Formes quadratiques unimodulaires réduites en petite dimension

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Preprint submitted on 15 Apr 2005

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Formes quadratiques unimodulaires réduites en petite dimension

Denis Simon

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Denis Simon. Formes quadratiques unimodulaires réduites en petite dimension. 2005. �hal-00004715�

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Formes quadratiques unimodulaires r´eduites en petite dimension

Denis SIMON

LMNO - UMR 6139 Universit´e de Caen – France Campus II – Boulevard Mal Juin

BP 5186 – 14032 Caen Cedex Courriel :simon@math.unicaen.fr

15 avril 2005

R´esum´e

Dans un pr´ec´edent article ([2]), nous avons donn´e un algorithme pour la r´eduction des formes quadratiques enti`eres ind´efinies. Nous montrons ici que la qualit´e de cette r´eduction est meilleure que celle annonc´ee. En particulier, nous montrons que l’algorithme r´eduit compl`etement les formes quadratiques unimodulaires de dimension n 6 7 , et qu’il permet de r´esoudre toutes les ´equations quadratiques unimodulaires de dimension n 6 9 .

Dans [2], nous avons propos´e un algorithme tr`es proche de l’algorithme LLL (voir [1, §2.6]), pour la r´eduction des formes quadratiques enti`eres ind´efinies. Nous avons vu que cet algorithme pouvait servir pour la r´esolution des ´equations quadratiques uni- modulaires en dimension n 6 6. La r´esolution dans le cas unimodulaire en dimension n = 3 nous avait permis de r´esoudre le cas non unimodulaire en dimension n = 3.

Notre objectif, dans cette note, est de montrer que l’algorithme de [2] permet en r´ealit´e de r´esoudre les ´equations quadratiques unimodulaires en dimension n 6 9 : nous montrons cela avec les th´eor`emes 5 et 6. Pour cela, nous allons dresser la liste compl`ete des sorties possibles de l’algorithme. Cette am´elioration nous permettra, dans un prochain article ([3]), de donner un algorithme efficace pour la r´esolution de toutes les ´equations quadratiques, de d´eterminant quelconque, et de dimension n > 4.

Notations : On note S n (Z) l’ensemble des matrices carr´ees sym´etriques d’ordre n, `a coeffcients dans Z . Soit Q ∈ S n (Z), on note d = d(Q) = (d 1 , . . . , d n ) le n- uplet form´e des mineurs d’ordre 1, . . . , n extraits dans le coin en haut `a gauche de Q : d k = det ((Q i,j ) 16i6k,16j6k ). Par convention, on note d 0 = 1. En particulier, on a d k ∈ Z pour tout k, et d n = det Q. Lorsque les d k sont non nuls, on note b ∗ 2

= ( b ∗ 1

2 , . . . , b ∗ n

2 ) =

d

d

, . . . , _d ^d

−1

. Les coefficients b ∗ k

2 sont exactement les coefficients diagonaux de l’orthogonalis´ee de Gram-Schmidt de Q. Ces notations sont identiques `a celles utilis´ees dans [1, §2.6] et [2]. On remarque que lorsque Q est d´efinie positive (resp. n´egative), les coefficients b ∗

k

2 sont tous positifs (resp. n´egatifs). Lorsque

Q est ind´efinie, de signature (r, s), il y en a r qui sont positifs, et s n´egatifs. On note alors | d |= (| d 1 |, . . . , | d n |), et | b ∗ 2 |= (| b ∗

1 2 |, . . . , | b ∗ n 2 |).

1 Bornes sur | d | `a la sorite de l’algorithme

L’algorithme 1.3 de [2], permet la r´eduction des formes quadratiques enti`eres ind´efinies, et la qualit´e de sa sortie est donn´ee par le r´esultat suivant :

