R ’ L
1 Intégrale de L
EBESGUEd’une fonction positive
1.1 Fonction indicatrice
DÉFINITION 1.1 : Fonction indicatrice
Lafonction indicatriceoufonction caractéristique, notée1F ouχF, d’un sous-ensembleF d’un ensemble Eest une fonction deEdans{0,1}telle que :
1f =
1 six∈F 0 sinon
DÉFINITION 1.2 : Mesure des ensembles
Pour une partieAdeRn, la mesure deaest définie par : µ(A) =
Z
Rn1A(x)dx On dit qu’un ensemble estnégligeablesi sa mesure est nulle.
1.2 Intégrale positives
DÉFINITION 1.3 : Intégrale de LEBESGUE d’une fonction positive Soitf : R−→R[+]. Il existe une application :
f 7−→
Z
Rnf(x)dx qui vérifie les propriétés suivantes :
➊ linéarité :Z
Rnλf +µg=λ Z
Rn
f +µ Z
Rn
g.
➋ croissance : si f ¶g alorsZ
Rn
f ¶ Z
Rn
g
➌ mesure de volumes : pour un pavéP= [a1,b2]× · · · ×[an,bn], on a : Z
Rn
1Px= Yn
i=1
(bi−ai)
➍ Théorème de BEPPO-LEVI:
Soit(fj)j une suite croissante de fonctions à valeurs dansR+. Alors : Z
Rn lim
j7→+∞fj(x)dx= lim
j7→+∞
Z
Rnfj(x)dx
THÉORÈME 1.1 : Soitf une fonction deRndansR+. Alors :
Z
Rn
f =0⇔f =0 presque partout
« Presque partout » signifieen dehors d’un ensemble négligeable.
2.1 Les fonctions intégrables
DÉFINITION 2.4 : Fonction lebesgue-intégrable la fonctionf : Rn−→Cest lebesgue intégrable si :
Z
Rn
|f(x)|dx<+∞
L’ensemble des fonctions intégrables se noteL1(Rn).
PROPRIÉTÉ 2.1 :
Soit f et g deux fonctions à valeurs complexes sur Rn. On suppose f intégrable et f = g presque partout. Alors :
➊ g est intégrable.
➋ Z
Rn
f(x)dx= Z
Rn
g(x)dx
2.2 Théorème de la convergence dominée
THÉORÈME2.2 : de la convergence dominée
Soit(fj)june suite de fonctions deRndansCethune fonction lebesgue-intégrale surRn. On suppose :
➊ qu’il existe f telle que fj−→
+∞ f presque partout ;
➋ ∀j,|fj|¶hpresque partout.
Alors f ∈ L1et
j→∞lim Z
Rn
fjdx= Z
Rn
f dx avec limj→∞
Z
Rn
|fj−f|dx=0.
2.3 Continuité–dérivation sous le signe intégral
THÉORÈME 2.3 : Continuité
SoitF une fonction deA×B dansC,Aun ouvert deRnetB une partie deRm. Si :
➊ ∀y∈B, x7−→F(x,y)∈L1(A)
➋ Pour toutydansB, l’applicationx7−→F(x,y)est continuepresque partout.
➌ Il existeg∈L1(A)telle que pour touty∈B |F(x,y)|¶ g(x)presque partout.
Alors :
y7−→f(y) = Z
A
F(x,y)dx est continue surB
THÉORÈME 2.4 : Dérivation
SoitAun ouvert deRnetBune partie deRn. Soitα∈Rntel que|α|=1. On considèreF : A×B−→C telle que :
➊ ∀y∈B, ∈Ax7−→F(x,y)∈Ł1(A)
➋ ∀x, y7−→F(x,y)admet une dérivé partielle d’ordreα ∂yαF presque partout.
➌ il existe g∈L1(A), pour touty∈B
∂yαF(x,y)
¶ g(x)presque partout Alors f : y7−→R
AF(x,y)dµxpossède une dérivée partielle d’ordreα:
∂αf(y) = Z
A
∂yαF(x,y)dµx
3 Liens R
IEMANN–L
EBESGUETHÉORÈME3.5 : Primitive
Soitf une fonction continue sur[a,b]etF une primitive de f, alors, au sens de LEBESGUE : Z b
a
f =F(b)−F(a)
Conséquence : Lorsque f est continue sur un intervalle [a,b]alors l’intégrale de RIEMANN et de LE-
BESGUE coincident.
Soit f une fonction riemann-intégrable sur [a,b]. Alors f est lebesgue-intégrable dur [a,b] et les intégrales sont égales.
THÉORÈME 3.7 :
➊ Soitf une fonction positive surR, alors : Z
R
f(x)dx= lim
a→−∞
b→+∞
Z b a
f(x)dx
➋ Soitf une fonction intégrable surR, alors : Z
Rf(x)dx= lim
a→−∞
b→+∞
Z b
a
f(x)dx
4 L’espace L
1SoitΩun ouvert deRn, on rappelle que l’ensembleL1(Ω)est l’ensemble des fonctions intégrables (au sens de LEBESGUE) surΩ:
L1(Ω) =
f Z
Ω
|f|<+∞
C’est un espace vectoriel ! DÉFINITION 4.5 :L1
On définit surL1(Ω)unesemie-norme:
kfkL1= Z
Ω
|f|
On appelle semie-norme carkfkL1=0 n’implique pas f =0 maisseulement f =0presque partout.
La relation d’égalitépresque partoutest une relation d’équivalence.
L’espace-vectoriel quotient deL1et de cette relation d’équivalence se note L1(Ω). k.kL1 est donc une norme surL1.
THÉORÈME 4.8 : Fisher-Riez
➋ I2= Z
Ω2
Z
Ω1
f(x,y)dx
! dy
➌ I2= Z
Ω1
Z
Ω2
f(x,y)dy
! dx
THÉORÈME 5.9 : TORRELLI Soitf : Ω1×Ω2−→R+, alors de deux choses l’une :
➊ I1=I2=I3= +∞
➋ I1=I2=I3<+∞
THÉORÈME 5.10 : FUBINI Soitf : Ω1×Ω2−→R+une fonctionintégrable, alors :
➊ Les fonctions :
g :
Ω1 −→ C
x 7−→
Z
Ω2
f(x,y)dy et
h :
Ω2 −→ C
x 7−→
Z
Ω1
f(x,y)dx sont intégrables.
➋ De plusI1=I2=I3
DÉFINITION 6.6 : Produit de convolution
Soitf et g deux fonctions deL1(R). On définit le produit de convolution comme : x∈R7−→
Z
Rf(x−y)g(y)dy que l’on note
(f ∗g)(x)
PROPRIÉTÉ 6.2 :
➊ Soit f et g deux fonctions de L1(R). Alors la fonction qui, pour x ∈ R, y 7−→ f(x−y)g(y) appartient àL1(R2).
➋ f ∗g∈L1(R)
➌ kf ∗gkL1¶kfkL1kgkL1
➍ (f ∗g) = (g∗f)
