Première composition de mathématiques X P’ 1981

Première composition de mathématiques X P’ 1981

On note dans ce problèmeS l’ensemble des séries à termes réels,S=P a_n

(a_n)∈R^N . Siaappartient àS, aveca=Pa_n, on lui associe, pourkdansN, les sommes partielles

s⁰_n(a) =

n

X

p=0

a_p, s^k+1_n (a) = 1 n+ 1

n

X

p=0

s^k_p(a),

ainsi que les sommes

t⁰_n(a) =s⁰_n(a), t^k+1_n (a) = 1 n+k+ 1

n

n

X

p=0

k+p p

t^k_p(a).

Dans tout le problèmeadésignera un élément de S. On noteR=R∪ {±∞}.

La partie I sert à démontrer des résultats utiles pour la suite du problème et on pourra admettre ces résultats à condition de le préciser clairement sur la copie.

PARTIE I Soit (x_n)n∈N une suite de réels convergeant vers` dansR.

I.1.

a. Montrer que la suite (y_n)n∈N donnée pary_n= 1 n+ 1

n

X

k=0

x_k converge vers`.

b. Démontrer que le résultat énoncé ci-dessus reste valable même si`∈R.

I.2. On revient au cas où`∈R.

a. Soit (λn)_n∈N une suite à termes strictement positifs telle que la sériePλn diverge. Montrer que la suite de terme général

n

X

p=0

λpxp n

X

p=0

λp

converge vers`.

b. On se donne des suites (λn,p)n∈N, pour tout entier naturel p, et une suite (λp)p∈N vérifiant les conditions :

i. Pour tousnetpentiers naturels,λn,p>0 etλp>0, ii. Pour tout entier naturelp, limλn,p=λp,

iii.

+∞

X

p=0

λ_p= +∞.

Montrer alors que la suite de terme général

n

X

p=0

λn,pxp n

X

p=0

λn,p

converge vers`.

Ce dernier résultat reste valable si`∈Rmais on ne demande pas de le démontrer.

PARTIE II

Si la suite (s^k_n(a))_n∈N converge dans R, on dit que sa limite est la somme d’indicek de la série a et on appelleSk le sous-ensemble deS pour laquelle cette condition est réalisée.

II.1. On suppose que la série aest convergente.

a. Montrer qu’elle a une somme d’indice 1 égale à sa somme.

b. Montrer la relation

s¹_n(a)−

+∞

X

p=0

ap=−

+∞

X

p=n+1

ap+ 1 n+ 1

n

X

p=0

pap

! .

En déduire que 1 n+ 1

n

X

p=0

paptend vers 0 quandntend vers l’infini.

II.2.

a. Montrer que, pour toute suite (σn)_n∈N de nombres réels et tout k dans N, il existe une série a dans S, qu’on ne cherchera pas à déterminer explicitement, telle qu’on ait, pour tout n dans N, s^k_n(a) =σn.

b. Comparer les ensemblesSk du point de vue de l’inclusion. Les inclusions obtenues sont-elles strictes ? Pour une sérieadansS donnée, comparer entre elles les sommes d’indicekqui existent éventuelle- ment.

II.3. Montrer que si la série adiverge et est à termes positifs, alorsan’appartient à aucun ensembleSk. PARTIE III

Si la suite (t^k_n(a))_n∈Nconverge dansR, on dit que sa limite est la somme d’ordrekde la sérieaet on appelle Tk la partie deS pour laquelle cette hypothèse est réalisée.

III.1. ComparerS1 etT1ainsi que, lorsqu’elles existent, les sommes d’indice 1 et d’ordre 1 d’une même série adeS.

III.2. Comparer les ensembles Tk du point de vue de l’inclusion sans se préoccuper du caractère strict ou large des inclusions obtenues. On pourra démontrer et utiliser la formule

n

X

p=0

k+p p

=

k+ 1 +n n

.

Pour une sérieadansS donnée, comparer entre elles les sommes d’ordrekqui existent éventuellement.

