Exercices corrigés sur les séries numériques

(1)

Pierre-Jean Hormière

Exercices corrigés sur les séries numériques

__________

« Il me faut beaucoup travailler pour rester médiocre. » Woody Allen De Cauchy à nos jours, les séries restent au cœur du cours de taupe et fournissent, année après année, leur lot d’exercices et de problèmes de concours. Les exercices ici présentés ont été posés récemment, et sont résolus dans un style moderne.

Il y a deux façons de traiter les exercices portant sur la convergence et le calcul d’une série : soit on montre la convergence avant de calculer la somme, soit on mène les deux de front, mais cela oblige à manipuler avce soin les sommes partielles. J’ai privilégié ici la première démarche.

Depuis le déclin des critères de convergence, aujourd’hui relégués au grenier des exercices, de nombreux exercices sur la nature d’une série ne sont qu’un prétexte pour demander un équivalent, ou un développement asymptotique, du terme général.

Dans les solutions proposées, les encadrement intégraux de sommes du type

∑

= n k

k f

1

)

( ^ou

∑

^+∞

+

= 1

) (

n k

k f ^, lorsque f est monotone, sont invoqués sommairement. Il est demandé au lecteur de les justifier avec soin, car ils ne donnent pas toujours d’équivalent.

Il s’agit d’un document de synthèse, certains exercices se référant à des chapitres vus après les séries numériques : séries entières, séries de Fourier, etc.

Aussi souvent que possible, j’ai donné plusieurs méthodes, plusieurs voies d’approche, car nombreux sont les chemins qui conduisent au Vrai et au Beau. Aussi curieux que cela paraisse, ce sont parfois les solutions les plus simples qui se sont imposées à mon esprit le plus tard.

____________

Louis Augustin Cauchy (1789-1857) Niels Henryk Abel (1802-1829)

(2)

Enoncés

Exercice 1 : Natures des séries

∑

^+∞

=

+ −

2

1) 1 ln (

n nn

n ^,

∑

^+∞

=

+

−

1

) 1) 1 ( (

n

e n ,

∑

^+∞

=

−

1

) 1

² exp(

n

n ,

∑

^+∞

=2 ln

)

n (ln

n n

∑

^+∞

= + + − + −

1

) 1

² 1

² (

n

n n n

n ,

∑

^+∞

=1 .sin² 1

n n n^,

∑

^+∞

=1 2 / 3

sin

n n n_,

∑

^+∞

=1 n

u n ^{où u}ⁿ⁼ ln(2n+1) ₋ ln( n2 ).

∑

^+∞

=1 n

un où u_n =

∫

_n^+∞_x3₊^dx_x₊₁ , u_n = _a n

1

∫

_n^+∞ ₊

x dx

6 7 1^{, u}ⁿ⁼n^a

1

∫

₋ⁿ_∞_x_²₊^dx_x₊₁^,

u_n =

∫

₀^π^/ⁿ^sin₁₊³_x^x^.^dx^{, u}ⁿ⁼

∫

₁¹₋₁_/ ₋₅

a 1

n t

dt ( a > 0 ) .

Exercice 2 : Discuter la nature de

∑

^+∞

=3 .ln .lnln 1

n

c b

a n n

n . Généraliser.

Exercice 3 : Discuter selon les valeurs des réels a, b et c la nature de la série

∑

^+∞

=0 n

un, où : u_n = n²+n+1 − ³ n³+an²+bn+c.

Exercice 4 : Discuter selon les valeurs des complexes a, b et c la nature de la série

∑

^+∞

=0 n

un, où : u_n = a.ln(n + 3) + b.ln(n + 2) + c.ln(n + 1) . Calcul éventuel.

Exercice 5 : Discuter la nature des séries

∑

^+∞

=n0

n

un et

∑

^+∞

=n0

n

vn, où n₀ est assez grand et : u_n = sin(2π n²+an+b) , v_n = sin(π n²+an+b) .

Exercice 6 : Discuter selon les valeurs de a la nature de la série

∑

^+∞

=2 n

un, où u_n =

∑

≤

≤k n

ka 1

1 , resp. u_n =

∑

≤

≤k n a

k n

1

² ln

.

