Invitation aux formes quadratiques Errata
Ce fichier a ´et´e constitu´e avec l’aide pr´ecieuse de Bruno Calado, Vincent Beck, Philippe Caldero et Antoine Vezier.
Chapitre IV
• p.75 ligne 4 : `A droite du symbole 7→, il faut lire b(x, y) +b′(x′, y′).
Chapitre V
• p.90 ligne -5 : il faut lire “λ≈πδ modulo (K∗)2”.
• p.95 exemple 3.3. Les calculs sont incorrects. La bonne s´equence de calculs est la sui- vante :
Q= (X−4Z)(Y −2Z+ 2T)−8Z(Z−T) +ZT
= (X−4Z)(Y −2Z+ 2T)−8Z2+ 9Z T
= (X−4Z)(Y −2Z+ 2T)−8 Z− 9
16T2 +81
32T2
=X+Y −6Z+ 2T 2
2
−X−Y −2Z −2T 2
2
−8 Z− 9
16T2 +81
32T2 On en d´eduit que pour tout (x, y, z, t)∈R4 :
q(x, y, z, t) =x+y−6z+ 2t 2
2
−x−y−2z−2t 2
2
−8 z−7t
16 2
+81t2 32 , et par cons´equent q≃ h1,−1,−8,8132i.
Chapitre VI
• p.105 2.3.5 (i) : “est de signature (2,2) car ´equivalente `a h1,−1,−8,8132i”.
Voir l’erreur signal´ee page 95.
Chapitre IX
• pp 159-160 (paragraphe 4.3). Nombreuses coquilles et une inexactitude.
Voici la version corrig´ee des 16 premi`eres lignes :
“On reprend les donn´ees du paragraphe pr´ec´edent. On souhaite maintenant ´etablir une relation entre le cardinal de O(ϕ) et celui de O(ψ), o`u ψ := q⊥ϕ ≃ h1,−1i ⊥ϕ, avec q : (x, y) 7→ 2x y. On identifie naturellement K2 et E `a des sous-espaces vectoriels de K2×E. On note (e1, e2) la base canonique de K2, si bien que ψ(e1) = ψ(e2) = 0 et bψ(e1, e2) = 1.
Faisons agir naturellementO(ψ) sur l’ensemble X:=
(x, y)∈(K2×E)2 : ψ(x) =ψ(y) = 0 etbψ(x, y) = 1 .
— Le th´eor`eme de prolongement de Witt indique que cette action est transitive.
— Le stabilisateur de (e1, e2) pour cette action est naturellement isomorphe `aO ψE
≃ O(ϕ). En effet, d´efinir un automorphisme orthogonal de (K2×E , ψ) fixante1 ete2 revient `a d´efinir un automorphisme orthogonal de (K2×E , ψ) fixant tout vecteur du plan r´egulier K2, ce qui revient `a d´efinir un automorphisme ψ-orthogonal de (K2)⊥ψ =E.”
• Page 160 lignes 6 et 7, il faut syst´ematiquement remplacerqD⊥ (qui n’a aucun sens) par ψD⊥.
• Page 163. La matriceA devrait ˆetre A=
13 −13 −78
−13 2197 2262
−78 2262 762
.
Chapitre X
Page 185 au milieu : dans “Ker(ϕ−t q) = Ker(u−t·idE)”, remplacertparak. Chapitre XI
• Page 213 : Ligne 7 : il faut lireO(E) et non O(q).
• Page 213 : Ligne -6 : lire “parall`element `a” et non “par rapport `a”.
• Page 218 : D´emonstration de 4.0.17, 2`eme ligne avant la fin : “comme en particulier Ker dg(In) =An(R)”.
• Page 227 probl`eme 1, question 3.(a) : remplacer “u(x) = v(x)” par “ u(x), v(x) li´ee”, question 3.(b), remplacer “u(x)6=v(x)” par “ u(x), v(x)
libre”.
Chapitre XII
• Page 243 : d´ebut du dernier paragraphe : “soit d∈ Q(q)”.
• Page 251 : Proposition 2.8.1 condition (iii) : remplacerQ parC.
• Page 255 : ligne 10, lire “soita∈dir(C)\ Q” puis ligne 11, lire “garantit (ab)∩ C={b} ou (ab)⊂ Q”.
Chapitre XXV
• Exercice 13. question (a). L’´enonc´e devrait ˆetre : “Montrer que toute C-alg`ebre de dimension finie qui est un corps est de dimension 1 surC.”
• Exercice 13. question (d). Indication :C(x) est uneR[x]-alg`ebre.
• Exercice 27. question (c) : l’´enonc´e est faux et il faut donc ignorer la question.
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Chapitre XXVII
• Page 590 : remplacer partout GL2(K[√
δ]) par
M ∈GL2(K[√
δ]) : detM ∈K .
• Page 590 proposition 4.2.1 : remplacer PGL2(K[√
δ]) par {M ∈GL2(K[√
δ]) : detM ∈ K}/{±I2}.≫
• Page 590 apr`es la proposition 4.2.1 : il faut lire ≪SO3,1(R) est isomorphe au groupe quotient{M ∈GL2(C) : detM ∈R}/{±I2}.≫
Chapitre XXVIII
• Page 610 : remplacer partout GL2(C) par{M ∈GL2(C) : detM ∈R}. Appendice B
• p.799 2.0.7 : “le groupeGest produit semi-direct interne dei(H) pars(K)”.
Appendice C
• p.805 sch´ema : il faut ´echanger C etC′ dans la l´egende.
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