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Formule de Taylor-Lagrange 1

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Academic year: 2021

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Khôlle d’analyse

Samuel Rochetin

Samedi 17 février 2018

Exercice. Soit f une fonction deux fois dérivable sur [0; 1] telle que f (0) = f0(0) = f0(1) = 0 et f (1) = 1. Montrer qu’il existe c ∈]0; 1[ tel que |f00(c)| ≥ 4. Solution. La formule de Taylor-Lagrange appliquée en a = 0 et b = 12 donne l’existence de c1∈0;12 tel que f 12 = f (0)+f0(0) 12− 0+

f00(c1) 2! 1 2− 0 2 = f00(c1) 8 .

La formule de Taylor-Lagrange appliquée en a = 1 et b = 12donne l’existence de c2 ∈ 1 2; 1 tel que f 1 2  = f (1) + f0(1) 1 2− 1 + f00(c2) 2! 1 2− 1 2 = 1 + f00(c 2) 8 . Il vient f 00(c 1) 8 = 1 + f00(c2) 8 =⇒ 8 = |f 00(c 1) − f00(c2)| ≤ |f00(c1)| + |f00(c

2)| ≤ 2 max(|f00(c1)|, |f00(c2)|) =⇒ max(|f00(c1)|, |f00(c2)|) ≥ 4. Nous

avons appliqué l’inégalité triangulaire puis divisé par 2. Donc c = c1ou c = c2.

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