III.3. Soit (c_n)_n∈N une suite de réels. Pourxréel, on considère la sériec(x) donnée parc(x) =X

c_nxⁿ. On suppose que la sériec(x) converge pour toutxde l’intervalle ]−1; +1[. On pose pour toutndansN, dn=

n

X

p=0

cp.

a. Démontrer que, pour toutx₀ dans ]−1; +1[, la suite|cnxⁿ₀|est bornée. En déduire que la sériec(x) est absolument convergente pourxdans ]−1; +1[.

b. Montrer que, pour toutx₀ dans ]−1; +1[, la suite (dnxⁿ₀)_n∈N est bornée. En déduire que, pour tout xdans ]−1; +1[, la suite (dnxⁿ)_n∈N tend vers 0.

c. Pourxdans ]−1; +1[, comparer les sommes

n

X

p=0

cpx^p et

n−1

X

p=0

dp(x^p−x^p+1). En déduire l’égalité :

+∞

X

n=0

cnxⁿ = (1−x)

+∞

X

n=0

dnxⁿ .

d. En désignant parc la série numérique de terme général cn, établir que, pour toutxdans ]−1; +1[

et toutkdansN, on a l’égalité :

+∞

X

n=0

cnxⁿ= (1−x)^k+1

+∞

X

n=0

k+n n

t^k_n(c)xⁿ. PARTIE IV

IV.1. En conservant les mêmes notations, on poseT_n^k(a) = k+n

n

t^k_n(a).

a. À l’aide de la relation donnant T_n^k+1(a) en fonction des T_p^k(a) pour pdans J0;nK, démontrer par récurrence l’égalité :

k+n n

t^k_n(a) =

n

X

p=0

k+n−p n−p

ap.

b. En déduire l’égalité, pourk≥1 : T_n^k(a) =

n

X

p=0

k+n−p−1 n−p

s⁰_p(a)

puis, pourk≥2, exprimer de même T_n^k(a) en fonction dess¹_p(a) pourpdansJ0;nK.

IV.2. À la sérieadansS on associe la sérieF(a) dansS de terme généralbn donné parb0=s¹₀(a) =a0et, pourn≥1,bn=s¹_n(a)−s¹_n−1(a).

a. Établir pour tous entiersk≥1 etn≥0 l’égalité :

T_n^k(a) = (n+k)T_n^k−1(F(a))−(k−1)T_n^k(F(a)) et en déduire l’égalité :

t^k_n(a) =kt^k−1_n (F(a))−(k−1)t^k_n(F(a)) . b. Établir l’égalité :

t^k_n(a) = (n+ 1)t^k_n(F(a))−nt^k_n−1(F(a))

puis exprimer t^k_n(F(a)) par une combinaison linéaire, à coefficients indépendants de a, des t^k_p(a) pourpdansJ0;nK.

IV.3.

a. Soitk ≥1. SiF(a)∈ T_k−1, montrer a∈ Tk et comparer dans ce cas les sommes d’ordre k−1 de F(a) et d’ordrekdea. Étudier la réciproque.

b. Comparer, pour toutkdansN, les ensemblesSk etTk et, lorsqu’elles existent, les sommes d’indice ket d’ordrekd’une même sérieadansS.

Première composition de mathématiques – X P’ 1981 Corrigé

Première composition de mathématiques – X P’ 1981

PARTIE I

I.1. a. Par hypothèse on ax_n−`=o(1) et donc, par sommation des relations de comparaison et puisque la sérieP1 diverge et est à termes positifs, les sommes partielles des sériesP(x<sub>n</sub>−`) etP1 satisfont à la même relation de domination, i.e. (n+ 1)(yn−`) =o(n+ 1) ou encoreyn−`=o(1). Autrement dit la suite (yn)n∈N converge vers`.

b. Par hypothèse on a 1 =o(x_n) et donc, par sommation des relations de comparaison et puisque la série P1 diverge et est à termes positifs, les sommes partielles des sériesPx_n et P1 satisfont à la même relation de domination, i.e. n+ 1 = o((n+ 1)(y_n) ou encore 1 = o(y_n). Autrement dit lim|yn|= +∞.