Exercice 7 : Soient P et Q deux polynômes complexes, Q ≠ 0.

Discuter la nature des séries

∑

^+∞

=a

n Q n

n P

) (

) ( et

∑

^+∞

= −

a n

n

n Q

n P

) (

) . ( ) 1

( , où a est assez grand.

Exercice 8 : Convergence et calcul de ) ) 2 ln(

. ln

) 1

²(

ln( ln

2

∑

^+∞

= ++

n n n

n .

Exercice 9 : Convergence et calcul de S(p) =

∑

^+∞

=₁ ( +1)...(1 + )

n n n n p , p entier ≥ 1.

Exercice 10 : Convergence et calcul de

∑

^+∞

=₀(4 +1)(4 1+2)(4 +3)

n n n n ^.

∑

^+∞

=₁1+2+1...+

n n^,

∑

^+∞

= +−+ +

11 2 ...

) 1 (

n

n^,

∑

^+∞

=₁1²+2²+1...+ ²

n n ^,

∑

^+∞

= + + +

−

11² 2² ... ² ) 1 (

n

n ^.

(3)

Exercice 12 : Pour tout n ∈ N*, on pose a_n =

∑

^+∞

=_n +

k k(k1n)_. Existence de cette suite. Equivalent quand n → +∞.

Exercice 13 : Soit (f_n) la suite de Fibonacci f₀ = 0 , f₁ = 1 , f_n+2 = f_n+1 + f_n. Existence et calcul de

∑

^+∞

= +

−

1 1

1

n n n

n

f f

f .

Montrer que ∀n ∈ N f_n+1²− f_n f_n+2 = (−1)ⁿ et ∀n ∈ N*

1

) 1 (

+

−

n n n

f

f ⁼ n n

f f +1 −

1 2 + + n n

f f .

Existence et calcul de

∑

^+∞

= +

−

1 1

) 1 (

n n n

n

f f ^.

Exercice 14 : Soit (u_n) la suite définie par u₀ > 1, u_n+1 = u_n² – u_n + 1. Existence et calcul de

∑

^+∞

=0

1

n un ^.

[ ]

∑

⁺^∞

=

− − 1

2 / ) 1

)(

1 (

n

n ^. Exercice 16 : Convergence et calcul de

∑

^+∞

=₀(3+(−²1))

k

k k

k _et

∑

^+∞

= +− 0

) 1

3 (

²

k

kk ^k _. Exercice 17 : Existence et calcul de

∑ ∑

⁺^∞

=

−

= ⁻ + +

1 1 2

2 ¹ (2 11)(2 2)

n p

n

n p p p

n .

Exercice 18 : Existence et calcul de

∑

⁺^∞

= + + +

−

1(1 1)(1 2)...(1 ) )!

1 (

n n

n .

Exercice 18 bis : Soient (a_n) une suite à termes > 0, et u_n =

) 1 )...(

1 )(

1

( 0 1 n

n

a a

a

a +

+

+ ^.

1) Montrer que

∑

^+∞

=0 n

un converge. Exemple : a_n = 1 1+ n ^. 2) Montrer que

∑

^+∞

=0 n

un = 1 ⇔

∑

^+∞

=0 n

an diverge, et que

∑

^+∞

=0 n

un < 1 ⇔

∑

^+∞

=0 n

an converge.

Exercice 19 : Montrer, pour tout entier naturel k, la convergence de la série S(k) =

∑

^+∞

=0 !

n k

n n . Calculer S(k) pour 0 ≤ k ≤ 5. Montrer que pour tout k, S(k) est irrationnel.

Exercice 20 : Convergence et somme de la série

∑

^+∞

=₀3(31+2)

n

n n ^.

Exercice 21 : Soient m un entier ≥ 2, x un complexe, S(x) = 1 +

2

1_{+ … +} 1 1−

m ⁻ mx ₊ 1 1+

m ^{+ … +}21 1

−

m ⁻ xm 2 ^{+ …}

Montrer qu’il y a une seule valeur de x pour laquelle la série converge. Calculer alors S(x).

