Exercices sur les séries entières

(1)

Séries entières

Calcul de rayon de convergence concret

Exercice 1 [ 00971 ][correction]

Déterminer le rayon de convergence des séries entières : a) X

n>0

n²+ 1

3ⁿ zⁿ b)X

n>0

e⁻ⁿ²zⁿ c) X

n>1

lnn

n² z²ⁿ d)X

n>0

nⁿ n!z³ⁿ

Déterminer le rayon de convergence de : a) X

n>0

n!zⁿ b) X

n>0

2n n

!

zⁿ c) X

n>0

(3n)!

(n!)³zⁿ d) X

n>0

n+1√

n+ 1−√ⁿ n

zⁿ

Déterminer le rayon de convergence des séries entières : a)X

n>0

zⁿ² b) X

n>0

sin(n)zⁿ c) X

n>1

sin(n) n² zⁿ

a) Déterminer les rayons de convergence des séries entières Xln

n+ 1 n

xⁿ et X

sin(e⁻ⁿ)xⁿ

b) Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de convergence ?

Déterminer le rayon de convergence de la série entièrePanxⁿ où (an) est la suite déterminée par

a0=α,a1=β et∀n∈N, an+2 = 2an+1−an

avec (α, β)∈R².

Quel est le rayon de convergence de Xπ

√n²+2nx²ⁿ?

On notean lan-ième décimale de√ 3.

Quel est l’intervalle de définition de

+∞

P

n=1

anxⁿ?

Soitα∈R. Quel est le rayon de convergence de X

n>1

cos(nα) n xⁿ?

Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : X

n>1

d(n)zⁿ et X

n>1

s(n)zⁿ

oùd(n) ets(n) désignent respectivement le nombre de diviseurs supérieurs à 1 de l’entiernet la somme de ceux-ci.

Soitαun réel irrationnel fixé. On noteRαle rayon de convergence de la série entière

X

n>1

xⁿ sin(nπα) a) Démontrer queRα61.

b) On considère la suite (un)n>1 définie par

u₁= 2 et∀n>1, u_n+1= (u_n)^uⁿ Démontrer que pour tout entiern>1

u_n

un+1 6 1 (n+ 1)ⁿ

(2)

En déduire que la série de terme général 1/un converge.

Dans la suite, on pose

α=

+∞

X

n=1

1 un

et on admet queαest irrationnel.

c) Démontrer qu’il existe une constanteCstrictement positive telle que, pour tout entiern>1 :

πu_n

+∞

X

k=n+1

1

uk 6 C u^unⁿ⁻¹

d) Démontrer queRα= 0.

e) Question subsidiaire : démontrer queαest effectivement irrationnel.

Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Calcul de rayon de convergence abstrait

Soient P

n>0

a_nzⁿ une série entière de rayon de convergenceRet z₀∈C. On suppose que P

n>0

anz₀ⁿ est semi-convergente. DéterminerR.

On suppose que pⁿ

|an| →`∈R⁺∪ {+∞}.

Déterminer le rayon de convergence deP anzⁿ.

Montrer que pour toutα∈Rles séries entières P

anzⁿ etP

n^αanzⁿ ont même rayon de convergence.

SoitPanzⁿ une série entière de rayon de convergenceR.

Déterminer le rayon de convergence de la série entièreP anz²ⁿ.

SoitP

anzⁿ une série entière de rayon de convergenceR.

Déterminer le rayon de convergence de Xa²_nzⁿ

SoitP

anzⁿ une série entière de rayon de convergenceR >0.

Déterminer le rayon de convergence de Xan

n!zⁿ

Soit une série entièrePanzⁿ de rayon de convergence non nul.

a) Montrer qu’il existe un réelr >0 tel que|an|61/rⁿ à partir d’un certain rang.

b) Quel est le rayon de convergence de la série entièrePan

n!zⁿ? c) On noteSn=

n

P

k=0

ak. Quel est le rayon de convergence de la série entière PS_n

n!zⁿ?

Soit (a_n) une suite de réels tous non nuls.

Quelle relation lie les rayons de convergence des séries entières ci-dessous Xanzⁿ et X 1

an

zⁿ

SoitP

anzⁿ une série entière de rayon de convergenceR. On pose bn= an

1 +|an| et on noteR⁰ le rayon de convergence deP

bnzⁿ. a) Montrer queR⁰>max(1, R)

b) Etablir que siR⁰ >1 alors R⁰=R.

c) Exprimer alorsR⁰ en fonction deR.

