ECE1-B 2015-2016
Feuille d’exercices n°17 : Séries
Nature d’une série Exercice 1. (☀☀)
Étudier la nature des séries suivantes, sans chercher à calculer leur somme.
a. P 1
n2−n
b. P 1
en+e−n
c. P 1
n4−3n
d. P ln
n2+n4 2n4
e. P
r n+ 2 n3−5n+ 1
f. P lnn 2n
g. P 1
(3 + (−1)n)n
h. P
5n+ 1 6n+ 2
n
Calcul de sommes par télescopage Exercice 2. (☆) (COURS)
a. Montrer que pourk >0 : 0 6 ln(k+ 1)−lnk 6 1 k. b. En déduire une minoration de
n
P
k=1
1
k puis la nature de P 1 k.
Exercice 3. (☀)
On considère la série de terme général un= 1
(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3). a. Quelle est la nature de cette série ?
b. Calculer sa somme.
on pourra mettre un sous la forme un= a
n+ 1+ b
n+ 2+ c n+ 3
Exercice 4. (☀)
Calculer la somme de la sérieP 1
4n2−1 (cf exercice précédent).
Exercice 5. (☀)
On considère la suite(an)est définie par :
• a0 >0
• ∀n∈N, an+1 = e−an an
a. Montrer que : ∀n∈N, an>0.
b. Quelle est la nature de la suite (an)?
c. Montrer que la suite (an) est convergente et déterminer sa limite.
d. On pose bn= ln(an). Calculerbn+1−bn en fonction dean. e. En déduire la nature de P
an. Exercice 6. (☀☀)
On considère la suite (un) définie par :
• u0 ∈[0,1]
• ∀n∈N, un+1 = un−u2n a. Montrer que : ∀n∈N, un∈[0,1].
b. Quelle est la nature de la suite (un)?
c. Montrer que la suite (un) converge et donner sa limite.
d. Étudier la nature de la série P
u2n et donner sa somme, si elle existe.
e. Prouver que la série P ln
un+1 un
est divergente.
f. En déduire la nature de P un.
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Calcul de sommes par linéarité Exercice 7. (☀)
On admet que
+∞
P
k=1
1 k2 = π2
6 . Calculer
+∞
P
k=0
1 (2k+ 1)2. Calcul de sommes à vue (sommes usuelles) Exercice 8. (☀)
Étudier la nature et calculer la somme (si elle existe) des séries suivantes (on pourra discuter selon la valeur dex, dans les questions où un xintervient).
a. P 7
22n−5
b. P ln
n+ 1 n
c. P n 2n
d. P n2xn
e. P n
32n+1
f. P (−1)nn2 3n
g. P 4n2+ 5n 5n
h. P n−1 3n
i. P 2n2 n3−1
j. P 3(−2)n n!
k. P ln
(n+ 1)2 n(n+ 2)
l. P n+ 7 2nn!
m. P n(n−1)xn n!
n. P n28n n!
Séries à termes de signe constant Exercice 9. (☆)(Séries à termes négatifs)
Soit(un)une suite à termes négatifs : ∀n∈N, un 6 0.
On considère la série P
un et(Sn) la suite des sommes partielles associées.
a. Déterminer la monotonie de(Sn).
On considère maintenant une suite(vn) telle que : ∀n∈N, vn 6 un 6 0.
b. Montrer que : P
vn converge ⇒ P
un converge.
c. Montrer que : P
un diverge ⇒ P
vn diverge.
Exercice 10. (☀)
a. Soit x∈[0,1]. Montrer que : 0 6 x2 6 x.
b. On considère (xn) une suite de réels positifs tel que : xn −→
n→+∞0.
Montrer que : P
xn converge ⇒ P
x2n converge.
Reste d’une série Exercice 11. (☀) On considère P
un une série convergente.