Th´eor`eme 1 Soit Q ∈ S n (Z) de d´eterminant d n 6= 0. En appliquant l’algorithme 1.3 de [2], avec un param`etre r´eel c, ¹ ₄ < c < 1, on trouve soit un z´ero de Q, soit un changement de base de Z ⁿ tel que, dans la nouvelle base, on ait pour tout entier k, 1 < k 6 n,

| b ∗ k − 1

2 | 6 γ | b ∗ k

2 | (1)

et

1 6 | b ^∗

1

2 | ⁿ 6 γ ^{n(n − 1)/2} | d n | (2)

avec γ = c − ¹ ₄ − 1

> ⁴ ₃ . Si, de plus, Q est ind´efinie, on a

1 6 | b ∗ 1

2 | ⁿ 6 3

4 γ ^{n(n − 1)/2} | d n | . (3) La derni`ere relation ´etait prouv´ee de la mani`ere suivante : si Q est ind´efinie, alors il existe au moins un entier k, 1 < k 6 n, tel que b ∗

k − 1 2 et b ∗

k

2 soient de signes oppos´es.

Dans ce cas, on avait montr´e dans [2] l’in´egalit´e

| b ^∗

k − 1

2 | 6 | b ^∗

k

2 | . (4)

C’est le gain du facteur γ > ⁴ ₃ entre les relations (1) et (4) qui permet le passage entre les relations (2) et (3).

On peut traduire ces in´egalit´es en fonction des entiers d k : la relation (1) s’´ecrit

d ² _{k − 1} 6 γ | d k d k − 2 |, (5)

et la relation (2) s’´ecrit

1 6 | d 1 | ⁿ 6 γ ^{n(n − 1)/2} | d n | . (6) Pour les applications donn´ees dans [2], ces in´egalit´es ´etaient suffisantes, mais ici, il nous en faut davantage. En particulier, on veut des bornes pour d 2 , . . . , d n − 1 .

Proposition 2 Dans les conditions identiques `a celles du th´eor`eme 1, on a, pour tout entier k, 1 6 k 6 n

| d k | ^{n − k+1} 6 γ ^{(n − k)(n − k+1)/2} | d n d ⁿ _{k −} ⁻ ₁ ^k | . (7)

2

Preuve : En appliquant plusieurs fois la relation (1), on trouve

| b ∗

k 2 | 6 γ | b ∗ k+1 2 | .. .

| b ∗ k

2 | 6 γ ^{n − k} | b ∗ n

2 | et, en multipliant ces in´egalit´es, on trouve

| b ∗ k

2 | ^{n − k} 6 γ ^{(n − k)(n − k+1)/2} | b ∗ k+1

2 . . . b ∗ n

2 | , d’o `u la relation (7).

Corollaire 3 Si n et d n sont fix´es, il n’existe qu’un nombre fini de valeurs possibles pour le n-uplet d correspondant `a la sortie de l’algorithme 1.3 de [2].

Preuve : Il suffit d’appliquer l’in´egalit´e (7) successivement pour k = 1, k = 2, . . ., k = n − 1.

Nous allons appliquer les in´egalit´es que nous venons de trouver au cas des formes quadratiques unimodulaires (| d n |= 1), pour les dimensions n comprises entre 2 et 9. Parmi tous les n-uplets | d | satisfaisant la relation (7), nous ne gardons que ceux satisfaisant aussi (5). Ces listes s’obtiennent rapidement avec un petit programme sur ordinateur. Nous indiquons la valeur utilis´ee pour le param`etre c.

Pour n 6 6, on trouve

n = 2 (c > 1/2) | d |= (1, 1) n = 3 (c > 3/4) | d |= (1, 1, 1) n = 4 (c > 3/4) | d |= (1, 1, 1, 1) n = 5 (c > 11/12) | d |= (1, 1, 1, 1, 1) n = 6 (c > 11/12) | d |= (1, 1, 1, 1, 1, 1)

Ces valeurs num´eriques signifient que l’algorithme de r´eduction des formes quadra- tiques d´efinies ou ind´efinies permet toujours, soit de trouver un z´ero des formes quadra- tiques unimodulaires, soit de les r´eduire `a une forme diagonale avec ±1 comme coeffi- cients. Pour n 6 5, ces r´esultats sont la traduction directe du th´eor`eme 1.6 de [2], avec des meilleures valeurs du param`etre c. La diminution de la valeur de c augmente la rapidit´e de l’algorithme. Pour n = 6, on constate qu’il n’est pas n´ecessaire de supposer que la forme soit ind´efinie pour obtenir le r´esultat du th´eor`eme 1.8 de [2], et de plus la valeur du param`etre c est diminu´ee.