SoientPa_nzⁿ et Pb_nzⁿ deux séries entières de rayon de convergenceR_a etR_b. On suppose que pour toutn∈N,a_nb_n= 0.

Montrer que le rayon de convergence deP(a_n+b_n)zⁿ estR= min(R_a, R_b)

(3)

Domaine de convergence

Pourn∈N^?, on pose

I_n = Z +∞

1

e^−tⁿdt a) Déterminer la limite de (I_n).

b) Donner un équivalent de (I_n).

c) Déterminer le rayon de convergenceR de la série entière de terme généralI_nxⁿ. Etudier sa convergence enR et en−R.

Soit

I(p, q) = Z 1

0

t^p(1−t)^qdt a) CalculerI(p, q).

b) La série de terme généralun =I(n, n) est-elle convergente ou divergente ? c) Donner le domaine de définition dePunxⁿ.

Etude de la somme d’une série entière concrète

Soit (fn) la suite des fonctions donnée par

∀n>2,∀x∈R, fn(x) = (−1)ⁿln(n)xⁿ a) Déterminer le rayon de convergence de la série entièrePf_n. On noteS sa somme.

b) Montrer que

∀x∈]−1,1[, S(x) = 1 1 +x

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ln

1 + 1 n

xⁿ⁺¹

!

c) En déduire queS admet une limite en 1⁻ et que lim

x→1⁻S(x) = 1 2

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ln

1 + 1 n

!

d) Calculer la limite ci-dessus en utilisant la formule de Wallis

n→+∞lim

1×3× · · · ×(2n−1) 2×4× · · · ×(2n)

√n= 1

√π

a) Etudier la convergence et préciser la limite éventuelle de (an) définie par an+1= ln(1 +an) et a0>0

b) Rayon de convergence dePa_nxⁿ

c) Etudier la convergence de (Pa_nxⁿ) sur le bord de l’intervalle de convergence (on pourra étudier la limite de 1/a_n+1−1/a_n et utiliser le théorème de Cesaro)

Pourxréel, on pose

f(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ

√n

a) Déterminer le rayon de convergenceR de la série entière définissantf. b) Etudier la convergence de la série entière en 1 et en−1.

c) Etablir la continuité def en−1.

d) Déterminer la limite def en 1.

a) Donner l’intervalle de définitionIde la fonction squi au réel xassocie s(x) =

+∞

X

n=1

xⁿ

√n

b) Quel est le signe des⁰ surI∩R⁺?

Quelle est la limite desen l’extrémité droite deI∩R⁺?

c) Ecrire (1−x)s⁰(x) sous forme d’une série et en déduire le signe des⁰ surI.

d) Etudier la convexité def définie sur R⁺ par f(x) = √

x+ 1−√ x

x

En déduire que la fonctionsest convexe.

(4)

Soit

f :x7→

+∞

X

n=1

sin 1

√n

xⁿ

a) Déterminer le rayon de convergenceR de la série entière définissantf. b) Etudier la convergence en−R et enR.

c) Déterminer la limite def(x) quandx→1⁻. d) Montrer que quandx→1⁻

(1−x)f(x)→0

On pose

∀z∈C, c(z) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n)! z²ⁿ et s(z) =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n+ 1)!z²ⁿ⁺¹ Montrer que

∀z∈C, c(z)²+s(z)²= 1

Etude de la somme d’une série entière abstraite

SoitPa_nzⁿ une série entière de rayon de convergenceR >0 et de sommef. a) Exprimer

+∞

P

n=0

a2nz²ⁿ en fonction def pour|z|< R.

b) Même question avec

+∞

P

n=0

a3nz³ⁿ.

Soit (an) une suite non nulle etT périodique (avecT ∈N^?).

a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière P

n>0

anxⁿ. b) Simplifier

nT−1

P

k=0

a_kx^k. En déduire que

+∞

P

n=0

a_nxⁿ est, pour toutx∈]−1,1[, une fraction rationnelle enx.

Soitf(x) =

+∞

P

n=0

a_nxⁿ la somme d’une série entière de rayon de convergence 1.

On pose pour toutn∈N S_n=

n

X

k=0

a_k etg(x) =

+∞

X

n=0

S_nxⁿ

a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissantg.

b) Pour toutx∈]−1,1[, exprimerg(x) en fonction def(x).

