Formulaires: Espaces euclidiens
D´ efinition 1:
Soient (u1, u2,· · · , un) et (v1, v2,· · · , vn) deux ´el´ements de Rn que l’on appelle −→u et −→v . Le produit scalaire de −→u et −→v est le r´eel, not´e −→u · −→v ou (−→u|−→v) ou h−→u ,−→vi, d´efini par : −→u · −→v =u1×v1+u2×v2+· · ·+un×vn.Proposition 2:
Pour tout (λ, µ)∈R2 et tout (−→u ,−→v ,−→w)∈(Rn)3 on a :• −→u ·(λ−→v +µ−→w) = λ(−→u · −→v ) +µ(−→u · −→w) et (λ−→u +µ−→v) · −→w = λ(−→u · −→w) +µ(−→v · −→w) (bilin´earit´e).
• −→u · −→v =−→v · −→u (sym´etrie).
• −→u · −→u >0 et −→u · −→u = 0⇔ −→u =→− 0
(forme d´efinie positive).
Proposition 3:
Soient −→u et−→v deux ´el´ements de Rn.• ||−→u|| est un r´eel positif et, pour tout r´eel λ, on a :||λ−→u||=|λ| × ||−→u||.
• ||−→u||= 0⇐⇒ −→u =−→ 0.
• Identit´e remarquable : ||−→u||2− ||−→v ||2 = (−→u +−→v )·(−→u − −→v ) et :
||−→u +−→v||2 =||−→u||2+||−→v||2 + 2 −→u · −→v et ||−→u − −→v ||2 =||−→u||2+||−→v ||2−2−→u · −→v .
• Identit´e du parall´elogramme : ||−→u +−→v ||2+||−→u − −→v ||2 = 2×(||−→u||2+||−→v ||2).
• Identit´e de polarisation :−→u · −→v = 1
4×(||−→u +−→v||2 − ||−→u − −→v||2).
• In´egalit´e de Cauchy-Schwartz : |−→u .−→v | 6 ||−→u|| × ||−→v ||. De plus, si −→u et −→v sont colin´eaires, on a alors |−→u .−→v |=||−→u|| × ||−→v ||.
• In´egalit´e triangulaire ou in´egalit´e de Minkowski : ||−→u +−→v|| 6 ||−→u||+||−→v ||. De plus, si −→u et −→v sont colin´eaires et de mˆeme sens alors||−→u +−→v ||=||−→u||+||−→v ||.
* Remarque : Le vecteur nul est orthogonal `a tous les autres vecteurs et, Si −→u est orthogonal
`
a lui mˆeme alors −→u est nul.
Proposition 4:
Soit (−→ui)i∈J1,mK une famille de vecteurs de Rn tous non nuls.
• Si la famille (−→ui)i∈
J1,mK est une famille orthogonale alors c’est une famille libre.
• Si la famille (−→ui)i∈
J1,mK est une famille orthogonale et si m=n alors c’est une base de Rn.
Proposition 5:
Soient (−→e1,· · · ,−→en) une base orthonormale de Rn et −→u un ´el´ement de Rn. Les coordonn´ees de−→u dans cette base sont (−→u · −→e1,−→u · −→e2,· · · ,−→u · −→en), on a donc :−
→u = (−→u · −→e1)−→e1 + (−→u · −→e2)−→e2 +· · ·+ (−→u · −→en)−→en .
1
Proposition 6:
Soient (−→e1,· · · ,−→en) une base orthonormale de Rn et −→u et −→v deux´
el´ements deRn. On appelle (u1, u2,· · · , un) les coordonn´ees de−→u dans cette base et (v1, v2,· · ·, vn) celles de de −→v . On a :
−
→u · −→v =u1×v1+u2 ×v2+· · ·+un×vn
et en particulier, ||−→u||2 = (−→u · −→e1)2+· · ·+ (−→u · −→en)2. Matriciellement, on a :
−
→u · −→v =tU ×V et ||−→u||2 =tU ×U.avec U =
u1
... up
etV =
v1
... vp
Proposition 7:
Soient (−→e1,· · · ,−→en) une base orthonormale de Rn et (−→f1,· · · ,−→ fn) une famille de Rn. On note P la matrice de cette famille relativement `a la base (−→e1,· · · ,−→en). On a l’´equivalence suivante :
(−→
f1,· · · ,−→
fn) est une base orthonormale de Rn ⇐⇒ tP ×P =In.
Th´ eor` eme 8:
SoitAune matrice deMn(R). On suppose queAest sym´etrique. Il existe alors une matrice inversible P deMn(R) et une matrice diagonale ∆ de Mn(R) telles que :A=P ×∆×tP.
Soient f un endomorphisme de Rn et A sa matrice canoniquement associ´ee. Si A est sym´etrique alors il existe une base orthonormale de Rn dans laquelle la matrice de f est diagonale, il existe donc une base orthonormale de Rn constitu´ee uniquement de vecteurs propres de f.
D´ efinition 9:
Soient −→u et−→v deux ´el´ements deRn etA une partie de Rn.• La distance d(−→u ,−→v ) entre −→u et −→v est : d(−→u ,−→v) = ||−→u − −→v ||.
• La distance d(−→u , A) de−→u `a la partie A est le r´eel est d(−→u , A) = inf{d(−→u ,−→v ),−→v ∈A}.
Proposition 10:
Soient −→u un vecteur de Rn et F un sous-espace vectoriel de Rn. Il existe un unique vecteur −→v de F tel que −→u − −→v soit orthogonal `a tout vecteur de F, c’est le projet´e orthogonal de−→u sur F.Proposition 11:
Soit p la projection orthogonale sur F. On note (−→e1,· · · ,−e→m) une base orthonormale de F. On compl`ete cette famille en (−→e1,· · · ,−→en) une base orthonormale deRn.• p est une application lin´eaire.
• On a p◦p=p.
• Im (p) est F, Ker(p) est Vect (−−→em+1,· · · ,−→en).
• Pour tout vecteur −→u deRn, on a :p(−→u) = (−→u · −→e1)−→e1 + (−→u · −→e2)−→e2 +· · ·+ (−→u · −e→m)−e→m.
Proposition 12:
Soit −→u un vecteur de Rn. d(−→u , F) est ||−→u − p(−→u)|| avec p la projection orthogonale sur F.2
