Devoir 4

Universit´e Pierrre et Marie Curie M1 - MM025 Ann´ee 2011-2012 Calcul des variations: outils et m´ethodes

Devoir No. 4

Soit f une fonction convexe s.c.i. propre deX, espace de Hilbert dansIR∪ {+∞}.

On pose, pourλ >0 etx∈X :

gλ(x;y) =f(y) + 1

2λky−xk² F_λ(x) = inf

y∈X g_λ(x;y) (I) Exercice 1 : Op´erateur proximal.

1.1. Montrer, en utilisant le th´eor`eme de s´eparation, quef a une minorante affine continue . En d´eduire queφ:y7→gλ(x;y) atteint son minimum en un point unique ¯x solution de (I).

Utiliser φ(x)≤φ(z) pourz=ty+ (1−t)¯x pour obtenir que : f(x)−f(y) + 1

λhx−x, x−yi ≤0 ∀y∈X. (II)

R´eciproquement, montrer que si x v´erifie (II), alors il r´ealise le minimum dans (I). (Utiliser

1

2(kak²− kbk²)≤ ha, a−bi avec a=x−xetb=y−x.)

Etudier la cas ou f est la fonction caract´eristique d’un convexe ferm´e C.

1.2. Soit hune fonction convexe de X, espace de Hilbert dans IR∪ {+∞}. On pose :

∂h(y) ={u∈X:h(z)−h(y)≥ hu, z−yi,∀z∈X}.

V´erifier que y r´ealise le minimum deh ssi 0∈∂h(y).

Soit u∈∂h(y) et v∈∂h(z), ´etablir que :

hu−v, y−zi ≥0 (∂ est un op´erateur monotone).

1.3. Montrer que 0∈∂φ(¯x) et que (II) s’´ecrit (x−x)

λ ∈∂f(x).

Exercice 2 : Algorithme proximal.

Etant donn´esx0 et une suiteλ_k >0, k≥1, on d´efinit inductivement x_k comme le minimum de gλ(xk−1;y) =f(y) + 1

2λ_kky−xk−1k² soit :

y_k= 1 λk

(xk−1−x_k)∈∂f(x_k).

1

2.1. D´eduire du fait que ∂ est un op´erateur monotone queky_kk est une suite d´ecroissaante.

2.2. Soit x∈X. Utiliser yk∈∂f(xk) pour obtenir :

2λ_k(f(x)−f(x_k))≥ kx−x_kk²+kx_k−1−x_kk²− kx−x_k−1k² puis, avecσ_n=Pn

k=1λ_k : 2σ_nf(x)−2

n

X

1

λ_kf(x_k)≥ kx−x_nk²+

n

X

1

λ²_kky_kk²− kx−x₀k².

V´erifier que pour toutk≥1 :

σk−1f(xk−1)−σ_kf(x_k) +λ_kf(x_k)≥λ_kσk−1ky_kk² d’ o`u en sommant :

−σ_nf(xn) +

n

X

1

λ_kf(x_k)≥

n

X

1

λ_kσk−1ky_kk².

En d´eduire que :

2σn(f(x)−f(xn))≥ kx−xnk²− kx−x0k²+

n

X

1

ky_kk²(λ²_k+ 2λ_kσk−1)

d’o`u en utilisant 2.1 que :

2σn(f(x)−f(xn))≥ kx−xnk²− kx−x0k²+ky_nk²σ²_n. 2.3. On suppose d´esormaisσn→+∞.

Etablir que :

f(x_n)→infx∈Xf(x) =f^∗ 2.4. Montrer que si S= argminf 6=∅

f(x_n)−f^∗ ≤ d(x₀, S)² 2σ_n et

ky_nk²σ²_n≤d(x₀, S)² (III).

Par ailleurs v´erifier que si ¯x∈S :

hx_n−x, y¯ ni ≥0 et en d´eduirekx_n−xk¯ ² est d´ecroissant donc converge.

2.5. Soit x^∗ un point d’accumulation faible de la suite {x_n}.

D´eduire de (III) que x^∗ ∈S (en utilisant 1.2).

Montrer enfin que la suite xn converge versx^∗ en ´etablissant les points suivants :

- toute sous suite de la suite {x_n}a une sous suite faiblement convergente vers un point de S - siα etβ sont 2 tels pointshx_n, α−βi converge, d’ o`u l’unicit´e.

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