2013-2014

(1)

ISA BTP, 1◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2013-2014

CONTR ˆOLE CONTINU

Suites num´eriques

Dur´ee : 1h30. Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 Soient (Sn) et (Tn) les suites d´efinies par

∀n ∈ N∗, Sn= 1 + n−1 X k=1 1 k2_{(k + 1)}2 et Tn = Sn+ 1 3n2

1. Montrer que les suites (Sn) et (Tn) convergent vers une mˆeme limite `.

2. Déterminer un intervalle de longueur 10−2 contenant ` et une valeur approchée de ` à 10−2 près.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 2 Soit (un) d´efinie par

∀n ∈ N∗, un= cos n + 1 n π

En ´etudiant les suites extraites (u2n) et (u2n+1), montrer que la suite (un) diverge.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 3 Soient (un) et (vn) les suites d´efinies par u0 = 2, v0 = 1 et

∀n ∈ N, (R1) : un+1 = u2 n un+ vn , (R2) : vn+1 = v2 n un+ vn

1. Calculer les termes u1, v1, u2, v2.

2. Montrer par r´ecurrence que un> 0 et vn> 0 pour tout n ∈ N.

3. Montrer que les suites (un) et (vn) sont d´ecroissantes.

4. En d´eduire la nature des suites (un) et (vn) et le signe des limites.

(2)

(a) Montrer que `.`0 = 0 (on pourra passer `a la limite “n → +∞” la relation (R1)).

(b) Montrer par r´_{ecurrence que pour tout n ∈ N, u}n− vn= 1.

(c) En d´eduire les valeurs respectives de ` et `0.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

Exercice 4 Soit f la fonction d´_{efinie sur R par}

∀x ∈ R, f (x) =            1 2(x − 4) si x 6 −2 3(x + 1) si _{−2 6 x 6 −1} 2 3(x + 1) si x > −1

1. Montrer sans calcul que la fonction f est croissante sur R.

2. Dans le repère ci-joint, tracer la courbe de f et la droite d’équation y = x. 3. Déterminer graphiquement puis par le calcul les points fixes de f .

4. `A partir du graphique, dresser le tableau de signe de f (x) − x et donner les intervalles stables de f .

5. Donner, selon la valeur de u0, le sens de variation, la nature et la limite des suites (un)

v´erifiant la relation

un+1 = f (un)

6. Tracer dans le repère ci-joint le parcours de différentes suites (un). On s’attachera à

illustrer chacune des situations décrites à la question précédente.

? ? ?

(3)

ISA BTP 1◦année Contrôle continu 2013-2014 Nom : ... Prénom : ...

-6

-4

-2

2

4 -6

-4

-2

2

4

(4)

CORRECTION

Exercice 1 :

1. Montrons que les deux suites (Sn) et (Tn) sont adjacentes :

– Sn+1− Sn= 1 + n X k=1 1 k2_{(k + 1)}2 − 1 − n−1 X k=1 1 k2_{(k + 1)}2 = 1 n2_{(n + 1)}2 > 0

Donc la suite (Sn) est croissante.

– Tn+1− Tn= Sn+1+ 1 3(n + 1)2 − Sn− 1 3n2 = 1 n2_{(n + 1)}2 + 1 3(n + 1)2 − 1 3n2 = 3 + n 2_{− (n + 1)}2 3n2_{(n + 1)}2 = 2(1 − n) 3n2_{(n + 1)}2 < 0

Donc la suite (Tn) est d´ecroissante.

– Tn− Sn=

1

3n2 → 0.

Les suites (Sn) et (Tn) ´etant adjacentes, elles convergent toutes les deux vers une mˆeme

limite `.

2. Pour tout n ∈ N∗, on a Sn 6 ` 6 Tn. Autrement dit, ` est dans tout intervalle

de la forme [Sn, Tn]. La distance Tn − Sn valant _3n12, on obtient l’intervalle voulu d`es

que _3n12 6 10

−2_{. Le calcul donne alors n}

0 = 6 et ` ≈ S6 = 1 + 5 X k=1 1 k2_{(k + 1)}2 ≈ 1.29 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 : 1. u2n = cos 2n + 1 2n π = cos π 2n + 2nπ = cos π 2n

Puisque _2nπ → 0 et que la fonction cosinus est continue, on a u2n → cos(0) = 1.

2. u2n+1 = cos 2n + 1 + 1 2n + 1 π = cos π 2n + 1+ (2n + 1)π = cos π 2n + π

(5)

On a donc mis en ´evidence deux suites extraites de (un) qui ont des limites diff´erentes. On peut

donc en d´eduire que la suite (un) diverge.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 : 1. u1 = u2 0 u0+ v0 = 4 3 u2 = u2 1 u1+ v1 = 16 9 4 3 + 1 3 = 16 15 v1 = v2 0 u0+ v0 = 1 3 v2 = v2 1 u1+ v1 = 1 9 4 3 + 1 3 = 1 15 2. Soit P(n) = “un > 0 et vn> 0”

– Par hypoth`ese, u0 = 2 > 0 et v0 = 1 > 0. Donc P(0) est vraie.

