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17/10/2019 Feuille 3

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page 1/1 MVA101 - Analyse et Calcul Matriciel CNAM – Paris

17/10/2019 Feuille 3

Exercice 1. Méthode de Héron

On définit la suite (𝑢 𝑛 ) 𝑛≥0 par le réel 𝑢 0 vérifiant 𝑢 0 > 0 et par la relation : 𝑢 𝑛+1 = 1

2 (𝑢 𝑛 + 𝑎 𝑢 𝑛 ) On suppose que : 𝑎 > 0.

1) Montrer que :

𝑢 𝑛+1 2 − 𝑎 = (𝑢 𝑛 2 − 𝑎) 2 4𝑢 𝑛 2

2) Montrer que si 𝑛 ≥ 1 alors 𝑢 𝑛 ≥ √𝑎 , puis que la suite (𝑢 𝑛 ) 𝑛≥1 est décroissante.

3) En déduire que la suite (𝑢 𝑛 ) converge vers √𝑎 .

Exercice 2.

Indiquer la nature de la série de terme général : 𝑢 𝑛 = √𝑛 + 1 − √𝑛

Exercice 3.

Indiquer la nature des séries de terme général :

1) 𝑢 𝑛 = 𝑛+2 𝑛

2) 𝑢 𝑛 = 1

𝑛 𝑛 1

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