Économétrie II

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Économétrie II

Ch. 4b Stationnarité & cointégration L3 Économétrie – L3 MASS

Prof. Philippe Polomé, U. Lyon 2

Année 2015-2016

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Ch. 4b. Stationnarité & cointégration

Table des matières

Ch. 4b. Stationnarité & cointégration I(1)

Décider si une série chrono est I(1) Cointégration

Modèles à Correction d’Erreurs

Conclusions

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Ch. 4b. Stationnarité & cointégration I(1)

Table des matières

Ch. 4b. Stationnarité & cointégration I(1)

Décider si une série chrono est I(1) Cointégration

Modèles à Correction d’Erreurs

Conclusions

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Marche aléatoire

I

Dans le AR(1), l’hypothèse

|r|<

1 est cruciale pour que la série soit faiblement dépendante (=I(0))

I

Beaucoup de séries chronologiques économiques sont mieux caractérisées par un AR(1) avec

|r|=

1 :

I y_t=y_t ₁+e_t : unemarche aléatoire (random walk)

I

Variance d’une marche aléatoire

%

linéairement avec le temps

I Le processus ne peut donc être stationnaire

I car sa distribution change dans le temps

I Pas I(0) non plus

I xt etx_t+hne deviennent pas presqu’indépendants lorsque h!•

I Donc pas utilisable en régression

I

Puisque

E(et+j|yt) =

0

8j

1, on a

E(yt+h|yt) =yt 8h

1

I Donc, quel que soit l’éloignement temporelh, la meilleure prédiction pouryt+h estyt

(5)

y

_t

= y

_t

₁ + e

_t

avec e ⇠ n (0, 4) et y ₀ = 0 dans Trend....ods

(6)

I(1)

I

Marche aléatoire = un cas de racine unitaire ou processus I(1)

I

Un processus I(1) est “fortement persistant” ou “à mémoire longue”

I “Tendance” 6=“fortement persistent”

I Des séries comme les taux d’intérêt, d’inflation ou de chômage sont souvent considérées “à mémoire longue”

I mais n’ont pas de tendance claire

I

Mais souvent, une série à mémoire longue a aussi une tendance claire

I P.e. marche aléatoire avec dérive (random walk with drift) : yt=⌦+yt 1+et

I ⌦est la dérive

I Voir graphique

(7)

y

_t

= ⌦ + y

_t

₁ + e

_t

avec e ⇠ n (0, 4), y ₀ = 0 et ⌦ = .05

(8)

Régression entre I(1), même sans trend

I

Une régression simple entre 2 I(1) indépendantes va souvent résulter en une stat

t

significative

I Même sans trend dans aucune variable

I

Soit 2 marches aléatoires

yt=yt 1+et

and

xt=xt 1+at

I On spécifieyt=b0+b1xt+xt,

I AlorsH₀:b₁=0 est vraie,

I maisxt contientyt 1 qui est une marche aléatoire,

I

Alors l’inférence basée sur les résidus OLS mène à une stat

t

dont la distribution limite n’est pas normale

I en fait cette statt!•quandT !•

I VoirTrend....odstabSpurious I(1)

(9)

Remarque : Autre régression spurieuse

I

En coupe transversale

I Régression spurieuse = cigognes

I 2 variables sont reliées via une troisième

I Si on régresse la 1ºsur la 2º, on trouve une relation significative

I mais si on intègre la 3ºvariable, la 2ºperd sa significativité

I Ce phénomène peutaussiarriver en séries temp

I

Une relation spurieuse peut aussi être trouvée entre séries qui ont un trend

I Si ces séries sont faiblement dépendante autour de leur trend, le problème se résoud en insérant un trend dans le modèle

(10)

Diﬀérence première

I

La diﬀérence 1º d’une racine unitaire

yt

I est faiblement dépendante (I(0))

I xt etx_t+hdeviennent presqu’indépendants lorsqueh!•

I et est souvent stationnaire

I sa distribution ne change pas dans le temps

I

Une série temporelle I(1) est souvent “diﬀérence-stationnaire”

I Siyt est I(1), alorsyt yt 1 est souvent I(0)

