limf(x) 1 = )x(flim ∞+= = 0 )x(flim http://www.najah.com

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Exercice 1 :

Indiquer la réponse exacte : 1) Soit l’ellipse ci-contre :

Laquelle des équations suivantes, correspond à cette ellipse ?

a) x² + 4y² = 6 b) x² + 2y² = 1

c) 4x² + y² = 6

2) Si pour tout réel x, f(x) = e^-x ln(1+ e^x ) ; alors on a : a) limf(x) 0

x =

+∞

→

b) =+∞

+∞

→ f(x)

xlim

c)

xlim f (x) 1

→+∞ =

3 Si a et b sont deux entiers naturels tels que a+b = 23 alors a) a et b sont premiers entre eux

b) a et b sont pairs

c) a et b sont tels que a- b = 2

Exercice 2 :

x y

-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5

-1 -0,5 0 0,5 1

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On rappelle que 2003 est un nombre premier.

1°) a) Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que : 123u + 2003v = 1.

b) En déduire un entier relatif ko tel que 123ko ≡1 [2003].

c) Montrer que, pour tout entier relatif x , 123x ≡456 [2003] si et seulement si x ≡456ko

[2003]

d) Déterminer l'ensemble des entiers relatifs x tels que: 123x ≡456 [2003]

e) Montrer qu'il existe un unique entier n tel que: 1 < n < 2002 et 123n ≡456 [2003]

2°) Soit a un entier tel que: 1 < a < 2002

a: Déterminer PGCD (a, 2003). En déduire qu'il existe un entier m tel que : a m ≡1 [200]

b: Montrer que, pour tout entier b, il existe un unique entier x tel que: 0 < x < 2002 et ax

≡ b [2003]

Exercice 3 :

Pour x

ln x t

t 0

] 1 e, [ , on pose F (x) dt

e (1 e )²

∈ + ∞ =

∫

1°/ Justifier l’existence de F(x) pour x , [ e ]1 +∞

∈ .

2°/ Montrer que pour tout x , [ e ]1 +∞

∈ on a : F(x) )

1 ln x 1 1

( x

− +

≤ . En déduire lim F(x)

e) ( 1

x→ + .

3°/ a) Montrer que pour tout x > on a: e

1

ln x t

t 3 0

x e

F(x) - 1 2 dt

(ln x 1)² (1 e )

= +

+

∫

b) En déduire que pour tout x -1

)² 1 ln x ( x F(x) : a on

1 ≥ +

≥ .

En déduire

xlim F (x)

→+∞

4°/ Montrer que la fonction F est une bijection de , [ e

]1 +∞ sur IR.

Exercice 4 :

Dans le plan on considère deux segments [AC] et [BD] tels que AC = BD et (AC , BD) (2 )

2

∧ π

≡ − π uuur uuur

On désigne par M le milieu de [AC] et par N celui de [BD].

On appelle (c₁), (c₂), (c₃) et (c₄) les cercles de diamètres [AB], [BC], [CD] et [DA].

DOC 4MA

1.a. Soit Montrer b. Soit r Montrer c. Quell On dési par Q et 2. Soit s a. Qu b. En

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AMTHEX 

t r la rotatio r que le cen r’ la rotation r que le cen le est la natu igne par P e

t S les point s la similitu uelles sont le n déduire qu

/www.na

on qui trans ntre I de r ap

n qui transfo ntre J de r’ a

ure du quad t R les poin ts diamétral de directe d es images p ue le point J

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forme A en ppartient au forme A en D appartient au drilatère INJ nts diamétra lement oppo de centre I, d par s des poi

est le milie

m 

n B, C en D.

ux cercles (c D, C en B.

ux cercles ( JM ? alement opp

osés à J sur, de rapport ints D, N, B eu de [PR].

. Quel est l'a c₁) et (c₃).

Quel est l'an c₂) et (c₄).

posés à I sur , respectivem

2 et d’ang B ?

angle de r ?

ngle de r’ ?

r, respective ment, (c2) e gle4

π.

?

?

ement, (c1) e et (c4).

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et (c3) et