Pour n = 7 et c > 11/12, on trouve

| d |∈ {(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (2, 3, 4, 4, 3, 2, 1)}.

Pour n = 8 et c > 193/196, on trouve

| d |∈ { (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1), (2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 1), (2, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 1)}.

Pour n = 9 et c > 193/196, on trouve

| d |∈ { (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1), (1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 1),

(1, 2, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 1), (2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 1, 1), (2, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 1),

(2, 3, 4, 4, 4, 4, 3, 2, 1), (2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1), (2, 4, 6, 7, 7, 6, 4, 2, 1),

(2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2, 1)}.

2 Existence de formes quadratiques ayant un | d | donn´e

Dans cette partie, on se donne un n-uplet d = (d 1 , . . . , d n ) d’entiers non nuls, et on cherche `a construire les matrices Q ∈ S n (Z) telles que d(Q) = d. Il existe en g´en´eral une infinit´e de telles matrices. Toutefois, on remarque que, si U est une matrice n×n triangulaire sup´erieure avec des 1 sur la diagonale, la matrice Q ^′ = U ^t QU v´erifie encore d(Q ^′ ) = d(Q). Modulo cette transformation, il n’existe qu’un nombre fini de Q ∈ S n (Z) satisfaisant d(Q) = d. Nous donnons ici un algorithme r´ecursif pour les d´eterminer toutes.

Si n = 1, une seule matrice convient : Q = (d 1 ). Supposons maintenant que l’on sache construire toutes les matrices Q ^′ ∈ S n − 1 (Z) v´erifiant d(Q ^′ ) = (d 1 , . . . , d n − 1 ).

Pour chacune des matrices Q ^′ de cette liste, on fait les op´erations suivantes :

On consid`ere les coefficients Q 1,n , . . . , Q n,n comme des inconnues. On remar- que qu’en appliquant `a Q un changement de base triangulaire sup´erieur, le vecteur v = (Q 1,n , . . . , Q n − 1,n ) ^t est transform´e en Q ^′ X + v, o `u X est un vecteur arbitraire

`a coefficients entiers. Ainsi, v n’est d´efini que modulo Q <sup>′</sup> . En prenant la forme nor- male d’Hermite de Q <sup>′</sup> , on voit alors qu’il suffit de tester | det Q <sup>′</sup> |=| d n − 1 | valeurs pour le vecteur v. Parmi ces valeurs, on ne garde que celles pour lesquelles l’´equation det Q = d n donne une valeur enti`ere pour Q n,n . Comme cette ´equation est lin´eaire en Q n,n de coefficient dominant d n − 1 6= 0, cela donne au plus une valeur pour Q n,n pour chaque valeur de v, et donc au total au plus | d n − 1 | valeurs possibles pour Q.

Cet algorithme montre qu’il existe au plus |

n − 1

Y

i=1

d i | matrices Q (modulo les trans- formations triangulaires d´efinies plus haut) satisfaisant d(Q) = d. En appliquant cet algorithme, on obtient par exemple le r´esultat suivant :

Lemme 4 Il n’existe pas de Q ∈ S 5 (Z) telle que d(Q) = (2, 3, 4, 4, 3).

3 Enonc´e des r´esultats ´

Th´eor`eme 5 Soit n un entier, 2 6 n 6 7. Soit Q ∈ S n (Z) de d´eterminant d n 6= 0. En appliquant l’algorithme 1.3 de [2], avec un param`etre r´eel c, ¹¹ ₁₂ < c < 1, on trouve soit un z´ero de Q, soit un changement de base de Z ⁿ tel que, dans la nouvelle base, Q soit diagonale avec des coefficients ±1.