Exercice 22 : Soit (p_n)_n≥1 une suite complexe T-périodique (T ∈ N*).

Montrer que la série

∑

^+∞

=1 n

n

p converge si et seulement si

∑

= T k

pk 1

= 0.

∑

^+∞

=1

1

n n ([ n+1] − [ n]).

(4)

Exercice 24 : Soit a un entier fixé ≥ 2. Convergence et calcul de

∑

^+∞

= − +

1 ( 1)

) / (

n n n

a n aE

n .

Exercice 25 : On note s(n) le nombre de chiffres dans le développement binaire de n, et b(n) le nombre de 1 dans ce développement. Convergence et calcul des séries

∑

^+∞

=₁ ( +1) ) (

n n n

n

s et

∑

^+∞

=₁ ( +1) ) (

n n n

n b .

∑

^+∞

=₁9 1²−1

n n ^.[ On pourra utiliser

∫

₀¹^t^a^.dt⁼_a¹₊₁ pour a > −1 ] Exercice 27 : Pour p ∈ N*, soit S(p) =

∑

^+∞

=₀16(81+ )

k

k k p ^.

Ecrire S(p) sous forme intégrale, puis calculer 4 S(1) – 2 S(4) – S(5) – S(6).

Exercice 28 : Soient q et x deux complexes, |q| ≠ 1. Convergence et calcul de

∑

^+∞

=₀(1+ )(1+ +¹ )

n

n n

n

x q x q

x

q .

∑

^+∞

=1 n

un et

∑

^+∞

=1 n

vn, où u_n =

∑

^+∞

=n

k k²1 _{et v}

n = (

∑

^+∞

=n

k k²1 ).exp(−

∑

= n k₁k1 ) . Exercice 30 : Nature de la série

∑

^+∞

=

− 1 n

e n. Equivalent du reste.

Exercice 31 : Nature de la série

∑

^+∞

=2 n

un, où u_n =

n

² ln ...

2

² ln 1

²

ln 1

+ +

+ . Equivalent du reste.

∑

^+∞

=

− 1

ln n

e n. Equivalent de la somme partielle.

∑

^+∞

= −

1

) 1 (

n

nn . Equivalent de la somme partielle.

Exercice 34 : Nature de la série de terme général u_n =

∫

₀^π^/²^(cos^x⁾ⁿ^²^lnⁿ^.^dx^.

Exercice 35 : 1) Développement à deux termes de la suite S_n =

∑

= n

k k

k

1

ln _. 2) Convergence et calcul de la série

∑

^+∞

= −

2

) ln 1 (

n n

n n_. Exercice 36 : 1) Limite et équivalent de la suite sin(n!eπ).

2) Nature de la série

∑

^+∞

=0 n

un, où u_n = (

∑

= n

k ₀k1 )! .(

∑

=

−

n k

k 0 k!

) 1

( ) ₋ 1 .

Exercice 37 : Soient x et y > 0. Discuter la nature de la série

∑

^+∞

=1

n ( 1)(2 1)...( 1) ) 1 )...(

1 2 )(

1

( ++ ++ ++ ny y

y

nx x

x .

Exercice 38 : 1) Equivalent de la suite P_n = ( a + 1 )( a + 2 ) … ( a + n ), pour a ≥ 0.

2) Soient a et b > 0. Discuter la nature de la série

∑

^+∞

= ++ ++

0 ( 1)...( ) ) )...(

1 (

n b b b n

n a a

a . Somme éventuelle.

Exercice 39 : Soient a et b > 0. Trouver lim _n→+∞

n

1

∏

ⁿ₌ ⁺

k

bk n

a

1

/

)1

( .

(5)

Application : Soient A_n et G_n les moyennes arithmétique et géométrique de a + b, a + 2b, …, a + nb.

Trouver la limite de la suite (G_n/A_n) quand n → +∞.

Exercice 40 : Equivalents et développements à deux termes des suites : A_n =

∑

+

= n n

k k

2

1

1 _{, B}

n =

∑

+

= n n

k k

2

1

1_{et C}

n =

∑

+

= n n

k k

2

11² _. Exercice 41 : Limite de la suite S_n =

n

1

∑

≤

<

≤i j n ij

1

1 _.

