2/ Montrer que l’équation de E estx2−2xy+ 2y2 = 1

LM 223 Examen 14 Juin 2011

Exercice n^o1 8−8

Pour touta ∈ R, soitQ_aune forme quadratique surR³définie par sa matriceM_a =













a 1 1 1 a 1 1 1 a











 dans la base canonique.

1/ Quelles sont les valeurs propres et sous-espaces propres de M₀? 2/ Donner la signature τa deQa en fonction dea.

Exercice n^o2 4−4−20

Dans R² muni de sa structure euclidienne stan- dard, soit C₀ le cercle unité et K₀ le carré de som- mets (±1,±1). Soit ψ : R² −→ R² l’endomor- phisme de matrice M = 1 1

0 1

!

dans la base canonique et E l’ellipseψ(C₀).

1/ Dessiner dans un repère orthonorméψ(K0) et donner l’allure générale de E. 2/ Montrer que l’équation de E estx²−2xy+ 2y² = 1.

3/ Calculer les axes (longueur et orientation) et préciser l’allure de E. Exercice n^o3 4−14−14

L’espaceR⁴ est muni de sa structure euclidienne standard.

On note N₁ = (1,1,1,1), N₂ = (4,0,−3,1), H₁ =N₁^⊥ et H₂ =N₂^⊥. 1/ Montrer que H1∩H2 est un plan P.

2/ Trouver une base orthonormée (e₁, e₂)de P^⊥, telle que e₁ etN₁ soient colinéaires.

Soit v = (6,5,−1,−4).

3/ Montrer que d(v, P) = 5 i.e. inf

kv−wk, w ∈ P = 5.