Puisque (xn)n∈N diverge vers `, elle est de signe constant à partir d’un certain rang. On dispose donc de ε dans {−1,+1} et de n0 dans N tel que, pour n entier vérifiant n≥ n0, εxn ≥ 0. Soit alorsM =|yn0|. Toujours par divergence de (xn)n∈N, on dispose den₁ entier supérieur àn₀tel que εx_n1 ≥(n₀+ 1)M et alors, pournentier supérieur àn₁, on a

εyn= 1

n+ 1(εxn₁+ε(n0+ 1)yn₀) + 1 n+ 1

n₁−1

X

k=n0+1

εxk+ 1 n+ 1

n

X

k=n1+1

εxk

et doncεy_n ≥0. Il en résulte limεy_n = +∞ou encore limy_n= limx_n, i.e.

le résultat reste valable même si`∈R.

I.2. a. Par hypothèse on a xn −` = o(1) et donc λn(xn −`) = o(λn), par sommation des relations de comparaison et puisque la série P

λn diverge et est à termes positifs, les sommes partielles des sériesP

λn(xn−`) etP

λn satisfont à la même relation de domination, i.e.

n

X

p=0

λpxp−`

n

X

p=0

λp= o

n

X

p=0

λ_p

!

ou encore, puisque la suite

n

X

p=0

λ_p

!

n∈N

est à termes strictement positifs, Pn

p=0λpxp

Pn p=0λp

−

`=o(1). Autrement dit la suite

Pn p=0λpxp

Pn p=0λp

!

n∈N

converge vers`.

b. SoitεdansR^∗₊. Puisque (xn)n∈N est convergente, elle est bornée et on dispose den0 dansNet de RdansR₊ tels que (xn)n∈N est à valeurs dans la boule ferméeB(`, R) et, pournentier supérieur àn<sub>0</sub>, à valeurs dansB(`, ε).

Pour n entier naturel, on pose Λn =

n

X

p=0

λn,p, de sorte que Λn est strictement positif, et yn =

n

X

p=0

λn,pxp

Λ_n . Sin≥n0, yn est barycentre à coefficients strictement positifs den0 points de B(`, R) et den−n<sub>0</sub>+ 1 points deB(`, ε) et donc, par convexité des boules ouvertes,ynest barycentre d’un point deB(`, R) affecté du poids Λn<sub>0</sub> et d’un point deB(`, ε) affecté du poids Λn−Λn₀. En notant βn =Λn₀

Λ_n , il vient alors 0< βn<1 et, par inégalité triangulaire,

|y_n−`| ≤(1−β_n)ε+β_nR≤ε+β_nR .

1

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SoitM dans R₊. On dispose d’un entier naturelN tel que

N

X

p=0

λ_p > M et donc aussi d’un entier

natureln₁ tel que, pour n≥n₁, on a

N

X

p=0

λ_n,p > M par linéarité de la limite. Il vient alors, pour n ≥ max(n1, N), Λn > M par positivité des scalaires λn,p et il en résulte lim Λn = +∞ puis limβn= 0 puisque le numérateur deβn est borné car donné par une suite convergente.

Par conséquent on dispose d’un entier naturel n2 tel que, pour n ≥ n2, |yn−`| ≤ 2ε et donc

limyn=`, i.e. la suite de terme général

n

X

p=0

λn,pxp n

X

p=0

λn,p

converge vers`.

PARTIE II

II.1. a. La suite donnée parxn=s⁰_n(a) est convergente par hypothèse et donc, d’après I.1.a, la suites¹(a) est convergente de même somme, i.e.

la sérieaa une somme d’indice 1 égale à sa somme.

b. Soitnun entier naturel. Par définition, on a s¹_n(a) = 1

n+ 1

n

X

k=0 k

X

p=0

ap= 1 n+ 1

n

X

p=0 n

X

k=p

ap=

n

X

p=0

n+ 1−p n+ 1 ap

et il vients¹_n(a)−s⁰_n(a) =−

n

X

p=0

p

n+ 1ap, d’où, en retranchant

+∞

X

p=n+1

ap,

s¹_n(a)−

+∞

X

p=0

a_p=−

+∞

X

p=n+1

a_p+ 1 n+ 1

n

X

p=0

pa_p

! .