I

Beaucoup de séries

yt

qui sont

>

0 sont t.q. ln

(yt)

est I(1)

I Alors on peut utiliser ln(yt) ln(yt 1)en régression

I Comme ln(yt) ln(yt 1)⇡yt yt 1

yt 1 l’interprétation est en terme de taux de croissance

I

Diﬀérencier une série temp avant de l’utiliser en régression

retire aussi toute tendance linéaire

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Ch. 4b. Stationnarité & cointégration Décider si une série chrono est I(1)

Table des matières

Ch. 4b. Stationnarité & cointégration I(1)

Décider si une série chrono est I(1) Cointégration

Modèles à Correction d’Erreurs

Conclusions

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Corrélation

I r₁=Corr(yt,yt 1)

I Estimerr₁ à partir de la corrélation entreyt etyt 1dans l’échantillon

I Se nommeautocorrelation de 1ºordrede {yt}

I

Les distributions d’échantillonnage de

rˆ₁

sont très diﬀérentes lorsque

r₁

proche de 1 et lorsque

r₁

bien moins que 1

I Quandr₁ proche de 1,rˆ₁ peut avoir un biais important à la baisse

I On considère qu’il faut diﬀérencier si rˆ₁> .9, voirerˆ₁> .8

I

Quand la série a un trend clair, on estime

r₁

après avoir enlevé la tendance

I Sinon,rˆ1 tend à être surestimé

(13)

Test de racine unitaire

I

Modèle AR(1)

yt=a+ryt 1+et

I

Test

Dickey-Fuller

(DF)

H₀:r=

1 contre

H₁:r<

1

I Soustraireyt 1de chaque côté

I yt=a+qyt 1+et avecq=r 1

I SousH₀,y_t ₁est I(1)

I D’où la statt associée àq dans un MCO ne converge pas à une normale

I mais bien à une distribution Dickey-Fuller,

I On testeq=0 (doncr=1) par l’habituelle statt

I mais avec les valeurs tabulées de la Dickey-Fuller distribution I

Test de DF augmenté

I On teste toujours pourr=1 mais dans

I yt=a+qyt 1+g₁ yt 1+g₂ yt 2+···+gp yt p+et

(14)

Application du test de DF

I r

3

t

taux d’intérêt (annualisé) des bons du trésor à 3 mois

I Bond equivalent yields, dans les pages financières

I

Données dans INTQRT.gdt (Wooldridge)

I Attention : changer structure du jeu de données :

I mensuelles, date initiale inconnue

I

Si on estime

yt=a+qyt 1+et

I cr3 0 r3_1

I Le coeﬃcient de r3_1 est−0,0907, doncrˆ=0.9093

I t-stat sur r3_1 est -2.47, mais ne suit pas une distribution t

I Sur la variable r3,

I Prendre menu “variable”!“test de racine unitaire”

I Pas de retard, avec constante, sans tendance

I On retrouve les résultats de la régression, p-valeur .12 donc

¬R H0: racine unitaire

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Ch. 4b. Stationnarité & cointégration Cointégration

Table des matières

Ch. 4b. Stationnarité & cointégration I(1)

Décider si une série chrono est I(1) Cointégration

Modèles à Correction d’Erreurs

Conclusions

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Définition

I

Prendre les diﬀérences 1º de séries I(1) avant de les utiliser en régression est “sûr”

I mais limite l’analyse à des relations de court terme

I et est peu eﬃcient (estimateur peu précis)

I Lacointégration peut redonner un sens à des régressions entre séries I(1)

I

Si

{yt}

et

{xt}

sont I(1), alors en général

yt bxt

est I(1)

8b

I Cependant, il estpossibleque pour unb6=0,y_t bx_t soit

I I(0) : Asymptotiquement non corrélé

I Stationnaire : Espérance & variance constantes

I Si un telb existe, on dit que{yt}et{xt} sontcointégrées

I b est le paramètre de cointégration I

Interprétation :

I {yt} et{xt}ne peuvent pas s’écarter trop l’un de l’autre dans le long terme

(17)

Exemple

I r

6

t

taux d’intérêt (annualisé) des bons du trésor à 6 mois

I r3t idem à 3 mois

I

Données dans

INTQRT.gdt

(Wooldridge)