Exercice 42 : Equivalent de la suite S_n =

∑∑

= = +

n p

n

q p q

pq

1 1

.

Exercice 43 : 1) On admet que, si (p_k) est la suite des nombres premiers rangés dans l’ordre croissant, p_k∼ k.ln k. Nature de la série

∑

^+∞

=1

1

k pk . Equivalent de

∑

= n i 1 pi

1 _. 2) On admet que π(x) ∼

x x

ln ^{quand x}^→⁺^∞^{, où}^π(x) est le nombre des nombres premiers ≤ x.

Démontrer que p_k∼ k.ln k.

Exercice 44 : Nature de

∑

^+∞

=1 n

un, où u_n =

∫

₊^+∞₁ ^e⁻^xⁿ^.dx^.

∑

^+∞

= + +++ +

0 ( 1)!

! ...

! 2

! 1

! 0

n n

n _et

∑

^+∞

= − + ++ +−

0 ( 1)!

! ) 1 ( ...

! 2

! 1

! 0

n

n .

∑

^+∞

=2 n

un, où u_n = ( 1) ) 1

(

∏

₌ⁿ2 ⁺ ⁻ k

k

k ^.

Exercice 47 : Pour quelles valeurs de α > 0 la série (2 )(2 )...(2 ^/ )

1

2

/ n

n

e e

e^α − ^α − ^α

∑

^+∞ −

=

converge-t-elle ? Exercice 48 : Soit f ∈ C(R₊, R). On suppose que

∀k ∃(a0, a₁, …, a_k) ∈ R^k+1 f(x) = a₀ + x

a1 + … + ^k_k x

a + o( 1₁

+

xk ⁾ quand x → +∞.

A quelles conditions : a) La série

∑

≥1

) (

n

f converge ? b) Le produit infini

∏

_n_≥₁ ^f⁽ⁿ⁾ converge ? c) La série de terme général u_n = ₁

∏

_≤_k_≤_n^f⁽^k⁾ converge ? Retrouver l’ex. précédent.

Exercice 49 : Soit (u_n) une suite de réels ≥ 0. Montrer que les séries

∑

^uⁿ^et

∑

ln(1+uⁿ) sont de même nature. Montrer qu’il n’en est plus de même si (u_n) n’est plus à termes ≥ 0.

[ Considérer u₁ = 0 , u_n = n

)n

(−1

pour n ≥ 2 , puis u_n = −1 + exp n

)n

(−1

pour n ≥ 1. ] Exercice 50 : Prouver que :

i) ln n! =

∑

≤

≤k n

k

1

ln = ( n + 2

1

)

ln n – n + C + o(1) ii)

∑

≤

≤k n

k k

1

ln

. = ( n² + n + 61 )

2 lnn_–

4 1_n²_{+ C}

1 + o(1) iii)

∑

≤

≤k n

k

1

)

!

ln( = ( n² + 2n + 21 )

2 lnn_–

4

3_n² + ( C – 1) n + C₂ + o(1)

(6)

Exercice 51 : Equivalent de la suite u_n = ( 1¹× 2²× 3³× … × nⁿ)^1/n. Exercice 52 : Equivalent de la suite S_n =

∑

= n k

k k

1

ln

2 .

Exercice 53 : Etude des suites A_n = 1 +

2

1 _{+ … +} n

1 _{− 2} n B_n = 1 + _a

21 _{+ … +} n1a₋

a n ^a

−

1

(0 < a < 1) S_n = th 1 + th 2 + … + th n − ln ch n T_n =

2 ln 21 ₊

3 ln

31 _{+ … +} n

nln1 ₋ ln(ln n) . Exercice 54 : constantes de Stieltjes.

Montrer que pour tout entier p ∈ N, la suite U_n =

∑

= n k

p

k k

1

ln −

1 ln ¹

+

p

p n

converge. Sa limite est dite constante de Stieltjes d’indice p, et notée γp. Équivalent de U_n − γp? Cas où p = 0 ?

Exercice 55 : suites récurrentes linéaires. Soit (a_n) une suite à termes > 0, tendant vers +∞.