Soit (a_n) une suite de réels strictement positifs. On poseS_n=

n

P

k=0

a_k et on suppose Sn→+∞et an/Sn→0

Déterminer le rayon de convergence des séries entières P

n>0

anxⁿ et P

n>0

Snxⁿ puis former une relation entre leur somme.

SoitS(x) =

+∞

P

n=0

a_nxⁿ de rayon de convergenceR >0.

On suppose qu’il existeα >0 tel que sur [0, α] on aitS(x) = 0.

Montrer queS= 0.

Soit une série entière

∞

P

n=0

anzⁿ de rayon de convergenceR >0 et de sommef(z).

a) Montrer que pour 0< r < R,

∞

X

n=0

|a_n|²r²ⁿ = 1 2π

Z 2π 0

f(re^iθ)

2dθ b) Que dire def si|f| admet un maximum local en 0 ?

c) On suppose maintenant queR= +∞et qu’il existeP ∈RN[X] tel que

|f(z)|6P(|z|) pour toutz complexe. Montrer quef ∈CN[X].

SoientB={z∈C,|z|61} etf une fonction continue deB dansCdont la restriction àB^◦ est somme d’une série entière. Montrer qu’il existe une suite (Pk)k>0 de polynôme convergeant uniformément versf surB.

(5)

Comportement en une extrémité de l’intervalle de convergence

SoitIl’ensemble des réelsxtels que la série entière

+∞

X

n=1

ln(n)xⁿ

converge. On notef(x) la somme de cette série entière.

a) DéterminerI.

b) On pose

a1=−1 etan =−ln

1− 1 n

− 1

n pourn>2 Déterminer le domaine de définition de

g:x7→

+∞

X

n=1

a_nxⁿ

c) Trouver une relation entref et g.

d) Donner un équivalent def(x) quandx→1⁻. e) Donner la limite def(x) quandx→ −1⁺

Donner un équivalent simple quandx→1⁻ de f(x) =

+∞

X

n=0

xⁿ²

a) Soit (an) une suite complexe. On suppose que la série entièreP

anxⁿ a pour rayon de convergenceR. Déterminer les rayons de convergence de

X(anlnn)xⁿ et X an

n

X

k=1

1 k

! xⁿ

b) Donner un équivalent simple de

+∞

P

n=1

ln(n)xⁿ quand x→1⁻.

Domaine de définition et étude aux bornes de

+∞

X

n=1

ln

1 + 1 n

xⁿ

a) Donner l’ensemble de définition de f(x) =

+∞

X

n=1

ln

1 + 1 n

xⁿ

b) Calculerf(−1) etR1 0

(−1)^E(1/x)

x dxoùE est la fonction partie entière.

c) Donner un équivalent def enx= 1

On pose

a_n= Z +∞

n

tht t² dt pourn∈N^?.

a) Etudier la convergence de la série

+∞

P

n=1

a_nxⁿentière pourxréel.

On notef(x) la somme de cette série entière.

b) La fonctionf est-elle continue en−1 ? c) Donner un équivalent simple def en 1⁻.

a) Déterminer le rayon de convergenceR de la série entièrePa_nxⁿ où la suite (a_n) est définie par

an+1= ln(1 +an) et a0>0 b) Etudier la convergence deP

anxⁿ enx=−R.

c) Déterminer la limite de la suite (un) de terme général u_n= 1

an+1

− 1 an

d) En déduire un équivalent simple de (an).

(6)

e) Donner un équivalent de

+∞

X

n=0

anxⁿ

quandx→R⁻.

Soit (un) une suite réelle bornée et pourn∈N Sn =

n

X

k=0

uk

a) Quels sont les rayons de convergence des séries entières Xu_n

n!xⁿ et XS_n n!xⁿ?

b) On noteuetS leurs sommes respectives. Former une relation entreS, S⁰ etu⁰. c) On suppose que la suite (Sn) converge vers un réel`. Déterminer

x→+∞lim e^−xS(x)

d) Dans cette question, on choisitun= (−1)ⁿ. Déterminer

x→+∞lim e^−xS(x)

SoitP

anxⁿ une série entière de rayon de convergenceR= 1.

Pourx∈]−1,1[, on définit

S(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ

On suppose que la suite (an) est à termes réels positifs et que la fonctionS est bornée sur [0,1[

a) Montrer quePa_n est une série convergente.

b) Montrer que

lim

x→1⁻ +∞

X

n=0

a_nxⁿ

!

