Le théorème de spécialisation du groupe fondamental

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Le théorème de spécialisation du groupe fondamental

Fabrice Orgogozo, Isabelle Vidal

To cite this version:

Fabrice Orgogozo, Isabelle Vidal. Le théorème de spécialisation du groupe fondamental. Jean-Benoît Bost, François Loeser, Micher Raynaud (éditeurs). Courbes semi-stables et groupe fondamental en géométrie algébrique, Birkhäuser, pp.169–184, 2000, Collection : Progress in Mathematics, Vol. 187.

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hal-00196612, version 1 - 13 Dec 2007

par

Fabrice Orgogozo & Isabelle Vidal

R´esum´e. — SoitXune courbe propre et lisse au-dessus d’un trait strictement henslien completSd’exposant caractristiquep. On dfinit une flche de spcialisation du groupe fondamental de la fibre gnrique gomtriqueXη¯dans le groupe fondamental de la fibre spcialeX_s. On prouve que cette flche est surjective et induit un isomorphisme sur les plus grands quotients d’ordre premier p. On gnralise ensuite ce rsultat au cas d’une courbe propre et lisse prive d’un diviseur taleDen se restreignant aux revtements modrs le long deD. Tous ces thormes sont dus A. Grothendieck et sont dmontrs dans un cadre plus gnral dans SGA 1.

Abstract. — LetXbe a smooth proper curve over the spectrum of a strictly Henselian complete discrete valuation ring whose characteristic exponent isp. A specialization homomorphism is defined from the fundamental group of the geometric generic fibre Xη¯to the fundamental group of the special fibreXs. It is proved that this homomorphism is surjective, and induces an isomorphism of the greatest quotient groups of order prime top. This result is then generalized to the case of a smooth proper curve with an tale divisorD removed, where only tamely ramified coverings relative to Dare considered. All of these results are due to A.

Grothendieck and are proved in greater generality in SGA 1.

PARTIE I LE CAS PROPRE

1. La flche de spcialisation

Dans cette partie, X dsignera une courbe propre et lisse sur un trait ⁽ⁱ⁾ S = Spec R, o R est un anneau de valuation discrte complet, de corps des fractionsKet de corps rsiduelk algbriquement clos, d’exposant caractristique p≥1. Notonsη le point gnrique deS, ets son point ferm ; on suppose en outreXs connexe. Notre but tant d’obtenir des rsultats sur le π1

des courbes en caractristiquep >0, ces hypothses se justifient car toute courbe projective et lisse sur un corps algbriquement clos de caractristiquep, est la fibre spciale d’un schma propre et lisse sur l’anneau des vecteurs de WittW(k). On a en effet le rsultat suivant :

Th´eor`eme 1.1. — SoitAun anneau local noethrien complet de corps rsiduelk. SiX0 est un schma projectif et lisse surktel que

H²(X0,O^X0) = H²(X0,Ω^∨X0/k) = 0, alors il existe unA-schma projectif et lisseX tel queX⊗Ak≃X0.

D´emonstration. Voir SGA 1,III,7.3.

Commen¸cons par montrer que, sous les hypothses du premier paragraphe,X est connexe.

Lemme 1.2. — Soitf:X →S un morphisme propre vers un trait. Alors tout ouvert U contenant la fibre spciale estX tout entier.

D´emonstration. C’est trivial car l’applicationf est ferme.

Corollaire 1.3. — Sous les hypothses prcdentes, X est connexe.

D´emonstration. Soit U un ouvert-ferm non vide deX. On peut supposer qu’il rencontreXs, qui est connexe, donc qu’il la contient. D’oU =X.

Remarque 1.4. — Xη est non vide carX se surjecte surS(par lissit), puisque l’image contient le point ferm.

Th´eor`eme 1.5. — Sous les hypothses prcdentes, le morphisme canoniqueπ1(Xs)→π1(X)est un isomorphisme.

2 FABRICE ORGOGOZO & ISABELLE VIDAL

D´emonstration. Pour tablir la surjectivit, il s’agit de montrer que pour tout revtement tale connexeY →X,Ys=Y ×XXsest connexe. On peut factoriser (EGA III, 4.3.1) le morphismeY −→^f S enY −→^g Y^{′ f}

′

−→S, avec Y^′=Specf∗(OY) fini (thorme de finitude), propre sur S et g fibres non vides, gomtriquement connexes. L’anneau R tant henslien, on a Y^′ =∐ⁿi=1Y_i^′, o lesY_i^′ sont des spectres d’algbres locales finies sur R; mais commeY^′ est l’image continue d’un connexe,n = 1. Puisque la factorisation de Stein donne une bijection entre les composantes connexes deYset celles de la fibreY_s^′ qui est connexe par ce qui prcde,Ysest aussi connexe.