Montrer que les suites récurrentes vérifiant (∀n) u_n+2 =

n n n n

a u a u ++ +

1

. 1 forment un plan vectoriel, et sont toutes convergentes.

Exercice 56 : règles de d’Alembert et de Cauchy.

1) Complément à la règle de d’Alembert.

Soit

∑

^+∞

=0 n

u n une série à termes > 0 . Soient Λ = limsup_n

n n

u

u +1 , λ = liminf_n

n n

u u +1 . Montrer qu’alors : i) Si Λ < 1, la série converge ;

ii) Si λ > 1, la série diverge ; iii) Si Λ≥ 1, on ne peut conclure.

2) Règle de Cauchy. Soit

∑

^+∞

=0 n

u n une série à termes ≥ 0. On suppose que ⁿuⁿ → λ ∈ [0, +∞] . Montrer qu’alors : i) Si λ < 1, la série converge ;

ii) Si λ > 1, la série converge ; iii) Si λ = 1, on ne peut conclure.

3) Comparaison Cauchy-d’Alembert. Montrer que si u_n> 0 et si (

n n

u

u +1) tend vers λ ∈ [0, +∞], alors (ⁿun ) converge vers λ, la réciproque étant fausse.

4) Règle de Cauchy (énoncé savant). Soient

∑

^+∞

=0 n

u n une série à termes ≥ 0, L = limsup_nⁿun . Montrer qu’alors : i) Si L < 1, la série converge ;

ii) Si L > 1, la série converge ; iii) Si L = 1, on ne peut conclure.

Exercice 57 : règles de Gauss et Raabe-Duhamel. Soit

∑

^+∞

=0 n

un une série à termes > 0.

1) On suppose

n n

u

u +1 = 1 −

α

n _{+ O}₍

² 1

n ), pour α réel. Montrer que ∃Α > 0 u_n∼ _α n

A _.

En déduire que

∑

^+∞

=0 n

un diverge si α ≤ 1, converge si α > 1.

(7)

2) On suppose

n n

u

u +1 = 1 −

α

n _{+ o}₍

n1 ), pour α réel.

Montrer que

∑

^+∞

=0 n

un diverge si α < 1, converge si α > 1, et qu’on ne peut conclure si α = 1.

3) Application : Soient a et b > 0. Discuter la nature de la série

∑

^+∞

= ++ ++

0 ( 1)...( ) ) )...(

1 (

n b b b n

n a a

a .

∑

^+∞

=

−

1 2.4.6...(2 ) ) 1 2 ...(

5 . 3 . 1

n n

n et

∑

^+∞

=₁1.3.5...(2 +1) ) 2 ...(

6 . 4 . 2

n n

n .

Exercice 59 : Soit

∑

^+∞

=2 n

un une série à termes > 0. On pose

n n

u u ₊₁

= 1 − n 1 ₋

n n

an

ln ^. Montrer que si a_n→ a > 1,

∑

^+∞

=2 n

un converge, et si a_n→ a < 1,

∑

^+∞

=2 n

un diverge.

Exercice 60 : critère de condensation de Cauchy. Soit (u_n) une suite décroissante à termes ≥ 0.

Montrer que les séries

∑

^+∞

=1 n

un et

∑

^+∞

=02 2 k

k

uk sont de même nature.

Applications : à l’aide de ce critère, discuter la nature des séries :

∑

^+∞

=1

1

n n^α ⁽^α > 0) ,

∑

^+∞

=2 .ln 1

n n ^βn⁽^β > 0) ,

∑

^+∞

=3 .ln .lnln 1

n n n ^γn⁽^γ^{> 0).}

Donner un exemple de suite (u_n) à termes ≥ 0 telle que

∑

^+∞

=1 n

un converge et

∑

^+∞

=0

2 2 k

kuk diverge.

Donner un exemple de suite (u_n) à termes ≥ 0 telle que

∑

^+∞

=1 n

un diverge et

∑

^+∞

=0

2 2 k

kuk converge.

Exercice 61 : 1) Soit

∑

^+∞

=0 n

u n une série divergente à termes > 0. Montrer qu’il existe une suite a_n↓0 telle que

∑

^+∞

=0

.

n n nu

a diverge (Considérer a_n= 1/U_n−1 ou a_n= 1/U_n). Application à la série harmonique.

