+- 3²x1x2 lim )x(flim =

En recherchant les devoirs maison, nous nous sommes aperçus que nous ne savions pas répondre rigoureusement à la question " résoudre graphiquement f ( x ) ≥ 5 " dans le cas de certaines fonctions…

Que devient la courbe lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes ?…

Cauchy sera celui qui traduira, en France, le plus rigoureusement pour son époque l'idée de limite d'une fonction.

Son cours d'Analyse algébrique, écrit en 1821, est le premier traité d'analyse " moderne ". Les lignes suivantes en sont extraites : " Lorsque les valeurs attribuées successivement à une variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe,…, cette dernière est appelée la limite…" Pour la suite de cet extrait voir le livre p 91.

E1 Activité d'approche : limite en 0.

Objectif : donner une première idée de la notion de limite en zéro.

1 ° Soit la fonction f définie sur ] - 2 ; + ∞ [ par f ( x ) = x 2 x 1++ _. Compléter les tableaux :

x 1 0,5 0,1 0,01 x -1 -0,5 -0,1 -0,01

f ( x )

et

f ( x )

On constate que lorsque x se rapproche de 0, les valeurs f ( x ) se rapprochent de 1 2 . On dit que lorsque x tend vers 0, f ( x ) tend vers 1

2 , et on écrit :

=

→

f ( x ) lim

x 0

1 2 . 2 ° Soit la fonction g définie sur ] 0 ; + ∞ [ par g ( x ) = 2

x . Calculer g ( 1 ) , g ( 0,02 ) , g ( 0,001 ), … Est-ce que g ( x ) a une limite finie quand x tend vers 0 ?

1 Limites en a de fonctions définies en a.

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

Soit a ∈ I.

On constate que lorsque x se rapproche de a, f ( x ) se rapproche de f ( a ).

Alors la limite de f en a est égale à f ( a ).

Autrement dit si f ( a ) existe, alors la limite de f en a est égale à f ( a ).

Notation :

a

lim

x

→ f ( x ) = f ( a ).

Exemple : f ( x ) = 3x² + 5x + 2. Trouver la limite de f en -1. Voir feuille annexe.

g ( x ) =

3

² x

1 x

2 + −

. Calculer la limite de g en 2. Voir feuille annexe.

E2 Limite en a de f avec f définie en a.

Déterminer la limite en 0 de f donnée par l'expression f ( x ) = 1

² x

5 x 2 ++ _.

Déterminer la limite en -2 de g donnée par l'expression g ( x ) = 1

² x

3 x 2 x³

− +

− .

E3 Activité d'approche.

A ) Soit f la fonction définie par f ( x ) = x.

Compléter le tableau suivant :

x 10 100 1000 10000 100000

y

x -10 -100 -1000 -10000 -100000

y

Tracer une allure de la courbe de f dans un repère.

Que peut-on dire des nombres f ( x ) lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞ ? Que peut-on dire des nombres f ( x ) lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes vers - ∞ ? Autrement dit déterminer la limite de f lorsque x tend vers + ∞ et vers - ∞ ?

B ) Soit g la fonction définie par g ( x ) = x². Refaire la question A ) avec la fonction g.

C ) Soit h la fonction définie par h ( x ) = x³. Refaire la question A ) avec la fonction h.

D ) Soit i la fonction définie par i ( x ) =

x

1

. Refaire la question A ) avec la fonction i.

E ) Soit j la fonction définie par j ( x ) =

² x

1

. Refaire la question A ) avec la fonction j.

F ) Considérons les fonctions g et i données ci-dessus.

Que peut-on dire de la limite en + ∞ de g + i ? Que peut-on dire de la limite en + ∞ de g × i ? 2 Limites de fonctions.

Soit f une fonction définie sur ] b ; + ∞ [.

On dit que f a pour limite + ∞ lorsque x tend vers + ∞ lorsque f possède la propriété suivante :

" lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes vers + ∞,

les nombres f ( x ) deviennent très grands et ils finissent par dépasser n'importe quel réel M aussi grand soit -il . "

Soit f une fonction définie sur ] b ; + ∞ [.

On dit que f a pour limite - ∞ lorsque x tend vers + ∞ lorsque pour des grandes valeurs de x, les nombres f ( x ) deviennent négatifs, mais très grands en valeur absolue.

Limites à connaître par cœur

+∞

→

x

lim

k = k ;

−∞

→

x

lim

k = k k étant un constante réelle.

+∞

→

x

lim

x = + ∞ ;

+∞

→

x

lim

x² = + ∞ ;

+∞

→

x

lim

x³ = + ∞ ;

−∞

→

x

lim

x = - ∞ ;

−∞

→

x

lim

x² = + ∞ ;

−∞

→

x

lim

x³ = - ∞

+∞

→ x

lim

x 1

_{= 0 ;}

+∞

→ x

lim

² x

1

_{= 0 ;}

−∞

→ x

lim

x 1

_{= 0 ;}

−∞

→ x

lim

² x

1

_{= 0}

Théorème sur la limite de la somme de deux fonctions

+∞

→

x

lim

f ( x )

+∞

→

x

lim

g ( x )

+∞

→

x

lim

( f ( x ) + g ( x ) )

a b a + b

a + ∞ + ∞

a - ∞ - ∞

+ ∞ + ∞ + ∞

- ∞ - ∞ - ∞

+ ∞ - ∞ Pas de conclusion directe

Ce tableau est valable également lorsque x tend vers - ∞ .

Exemple : trouver la limite de h ( x ) = x² + 1

x en - ∞ . Voir feuille annexe.

E4 Savoir déterminer la limite de la somme de deux fonctions.