=

+∞

X

n=0

a_n

SoitP

anxⁿ une série entière de rayon de convergenceR= 1 avec

∀n∈N, a_n>0 Pourx∈]−1,1[, on pose

S(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ

et on suppose que la fonctionS est bornée.

a) Montrer que la sérieP

an est convergente.

b) Montrer que

lim

x→1⁻S(x) =

+∞

X

n=0

an

SoitP

anxⁿ une série entière de rayon de convergenceR= 1 et de somme x∈]−1,1[7→f(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ

On suppose que la série numériqueP

an converge, montrer que la fonctionf est définie et continue en 1.

Soitf la fonction somme dans le domaine réel d’une série entière Panxⁿ de rayon de convergenceR= 1.

On suppose l’existence d’un réel

`= lim

x→1⁻f(x) a) Peut-on affirmer que la série numériqueP

an converge et que sa somme vaut`? b) Que dire si l’on sait de plusan =o(1/n) ? [Théorème de Tauber]

SoientPa_nxⁿ et Pb_nxⁿ deux séries entières de sommes respectivesf(x) etg(x) avec pour toutn∈N, b_n>0.

On suppose que le rayon de convergence dePb_nxⁿ estRet que cette série diverge enR.

a) On suppose quean=o(bn). Montrer quef(x) =o(g(x)) quandx→R⁻. b) On suppose quean∼bn. Que dire def(x) etg(x) au voisinage deR?

(7)

Soit (pn) une suite strictement croissante d’entiers naturels telle quen=o(pn).

On pose

f(x) =

+∞

X

n=0

x^pⁿ

a) Donner le rayon de convergence de la série entièreP

x^pⁿ et étudier la limite de (1−x)f(x) quandxtend vers 1 par valeurs inférieures.

b) Icipn=n^q avecq∈Net q>2. Donner un équivalent simple def en 1.

Soitα >−1.

a) Donner le rayon de convergenceRde f_α(x) =

+∞

X

n=1

n^αxⁿ

On désire trouver un équivalent def_αlorsquex→R⁻. b) On suppose queαest un entierp.

Calculerf₀,f₁. Donner avec un logiciel de calcul formel l’expression def₂, . . . , f₅. Trouver les équivalents recherchés.

Montrer qu’il existeQp∈R[X] tel que

fp(x) = Qp(x) (1−x)^p+1 (on calculeraf_p⁰). En déduire l’équivalent recherché.

c) On supposeα >−1 quelconque.

Donner le développement en série entière de 1 (1−x)^1+α On noterabn ses coefficients.

Montrer qu’il existeA(α)>0 tel quen^α∼A(α)bn. On étudiera la nature de la série de terme général

ln(n+ 1)^α

b_n+1 −lnn^α b_n En déduire quefα(x) est équivalente à

A(α) (1−x)^1+α quandxtend versR⁻.

On pose

f(x) =

+∞

X

n=1

(lnn)xⁿ et g(x) =

+∞

X

n=2

ln

1− 1 n

xⁿ

a) Déterminer les rayons de convergence def et deg.

b) Montrer queg est définie et continue sur [−1,1[.

c) Trouver une relation entre (1−x)f(x) et g(x).

d) Montrer quef est continue sur [−1,1[ et trouver des équivalents def etg en 1.

Fonctions développables en série entière

Soienta >0 etf : [−a, a]→Rde classeC^∞ pour laquelle il existeA, K >0 vérifiant pour toutn∈N

f⁽ⁿ⁾

∞6Kn!Aⁿ

Montrer quef est développable en série entière sur un intervalle ouvert centré en 0.

Soitf : ]−R, R[→R(avecR >0) de classeC^∞ vérifiant

∀n∈N,∀x∈[0, R[, f⁽ⁿ⁾(x)>0 Montrer la convergence de la série

X 1

n!f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ pour toutx∈]−R, R[.

Soienta >0 etf ∈ C^∞(]−a, a[,R) telle que

∀n∈N,∀x∈]−a, a[, f⁽ⁿ⁾(x)>0 a) Si|x|< r < a, montrer

f(x)−

n

X

k=0

f^(k)(0) k! x^k

6 x r

n+1

f(r) b) Montrer quef est développable en série entière sur ]−a, a[.

c) Montrer quex7→tanxest développable en série entière sur ]−π/2, π/2[.

(8)

Soienta >0 etf : ]−a, a[→Rde classeC^∞ telle quef⁽ⁿ⁾>0 pour toutn∈N. Montrer quef est égale à la somme de sa série de Taylor en 0.

