Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Feuille d’exercices n°17 Dénombrement
Exercice 155
Une compagnie aérienne dessert 6 villes : Lille, Rennes, Nice, Bordeaux, Nantes et Dijon. On appelle ligne aé- rienne desservie par cette compagnie tout trajet joignant deux de ces villes (Rennes-Nice et Nice-Rennes dési- gnent la même ligne).
1. Combien la compagnie met-elle de lignes en service ?
2. Quel serait le nombre de lignes si la compagnie desservait une ville supplémentaire ?
Exercice 156
On dispose de trois dés : un dé vert, un dé bleu et un dé rouge. On lance les trois dés.
1. Combien y a-t-il de résultats possibles ? 2. Combien de fois peut-on obtenir un 421 ?
Exercice 157
Soitn∈N∗.ncoureurs à pied participent au marathon d’Orléans. On suppose qu’il n’y a pas d’ex-æquo dans le classement final.
1. Donner le nombre de classements possibles.
2. Donner le nombre de podiums possibles.
Exercice 158
Un sac contient 26 jetons portant les lettres de l’alphabet. On tire successivement, sans remise, 6 lettres. Com- bien peut-on former de mots de 6 lettres :
1. qui soient différents ?
2. tels que les lettres de rang pair soient des voyelles et les autres des consonnes ? 3. tels que les lettres de rang pair soient des voyelles ?
Exercice 159
Dans une salle se trouvent 8 garçons et 8 filles.
1. De combien de manières peut-on les répartir en couples fille/garçon ?
2. De combien de manières peut-on les disposer en file indienne en alternant les sexes ?
Exercice 160
1. Combien y a-t-il de pièces dans un jeu de dominos ?
2. On tire successivement 2 dominos. Combien y a-t-il de tirages de deux dominos ayant un numéro en commun ?
Exercice 161
On dispose d’un jeu de 32 cartes. Combien peut-on former de mains de 5 cartes comportant : 1. exactement un as ?
2. au moins un as ? 3. une couleur unique ?
4. l’as de trèfle et 2 « pique » exactement ? 5. un as exactement et 2 « pique » exactement ?
1
Exercice 162
SoitEun ensemble fini. Démontrer que pour toutn∈N≥2, pour tout (A1,A2, . . . ,An)∈P(E)n:
Card Ãn
[
i=1
Ai
!
=
n
X
k=1
Ã
(−1)k+1 X
1≤i1<i2<...<ik≤n
Card à k
\
j=1
Aij
!!
.
Exercice 163
SoitEun ensemble fini.
1. Démontrer que l’ensemble
F:={(A,B)∈P(E)2|A∪B=EetA∩B= ;}
est fini et calculer son cardinal.
2. Démontrer que l’ensemble
G:={(A,B)∈P(E)2|A⊂B}
est fini et calculer son cardinal.
Exercice 164 Soitn∈N∗.
1. Déterminer le nombre de couples (x,y)∈ 1,n2tels quex<y.
2. Déterminer le nombre de couples (x,y)∈ 1,n2tels quex≤y.
3. Déterminer le nombre de triplets (x,y,z)∈ 1,n3tels quex<y<z.
Exercice 165
1. Soitn∈N∗. Calculer la somme
n
X
k=0
k Ãn
k
! . 2. Soitn∈N≥2.
(a) Soitk∈ 2,n. Montrer quek(k−1) Ãn
k
!
=n(n−1) Ãn−2
k−2
! .
(b) En déduire la valeur de la somme
n
X
k=0
k2 Ãn
k
! .
Exercice 166
Soientaetbdes entiers naturels non nuls. Soitn∈ 0,a+b.
1. SoitEl’ensemble des parties de0,a+bànéléments. Calculer Card(E).
2. Soitk∈ 0,n. SoitEkl’ensemble des parties de0,a+bànéléments, dontkéléments appartiennent à0,a. Calculer Card (Ek).
3. En déduire que :
n
X
k=0
Ãa k
! Ã b n−k
!
= Ãa+b
n
!
(Formule de Vandermonde).
4. Que vaut
n
X
k=0
Ãn k
!2
?
Exercice 167
Soitn∈N∗et soitp∈ 0,n−1. Déduire de la relation de Pascal pour les coefficients binomiaux que :
n
X
k=p
Ãk p
!
= Ãn+1
p+1
!
(Formule des colonnes).
2