Preuve : Si n 6 6, on retrouve les r´esultats de [2] avec l’am´elioration de la borne c donn´ee dans la partie 1. Si n = 7, d’apr`es la partie 1, il suffit de prouver qu’on ne peut pas terminer avec | d(Q) |= (2, 3, 4, 4, 3, 2, 1). Supposons que l’on termine avec un telle matrice. Alors on a | b ∗ 2

|= (2, ³ ₂ , ⁴ ₃ , 1, ³ ₄ , ² ₃ , ¹ ₂ ). Comme ces valeurs sont stricte- ment d´ecroissantes, la relation (4) montre que Q est d´efinie. Quitte `a consid´erer −Q, on peut toujours supposer qu’elle est d´efinie positive, et donc d(Q) = (2, 3, 4, 4, 3, 2, 1).

En extrayant le premier bloc 5 × 5 de Q, on aurait alors une matrice Q ^′ ∈ S 5 (Z) qui contredirait le lemme 4.

Th´eor`eme 6 Soit n un entier, 2 6 n 6 9. Soit Q ∈ S n (Z) de d´eterminant d n 6= 0. On suppose que Q est ind´efinie. Si l’algorithme 1.3 de [2], appliqu´e `a Q avec un param`etre

4

r´eel c, ¹⁹³ ₁₉₆ < c < 1, ne trouve pas de z´ero de Q, alors il trouve une base b ₁ , . . . , b _n ayant la propri´et´e suivante :

Il existe un z´ero de Q parmi les vecteurs b ∗ i + b ∗

j , o `u ( b ∗

i ) est la base de Gram- Schmidt associ´ee `a la base ( b _i ).

Preuve : Supposons que l’on n’ait pas trouv´e de z´ero de Q. Notons encore Q la ma- trice dans la nouvelle base. Nous avons choisi les notations de telle sorte que l’on ait b ∗

i t Q b ∗

i = b ∗ i

2 . Il suffit donc de montrer que pour cette matrice r´eduite Q, le n-uplet b ∗ 2 contient deux coefficients oppos´es. Si n 6 7, alors d’apr`es le th´eor`eme 5, on a

| b ∗ 2 |= (1, . . . 1). Or Q est ind´efinie, donc b ∗ 2 contient au moins un changement de signe, d’o `u le r´esultat. Supposons que n = 8. D’apr`es la partie 1, et le lemme 4, on a on a | d |∈ {(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (2, 3, 4, 4, 4, 3, 2, 1)}. Dans le premier cas, la conclu- sion est imm´ediate. Dans le deuxi`eme cas, on a | b ∗ 2 |= (2, ³ ₂ , ⁴ ₃ , 1, 1, ³ ₄ , ² ₃ , ¹ ₂ ). Or Q est ind´efinie, et l’in´egalit´e (4) montre que b ∗ 2 = ±(2, ³ ₂ , ⁴ ₃ , 1, −1, − ³ ₄ , − ² ₃ , − ¹ ₂ ). Mais alors b ∗

4 + b ∗

5 est un z´ero de Q. Suppsons que n = 9. Si | d |= (2, 4, 6, 8, 8, 6, 4, 2, 1), on a | b ∗ 2 |= (2, 2, ³ ₂ , ⁴ ₃ , 1, ³ ₄ , ² ₃ , ¹ ₂ , ¹ ₂ ). On a donc b ∗ 2 = ±(2, 2, ³ ₂ , ⁴ ₃ , 1, ³ ₄ , ² ₃ , ¹ ₂ , − ¹ ₂ ) ou b ∗ 2 = ±(−2, 2, ³ ₂ , ⁴ ₃ , 1, ³ ₄ , ² ₃ , ¹ ₂ , ¹ ₂ ) ou b ∗ 2 = ±(−2, 2, ³ ₂ , ⁴ ₃ , 1, ³ ₄ , ² ₃ , ¹ ₂ , ¹ ₂ ). Dans tous les cas, l’un des vecteurs b ∗

1 + b ∗ 2 ou b ∗

8 + b ∗

9 est un z´ero de Q. Les autres cas se traitent de la mˆeme mani`ere.

R´ef´erences

[1] H. Cohen: A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Math. 138, Third corrected printing, Springer–Verlag (1996).

[2] D. Simon: Solving quadratic equations using reduced unimodular quadratic forms, Math. Comp., vol 74 no 251 (2005), 1531–1543.

[3] D. Simon: Quadratic equations in dimension 4, 5, and more, in preparation (2005).