I On a vu plus tôt quer3t avait une racine unitaire

I Vrai aussi pourr6t I

Soit

Ecartt=r6t r3t

I DF stat est -7.71 avec une p-valeur infime

I doncRH₀racine unitaire

I doncr6t etr3t sont cointégrées avec paramètre 1

I

Interprétation : si les taux s’écartaient, l’un des deux deviendrait un investissement plus attractif

I son prix augmenterait

I son rendement baisserait donc

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Test de cointégration

I

Si on a une valeur pour le coeﬃcient de cointégration

b

I Alors on teste siyt bxt a une racine unitaire

I

Si on ne connait pas

b

I Siyt etxt sont cointégrées

I MCO estconsistantpourb dansy_t=a+bx_t+u_t

I sinon, MCO spurieux etb faussement significatif

I Test de Engle-Granger = Dickey-Fuller suruˆ_t=y_t aˆ bˆx_t

I Régresser uˆt suruˆt 1avec une constante, sans retard ˆ

u_t=d+guˆ_t ₁+xt

I Siuˆt 1n’est pas significatif, alorsuˆt est I(0)

I Doncy_t etx_t sont cointégrées

I Le test est fait sur une distribution spéciale, pas sur unet I

Si

yt

ou

xt

a une dérive, c’est plus compliqué

I Wooldridge 2012 p648

I

Une tendance doit être modélisée

(19)

Exemple : cointégration entre fertilité et déduction fiscale

I

Aux USA “personal exemption” est une déduction fiscale

I Entre autres plus on a d’enfants (ou de dépendants), plus la réduction est grande

I Le montant est assez faible, mais fluctue dans le temps

I On peut donc imaginer lier la déduction et le nombre de naissances

I Fertil3.gdt

(Wooldridge)

I Modifier structure du jeu pour série temp, annuelle, début 1913

I gfr naissances / 1000 femmes 15-44 ans

I DF : p-valeur .80 donc¬R H₀: racine unitaire

I pe “personal exemption”, en $ réels

I DF : p-valeur .45 donc¬R H₀: racine unitaire I

Régressions

I Niveaugfrt=a+bpet+ut

I Diﬀérences premières gfrt=a+b pet+ ut

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gfr et pe

gfrt coef (p-val) gfrt coef(p-val)

Cst 99.4 (0) 92.9 (0) 108.6 (0) Cst -.08 (.92) -.32 (.68) -3.45 (0) pet .05 (.40) -.06 (.36) .03 (.66) pet -.05 (.27) -.05 (.17) -.05 (.19)

pet 1 -.02 (.83) -.04 (.72) pet 1 -.01 (.69) -.009 (.75)

pet 2 .11 (.07) .13 (.11) pet 2 .09 (0) .09 (0)

pet 3 -.005 (.93) -.01 (.88) pet 3 .04 (.17) .04 (.15)

pet 4 .08 (.16) .02 (.04) pet 4 -.04 (.04) -.36 (.05)

Pill (63) -27.8 (0) -30.9 (0) .38 (.97) Pill (63) -2.23 (.07) -1.78 (.14) -5.43 (.005)

t -1.17 (0) t .11 (.01)

DW .12 .17 .25 1.44 1.34 1.57

T 72 68 68 T 71 67 67

La diﬀérence entre le modèle en niveaux et en diﬀérences 1º

suggère de tester la cointégration car si les séries ne sont pas

cointégrées, les régressions en niveaux sont spurieuses

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gfr et pe

I

Test de cointégration

I Gretl : “modèle” !“Séries temp” !“Test de coint” !