D’après la question précédente, le membre de gauche tend vers 0 quandntend vers l’infini et, par convergence de la sériea, le premier terme du membre de droite aussi. Donc

1 n+ 1

n

X

p=0

pap tend vers 0 quandntend vers l’infini.

II.2. a. Soit ϕet ψles applications définies surS et R^N respectivement, et à valeurs dansR^N, par ϕ(a) =

n

X

p=0

ap

!

n∈N

et ψ(a) = 1 n+ 1

n

X

p=0

ap

!

n∈N

alorsϕet ψsont bijectives d’inverses donnés par

ϕ⁻¹(a) = (a₀, a₁−a₀, a₂−a₁, . . .) et ψ⁻¹(a) = (a₀,2a₁−a₀,3a₂−2a₁, . . .),

i.e. pourn∈N^∗,ϕ⁻¹(a)n=an−an−1 etψ⁻¹(a) = (n+ 1)an−nan−1. De plus, pouradansS, on as⁰(a) =ϕ(a) et, pourk≥1,s^k(a) =ψ^k−1◦ϕ(a).

Pour toute suite (σn)n∈N de nombres réels et toutkdansN, par bijectivité, et donc surjectivité des applicationsϕetψ, il existe une sérieadansS telle qu’on ait, pour toutndansN, s^k_n(a) =σn.

2

Première composition de mathématiques – X P’ 1981 Corrigé

b. En reprenant les notations précédentes pourϕetψ,ϕréalise une bijection entre l’ensembleS0des séries convergentes et l’ensemble des suites convergentes.

Soitkun entier naturel etadansS, on aa∈ Sksi et seulement siψ^k◦ϕ(a) est une suite convergente, i.e. si et seulement siψ^k◦ϕ(a)∈ϕ(S0). Autrement dit on aSk =ϕ⁻¹◦ψ^−k◦ϕ(S0) ou encore, en notantχ=ϕ⁻¹◦ψ◦ϕ,Sk =χ^−k(S0).

La question I.1.a montre qu’on aψ◦ϕ(S0)⊂ϕ(S0), i.e.χ(S0)⊂ S0, et, pouradans S0,

+∞

X

n=0

a_n=

+∞

X

n=0

ψ◦ϕ(a)_n. On a donc en particulierS0⊂ S1 et donc aussi, en appliquantχ^−k,Sk ⊂ Sk+1 et les sommes d’indicesket k+ 1 coïncident lorsque la première des deux existe.

De plus, en notantala sérieP(−1)ⁿ, on aa6∈ S₀ maisa∈ S₁ et doncS₀(S₁, puis par bijectivité deχ,Sk (Sk+1. Par conséquent

les ensemblesS_k forment une suite strictement croissante au sens de l’inclusion et, pour une série adansS donnée, toutes les sommes d’indicekde la sérieaqui existent sont égales.

II.3. Soitaune série divergente et à termes positifs, alors d’après I.1.b, il en est de même pours¹(a), i.e. en reprenant les notations précédentes pourχ, deχ(a). Par conséquent il en est de même pourχ^k(a) pour tout entier naturelket donc, en particulier,χ^k(a)6∈ S₀ou encore an’appartient à aucun ensembleS_k.

PARTIE III III.1. PouradansS, on a s¹(a) =t¹(a) et donc

S1 etT1 et les sommes d’indice 1 et d’ordre 1 existent simultanément et sont alors égales.

III.2. Soit E l’ensemble J0;n+kK et F l’ensemble des parties à n éléments de E. Son cardinal est donc

n+k+1 n

. SoitX dansF, on lui associe le couple (x, Y) donné parx= max(E\X) etY =X∩J0;x−1K. Puisqu’on a alorsX =Y ∪Jx+ 1;n+kK, cette application est injective. De plusX étant de cardinal n, son complémentaire est de cardinalk+ 1 et doncx≥k, et six=k+pavec 0≤p≤n,X contient l’ensemble àn−pélémentsJk+p+ 1;n+kKet doncY est de cardinalp.