2) Soit

∑

^+∞

=0 n

u n une série convergente à termes > 0. Montrer qu’il existe une suite a_n↑+∞ telle que

∑

^+∞

=0

.

n n nu

a converge. (Considérer a_n= 1/(R_n₋₁)^α , pour 0 < α < 1).

Application aux séries de Riemann convergentes.

Exercice 62 : En 1827, L. Olivier a énoncé un critère général de convergence des séries : La série

∑

^+∞

=0 n

u n ^converge^⇔ la suite (nu_n) tend vers 0. » 1) Montrer que l’implication ⇐ est erronée.

2) Montrer que l’implication ⇒ est aussi erronée, mais est vraie si la suite (u_n) est décroissante.

[ Considérer les sommes u_n+1+ u_n+2+ ... + u_2n.] Exercice 63 : contre-exemples.

1) Indiquer une série convergente, mais non absolument convergente.

2) Indiquer une série alternée divergente, dont le terme général tend vers 0.

3) Donner deux suites (u_n) et (v_n) équivalentes, telles que les séries

∑

^uⁿ^et

∑

^vⁿ ne sont pas de même nature.

(8)

4) Donner deux suites (u_n) et (v_n) telles que (∀n) |un| < |v_n|,

∑

^vⁿ converge et

∑

^uⁿ^diverge.

5) Donner deux suites (u_n) et (v_n) telles que u_n = o(v_n) ,

∑

^vⁿ converge et

∑

^uⁿ^diverge.

6) Donner deux suites (u_n) et (v_n) équivalentes, telles que

∑

^uⁿ^et

∑

^vⁿ divergent, les suites des sommes partielles de

∑

^uⁿ^{et de}

∑

^vⁿ n’étant pas équivalentes.

7) Donner deux suites (u_n) et (v_n) équivalentes, telles que les séries

∑

^uⁿ^et

∑

^vⁿ convergent, les restes des deux séries n’étant pas équivalents.

8) Indiquer une série convergente

∑

^uⁿ telle que, pour tout p ≥ 2,

∑

⁽^{u )}ⁿ ^p^diverge.

Exercice 64 : exemples.

1) Exemple de suite de carré sommable et non sommable.

2) Exemple de suite sommable, non de carré sommable.

3) Exemple de série divergente, dont le terme général tend vers zéro et dont les sommes partielles sont bornées.

Exercice 65 : Convergence de la série de terme général u_n =

² 1

n si n n’est pas un carré, u_n = n 1_{si n} est un carré.

∑

^+∞

=1 n

an une série convergente à termes positifs. Soit E_k = { n ∈ N* ; k.a_n≥ 1 }.

Montrer que card E_k = o(k) quand k → +∞.

Exercice 67 : Soit S = { u = (u_n) ; (∀n) u_n≥ 0,

∑

^+∞

=0 n

un = 1, u₀ = 0 }. Calculer inf _u_∈_S ( )

0 0

∑

= +∞

= n k

k n

n u

u et inf _u_∈_S

∑

^+∞

=0

)2

(

n

un . Exercice 68 : Soient

∑

^+∞

=0 n

un et

∑

^+∞

=0 n

vn deux séries convergentes. Leur produit de Cauchy

∑

^+∞

=0 n

wn, où w_n =

∑

= +q n p

q pv

u est-elle convergente ? Considérer u_n = v_n = 1 ) 1 (

+

− n

n

.

Exercice 69 : Soient

∑

^+∞

=0 n

an et

∑

^+∞

=0 n

bndeux séries convergentes à termes complexes.

On pose c_n =

∑

= −

n k

k n kb a

0

et S_n =

∑

= n k

ck 0

. Etudier la suite P_n = 1 1+

n

∑

= n k

Sk 0

.

Exercice 70 : Soit a_n = n

)n 1

1 (− ⁻

, b_n =

∑

⁻

= −

1

1 n k

k n ka

a . Convergence et somme de la série

∑

^+∞

=2 n

bn . Exercice 71 : Montrer que la série

∑

^+∞

= +

0 2 / ) 1

2(

1

k k

k converge et que sa somme est irrationnelle.