[Fonction absolument monotone]

Soitf :R→Rde classeC^∞ telle quef⁽ⁿ⁾>0 pour tout n∈N. Montrer quef est développable en série entière en 0.

Montrer que la fonction

f :x7→p

x²+x+ 1

admet un développement en série entière de rayon de convergenceR>1.

Etablir que la fonction

x7→ 1 1−shx

est développable en série entière et préciser le rayon de convergence.

Pourx∈R, on pose

f(x) =

+∞

X

n=0

cos(2ⁿx) n!

a) Montrer que la fonctionf est définie et de classeC^∞ surR.

b) Observer que le rayon de convergence de sa série de Taylor en 0 est nul.

Etant donné une suite complexe (a_n)_n∈_N? de carré sommable, on pose f(t) =

∞

X

n=1

a_n n−t

où la variablet est réelle.

a) Préciser le domaine de définition def.

b) Montrer quef est développable en série entière autour de 0.

c) Montrer que sif est identiquement nulle sur [−1/2,1/2], la suite (an)_n∈_N? est identiquement nulle.

Soita∈]−1,1[. On pose

f(x) =

+∞

X

n=0

sin(aⁿx) a) Montrer quef est définie surR.

b) Montrer quef est de classeC^∞et que pour toutk∈N^? et toutx∈R,

f^(k)(x)

6 1

1− |a|

c) Montrer quef est développable en série entière.

Calcul de développement en série entières

Former le développement en série entière en 0 de la fonction x7→ln(x²+x+ 1)

Soienta, b >0 aveca6=b.

Calculerc_n, len-ième coefficient du développement en série entière en 0 de

x7→ 1

(1−ax)(1−bx) Exprimer

+∞

X

n=0

c²_nxⁿ

Pourt∈]0, π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction x7→ 1−x²

1−2xcost+x²

(9)

Former le développement en série entière de 1−zcost 1−2zcost+z² pour|z|<1 ett∈]0, π[.

Former le développement en série entière de f :x7→

r1 +x 1−x

[Développement en série entière de la fonction tangente]

Soit (an)_n∈Nla suite réelle déterminée par les conditions a0= 1 et∀n>1, an+

n

X

k=0

a_n−k k! = 0 a) Calculera₁, a₂, a₃.

b) Montrer que le rayon de convergenceRde la série entièrePanzⁿ est au moins égal à 1.

c) Etablir que pour tout|z|< R,

+∞

X

n=0

anzⁿ= 2 e^z+ 1 d) En déduire que pour toutx∈]−R/2, R/2[,

tanx=

+∞

X

p=0

(−1)^p+1a2p+12^2p+1x^2p+1 e) Etablir

R=π

Réaliser le développement en série entière en 0 dex7→R+∞

1 dt

t²+x² et reconnaître cette fonction.

a) Montrer, sit∈R:

e^it−

n

X

k=0

(it)^k k!

6 |t|ⁿ⁺¹ (n+ 1)!

b) Soitf ∈ C⁰(R,R) telle que R+∞

−∞ |tⁿ| |f(t)|dt

n>0

soit bornée.

Montrer queF :x7→R+∞

−∞ e^itxf(t) est développable en série entière en 0.

Pourx∈]−1,1[, on pose

f(x) = Z π/2

0

dθ p1−x²sin²θ a) Justifier

∀x∈]−1,1[, f(x) =

+∞

X

n=0

π 2

(2n)!

(2ⁿn!)² 2

x²ⁿ

b) En déduire un équivalent def(x) quandx→1⁻.

a) Pour quel réelx, l’intégrale suivante existe-t-elle Z +∞

0

dt x+ e^t? b) Donner alors sa valeur.

c) Montrer que

f(x) = Z +∞

0

dt x+ e^t

est développable en série entière et exprimer ce développement.

a) Quel est le domaine de définition de S(x) =

+∞

X

n=0

aⁿ x+n

(10)

poura∈]−1,1[ ?

b) Déterminer la limite et un équivalent deS en +∞.

c) Développer en série entière

S(x)−1 x

Pourα∈[0,1[ etx∈Ron pose S(x) =

+∞

X

n=0

sh(αⁿx) a) Montrer que la fonctionS est définie et continue surR. b) Former une relation engageantS(αx) etS(x).

c) Etablir que la fonctionS est développable en série entière surRet exprimer ce développement.

