclide àaetb. Gardons les notations de 3b). On a pgcd(a, b) =rn. On part de l’égalité donnant le pgcd et on écrit :

pgcd(a, b) =rn−2−rn−1qn. (∗)

Puis on utilise la ligne précédente dans l’algorithme d’Euclide pour exprimerrn−1(reste avec l’indice le plus élevé dans (∗)) :rn−1=rn−3−rn−2qn−1, on remplacern−1dans (∗), on a :

pgcd(a, b) =rn−2−(rn−3−rn−2qn−1)qn=−rn−3qn+rn−2(1 +qnqn−1). (∗∗) On utilise la ligne précédente dans l’algorithme d’Euclide pour exprimerrn−2(reste avec l’indice le plus élevé dans (∗∗)), puis on remplacern−2dans (∗∗). On continue ainsi jusqu’à éliminer les restesrn−1, rn−2, . . . , r2, r1. On a alors le pgcd en fonction deaetb.

2

(2)

c) Th´ eor` eme de Gauss

Théorème 10 (théorème de Gauss). Soita, b, cdes entiers non nuls. Siadivisebcet sia est premier avecb, alorsadivisec.

Théorème 11 (corollaire du théorème de Gauss).Soita1, a2, bdes entiers tels quea1et a2sont premiers entre eux. Sia1 eta2 divisentb, alors le produita1a2diviseb.

Remarque.Le théorème 11 se généralise à 3 entiers ou plus : sia1, a2, . . . , ansont deux à deux premiers entre eux et divisentb, alorsa1a2· · ·an diviseb.

d) R´ esoudre l’´ equation ax + by = c

On veut trouver toutes les solutions entières de l’équation : ax+by=c (E) oùa, b, csont des entiers donnés aveca, bnon nuls, etx, ysont les inconnues.

Théorème 12.L’équation (E) admet des solutions si et seulement si pgcd(a, b) divisec.

Méthode pour résoudre l’équation (E).

•Si pgcd(a, b) ne divise pasc, il n’y a pas de solution (th´eor`eme 12).

•Si pgcd(a, b) divisec, il y a des solutions par le th´eor`eme 12. Voici comment les trouver.

0) Simplifier l’´equation

Si pgcd(a, b) divisec, on divise l’équation par pgcd(a, b), on trouve que (E) est équivalente à a^′x+b^′y=c^′

o`ua^′=a/pgcd(a, b),b^′=b/pgcd(a, b) etc^′=c/pgcd(a, b) (a^′, b^′, c^′sont des entiers).

1) Solution particuli`ere

Les entiersa^′etb^′sont premiers entre eux (propriété 8). Par le théorème de Bézout, il existe des entiers uet v tels quea^′u+b^′v = 1. Alors x⁰ =c^′u et y⁰ = c^′v forment une solution particulière de (E) cara^′x0+b^′y0=c^′(au+bv) =c^′.

2) Recherche de toutes les solutions

Exprimons les autres solutions en fonction de la solution particuli`ere (x0, y0).

a^′x+b^′y=c^′⇐⇒a^′x+b^′y=a^′x0+b^′y0⇐⇒a^′(x−x0) +b^′(y−y0) = 0 SoitX=x−x0etY =y−y0. Pour résoudre (E), il est équivalent de résoudre

a^′X=−b^′Y (E^′)

a^′ etb^′ sont premiers entre eux etb^′divisea^′X, doncb^′diviseX par le théorème de Gauss, autrement dit il existek∈Ztel queX =kb^′. On a alorska^′b^′=−b^′Y, et en simplifiant par b^′ 6= 0 on trouve Y =−ka^′. On vient de montrer que si (X, Y) est solution de (E’) alors il existek∈Ztel queX=kb^′, Y =−ka^′. On vérifie facilement l’implication inverse : siX=kb^′ etY =−ka^′, (X, Y) est bien une solution de (E’) pour tout k ∈ Z. Les deux implications donnent une équivalence : (X, Y) solution de (E’)⇐⇒ ∃k∈Z, X=kb^′, Y =−ka^′.

Par cons´equent, l’ensemble des solutions de (E) est :

S={(x0+kb^′, y0−ka^′)|k∈Z}aveca^′=_pgcd(a,b)^a etb^′=_pgcd(a,b)^b .