Exercice 72 : Montrer que

∑

^+∞

+

= 11!

n

k k ^< 1. ! n

n ^{et que}

| ∑

^+∞

+

=

−

1 !

) 1 (

n k

k

|

^<_n¹_._n_!^.

En déduire que e n’est pas solution d’une équation du second degré à coefficients rationnels.

Exercice 73 : Montrer que cos 2 < 0 , et que cos 1 ∉ Q.

Exercice 74 : Discuter la nature de la série :

∑

^+∞

= −

2

) 1 (

n n

a b

n n ln .

(9)

Exercice 75 : Nature et calcul des séries

∑

^+∞

=1 n

∑

^+∞

=

− − n k

k

k³ ) 1

1

( ,

∑

^+∞

=1 n

∑

^+∞

=

− − n k

k

k² ) 1

( ¹

et

∑

^+∞

=1 n

∑

^+∞

=

− − n k

k

k ) 1

1

( .

Exercice 76 : Soit f : R⁺→ R⁺ une fonction convexe tendant vers 0 en +∞. Montrer que la série

∑

^+∞

= −

0

) ( ) 1 (

n

nf n converge, et que

| ∑

^+∞

+

= −

1

) ( ) 1 (

n k

kf k

|

≤ 2

) (n f .

∑

^+∞

=

+ −

2

) ) 1 1 ( ln(

n

n ^,

∑

^+∞

=

+ −

2

) ) 1 1 ( ln(

n

n ^{; calcul ?}

∑

^+∞

=

+ −

2

) ) 1 1 ( ln(

n

a n

n (a >0)

∑

^+∞

= + −

−

2 ( 1)

) 1 (

n n

n

n ^,

∑

^+∞

= + −

−

2 ( 1)

) 1 (

n

n a

n

n (a > 0) ,

∑

⁺^∞

= +

− +

2

) 1 ln (

n

a n

n (a > 0) ,

∑

^+∞

=0

)

! sin(

n

e n π

∑

^+∞

=

−

1 !

) 1 (

n n

n

n ^,

∑

^+∞

=1

n n ⁿ n

n

ln . ) 1 (

) 1 (

− + −

; équivalent du reste ?

Exercice 78 : Dans le plan euclidien R², soit PPPP la parabole d’équation x² = 2py (p > 0).

Soit M₀ un point de PPPP_{– {O}, M}_n+1 la seconde intersection de P avec la normale en M_n à PPPP_. Si M_n(x_n, y_n), étudier la série

∑

^+∞

=0

1

n xn^.

Exercice 79 : transformation d’Abel.

1) Soit

∑

^+∞

=0

.

n n nv

a une série à termes complexes. On pose V_n =

∑

= n k

vk 0

et V_p,q=

∑

= q

p k

vk. Montrer que :

∑

= n k

k kv a

0

. = a_n.V_n −

∑

⁻

=¹ +−

0

1 ).

(

n k

k k

k a V

a et

∑

= q

p k

k kv

a . = a_q.V_p,q −

∑

⁻

=¹( +1− ). , q

p k

k p k

k a V

a .

2) Soit

∑

^+∞

=0

.

n n nv

a une série à termes complexes. On suppose que :

(A I) La suite V_nest bornée et la suite (a_n) est réelle,et tend vers 0 de manière monotone.

(A II) La suite V_n est bornée. La suite (a_n) tend vers 0 et la série

∑

^+∞

= +−

0 1 k

k

k a

a converge.

(A III) La série

∑

^+∞

=0 k

vk converge, et la suite (a_n) est réelle, monotone et bornée ; ( A IV) La série

∑

^+∞

=0 k

vk converge et la série

∑

^+∞

= +−

0 1 k

k

k a

a converge ; Montrer que, sous chacun de ces jeux d’hypothèses, la série

∑

^+∞

=0

.

n n nv

a converge.

Les quatre exercices suivants reposent sur cet exercice.

Exercice 80 : application à des séries trigonométriques.