1 ) f ( x ) = 1

x et g ( x ) =

² x

1

_. Déterminer la limite en + ∞ de h = f + g.

2 ) f ( x ) = 1

x et g ( x ) = x². Déterminer la limite en − ∞ de h = f + g.

3 ) f ( x ) =

² x

1

et g ( x ) = x . Déterminer la limite en − ∞ de h = f + g.

4 ) f ( x ) = x³ et g ( x ) = x². Déterminer la limite en + ∞ de h = f + g.

5 ) f ( x ) = x³ et g ( x ) = x . Déterminer la limite en − ∞ de h = f + g.

3 Théorème sur la limite du produit de deux fonctions

+∞

→

x

lim

f ( x )

+∞

→

x

lim

g ( x )

+∞

→

x

lim

( f ( x ) × g ( x ) )

a b a × b

a ( a > 0 ) + ∞ + ∞

a ( a < 0 ) + ∞ - ∞

a ( a > 0 ) - ∞ - ∞

a ( a < 0 ) - ∞ + ∞

+ ∞ + ∞ + ∞

+ ∞ - ∞ - ∞

- ∞ - ∞ + ∞

0 + ∞ Pas de conclusion directe

0 - ∞ Pas de conclusion directe

Exemple : trouver la limite, en + ∞, de h ( x ) = 3x³. Voir feuille annexe.

E5 Savoir déterminer la limite du produit de deux fonctions.

1 ) f ( x ) = 1

x et g ( x ) =

² x

1

_. Déterminer la limite en + ∞ de h = f × g.

2 ) f ( x ) = 4 et g ( x ) = x². Déterminer la limite en + ∞ de h = f × g.

3 ) f ( x ) = - 2 et g ( x ) = x . Déterminer la limite en + ∞ de h = f × g.

4 ) f ( x ) = 5 et g ( x ) = x³. Déterminer la limite en − ∞ de h = f × g.

5 ) f ( x ) = - 3 et g ( x ) = x . Déterminer la limite en − ∞ de h = f × g.

6 ) f ( x ) = x² et g ( x ) = x . Déterminer la limite en + ∞ de h = f × g.

7 ) f ( x ) = x² et g ( x ) = x³. Déterminer la limite en − ∞ de h = f × g.

8 ) f ( x ) = x³ et g ( x ) = x . Déterminer la limite en − ∞ de h = f × g.

4 Théorème sur l'inverse d'une fonction.

+∞

→

x

lim

f ( x )

+∞

→ x

lim

) x ( f

1

a 1

a 0 et f ( x ) > 0 + ∞ 0 et f ( x ) < 0 - ∞

+ ∞ 0

- ∞ 0

Exemple : trouver la limite, en - ∞ , de h ( x ) = ₃

x1 . Voir feuille annexe.

E6 Savoir déterminer la limite de l'inverse d'une fonction.

1 ) f ( x ) = 3 + x. Déterminer la limite en + ∞ de h = 1 f . 2 ) f ( x ) =

² x

1

_. Déterminer la limite en − ∞ de h = 1 f . 3 ) f ( x ) = - 1

x . Déterminer la limite en + ∞ de h = 1 f . 4 ) f ( x ) = x⁴. Déterminer la limite en − ∞ de h = 1

f .

5 Théorème sur le quotient de deux fonctions.

+∞

→

x

lim

f ( x )

+∞

→

x

lim

g ( x )

+∞

→ x

lim

) x ( g

) x ( f

a b ( b ≠ 0 ) a

b a ( a > 0 ) 0 et g ( x ) > 0 + ∞ a ( a < 0 ) 0 et g ( x ) > 0 − ∞ a ( a > 0 ) 0 et g ( x ) < 0 − ∞ a ( a < 0 ) 0 et g ( x ) < 0 + ∞

a ( a ≠ 0 ) + ∞ 0

a ( a ≠ 0 ) − ∞ 0

+ ∞ b ( b > 0 ) + ∞

+ ∞ b ( b < 0 ) − ∞

− ∞ b ( b > 0 ) − ∞

− ∞ b ( b < 0 ) + ∞

0 0 Pas de conclusion directe

∞ ∞ Pas de conclusion directe

Exemple : trouver la limite, en - ∞ , de h ( x ) =

² x 3 1

x 2 1

+

−

. Voir feuille annexe.

E7 Savoir déterminer la limite du quotient de deux fonctions.

1 ) f ( x ) = 3 + 2

x . et g ( x ) = 4

x . Déterminer la limite en + ∞ de h = f g . 2 ) f ( x ) = - 5 + 3

x . et g ( x ) = 6

x . Déterminer la limite en + ∞ de h = f g . 3 ) f ( x ) = 4 + 4

x . et g ( x ) = - 7

x . Déterminer la limite en + ∞ de h = f g . 4 ) f ( x ) = - 7 + 5

x . et g ( x ) = - 9

x . Déterminer la limite en + ∞ de h = f g . 5 ) f ( x ) = 6 + 6

x . et g ( x ) = x. Déterminer la limite en + ∞ de h = f g . 6 ) f ( x ) = - 8 + 7

x . et g ( x ) = - x². Déterminer la limite en + ∞ de h = f g . 7 ) f ( x ) = x⁴. et g ( x ) = 9 Déterminer la limite en + ∞ de h = f

g . 8 ) f ( x ) = x³. et g ( x ) = - 10 Déterminer la limite en + ∞ de h = f

g . 9 ) f ( x ) = - x². et g ( x ) = 11 Déterminer la limite en − ∞ de h = f

g . 10 ) f ( x ) = x¹. et g ( x ) = - 12 Déterminer la limite en − ∞ de h = f

g .