Soienta∈C^? etp∈N. Former le développement en série entière de x7→ 1

(x−a)^p+1

Soitα∈]−1,1[.

a) Montrer, pour toutx∈R, la convergence de la suite de terme général P_n(x) =

n

Y

k=0

1−α^kx vers une limite que l’on noteraP(x).

b) Soitf :R→Rcontinue vérifiant l’équation fonctionnelle (E) :∀x∈R, f(x) = (1−x)f(αx) Montrer, pour toutx∈R,

f(x) =f(0)P(x)

c) Montrer que la fonctionx7→P(x) est développable en série entière surR.

Pourz∈Cetn∈N, on pose

Pn(z) =

n

Y

k=0

1− z

2^k

a) Montrer que|Pn(z)|6P_n(− |z|).

En déduire que la suite (P_n(z))_n∈

Nest bornée.

Indice : on pourra penser à introduire lnP_n(− |z|).

b) En étudiant la convergence de la sérieP(P_n+1(z)−P_n(z)), établir la convergence de la suite (P_n(z))_n∈

N. On introduit la fonction

f :z7→ lim

n→+∞Pn(z) c) Montrer quef est continue en 0.

d) Montrer quef est l’unique fonction continue en 0 vérifiant

∀z∈C, f(z) = (1−z)f(z/2) etf(0) = 1 e) Montrer quef est développable en série entière.

[Identité binomiale]

Etablir que pour toutx∈]−1,1[ eta∈R 1

(1−x)^a =

+∞

X

n=0

a(a+ 1). . .(a+n−1)

n! xⁿ

Calcul de développement par dérivation intégration

Former le développement en série entière en 0 de la fonction x7→ln(x²−5x+ 6)

Développer en série entière

x7→

Z x

−∞

dt 1 +t+t²

(11)

Soientx∈Retθ∈]0, π/2[.

a) Calculer la partie imaginaire du complexe sinθe^iθ 1−xsinθe^iθ b) En déduire le développement en série entière de

f(x) = arctan

x− 1 tanθ

Montrer que

f(x) = arctan(1 +x)

est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence. Calculer cette série entière.

Pourα∈]0, π[, former le développement en série entière en 0 de la fonction f :x7→arctan

1 +x 1−xtanα

2

Pourx∈]−1,1[ etα∈R, établir

+∞

X

n=1

xⁿ

n sin(nα) = arctan

xsinα 1−xcosα

Calcul de développement par équation différentielle

Soientp∈Net

f(x) =

+∞

X

n=0

n+p p

! xⁿ

a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière définissant cette fonction.

b) Calculerf(x) en étudiant (1−x)f⁰(x).

Former le développement en série entière en 0 de x7→

Z +∞

0

e^−t²sin(tx) dt a) en procédant à une intégration terme à terme.

b) en déterminant une équation différentielle dont la fonction est solution.

Développer en série entièref :x7→p x+√

1 +x²au voisinage de 0.

Soitf définie sur ]−1,1[ par

f(x) = arcsinx

√1−x²

a) Justifier quef est développable en série entière sur ]−1,1[.

b) Montrer quef est solution de l’équation différentielle (1−x²)y⁰−xy= 1.

c) Déterminer le développement en série entière def sur ]−1,1[.

a) Quel est l’ensemble de définition de

f(x) = arcsinx

√1−x²?

b) Montrer quef est solution d’une équation différentielle linéaire du premier ordre avec pour condition initialef(0) = 0.

c) Trouver ce développement en série entière et en donner le rayon de convergence.

Former le développement en série entière en 0 de la fonction f :x7→ arccosx

√ 1−x²

(12)

Soientα∈Ret

f :x7→cos(αarcsinx)

a) Déterminer une équation différentielle d’ordre 2 dontf est solution.

b) En déduire un développement en série entière def.

Former le développement en série entière en 0 de x7→sh (arcsinx)

a) Etudier la parité de

f :x7→e^x²^/2 Z x

0

e^−t²^/2dt

b) Montrer quef est solution d’une équation différentielle à déterminer.

c) Justifier quef est développable en série entière et donner ce développement.

a) Former de deux façons le développement en série entière en 0 de f :x7→e^−x²

Z x 0

e^t²dt b) En déduire la relation

n

X

k=0

(−1)^k 2k+ 1

n k

! 2n n

!

= 4ⁿ (2n+ 1)

a) Former une équation différentielle vérifiée par f :x >−17→

Z +∞

1

e^−t x+tdt b) En déduire le développable en série entière en 0 def.

