Exercices sur les séries

Exercices sur les séries

1 Soit

 

un n_1 une suite réelle décroissante. Pour tout n^*, on pose vnn u



nun_1



.

1°) Soit N^*. On pose

1 N

N n

n

U u







^et

^

¹

^

1 N

N n n

n

V n u u_







 ^.

Démontrer que V_N U_NNu_N1.

2°) Démontrer que si la série u_n

 

 

 





 converge, alors la série v_n

 

 

 





 converge et que, dans ce cas, leurs sommes sont égales.

2 Pour tout entier naturel n, on pose 1

n 2p

u  si n2p avec p et 1₁

n 2p

u  _ si n2p1 avec p. Démontrer que la série

0 n n

u

 

 

 









converge et calculer sa somme.

3 Pour tout entier naturel n non nul, on pose ₂

1

1 1

n

n k

P k



 

   

 



^.

Démontrer que

 

Pn converge vers une limite strictement positive.

4 Soit f une application injective de ^* dans ^*. Déterminer la nature de la série

 

2 1 n

f n n

 

 

 





_ ^.

Indication : Démontrer qu’il existe un réel a strictement positif tel que pour tout entier naturel n1 on ait :

 

2

2

1 n

k n

f k an



  ^{ .}

5 Déterminer la nature de la série de terme général u_na^{E ln n} où a est un réel strictement positif fixé.

6 Pour tout entier naturel n1, on pose ^un1_n^_^E



^n1

  

^{E n }_^.

Démontrer que la série

1 n n

u

 

 

 





_  converge et calculer sa somme.

7 1°) Étudier la convergence de la suite de terme général

1

1 1 2

n

n k

k

p



 

   

 



^.

2°) Soit

 

un une suite définie sur ^* à termes positifs telle que  n ^*

2

1 1

1

n n

k k

k n k

u u

n

  



^



^.

Démontrer que  u_n

 





 converge.

Indication : Majorer

2

1 p

p k

k

u



 



^{pour p*.}

8 1°) Déterminer un équivalent de

2

ln

n

n k

S k

k







^.

2°) Démontrer que

 

²

   

² 2 2

ln ln ln

ln ln 1 2 n n o n

n n

n n n

 

      

 .

3°) En utilisant la suite de terme général ^unln_n^n1₂

 

^lnn



^2



^ln



^n1

 

²



, démontrer qu’il existe un réel c

tel que

 

 

ln 2

2 o 1

n

S  n  c .

Solutions

1

2°)

On doit dire que la suite

 

un est à termes positifs :

 la suite

 

un est décroissante ;

 elle tend vers 0 puisque la série u_n

 

 

 





 converge.

On obtient alors aisément que  N ^* V_NU_N. Comme la série u_n

 

 

 





 converge, on en déduit que la suite



VN



converge.

On pose alors

0 n n

u L

 





 ^et

0 n '

n

v L

 





 ^.

On a alors NU_N1_{N  } l L'L. Par suite, nu_nl.

Si l0^{, alors} un  l ce qui est impossible car la série u_n

 

 

 





 serait convergente.

Donc

l

0. 2

 n

E E 1

2 2

1

0 0 0

1 1

2 2

n n

n

k k k

k k k

u

   

   

   



  

 

  

Donc

0

2 1 3

n

k n

k

u _{  }



  



^.

4

Version originale de l’exercice :

Soit f une application injective de ^* dans ^*. Pour tout entier naturel n1, on pose

 

2 1 n

n k

S f k k







^.

Déterminer le sens de variation de la suite

 

Sn .

Déterminer la limite de

 

Sn .

Indication : On pourra considérer S_2nS_n puis démontrer que

 

2

2

1 n

k n

f k an



  ^ pour un réel a à préciser.

5 Déterminer la nature de la série de terme général u_na^{E lnn } où a est un réel strictement positif fixé.

 

lnn 1 E lnn n 1^er cas : a1



^lnn1



^{lnalnaE ln}



ⁿ



^lnnlna

ln 1 ln ln E ln  ln ln

e ^{n  a}e ^{a n} e ^{n a}

lnn1 ln a lnaE ln n lnnlna

e ^{ } e ^ e ^

ln

ln a

a n

n u n

a  

lna0 donc n^lna  _{n  }

La série  u_n

 





 diverge grossièrement.

2^e cas : a1

Dans ce cas,  n ^* u_n1 donc la série  u_n

 





 ^diverge.

3^e cas : 0a1 Dans ce cas,  n ^*

ln

ln a

a n

n u n

a   soit

ln ln

1 1

a un a

an^  n^ . La série 1_ln

n^ a

 

 





 converge si et seulement si lna1 c’est-à-dire 1 ae.

Bilan :

si 1

0ae, alors la série  u_n

 





 converge.

Si 1

ae, alors la série  u_n

 





 ^diverge.

7

1°) Étudier la convergence de la suite de terme général

1

1 1 2

n

n k

k

p



 

   

 



^.

2°)

Soit m un entier naturel supérieur ou égal à 1.

On a :

1 1

1

2 2 2

1 1 2 1

m m m

m

k k k

k k k

u u u

 

   

 

  

2 2 1

1

1 1

1 1 2

m m

k m k

k k

u u





 

 

  

 



^



^{soit m}^^{121m1}^m1

2 1 1

1 1 2

 

   

 



3 2 2

1 1 2

 

   

 



1 1

1 1

n 2n n

 

   

 



Par multiplication membre à membre, et simplification (suite à termes positifs), on a : _np_n1₁L ₁. La suite

 

n est croissante majorée donc elle converge.

La suite

1 n

k k

u



 

 

 





 est croissante et admet une suite extraite convergente. Donc elle converge elle aussi.