1 S ÉRIES DÉFINIES EXPLICITEMENT 1 Étudier la nature des séries suivantes :

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

S ÉRIES

1 S ÉRIES DÉFINIES EXPLICITEMENT 1 Étudier la nature des séries suivantes :

1) X 1

n p

ⁿ

n . 2) X n

2

ⁿ

+ n . 3) X e

^−pn

.

4) X 1

n

²

+ 1 sin 1

p n

. 5) X n!

³

(3n)! .

6) X n

n + 1

n²

. 7) X n

²

ln n

a

ⁿ

(a > 0).

8) X 1

(ln n)

^lnn

. 9) X a

ⁿ

1 + a

²ⁿ

(a ∈ R ).

10) X 1

(ln n)

ⁿ

. 11) X 1 ln n

²

+ 1 .

12) X

sin € π p

4n

²

+ 1 Š

. 13) X 1

n!

n

Y

k=2

ln k.

14) X n!

²

2

ⁿ²

. 15) X cos

ⁿ

1

n

^α

(α > 0).

16) X  e −

 1 + 1

n

‹

n

‹

. 17) X Z

^π_n

0

sin x 1 + x dx.

18) X 1

n

^nln

€1+1 n

Š

. 19) X Z

^π

2p n 0

e

^x

tan x dx.

20) X  1 − 1

ln n

‹

^pn

. 21) X a

^lnn

p

n

n (a > 0).

22) X n!

^α

(2n)! (α ∈ R ). 23) X 1 n ln(n!) .

24) X 1

n cos

²

n . 25) X (ln n)

ⁿ

n! .

————————————–

2 1) Montrer que : Arccos x ∼

x→1

p 2(1 − x) au moyen du changement de variable : x = cos θ .

2) En déduire la nature de X Arccos

 2

π Arctan n

²

‹ .

————————————–

3 Étudier la nature des séries suivantes :

1) X

ln



1 + ( − 1)

ⁿ

n

‹

. 2) ( − 1)

ⁿ

p n + ( − 1)

ⁿ

.

3) X

( − 1)

ⁿ

p nsin 1

n

^α

(α > 0).

4) X ( − 1)

ⁿ

p

n

n! . 5) X

( − 1)

ⁿ

€ p

n + 1 − p n Š

. 6) X ( − 1)

ⁿ

n

²³

+ sin(n)

. 7) X

sin € π p

n

²

+ 1 Š . 8) X ( − 1)

ⁿ

(ln n)

²

p n . 9) X ( − 1)

ⁿ

n

^α

+ ( − 1)

ⁿ

(α ∈ R

^∗

).

————————————–

4 Justifier la convergence des séries suivantes et calculer leurs sommes.

1) X 1

n(n + 1) . 2) X n 7

ⁿ

.

3) X 1

(3n + 1)(3n + 4) .

4) X

ln

 1 − 1

n

²

‹ .

5) En exploitant la constante d’Euler : a) X ( − 1)

ⁿ

n . b) X ( − 1)

ⁿ

n(n + 1) .

6) X

ln cos 1 2

ⁿ

.

————————————–

5 On

^ADMET

que :

+∞

X

n=1

1 n

²

= π

²

6 . Calculer :

+

X

∞

n=0

1

(2n + 1)

²

et

+∞

X

n=1

( − 1)

ⁿ⁻¹

n

²

.

————————————–

6 Soient a, b ∈ R . À quelle condition néces- saire et suffisante sur a et b la série :

X € ln n + aln(n + 1) + b ln(n + 2) Š

est-elle convergente ? Calculer sa somme le cas échéant.

————————————–

7

1) Montrer que la série X

( − 1)

ⁿ

ln

 1 + 1

n

‹

converge.

2) Exprimer X

2n

k=1

( − 1)

^k

ln

 1 + 1

k

‹

à l’aide de facto- rielles pour tout n ∈ N

^∗

.

3) En déduire, grâce à la formule de Wallis, une ex- pression explicite de :

+

X

∞

n=1

( − 1)

ⁿ

ln

 1 + 1

n

‹ .

