La dimension de l’alg` ebre est

Assistant: [email protected] Corrig´ e 9 22/04/2013

1 Exercice 1 1.1 o(n)

o(n) = {X ∈ M (n, R ) | X + X

^T

= 0}

La dimension de l’alg` ebre est

ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂

et la param´ etrisation plus g´ en´ erale pour une matrice qui appartient ` a l’alg` ebre est:











0 a

₁

a

₂

· · ·

−a

₁

0 a

₃

· · ·

−a

₂

−a

₃

0 · · · .. . .. . .. . . ..











=

= a

₁











0 1 0 · · ·

−1 0 0 · · · 0 0 0 · · · .. . .. . .. . . ..









 + a

₂











0 0 1 · · · 0 0 0 · · ·

−1 0 0 · · · .. . .. . .. . . ..









 + a

₃











0 0 0 · · · 0 0 1 · · · 0 −1 0 · · · .. . .. . .. . . ..











+ · · · =

n(n−1) 2

X

i=1

a

_i

X

_i

o` u X

_i

forment une base de l’alg` ebre (g´ en´ erateurs). De fa¸con g´ en´ erale on peut param´ etriser le matrices de la base comme:

(M

^ab

)

ⁱ_j

= δ

^ai

δ

_j^b

− δ

^bi

δ

_j^a

avec b = 2, 3, ..., n et a = 1, 2, ..., b − 1.

1.2 o(p, n − p)

o(p, n − p) = {X ∈ M (n, R ) | ηX + X

^T

η = 0}

On peut se convaincre que dans ce cas les g´ en´ erateurs peuvent se param´ etriser comme:

(M

^ab

)

ⁱ_j

= η

^ai

δ

_j^b

− η

^bi

δ

^a_j

avec b = 2, 3, ..., n et a = 1, 2, ..., b − 1. Il faut verifier que cette r´ epresentation des g´ en´ erateurs satisfait la relation:

(ηX

^T

η)

ⁱ_j

= −(X)

ⁱ_j

⇒

η

^iα

(η

^al

δ

^b_α

− η

^bl

δ

^a_α

)η

_lj

= η

^ib

δ

^a_j

− η

^ia

δ

^b_j

= −X

ⁱ_j

2.1 o(n)

[M

^ab

, M

^cd

]

ij

= (M

^ab

)

ⁱ_k

(M

^cd

)

^k_j

− (M

^cd

)

ⁱ_k

(M

^ab

)

^k_j

=

= (δ

^ai

δ

^b_k

− δ

^bi

δ

_k^a

)(δ

^ck

δ

_j^d

− δ

^dk

δ

^c_j

) −

a ↔ c b ↔ d

= (δ

^ai

δ

^bc

δ

_j^d

− δ

^ai

δ

^bd

δ

_j^c

− δ

^bi

δ

^ac

δ

_j^d

+ δ

^bi

δ

^ad

δ

^c_j

) −

a ↔ c b ↔ d

= δ

^bc

(δ

^ai

δ

_j^d

− δ

^di

δ

^a_j

) − δ

^bd

(δ

^ai

δ

^c_j

− δ

^ci

δ

_j^a

) − δ

^ac

(δ

^bi

δ

_j^d

− δ

^di

δ

^b_j

) + δ

^ad

(δ

^bi

δ

_j^c

− δ

^ci

δ

^b_j

)

= δ

^bc

(M

^ad

)

ⁱ_j

− δ

^bd

(M

^ac

)

ⁱ_j

− δ

^ac

(M

^bd

)

ⁱ_j

+ δ

^ad

(M

^bc

)

ⁱ_j

⇒

1

⇒ [M

^ab

, M

^cd

] = δ

^bc

M

^ad

− δ

^bd

M

^ac

− δ

^ac

M

^bd

+ δ

^ad

M

^bc

2.2 o(p, n − p)

[M

^ab

, M

^cd

]

ij

= (M

^ab

)

ⁱ_k

(M

^cd

)

^k_j

− (M

^cd

)

ⁱ_k

(M

^ab

)

^k_j

=

= (η

^ai

δ

^b_k

− η

^bi

δ

^a_k

)(η

^ck

δ

_j^d

− η

^dk

δ

_j^c

) −

a ↔ c b ↔ d

= (η

^ai

η

^bc

δ

^d_j

− η

^ai

η

^bd

δ

_j^c

− η

^bi

η

^ac

δ

_j^d

+ η

^bi

η

^ad

δ

^c_j

) −

a ↔ c b ↔ d

= η

^bc

(η

^ai

δ

^d_j

− η

^di

δ

_j^a

) − η

^bd

(η

^ai

δ

^c_j

− η

^ci

δ

_j^a

) − η

^ac

(η

^bi

δ

_j^d

− η

^di

δ

_j^b

) + η

^ad

(η

^bi

δ

^c_j

− η

^ci

δ

_j^b

)

= η

^bc

(M

^ad

)

ⁱ_j

− η

^bd

(M

^ac

)

ⁱ_j

− η

^ac

(M

^bd

)

ⁱ_j

+ η

^ad

(M

^bc

)

ⁱ_j

⇒

⇒ [M

^ab

, M

^cd

] = η

^bc

M

^ad

− η

^bd

M

^ac

− η

^ac

M

^bd

+ η

^ad

M

^bc

3 o(3)

[J

ⁱ

, J

^m

] = 1

4

^ijk

^mln

[M

^jk

, M

^ln

]

= 1

4

^ijk

^mln

δ

^jn

M

^kl

+ δ

^kl

M

^jn

− δ

^jl

M

^kn

− δ

^kn

M

^jl

= 1 4

M

^kl

δ

^km

δ

^il

− δ

^kl

δ

^im

+ M

^jn

δ

ⁱⁿ

δ

^jm

− δ

^im

δ

^jn

− M

^kn

δ

^kn

δ

^im

− δ

^km

δ

ⁱⁿ

− M

^jl

δ

^im

δ

^jl

− δ

^il

δ

^jm

= o` u on a utilis´ e la relation:

^ijk

^ilm

= δ

^jl

δ

^km

− δ

^jm

δ

^kl

.

En utilisant le fait que M

^ab

est antisym´ etrique et donc que M

^aa

= 0 on a:

= 1

4 4M

^mi

= M

^mi

=

^mij

J

^j

= −

^imj

J

^j

[J

ⁱ

, J

^j

] = −

^ijk

J

^k

4 o(1, 3)

Puisque la restriction de η aux coordonn´ ees spatiales est ´ egale ` a −δ

^ij

on trouve le mˆ eme r´ esultat que pour SO(3), mais avec J

i

→ −J

i

[J

ⁱ

, J

^j

] =

^ijk

J

^k

En plus on a:

[K

ⁱ

, K

^j

] = [M

⁰ⁱ

, M

^0j

] = η

^0j

M

ⁱ⁰

− M

^ij

+ η

ⁱ⁰

M

^0j

= −M

^ij

= −

^ijk

J

^k

2

o` u on a utilis´ e le fait que η

⁰ⁱ

= η

^0j

= 0 parce que i et j sont des indices spatiaux.

[J

ⁱ

, K

^j

] = 1

2

^ikl

[M

^kl

, M

^0j

] =

= 1

2

^ikl

η

^kj

M

^l0

− η

^k0

M

^lj

− η

^lj

M

^k0

+ η

^l0

M

^kj

= 1

2

^ikl

− δ

^kj

M

^l0

+ δ

^lj

M

^k0

= −

^ijl

M

^l0

=

^ijl

K

^l

3