Développerf(x) = ch(x) cos(x) en série entière en l’exprimant à l’aide de fonctions exponentielles.

Retrouver le résultat en remarquant quef est solution de l’équation différentielle y⁽⁴⁾+ 4y= 0.

Soientk >0 et

f(x) = Z 1

0

t^ksin(xt)dt a) Montrer quef est continue surR.

b) Montrer quef est dérivable surRet vérifie

∀x∈R, xf⁰(x) + (k+ 1)f(x) = sinx

c) Déterminer toutes les fonctions développables en série entière en 0 solutions de xy⁰+ (k+ 1)y= sinxen précisant le rayon de convergence.

On considère l’équation différentielle

(E) :ty⁰+y= 3t²cos(t^3/2)

a) Montrer qu’il existe une unique solutionv de (E) développable en série entière sur un voisinage de 0.

b) Trouver l’ensemble des solutions de (E) surR^+? et en déduire une expression plus simple dev.

Calcul de sommes de séries entières

Soit

f :x7→

+∞

X

n=2

(−1)ⁿ n(n−1)xⁿ a) Déterminer l’intervalle de convergence def.

b) Exprimer la fonctionf à l’aide des fonctions usuelles sur ]−1,1[

c) Calculerf(1) etf(−1).

(13)

Rayon de convergence et somme de X

n>0

n−1 n! xⁿ

n>0

(n+ 1)(n−2) n! xⁿ

n>0

(−1)ⁿ⁺¹nx²ⁿ⁺¹

Rayon de convergence et somme de

+∞

X

n=0

x²ⁿ⁺¹ 3n+ 2

n>0

x²ⁿ 2n+ 1

n>0

(−1)ⁿxⁿ 2n+ 1

n>0

x²ⁿ 4n²−1

Pourn >0, on pose

an= Z π/4

0

tanⁿtdt a) Trouver la limite de (an).

b) Trouver une relation simple entrean+2 etan. c) On pose

u_n(x) = a_n n^αxⁿ

Donner la nature de la série de terme généralun(x) en fonction de xet de α.

d) On pose

f(x) =

+∞

X

n=1

anxⁿ

Exprimerf à l’aide des fonctions usuelles.

Soit (a_n) la suite définie par a0= 1 etan = 1

n!

Z 1 0

n−1

Y

k=0

(t−k) dt pourn∈N^? a) Rayon de convergence deP

anxⁿ. b) Somme deP

anxⁿ.

a) Déterminer le rayon de convergenceR de X

n>0

n!

1×3× · · · ×(2n+ 1)xⁿ b) Pourx∈]−R, R[ calculer la somme précédente.

(14)

a) Déterminer le rayon de convergence de la série entièreP

n⁽⁻¹⁾ⁿxⁿ. b) Calculer sa somme.

Etude et expression de la série

+∞

X

n=0

n⁽⁻¹⁾ⁿxⁿ

Calculer

S₀(x) =

+∞

X

n=0

x³ⁿ (3n)!

(on pourra calculerSk(x) =

+∞

P

n=0 x^3n+k

(3n+k)! pourk∈ {0,1,2})

SoientP

anxⁿ et P

bnxⁿ deux séries entières de rayons de convergenceR etR⁰. a) Déterminer le rayon de convergence et la somme deP

cnxⁿ avec c_n =

n

P

k=0

a_kb_n−k.

b) Déterminer le rayon de convergence et la somme de X

n>1

1 +1

2 +1

3+· · ·+1 n

xⁿ

Trouver le rayon de convergence de X

n>1

shn n(n+ 1)xⁿ Calculer la somme dans le bon intervalle.

Calculer

an= Z 1

0

tⁿ(1−t)ⁿdt pourn∈N^?.

Calculer le rayon de convergence de la série entièreP anxⁿ.

Calculer la somme de cette série entière sur l’intervalle ouvert de convergence.

Pourn>0, on pose

a_n= Z π/4

0

tanⁿtdt a) Trouver la limite de la suite (a_n).

b) Donner une relation simple entrea_n+2 eta_n. c) On posef(x) la somme de la série entière

+∞

X

n=0

a_nxⁿ

Déterminer l’intervalle de définition def. d) Exprimerf à l’aide des fonctions usuelles.