L’injectivit est plus dlicate. On part d’un revtement tale connexe ¯Y →X¯et on cherche montrer qu’il provient d’un revtement tale surX i.e. qu’il existeY →X fini tale tel que ¯Y ≃Y ⊗^Rk. Notant (π) l’idal maximal deR, posonsXn =X×^RR/πⁿ⁺¹ pour tout n ≥ 0. On sait (EGA IV, 18.1.2) que le foncteur Zn Z¯ = Zn×XnX¯ est une quivalence de catgories entre lesXn-schmas tales et les ¯X-schmas tales. Pour toutn, il existe doncYn tale surXn de rduction ¯Y moduloπ. De plus,Yn

est fini sur Xn car il est propre et quasi-fini (cette dernire proprit est topologique donc se lit sur la fibre spciale). Notons Mn laOXn-algbre cohrente telle que Yn=Spec Mn. La pleine fidlit dans l’quivalence de catgories nous donne de plus des isomorphismesYn+1×Xn+1Xn≃Ynet des relations analogues en termes d’OXn-algbres cohrentes. On obtient ainsi un systme projectif qui dfinit un faisceau cohrent formelMcsur le complt formel ˆX deX le long de la fibre ferme. CommeX est propre surRlocal noethrien, on a (1.6) une quivalence de catgories entre lesOX-modules cohrents et lesOXˆ-modules formels cohrents.

En particulier,Mc estalgbrisable, i.e. il existe unO^X-module cohrent Mtel queM ⊗^OX O^Xn ≃ Mⁿ pour tout n≥0. Ce OX-module est en fait muni d’une structure d’OX-algbre, vrifiantM ⊗O_XOX0 ≃ M0(en tant qu’OX0-algbres). Reste montrer queY =SpecM, qui est bien fini surX, est aussi tale. Grce au (1.2), il nous suffit de le vrifier au-dessus deXs, le lieu tale tant ouvert. Comme la nettet se lit sur les fibres, et comme Ys ≃ Y¯ est tale sur ¯X =Xs, Y est bien net au-dessus de Xs. D’autre part, la platitude rsulte du thorme (1.6).

Th´eor`eme 1.6 (d’algbrisation). — SoitRun anneau local noethrien, d’idal maximals. On poseY = Spec(R). On considre galement un morphisme propref:X→Y ; on dsigne parYb (resp.X) le complt formel deb Y (resp. deX) le long deYs (resp.

Xs), et on notefˆ: ˆX →Yˆ le prolongement def aux complts. Le foncteur b :M 7→Mc est une quivalence de la catgorie des O^X-modules cohrents dans celle desOX^ˆ-modules cohrents. De plus, Mest unO^X-module localement libre surXs ssi Mⁿ est unOXn-module localement libre pour toutn.

D´emonstration. Voir EGA III,5.1.4.

Pour tablir l’existence d’une flche de spcialisation, nous avons besoin de la

Proposition 1.7. — Sous les hypothses prcdentes, le morphisme canoniqueπ1(Xη¯)→π1(X)est surjectif.

On veut montrer que siY →Xest un revtement tale connexe, il en est de mme deYη¯→Xη¯. crivons ¯ηcomme limite inductive de ses sous-extensions finiesη^′ surη; par suite,Yη¯= lim

←−Y_η^′. SiYη¯ n’est pas connexe, ce schma contient un idempotent non trivial, et il en est de mme deY_η^′ pour une extensionη^′ suffisamment grande. Il suffit donc de montrer queY_η^′ est connexe pour toute extension finieη^′/η. NotonsR^′ le normalis deRdansη^′ :Y_η′ est la fibre gnrique deY_R′=Y ×RR^′. Or ce dernier schma, qui est propre au-dessus de l’anneauR^′, a une fibre spciale connexe isomorphe Ys; d’aprs (1.3) il est donc connexe.

tant normal, il est mme irrductible. AinsiY_η′, qui est un ouvert deY_R′, est galement irrductible, donc connexe.