————————————–

8 Montrer que pour un certain ℓ ∈ R :

n

X

k=1

p 1 k =

n→+∞

2 p

n + ℓ + o(1)

en calculant un développement asymptotique lorsque n tend vers + ∞ de p

n + 1 − p n.

————————————–

9

1) Justifier l’existence de : Z

nπ

0

sin t

t dt pour tout n ∈ N . 2) Trouver une suite (u

_n

)

_n∈N

positive simple telle que

pour tout n ∈ N

^∗

: Z

nπ

0

sin t t dt =

n−1

X

k=0

( − 1)

^k

u

_k

. 3) En déduire que la suite

Z

nπ

0

sin t t dt

n∈N

converge.

————————————–

10

1) Montrer que la série X P(n)

n! converge pour tout P ∈ R [X ]. On notera S(P) sa somme.

2) On rappelle que :

+∞

X

n=0

1

n! = e. On pose : L

₀

= 1 et pour tout k ∈ N

^∗

: L

_k

= X (X − 1) . . . (X − k+1).

Calculer S(L

_k

) pour tout k ∈ N . 3) Calculer : S X

³

.

————————————–

1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

S ÉRIES

11 Soient α, β ∈ R . On s’intéresse à la nature de la série X 1

n

^α

(ln n)

^β

, qu’on appelle une série de Bertrand.

1) On suppose : α > 1. Trouver un réel γ > 1 pour lequel : 1

n

^α

(ln n)

^β

=

n→+∞

O

 1 n

^γ

‹ . Conclusion ?

2) On suppose : α < 1. Trouver un réel γ < 1 pour lequel : 1

n

^γ

=

n→+∞

O

 1 n

^α

(ln n)

^β

‹ . Conclusion ?

3) Déterminer la nature de la série X 1 n(ln n)

^β

pour tout β ∈ R grâce à une comparaison série- intégrale.

4) Énoncer une condition nécessaire et suffisante de convergence des séries de Bertrand.

————————————–

12 Soit α ∈ R . On pose : u

_n

= ( − 1)

^n(n+1)2

n

^α

pour tout n ∈ N

^∗

.

1) Étudier la convergence de la série X

u

_n

dans le cas où : α ¶ 0 ou α > 1.

2) On suppose à présent que : 0 < α ¶ 1 et pour tout n ∈ N

^∗

, on pose : v

_n

= u

_2n−1

+ u

_2n

.

a) Montrer que la série X

v

_n

converge.

b) En déduire la nature de la série X u

_n

.

————————————–

13

1) Montrer que l’ensemble

§ x ∈ R

sin

²

x ¶ 1 2 ª

ne contient jamais trois entiers consécutifs.

2) En déduire que la série X sin

²

n

n diverge.

————————————–

2 S ÉRIES AB STRAITES 14 Soit (u

_n

)

_n∈N

∈ R

^N

. La série X

u

²_n

converge-t- elle : 1) si la série X

u

_n

converge ? 2) si la série X

u

_n

converge absolument ?

————————————–

15 Soit (u

_n

)

_n∈N

∈ R

^N

.

1) On suppose (u

_n

)

_n∈N

positive. Montrer que les sé- ries X

u

_n

et X u

_n

1 + u

_n

ont même nature.

2) On suppose que les séries X

u

_n

et X

u

²_n

convergent.

Montrer que la série X u

_n

1 + u

_n

converge.

————————————–

16 Soient (u

_n

)

_n∈N

, (v

_n

)

_n∈N

∈ R

^N

positives. On sup- pose que les séries X

u

_n

et X

v

_n

convergent.

1) a) Montrer que la série X

u

_n

v

_n

converge.

b) Et sans l’hypothèse de positivité ?

2) Étudier la nature des séries X p

u

_n

v

_n

et X p u

_n

n .