On appelle reste d’ordre nde la sérieP
unet on note Rn la quantité :
Rn =
+∞
P
k=n+1
uk
a. Cette quantité est-elle bien définie ?
b. Écrire la quantitéRn en fonction deS, somme de la sérieP
unet deSn, somme partielle d’ordre nde la sérieP
un. c. En déduire que la suite (Rn)n∈N converge vers0.
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Sujet de concours
Exercice 12. (☀☀) (d’après EDHEC 1998) On considère la fonction f définie sur Rpar :
f(x) = ex+e−x 2 On appelle (un) la suite définie par :
( • u0 = 1
• n∈N, un+1 = un
f(un)
a. Étudier la fonction f et dresser son tableau de variations.
b. Montrer que (un) est strictement positive et strictement décroissante.
c. En déduire que (un) est convergente et donner sa limite.
On pose pour tout entier n:
vn= un+1
un
−1
d. Montrer que vn est strictement négatif.
e. Montrer que la suite (vn) est convergente de limite nulle.
f. Simplifier
n−1
P
k=0
ln(1 +vk).
g. En déduire la nature de la sérieP vn. Dans la suite, on admettra que :
∀x∈[0,1], −x2 6 2
ex+e−x −1 6 −x2 4 6 0 h. En déduire la nature de la sérieP
u2n.
i. En utilisant le résultat de l’exercice 10, déterminer la nature deP un.
Critère des séries alternées Exercice 13. (☀☀)
Soit(un)n∈N une suite telle que :
• ∀n∈N, un>0,
• (un) est décroissante,
• un −→
n→+∞0.
Le but de cet exercice est de montrer que P
(−1)nun est convergente.
Pour tout n∈N, on note Sn=
n
P
k=0
(−1)k uk.
a. Montrer que les suites (S2n) et(S2n+1) sont adjacentes.
b. En déduire que la sérieP
(−1)nunest convergente. On noteSsa somme.
c. Démontrer que : ∀n∈N, S2n+1 6 S 6 S2n. d. Montrer que S vérifie : ∀n∈N, |Sn−S| 6 un+1.
(on pourra traiter séparément le cas n pair et le cas nimpair) Application :
d. Quelle est la nature de la série P
n>2
(−1)n lnn ? Donner un majorant de son reste d’indice n.
e. La série précédente est-elle absolument convergente ?
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Comparaison séries intégrales Exercice 14. (☀☀)
Soitα >1. On considère la fonction f :t7→ 1 tα. a. Montrer que la fonction f est décroissante.
b. Montrer que : ∀k>1, f(k+ 1) 6 Z k+1
k
f(t) dt 6 f(k).
Faire apparaître sur une même représentation graphique ces quantités.
c. Montrer que, pour tout n>1, on a :
n+1
P
k=2
f(k) 6 Z n+1
1
f(t) dt 6
n
P
k=1
f(k)
d. En déduire que la série P 1
nα et l’intégrale impropre Z +∞
1
f(t) dtsont de même nature.
e. Calculer Z n+1
1
f(t) dt.
En déduire la nature de Z +∞
1
f(t) dt et deP 1 nα. f. En conclure que : P 1
nα converge ⇔ α > 1.
Sommation par parties Exercice 15. (☀☀)
Soient(un) et(vn) deux suites réelles.
On note, pour toutn∈N: Sn =
n
P
k=0
uk.
a. Soit n∈N. Exprimerun en fonction de termes de la suite(Sn).
(distinguer le cas n= 0 et n>1) b. Montrer que, pour toutn>1:
n
P
k=0
ukvk = Snvn−
n−1
P
k=0
(Sn×(vk+1−vk)).
Commenter alors le titre de cet exercice.
c. Démontrer la propriété suivante.
• (Sn) bornée
• ∀n∈N, vn>0
• (vn)décroissante etvn −→
n→+∞0
⇒ P
unvn est convergente
d. Justifier la convergence des séries :P (−1)n+1 n 3n , P
n>1
(−1)n n , P
n>1
(−1)n lnn .
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