Il en résulte queF est en bijection avec l’ensemble des couples de la forme (x, Y) où xest un élément deJk;n+kKetY est une partie àpéléments deJ0;x−1K. Comme ce dernier ensemble est de cardinal

n

X

p=0

k+p p

, on en déduit

n

X

p=0

k+p p

=

k+ 1 +n n

. On pose, pour tout entier naturelp,λ_p= ^k+p_p

ou encoreλ_p= ^k+p_k

. AlorsPλ_pest une série à termes positifs dont le terme général est équivalent à 1

k!p^k, doncPλ_p est divergente et il résulte de I.2.a que sit^k(a) converge, alors il en va de même pourt^k+1(a) et leurs limites sont égales. Par conséquent

les ensemblesT_k forment une suite strictement croissante au sens de l’inclusion et, pour une sériea dansS donnée, toutes les sommes d’ordrekde la sérieaqui existent sont égales.

III.3. a. Soitx0 dans ]−1; +1[. Puisquec(x0) converge, la suite (cnxⁿ₀) tend vers 0 et, en particulier, elle est bornée.

Soitxdans ]−1; +1[ etx0= 1 +|x|

2 de sorte qu’on a|x|< x0 <1. D’après ce qui précède la suite (c_nxⁿ₀) est bornée et doncc_nxⁿ=O

x x0

n

. Par comparaison avec une série géométrique de raison (positive) strictement inférieure à 1,

la sériec(x) est absolument convergente.

3

Première composition de mathématiques – X P’ 1981 Corrigé

b. Soit x0 dans ]−1; +1[. Par décroissance de n 7→ |x0|ⁿ, on a dnxⁿ₀ = O(s⁰_n(c(x0))). D’après ce qui précède la série c(x0) est absolument convergente, donc s⁰_n(c(x0)) = O(1) et il en résulte que

la suite (d_nxⁿ₀)n∈N est bornée.

Soit x dans ]−1; +1[ et x0 = 1 +|x|

2 . Comme précédemment, on a dnxⁿ = O

x x0

n

et donc la suite (dnxⁿ)_n∈N tend vers 0.

c. Soitxdans ]−1; +1[. Par transformation d’Abel, on a

n−1

X

p=0

dp(x^p−x^p+1) =d0−dn−1xⁿ+

n−1

X

p=1

x^p(dp−dp−1) =

n−1

X

p=0

cpx^p−dn−1xⁿ,

i.e.

n

X

p=0

cpx^p−

n−1

X

p=0

dp(x^p−x^p+1) =dnxⁿ.

En particulier puisque, d’après ce qui précède, le second membre tend vers 0 quand n tend vers l’infini et que la série c(x) converge, la série P(1−x)d_nxⁿ converge également et sa somme est égale à celle de c(x). Comme 1−x est non nul, il en résulte que Pd_nxⁿ converge et qu’on a

+∞

X

n=0

c_nxⁿ= (1−x)

+∞

X

n=0

d_nxⁿ.

d. Le résultat précédent s’écrit également

+∞

X

n=0

cnxⁿ= (1−x)

+∞

X

n=0

t⁰_n(c)xⁿ=X0 +n n

t⁰_n(c)xⁿ.

Si la sérieP k+n n

t^k_n(c)xⁿ converge pour toutxdans ]−1; +1[, alors il en va de même pour la série de terme général

n

X

p=0

k+p p

t^k_p(c)xⁿ, i.e.

k+n+ 1 n

t^k+1_n (c)xⁿ, grâce à la question précédente, et sa somme vérifie

+∞

X

n=0

k+n n

t^k_n(c)xⁿ= (1−x)

+∞

X

n=0

k+n+ 1 n

t^k+1_n (c)xⁿ

et on conclut donc par récurrence sur l’entier naturel k que, pour toutx dans ]−1; +1[ et tout k dansN, la sérieP k+n

n

t^k_n(c)xⁿ converge et on a l’égalité :

+∞

X

n=0

cnxⁿ= (1−x)^k+1

+∞

X

n=0

k+n n

t^k_n(c)xⁿ.

PARTIE IV

IV.1. a. Soitadans S et, pourk dans N, soit (Hk) le prédicat : pour tout entier naturel n, on a T_n^k(a) =

n

X

p=0

k+n−p n−p

ap.