1) Si a_n↓ 0 , la série 2 a0

+

∑

^+∞

=1

) cos(

.

n

n n

a θ converge pour tout θ∈ R−2πZ.

2) Si b_n↓ 0 , la série

∑

^+∞

=1

) cos(

.

n

n n

b θ converge pour tout θ∈ R.

3) Montrer que 1) et 2) subsistent sous les hypothèses plus générales :

∑

^+∞

= +−

0 1 k

k

k a

a < +∞ et a_n→ 0 , resp.

∑

^+∞

= +−

1 1 k

k

k b

b | < +∞ et b_n→ 0 .

(10)

Exercice 81 : Montrer que la convergence de la série

∑

^+∞

=1 n

vn implique celles de :

∑

^+∞

=1 n

n

v _,

∑

^+∞

=1ln

n n

n

v _,

∑

^+∞

=1 n

v ( n 1 + n

1₎ⁿ_,

∑

^+∞

=1

.

n nn n v .

∑

^+∞

=1 n

un une série convergente à termes ≥ 0 , de restes R_n=

∑

^+∞

+

=n 1 k

uk. Montrer l’équivalence :

∑

^+∞

=1

ln .

n

n n

u converge ⇔

∑

^+∞

=1 n

n

R converge.

Exercice 83 : Natures des séries :

∑

^+∞

= +−

1 sin

) 1 (

n

n n ^,

∑

^+∞

=1

sin1 . sin

n n n ,

∑

^+∞

=0

n exp( )

) exp(

inb n

ina

+ ^{(a, b}^∈^R).

Exercice 84 : Développement asymptotique de S_n = 1 − 2 1₊

3

1 ₋_{… +} n

)n 1

1 (− ⁻

. Exercice 85 : Convergence et calcul de

∑

^+∞

=

− − 1

) 1

1 (

n n

n ( 1− 2 1₊

3 1₋_{… +}

n )n 1

1 (− ⁻

) . Exercice 86 : Soit S_n = − 1 + 2 + … + (−1)ⁿ n.

Montrer que S_n∼ 2

) 1 (− ⁿ

n, et plus précisément que S_n = 2

) 1 (− ⁿ

n + C + o(1).

∑

^+∞

=0 k

ak une série convergente, R_n =

∑

^+∞

+

=n 1 k

akla suite de ses restes.

Etudier sous différentes hypothèses la nature et la valeur de la série

∑

^+∞

=0 n

Rn. Nature et calcul des séries

∑

^+∞

=0 n

∑

^+∞

+

=

− − 1

) 1

1 (

n k

k

k ^et

∑

^+∞

=0 n

∑

^+∞

+

= +

−

12 1

) 1 (

n k

k

k ^. Exercice 88 : Soit I_n =

∫

₀^π^sin((₁₊_cos²ⁿ⁺_²¹_t⁾^t⁾^.^dt. Convergence et calcul de

∑

^+∞

= −

0

. ) 1 (

n

nIn

∑

^+∞

=1 n

un, où u_n =

∫

₀^π^/²^cosⁿ^x^.^sin(^nx^).^dx^.

Exercice 90 : critère de Hardy.

Soit f : [0, +∞[ → C une fonction de classe C¹, telle que f' soit intégrable sur [0, +∞[. Montrer que la série de terme général w_n=

∫

_nⁿ₋₁^f⁽^t^).^dt − f(n) est absolument convergente.

∑

^+∞

=1

) cos(ln

n n

n ,

∑

^+∞

=1

) sin(ln

n n

n ,

∑

^+∞

=1

) sin(

n n

n . Exercice 92 : 1) Soit f : [0, +∞[ → C une fonction de classe C², telle que : a) lim_x_→∞ f(x) = 0 ; b) f’’ est intégrable sur [0, +∞[ .

Montrer que la série de terme général w_n=

∫

_nⁿ₋₁^f⁽^t^).^dt − f(n) est absolument convergente.

[ Indication : observer que w_n= − 2

1

∫

_nⁿ₋₁⁽^t⁻ⁿ⁺¹^).(ⁿ⁻^t^).^f^''(^t^).^dt⁻₂¹( f(n) − f(n−1) ) .]