“Engle-Granger”

I Variable gfr et pe, sans retard car on teste ˆ

u_t=a+buˆ_t ₁+et

I Sortie complète

I DF sur gfr et sur pe : I(1) chacune

I MCO gfr sur pe

I MCO résidus :¬R H₀:b=0

I Donc¬R H₀: 1 b=1 : Résidus sont I(1)

I Donc gfr et pe PAS cointégrés

I

Contrôler pour une éventuelle tendance commune entre gfr et pe

I Même procédure, mais sélectionner “constante et tendance temp”

I Même conclusion

I

Donc, la relation en niveau est spurieuse

I celle en diﬀérences 1ºreflète une relation de court terme

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Ch. 4b. Stationnarité & cointégration Modèles à Correction d’Erreurs

Table des matières

Ch. 4b. Stationnarité & cointégration I(1)

Décider si une série chrono est I(1) Cointégration

Modèles à Correction d’Erreurs

Conclusions

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Définition

I

Si

yt

et

xt

sont I(1)

I On ne peut estimer qu’un modèle en diﬀérences 1º

I p.e. yt=a₀+a₁ yt 1+g₀ xt+g₁ xt 1+ut I

Mais, si de plus

yt

et

xt

sont cointégrées

I On peut introduire des variables I(0) supplémentaires

I Soitst =yt bxt qui est donc I(0)

I Par simplicité on supposeE(st) =0

I Dans le cas le plus simple, on inclut un lag dest

I y_t=a0+a1 y_t ₁+g0 x_t+g1 x_t ₁+dst 1+u_t

I Le termedst 1est appelé correction d’erreur

I Ce modèle est dit à correction d’erreur

(24)

Discussion

I

Un modèle à correction d’erreur permet d’étudier les dynamiques de court terme entre

yt

et

xt

I Il faut généralement estimerb

I MCO est consistant

I

Par simplicité, un modèle sans lags de

yt

ni de

xt

I yt=a₀+g₀ xt+dst 1+ut

I yt=a₀+g₀ xt+d(yt 1 bxt 1) +ut I

Alors il faut que

d<

0

I Siyt 1 bxt 1>0 alorsy a dépassé l’équilibre ent 1

I La cointégration impose qu’on y revienne

I Commed <0 la correction d’erreur tend à réduire yt

I Ce qui ramene à l’équilibre

I Même raisonnement lorsquey_t ₁ bx_t ₁<0

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Ch. 4b. Stationnarité & cointégration Conclusions

Table des matières

Ch. 4b. Stationnarité & cointégration I(1)

Décider si une série chrono est I(1) Cointégration

Modèles à Correction d’Erreurs

Conclusions

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Conclusions du Chapitre 4

I

Autocorrélation des erreurs : Séries chronologiques

I

On a vu test & correction pour AR(1)

I Peuvent être développés pour tester et corriger autocorrélations plus complexes

I

MCG et MCGF : corriger les biais induits par une forme d’autocorrélation

que l’on connait

I

Si autocorrélation mal évaluée : MCGF peut être pire que MCO

I Par ex. résidus saisonniers et on suppose AR(1)

I

On va plutôt essayer de mieux comprendre la série temporelle

I MCO est consistant si les séries sont

I Faiblement dépendantes I(0) :xt etx_t+hpresqu’indépendants lorsqueh!•

I Stationnaires : leurs distributions ne changent pas dans le temps

I Une série avec trend est régressée sur une tendance

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Conclusions

I

Quand les séries sont persistentes

I Racines unitaire, I(1)

I MCO produit des résultats spurieux

I Les diﬀérences 1ºsont souvent I(0)

I

Deux séries sont cointégrées lorsque

I Elles sont I(1)

I Mais une de leurs combinaisons linéaires est I(0)

I Alors, la régression de l’une sur l’autre indique une relation de long terme

I Le court terme est étudié par un modèle à correction d’erreur

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Devoir #4

Conception d’une feuille de tableur pour montrer l’eﬀet de

l’autocorrélation

sur les coeﬃcients estimés dans une régression linéaire MCO à une variable

x

et une constante.

1. Générer le terme d’erreur

e

; par exemple pour chaque observation

i, on génère d’aborde₁=n(0,

1) puis

ei =rei 1+µi

avec

|r|<

1 et

µ

un bruit blanc

2. Illustrer que les MCO sont inconsistants ou non lorsqu’il y a autocorrélation

3. Créer deux séries I(1) sur le même principe

3.1 Montrer que régresser l’une sur l’autre aboutit à des t-stat souvent très élevées, quelle que soit la taille de l’échantillon

Économétrie II