Pourk= 0, on aT⁰(a) =t⁰(a) =s⁰(a), de sorte que (H0) est vrai.

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Soit maintenantk dansNtel que (Hk) soit vrai. On a alors, pourndansN, T_n^k+1(a) =

n

X

q=0

T_q^k(a)

=

n

X

q=0 q

X

p=0

k+q−p q−p

a_p

=

n

X

p=0 n

X

q=p

k+q−p q−p

! a_p

=

n

X

p=0 n−p

X

r=0

k+r r

! ap

=

n

X

p=0

k+n−p+ 1 n−p+ 1

a_p,

d’après III.2, et donc (Hk+1) est vrai. D’après le principe de récurrence, on en déduit l’égalité pour tousk etnentiers naturels

k+n n

t^k_n(a) =

n

X

p=0

k+n−p n−p

ap.

Remarque : le sujet ne s’appuie pas sur la partie III, mais on pourrait le faire. On se donne un entier naturelnet on considère la série c donnée parc_p =a_p si p≤net c_p= 0. Alors les hypothèses de III.3 sont vérifiées puisque la sériec(x) est en fait une fonction polynomiale. De plus une récurrence immédiate montre que, pour p≤ n et k dans N, on a t^k_p(a) = t^k_p(c). On en déduit, pour x dans ]−1; +1[,

n

X

p=0

apx^p = (1−x)^k+1

+∞

X

p=0

T_p^k(c)x^p et donc d’après la formule de Taylor,

T_n^k(a) =T_n^k(c) = 1 n!

dⁿ

dxⁿ (1−x)^−(k+1)

n

X

p=0

apx^p

!

|x=0

ou encore, d’après la formule de Leibniz, T_n^k(a) = 1

n!

n

X

p=0

n p

p!a_p(k+n−p)!

k! =

n

X

p=0

k+n−p n−p

a_p.

b. On reprend la notation de II.2 :ϕdésigne l’application deS dansR^N donnée par ϕ(a) =

n

X

p=0

a_p

!

n∈N

et on noteσl’application de R^N dansS donnée par σ((an)n∈N) =X

an.

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Première composition de mathématiques – X P’ 1981 Corrigé

En particulier s⁰ = t⁰ = T⁰ = ϕ et, pour k dans N, on a T^k+1 = ϕ◦σ◦T^k, et donc T^k+1 = (ϕ◦σ)^k+1◦ϕ=T^k◦(σ◦ϕ). Commeσ◦ϕ(a) =P

s⁰_n(a), la formule précédente donne, pourk≥1 etndansN,T_n^k(a) =T_n^k−1(X

s⁰_n(a)), soit T_n^k(a) =

n

X

p=0

k+n−p−1 n−p

s⁰_p(a).

Pourk≥2, on aT^k=T^k−2◦(σ◦ϕ)²=T^k−2◦σ◦T¹, i.e. pourndansN,T_n^k(a) =T_n^k−2(X T_n¹(a)) et donc, puisqueT_n¹(a) = (n+ 1)t¹_n(a) ett¹=s¹,

T_n^k(a) =

n

X

p=0

k+n−p−2 n−p

(p+ 1)s¹_p(a).

IV.2. a. On a par définition T⁰◦F =s¹ et donc, pourndans N, on a (n+ 1)T_n⁰(F(a)) = (n+ 1)s¹_n(a) = (n+ 1)t¹_n(a) =T_n¹(a), ce qui s’écrit aussi

T_n¹(a) = (n+ 1)T_n⁰(F(a))−0·T_n¹(F(a)).

Par ailleurs pourk≥2, on a, d’après les formules de la question précédente et puisques⁰◦F=s¹, T_n^k(a) =

n

X

p=0

k+n−p−2 n−p

(p+ 1)s¹_p(a)

(n+k)T_n^k−1(F(a)) =

n

X

p=0

k+n−p−2 n−p

(n+k)s¹_p(a)

(k−1)T_n^k(F(a)) =

n

X

p=0

k+n−p−1 n−p

(k−1)s¹_p(a)

et on a également, pourp≤n, (n+k−p−1)

k+n−p−2 n−p

=(n−p+k−1)!

