Travaux dirigés
PC
∗Intégration sur un segment
Exercice 1
a) Soit f : [a, b] → R une fonction continue telle que Zb
a
f (t) dt = 0. Montrer que f s’annule au moins une fois sur ]a, b[.
b) Soit f : [a, b] → R une fonction continue telle que Z b
a
f (t) dt = 0 et
Z b
a
tf (t) dt = 0. Montrer que f s’annule au moins
deux fois sur ]a, b[.
c) Soit n > 2 et f : [a, b] → R une fonction continue telle que pour tout k ∈ ~0, n − 1, Zb
a
tkf (t) dt = 0. Montrer que f
s’annule au moins n fois sur ]a, b[.
Indication. Utiliser le théorème fondamental de l’analyse. Exercice 2 Soit k > 2 un entier fixé. Calculer lim
n→+∞ 1 n + 1+ 1 n + 2+ · · · + 1 kn .
Exercice 3 Soit f : [0, 1] → R une fonction continue. Déterminer lim
n→+∞ 1 n2 X 16i<j6n f i n f j n .
Exercice 4 Pour x ∈ R \ {−1, 1}, calculer Z2π
0
ln |x − eit|dt en utilisant une somme de Riemann. Exercice 5 Soit f : [a, b] → R une fonction continue.
a) Soit g : x 7→ x Zx a (1 − t)f (t) dt + (1 − x) Zb x
tf (t) dt. Justifier que g est de classeC2et que g00= f . b) Soit n ∈ N∗et hn: x 7→
Z x
a
(x − t)n−1
(n − 1)! f (t) dt. Justifier que hnest de classeC
net que h(n)
n = f .
Exercice 6 Soient f : [a, b] → R+et g : [a, b] → R deux fonctions continues. On suppose que f ne s’annule pas sur ]a, b[.
a) Démontrer qu’il existe c ∈ ]a, b[ tel que Zb a f (t)g(t) dt = g(c) Zb a f (t) dt.
b) Application. Soit g une fonction continue au voisinage de 0. Déterminer la limite lim
x→0
Zx
0
tg(t) dt.
Exercice 7 Pour 0 < a < b déterminer lim
x→0+ Z bx ax 1 − cos(t) t3 dt. Exercice 8 Soit I = Zπ 0 t sin t
1 + (cos t)2dt. Effectuer dans I le changement de variable u = π − t et en déduire la valeur de I.