On pose

∀θ∈R,∀n∈N, an = cos(nθ) a) Calculer

+∞

P

n=0

anxⁿ pour toutx∈]−1,1[.

b) Montrer que pour toutθ6=kπ, la sérieP an

n+1 converge et exprimer sa somme à l’aide d’une intégrale.

c) Calculer cette intégrale pourθ∈]0, π[.

Application à la détermination du terme général d’une suite

On posea₀= 1 puis pour toutn∈N an+1=

n

X

k=0

n k

! a_n−kak

(15)

Calculer lesan en utilisant la série entière de terme général ^a_n!ⁿxⁿ.

a) Former le développement en série entière en 0 de

x7→ 1

(1−x)(1−x²) b) Soit (un)∈C^Nvérifiant

∀n∈N, un+3=un+2+un+1−un

Exprimer le terme général de la suite (u_n) en fonction de ses premiers termes.

On posea0= 1 et pour tout n∈N, an+1=

n

X

k=0

a_n−kak

a) Donner une formule permettant de calculer S(x) =

+∞

X

n=0

anxⁿ

b) CalculerS(x).

c) Calculer lesan.

d) Donner un équivalent de la suite (an).

On noteN(n, p) le nombre de permutations de [[1, n]] qui ont exactement ppoints fixes. On pose en particulierD(n) =N(n,0), puis

f(x) =

+∞

X

n=0

D(n) n! xⁿ

a) relierN(n, p) etD(n−p).

b) Justifier la définition def sur ]−1,1[ puis calculer f. c) CalculerN(n, p).

d) Etudier la limite de _n!¹N(n, p)

quandntend vers +∞.

Une involution d’un ensembleE est une applicationf :E→E vérifiant f◦f = IdE.

Pourn>1, on noteIn le nombre d’involutions deJ1, nK. On convient :I0= 1.

a) Montrer, sin>2, que

In=I_n−1+ (n−1)I_n−2 b) Montrer que la série entière P

n>0 I_n

n!xⁿ converge six∈]−1,1[.

On noteS(x) sa somme.

c) Montrer, pourx∈]−1,1[, que

S⁰(x) = (1 +x)S(x)

d) En déduire une expression deS(x), puis une expression deIn.

Application à la régulatité d’un prolongement continu

a) Montrer que la fonctionx7→ ^sin_x^x se prolonge en une fonction de classeC^∞sur R.

b) Montrer qu’il en est de même de la fonctionx7→ _e^sinx−1^x

Pourx6= 0 on pose

f(x) = Z 2x

x

cost t dt a) Montrer quef peut être prolongée par continuité en 0.

b) Montrer que ce prolongement est développable en série entière surR.

Application au calcul de sommes

Montrer que pour touta >0, Z 1

0

dt 1 +t^a =

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ na+ 1

(16)

En déduire les sommes

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ n+ 1 et

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1

a) Développer en série entière en 0 la fonction arcsin et préciser le domaine de convergence.

b) En étudiant

Z π/2 0

arcsin(sin(t)) dt déterminer

+∞

X

k=0

1

(2k+ 1)² puis

+∞

X

k=1

1 k²

a) On noteγ la constante d’Euler. Etablir l’égalité γ=

+∞

X

n=1

1 n −ln

1 + 1

n

b) En déduire que

γ=

+∞

X

k=2

(−1)^k k ζ(k)

Calculer

+∞

X

n=0

1 (3n+ 2)×3ⁿ

Intégration terme à terme de séries entières

Montrer

Z 1 0

ln(1 +x) x dx=

+∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n²

Etablir l’identité

Z 1 0

arctanx x dx=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ (2n+ 1)²

Montrer

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n+ 1)(2n+ 2) = Z 1

0

arctanxdx En déduire la valeur de cette somme.

Observer que pour toutx∈]−1,1[, Z π/2

0

ln(1 +xsin²t)

sin²t dt=π(√

1 +x−1)

Soitf : [0,1]→Rune fonction continue.

a) Déterminer la limite de la suite de terme général un=

Z 1 0

ntⁿf(t) dt b) Déterminer la limite de

vn = Z 1

0

nln (1 +tⁿ)f(t) dt

Etudier la limite de la suite de terme général In =n

Z 1 0

ln(1 +tⁿ) dt

Montrer queg:t7→

+∞

P

n=0 (−1)ⁿtⁿ

2²ⁿ(n!)² est de classeC^∞ surR. En déduire queh:t7→g(t)e^−test de classeC^∞surR. Montrer queR+∞

0 h(t) dtexiste et calculer son intégrale.