Remarque.Ne pas apprendre par cœur ce résultat, mais refaire la méthode précédénte.

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5 Nombres premiers

a) Reconnaˆıtre un nombre premier

D´efinition.Un entiern≥2 estpremiersi ses seuls diviseurs positifs sont 1 etn.

Propri´et´e 13.Si l’entiern≥2 n’est divisible par aucun nombre premierp≤√n, alorsnest un nombre premier.

Théorème 14 (théorème d’Euclide). Il existe une infinité de nombres premiers.

b) D´ ecomposition en produit de facteurs premiers

Théorème 15 (décomposition en facteurs premiers).Tout entiern≥2 peut s’écrire de fa¸con unique

n=p1p2· · ·pr,

o`ur∈N^∗etp1, p2, . . . , prsont des nombres premiers avecp1≤p2≤ · · · ≤pr. D´efinition.Soitn∈N∗etpun nombre premier.

•Sipdivisen, on dit quepest unfacteur premierden

•Le plus grand entierktel quep^kdivisens’appellel’exposant depdansn.

Dans le théorème 15, on peut regrouper les premiers identiques, on obtient l’énoncé suivant : Théorème 15’ (décomposition en facteurs premiers)Tout entiern≥2 peut s’écrire de fa¸con unique

n=p^α1¹p^α2²· · ·p^αs^s

oùp¹, . . . , pssont des nombres premiers distincts avecp¹< p²<· · ·< ps, etα¹, . . . , αs∈N∗. Remarque.Dans le théorème 15’, l’exposant depi dansn est αi. Si un nombre premierp n’apparaˆıt pas dans la décomposition den, son exposant est 0.

c) Application ` a la divisibilit´ e

Théorème 16 (application de la décomposition en facteurs premiers à la divisibi- lité). Soitaet bdes entiers strictement positifs. Pour tout nombre premierp, notonsα(p) l’exposant depdansaetβ(p) l’exposant depdansb. Alorsadivisebsi et seulement si pour tout nombre premierpon a :α(p)≤β(p).

Théorème 17 (application de la décomposition en facteurs premiers au pgcd).Soit a, b ∈N^∗ et pun nombre premier. Soitα(p) l’exposant dep dansaet β(p) l’exposant dep dansb. Alors l’exposant depdans pgcd(a, b) est min(α(p), β(p)).

Remarque.Le th´eor`eme 17 reste valable pour calculer le pgcd de 3 entiers ou plus.

6 PPCM

D´efinition.Soitaetbdeux entiers non nuls. Le plus petit entier strictement positif qui est `a la fois multiple deaetbs’appelle leplus petit commun multipleouppcmdeaetb. On le noteppcm(a, b).

Remarque.ppcm(a, b) = ppcm(|a|,|b|).

Propri´et´e 18.Soita, b∈Z^∗. Sicest un multiple deaetb, alorscest un multiple de ppcm(a, b).

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Théorème 19 (application de la décomposition en facteurs premiers au ppcm).Soit a, b∈ N^∗ etpun nombre premier. Soit α(p) l’exposant depdansaetβ(p) l’exposant dep dansb. Alors l’exposant depdans ppcm(a, b) est max(α(p), β(p)).

Théorème 20 (relation entre pgcd et ppcm).Sia, b∈Z^∗, pgcd(a, b).ppcm(a, b) =|ab|. Remarque.On peut définir le ppcdm de 3 entiers ou plus. La propriété 18 et le théorème 19 restent valables, mais le théorème 20 ne se généralise pas à 3 entiers. On peut utiliser la propriété suivante : si ppcm(a, b) =malors ppcm(a, b, c) = ppcm(m, c).

7 Congruences

Dans la suite, on consid`ere un entiern≥2.

a) D´ efinition et propri´ et´ es

D´efinition.Soita, b∈Z. On dit queaest congru `abmodulo nsia−best un multiple den. On dit aussi queaetbsont congrus modulon. On notea≡b(n) oua≡bmodn.

Remarques.

•La relation de congruence est sym´etrique :a≡b(n)⇐⇒b≡a(n).

•a≡b(n)⇐⇒ −a≡ −b(n).

•a≡b(n)⇐⇒ ∃k∈Z, a=b+kn

•a≡0 (n)⇐⇒ndivisea.

