Feuille d’exercices 10

Ecole Normale Sup´erieure Paris Ann´ee 2013-2014 Alg`ebre 1

Feuille d’exercices 10

Exercice 1 Soient U et V des espaces vectoriels (sur un corps k). On note U^∗ = Hom_k(U, k) le dual de U. Expliciter une application lin´eaire naturelle injective Φ : U^∗⊗_kV →Hom_k(U, V). Quelles sont les images des tenseurs purs (c’est-`a-dire les λ⊗v avec λ ∈ U^∗ et v ∈ V) ? Quelle est l’image de l’application Φ ? Quand est-elle un isomorphisme ?

Exercice 2 Soit k un corps et soit E un espace vectoriel de dimension finie sur k. Soit n ≥ 1 un entier. Montrer que le dual (Vn

E)^∗ de Vn

E est canoniquement isomorphe `a Vn

E^∗.

Exercice 3 Soitn≥1 un entier et soitkun corps et soitE un espace vectoriel de dimen- sion finie sur k. Montrer que le dual (Vi

E)^∗ de Vi

E est non-canoniquement isomorphe

` a Vn−i

E.

Exercice 4 Soient k un corps et E, F des k-espaces vectoriels. Soit n ≥ 1 un entier.

Montrer que l’on a une bijection entre les applications lin´eaires Vn

E →F et les applica- tions n-lin´eaires altern´eesEⁿ→F.

Exercice 5 Soient k un corps et E unk-espace vectoriel. Soientu₁, . . . , u_r des ´el´ements deE.

1. Montrer que l’on au₁∧· · ·∧u_r6= 0 dansVr

E si et seulement si la famille (u₁, . . . , u_r) est libre dansE.

2. Montrer que l’on a u₁∧ · · · ∧u_r6= 0 dans Vr

E si et seulement s’il existe une forme altern´eef surE telle que f(u₁, . . . , u_r)6= 0.

Exercice 6 Soient k un corps et E, F des k-espaces vectoriels. Soit n ≥ 1 un entier et soit u:E →F une aplication lin´eaire.

1. D´efinir une application lin´eaire “naturelle”Vn

u:Vn

E →Vn

F.

2. Supposons que le rang de u est fini ´egal `a un entier r. Montrer que si n ≤r, alors le rang de Vn

u estC_rⁿ, et si n > r alors l’application Vn

u est nulle.

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Exercice 7 Soient k un corps et E unk-espace vectoriel.

1. Supposons E de dimension finie. On note V

E =L

n

Vn

E et on ´ecrit tout ´el´ement z ∈ V

E sous la forme z = P

n≥0zn. Montrer que z ∈ V

E est inversible si et seulement si z₀ 6= 0.

2. Montrer que tout ´el´ementz ∈V

E appartient `a unV

F pour un certain sous-espace F ⊂E de dimension finie. Conclure.

Exercice 8 SoitV un espace vectoriel hermitien complexe de dimension finie n, de base (e₁, . . . , e_n). On ne suppose pas que cette base est orthonormale. On d´esigne par h·,·i la forme sesquilin´eaire hermitienne de V. Pour 1 ≤ i ≤ n, soit s_i une transformation unitaire telle que si(ei) = ciei avec ci 6= 1 et telle que si est l’idetit´e sur e^⊥_i . On appelle W le sous-groupe de GL(V) engendr´e par les s_i.

1. Soit x∈V . Exprimers_i(x) comme combinaison lin´eaire de xet de e_i. 2. Soitk un entier sup´erieur ou ´egal `a 1. Montrer que tout ´el´ement deVk

(V) invariant par W est nul. (On pourra proc´eder par r´ecurrence sur n en consid´erant le sous- espaceV⁰ de base (e₁, . . . , en−1), et en d´ecomposantV comme somme directe de V⁰ et de son suppl´ementaire orthogonal.)

3. On suppose que W est fini. Montrer que pour tout ´el´ement A deEnd(V) on a : X

w∈W

det(A−w) = card(W)·det(A), et X

w∈W

det(Id−Aw) = card(W).

4. En d´eduire que pour tout Ade End(V), il existew∈W tel queAwn’a aucun point fixe non nul.

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