(n−p)!(k−2)! = (k−1)

n−p+k−1 n−p

. Il en résulte, pour tous entiersk≥1 etn≥0, l’égalité :

T_n^k(a) = (n+k)T_n^k−1(F(a))−(k−1)T_n^k(F(a)) et aussi, puisque

k+n n

= n+k k

n+k−1 n

, t^k_n(a) =kt^k−1_n (F(a))−(k−1)t^k_n(F(a)).

b. Sik= 0, l’identité cherchée s’écrits⁰_n(a) = (n+ 1)s¹_n(a)−ns¹_n−1(a), ce qui est vrai pour toutndans N^∗ par définition des¹.

Soitketndes entiers supérieurs à 1. Par construction, on aT_n^k−T_n−1^k =T_n^k−1et donc (n+k)T_n^k−1−(k−1)T_n^k = (n+ 1)T_n^k−(n+k)T_n−1^k ,

d’où, en utilisant la relation de la question précédente,

T_n^k(a) = (n+ 1)T_n^k(F(a))−(n+k)T_n−1^k (F(a)) . Donc, en divisant par ^k+n_n

, pour touskdansNet ndansN^∗, t^k_n(a) = (n+ 1)t^k_n(F(a))−nt^k_n−1(F(a)).

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Première composition de mathématiques – X P’ 1981 Corrigé

Pour tout entierk, on at^k₀(a) =t⁰₀(a) =a0 et donc aussit^k₀(F(a)) =F(a)0=s¹₀(a) =a0=t⁰₀(a). Il résulte de ce qui précède qu’on a, pourkdansNet ndansN^∗,

(n+ 1)t^k_n(F(a)) =

n

X

p=1

(p+ 1)t^k_p(F(a))−pt^k_p−1(F(a))

+t^k₀(F(a))

=

n

X

p=1

t^k_p(a) +t⁰₀(F(a))

=

n

X

p=1

t^k_p(a) +a₀

et donc t^k_n(F(a)) = 1 n+ 1

n

X

p=0

t^k_p(a).

IV.3. a. SiF(a) appartientT_k−1, alors il appartient aussi àTkd’après III.2, et de plust^k(F(a)) ett^k−1(F(a)) ont même limite. Il résulte alors de IV.2.a quet^k(a) converge et a même limite que ces deux suites, i.e.

a∈ Tk et les sommes d’ordrek−1 deF(a) et d’ordrekdeasont égales.

Réciproquement sia∈ Tk, alors d’après IV.2.b et I.1.a,F(a)∈ Tk et t^k(F(a)) a même limite que t^k(a). Il résulte alors de IV.2.a qu’on a égalementF(a)∈ Tk−1. Autrement dit

sia∈ Tk, alorsF(a)∈ Tk−1.

b. SoitkdansN. D’après ce qui précède, on a

a∈ Tk⇔F^k(a)∈ T0

et dans ce cas la somme d’ordrekdeaest aussi la somme d’ordre 0 deF^k(a).

On reprend les notations de II.2, à savoirϕet ψsont les applications définies surS etR^N respec- tivement, et à valeurs dansR^N, par

ϕ(a) =

n

X

p=0

a_p

!

n∈N

et ψ(a) = 1 n+ 1

n

X

p=0

a_p

!

n∈N

,

de sorte qu’on as^k =ψ^k◦ϕ,F =ϕ⁻¹◦ψ◦ϕetF^k=ϕ⁻¹◦s^k. Par conséquent F^k(a)∈ T0⇔s^k(a)∈ϕ(T0)

et donc, puisqueϕ(T0) =ϕ(S0) et que cet ensemble est l’ensemble des suites convergentes, on a F^k(a)∈ T0⇔a∈ Sk.

De plus la somme d’indicekdeaest alors la limite des^k(a) et donc la somme de la sérieϕ⁻¹◦s^k(a), soit la somme de la sérieF^k(a).

On en conclut que

pour tout k dans N, S_k =T_k et, lorsqu’elles existent, les sommes d’indicek et d’ordre k sont égales.

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