Propri´et´e 21.Soita∈Z. Il existe un unique entierrtel quea≡r(n) et 0≤r≤n−1.

rest le reste de la division euclidienne deaparn.

Propri´et´e 22.Sia≡b(n) etb≡c(n) alorsa≡c(n).

b) Compatibilit´ e avec les op´ erations

Propri´et´es 23.Soita, b, c, d∈Ztels quea≡b(n) etc≡d(n). Alors

•a+c≡b+d(n) etac≡bd(n).

•pour tout entierk≥1,a^k≡b^k(n).

8 Equations de congruence ´

a) Quand simplifier ab ≡ ac (n) ?

Propri´et´e 24.Soita, b, c∈Z. S’il existeu∈Ztel queua≡1 (n) alorsab≡ac(n) implique b≡c(n).

Th´eor`eme 25.Soita∈Z. Il existeu∈Ztel queau≡1 (n) si et seulement si pgcd(a, n) = 1.

Méthode pour trouverucomme dans le théorème : siau+nv= 1 est une relation de Bézout entreaetn, alorsau≡1(n).

b) R´ esoudre l’´ equation ax ≡ c (n)

On veut trouver toutes les solutions entières de l’équation : ax≡c(n) (E) oùaetcsont des entiers donnés avecanon nul, et oùx∈Zest l’inconnue.

Cas o`uaetnsont premiers entre eux.

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Propri´et´e 26.Soitaetndes entiers premiers entre eux (n≥2) etu∈Ztel queau≡1 (n).

L’équationax≡c(n) est équivalente àx≡uc(n).

Cas o`uaetnne sont pas premiers entre eux.

xsolution de (E)⇐⇒ ∃k∈Z, ax=c+kn⇐⇒ ∃k∈Z, (x, k) solution deax−kn=c.

La dernière équation est de la formeax+by=c(avecy=ketb=n), qui a été vue en 4.d).

Si pgcd(a, n) ne divise pasc, alorsax−kn=cn’a pas de solution. Si pgcd(a, n) divisec, on posea^′=a/pgcd(a, n),n^′=n/pgcd(a, n) etc^′=c/pgcd(a, n). On a donc

xsolution de (E)⇐⇒ ∃k∈Z, a^′x−n^′k=c^′⇐⇒a^′x≡c^′(n^′).

On est ramené au cas précédent puisquea^′etn^′sont premiers entre eux.

c) Syst` emes de congruences

Théorème 27 (théorème des restes chinois).Sin1, n2, . . . , nksont des entiers positifs 2 à 2 premiers entre eux, alors, pour tousa1, . . . , ak∈Z, le système











x ≡ a¹(n¹) x ≡ a2(n2)

...

x ≡ ak(nk)

a des solutions et, si x⁰ est une solution particuli`ere, alors l’ensemble des solutions s’´ecrit {x∈Z|x≡x0(n1n2. . . nk)}.

Méthode pour résoudre un système à deux équations(S)

x ≡ a(n) x ≡ b(m) xsolution de (S) ⇐⇒ ∃k, k^′∈Z, x=a+kn=b+k^′m

⇐⇒ x=a+knavec (k, k^′) solution dekn−k^′m=b−a On est ramené à résoudre une équation de la formeAX+BY =C, avecX=k, Y =k^′. On peut se contenter de chercher une solution particulière (k0, k^′0), on en déduit une solution particulière de (S), puis on applique le théorème 27 pour avoir toutes les solutions de (S).

Méthode pour résoudre un système de congruence à 3 équations.

(S3)







x ≡ a(n) x ≡ b(m) x ≡ c(p)

avecn, m, pdes entiers 2 `a 2 premiers entre eux.

1) On r´esout le syst`eme partiel

x ≡ a(n) x ≡ b(m)

Selon le théorème 27, on trouve les solutions sous la formex≡x0(nm) pour un certainx0∈Z. 2) Le système (S3) est alors équivalent au système de congruence à 2 équations

x ≡ x0(nm) x ≡ c(p) On r´esout ce syst`eme et on obtient les solutions de (S3).

9 Petit th´ eor` eme de Fermat

Théorème 28 (théorème de Fermat). Soitpun nombre premier etxun entier. Alors :

•x^p≡x(p),

•sipne divise pasx, alorsx^p−¹≡1 (p).

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