– Supposons qu’il existe un entier n ∈ N tel que un > 0 et vn> 0. On a alors un+ vn> 0

et d’apr`es les relations de r´ecurrences donnant un+1 et vn+1 en fonction de un et vn, on

a donc un+1 > 0 et vn+1 > 0. Donc P(n + 1) est vraie.

La propriété P(n) étant vraie au rang 0 et hér´_{editaire, elle est vraie pour tout n ∈ N.} 3. D’après les relations de récurrences vérifiées par les suites (un) et (vn), pour tout n ∈ N,

on a

un+1

un

= un

un+ vn

Or d’après la question précédente, vn > 0 donc un + vn > un et

un+1

un 6

un

= 1 La suite (un) est donc d´ecroissante.

En ´etudiant le quotientvn+1

vn de la même fa¸con, on montre de même que (vn) est décroissante.

4. Les suites (un) et (vn) étant décroissantes et minorées par 0, elles convergent et leurs

limites respectives sont positives.

5. (a) En passant `a la limite “n → +∞” dans la relation (R1), on a

` = ` 2 ` + `0 ⇐⇒ `(` + ` 0 ) = `2 ⇐⇒ `2_{+ `.`}0 = `2 ⇐⇒ `.`0 = 0 (b) Soit Q(n) : “un− vn= 1”.

– Par hypoth`ese, u0 − v0 = 2 − 1 = 1. Donc Q(0) est vraie.

– Supposons qu’il existe un n ∈ N tel que un − vn = 1. D’apr`es les relations de

récurrence vérifiées par (un) et (vn), on a

un+1− vn+1 = u2 n un+ vn − v 2 n un+ vn = u 2 n− v2n un+ vn = (un− vn)(un+ vn) un+ vn = un− vn= 1

Donc Q(n + 1) est vrai.

(6)

(c) D’après les questions précédentes, les limites ` et `0 sont solutions du système (S) : `.` 0 _{= 0} ` − `0 = 1 ⇔ (S1) : `0 _{= 0} ` = 1 ou (S2) : ` = 0 `0 = −1

D’autre part, on a vu plus haut que les limites ` et `0 sont positives ou nulles. Seul le système (S1) vérifié cette dernière condition donc ` = 1 et `0 = 0.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 4 :

1. Sur chacun des intervalles ] − ∞, −2], [−2, −1] et [−1, +∞[, la fonction f est d´efinie par une fonction affine de coefficient directeur positive. La fonction f est donc croissante sur chacun de ces intervalles et donc sur R.

2. -6 -4 -2 2 4 -6 -4 -2 2 4

y

=

x

y

=

f

(

x

)

3. D’apr`es le graphe ci-dessus, la fonction f poss`ede trois points fixes : x1 = −4, x2 = −1.5

et x3 = 2.

Par le calcul, on ´etudie chacun des intervalles intervenant dans la d´efinition de f . Ainsi, – sur ] − ∞, −2], on a f (x) = x ⇐⇒ x − 4 2 = x ⇐⇒ x 2 = −2 ⇐⇒ x = −4 – sur [−2, −1], on a f (x) = x ⇐⇒ 3(x + 1) = x ⇐⇒ 2x = −3 ⇐⇒ x = −1.5

(7)

– sur [−1, +∞[, on a f (x) = x ⇐⇒ 2 3(x + 1) = x ⇐⇒ 1 3x = 2 3 ⇐⇒ x = 2

On retrouve bien les trois points fixes x1, x2 et x3 lus sur le graphe.

4. D’apr`es le graphique, on a

x −∞ −4 −1.5 2 +∞

f (x) − x + − + −

Les intervalles stables de f sont donc

I1 =] − ∞, −4], I2 = [−4, −1.5], I3 = [−1.5, 2], I4 = [2, +∞[.

5. (a) Si u0 < −4, la suite (un) est croissante. ´Etant major´ee par −4 elle converge. La

fonction f ´etant continue, elle converge donc vers un point fixe qui ne peut ˆetre que x1 = −4.

(b) Si −4 < u0 < −1.5, la suite (un) est d´ecroissante et minor´ee par −4. Elle converge

donc vers x1.

(c) Si −1.5 < u0 < 2, la suite (un) est croissante et major´ee par 2. Elle converge donc

vers 2.

(d) Si u0 > 2, la suite (un) est d´ecroissante et minor´ee par 2. Elle converge donc vers 2.

(e) Si u0 correspond à l’un des points fixes xi, la suite (un) est constante égale à xi.

6. -6 -4 -2 2 4 -6 -4 -2 2 4

u

₀

>

2 u

₀

<

−

4

−

4 <u

0

<

−

1 .

5

−

1 .

5 <u

0

<

2

(8)

? ? ?