————————————–

17 1) Soit (u

_n

)

_n∈N

∈ R

^N

décroissante.

a) On suppose que la série X

u

_n

converge. Mon- trer que : u

_n

=

n→+∞

o

 1 n

‹

en étudiant X

n2<k¶n

u

_k

. b) La réciproque est-elle vraie ?

2) Soit ϕ : N

^∗

−→ N

^∗

une fonction stricte- ment croissante. On pose pour tout x ¾ 0 :

Φ (x) =

¦ n ∈ N

^∗

| ϕ(n) ¶ x © . Montrer que si la série X 1

ϕ(n) converge, alors : Φ (x) =

x→+∞

o(x ).

————————————–

18 1) Soit (u

_n

)

_n∈N

∈ R

^N

strictement positive. On suppose que pour un certain α > 1 :

u

_n+1

u

_n

=

n→+∞

1 − α n + o

 1 n

‹ . a) Montrer que pour tout β < α, la suite n

^β

u

_n

n∈N

est décroissante à partir d’un certain rang.

b) En déduire que la série X

u

_n

converge (règle de Raabe-Duhamel).

2) Étudier la nature de la série X  2n n

‹ 1 2

²ⁿ

n sans utiliser les formules de Wallis et Stirling.

————————————–

19 1) Soient (u

_n

)

_n∈N

∈ R

^N

et (v

_n

)

_n∈N

∈ C

^N

. On pose pour tout n ∈ N : V

_n

=

X

n

k=0

v

_k

. On suppose (u

_n

)

_n∈N

est décroissante de limite nulle et (V

_n

)

_n∈N

bornée.

a) Montrer que pour tout n ∈ N : X

n

k=0

u

_k

v

_k

= u

_n

V

_n

−

n−1

X

k=0

(u

_k+1

− u

_k

)V

_k

. De quel résultat bien connu cette relation est- elle l’analogue ?

b) En déduire que la série X

u

_n

v

_n

converge (règle d’Abel).

2) Soit (u

_n

)

_n∈N

∈ C

^N

. On suppose que la série X u

_n

converge. Montrer que :

n

X

k=0

ku

_k

=

n→+∞

o(n). On pourra notamment utiliser le théorème de Cesàro.

3) Soit (u

_n

)

_n∈N

∈ C

^N

. On suppose que la série X u

_n

converge. Montrer que pour tout α > 0, la série X u

_n

n

^α

converge aussi.

4) Soient (u

_n

)

_n∈N

une suite réelle décroissante de li- mite nulle et ω ∈ U \

1 . Montrer que la série X ω

ⁿ

u

_n

converge. Quel résultat généralise-t-on ainsi ?

5) Soient θ ∈ R et α > 0.

2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

S ÉRIES

a) Étudier la nature des séries X e

^inθ

n

^α

, X sin(nθ) n

^α

et X cos(nθ )

n

^α

.

b) Montrer que : | sin x | ¾ 1 − cos(2x)

2 pour

tout x ∈ R .

c) Étudier la nature des séries : X

sin(nθ)

n

^α

et X

cos(nθ ) n

^α

.

————————————–

20 1) Soit (u

_n

)

_n∈N

∈ R

^N

positive décroissante. Montrer que les séries X

u

_n

et X

2

ⁿ

u

₂n

ont même nature (critère de condensation).

2) Redémontrer le théorème de convergence des sé- ries de Riemann.

3) Montrer que pour tous β ∈ R , la série de Bertrand X 1

n(ln n)

^β

converge si et seulement si : β > 1.

————————————–

21 Soit (u

_n

)

_n∈N∗

∈ R

^N∗

strictement positive. On pose pour tout n ∈ N

^∗

: S

_n

=

X

n

k=1

u

_k

. 1) On suppose que X

u

_n

converge. Étudier la nature de X u

_n

S

_n

.

2) On suppose que X

u

_n

diverge. Étudier la nature de X

ln S

_n−1

S

_n

, puis celle de X u

_n

S

_n

. 3) Montrer que la série X u

_n

S

²_n

converge dans tous les cas.

————————————–

3