Th´eor`eme 1.8. — SoitX une courbe propre et lisse sur un anneau de valuation discrte complet de corps rsiduel algbriquement clos, dont on noteη etsles points gnrique et ferm. Si on suppose Xs connexe, il en est de mme deXη¯=Xη×κ(η)κ(η), et il existe une flche canonique surjective, dite despcialisation :

π1(Xη¯)→^sp π1(Xs).

D´emonstration. En effet, on a le diagramme commutatif suivant : π1(Xη¯)

spJJJ//J//J$$$$ JJ JJ

π1(Xs)

≃

π1(Xη) ////π1(X)

Le morphisme de spcialisation est obtenu en inversant l’isomorphismeπ1(Xs)→π1(X).

Ce rsultat, joint ceux admis en introduction, nous permet de raliser le groupe fondamental d’une courbe propre et lisse sur un corps algbriquement clos de caractristiquep >0 comme quotient du “π1 analogue” en caractristique nulle que l’on connait par voie transcendante. En particulier, il est topologiquement de type fini, et engendr par 2glments, g dsignant le genre de Xη¯. OrXs et Xη¯ ont mme genre : en effet, l’application X →S est plate donc la caractristique d’Euler-Poincar du faisceau structural des fibres ne change pas et lesH⁰ sont de dimension 1, puisque les courbes sont intgres sur des corps algbriquement clos. Voici l’nonc prcis :

Corollaire 1.9. — Soit X0 une courbe de genre g propre, lisse et connexe sur un corps algbriquement clos. Alors le groupe profiniπ1(X0)admet un systme de2ggnrateurs topologiquessi, ti, lis par la relation

Yg _{−1 −1}

2. Le cas des revtements d’ordre premier p

Dans toute la suite, on noterap≥1 l’exposant caractristique dek. SiGest un groupe profini, on dfinitG^(p′)comme le plus grand quotient de Gd’ordre premier p, c’est--dire Gdivis par le sous-groupe (normal) ferm engendr par les p-sous-groupes de Sylow deG. On a doncG^(p′) = lim

←−G/N, les sous-groupesN tant ferms normaux d’indice fini premier p. Ainsi, π1(X)^(p′), aussi notπ^(p₁^′)(X), classifie les revtements finis tales galoisiens deX d’ordre premier p. De la surjection canoniqueG։G^(p′), on dduit par fonctorialit le carr commutatif suivant :

π1(Xη¯)

sp ////π1(Xs)

π1(Xη¯)^(p′) //_π1(Xs)^(p′) Il est clair que le morphisme du bas, qu’on note encore sp est une surjection.

Th´eor`eme 2.1. — Le morphisme canonique π1(Xη¯)^(p′)−→π1(Xs)^(p′)est un isomorphisme.

Pour montrer qu’il est injectif, il s’agit de prouver que tout revtement tale connexeYη¯→Xη¯de groupe de GaloisGd’ordre premier pprovient d’un revtement tale deX. Commeκ(¯η) = ¯Kest limite filtrante de ses sous-extensions finies, il existe (EGA IV1, 8) une extension finieK^′⊂K¯ deKet un schmaY_K^′ fini tale surX_K^′ tel queYη¯≃Y_K^′⊗K^′K. De mme,¯ Yη¯provient d’un revtementY →X ssi il existe une extensionK^′′deK^′telle queY_K^′′=Y_K^′⊗RK^′′soit isomorphe Y ⊗K^′K^′′. Soit maintenant R^′ le normalis deRdansK^′; c’est un anneau de valuation discrte complet de corps rsiduel ket de corps des fractionsK^′. La projectionX_R^′ →XR induit un isomorphisme sur les π1 (ils sont tous deux isomorphes π1(Xs) (1.5)). Ainsi, tout revtement tale deXR^′ provient d’un revtement surXR, si bien qu’il nous suffit de montrer l’existence d’unY^′ surXR^′ induisantYK¯.

On omettra donc les^′ dans la suite (i.e. on suppose que l’on part d’un revtement dfini sur K) et par extension de K on entendra sous-extension deK¯ contenant K. Comme nous l’avons vu, nous sommes ramens montrer qu’il existe une extension finieK^′ de K(ancienK^′) telle queY_K^′ =YK⊗KK^′ soit induit par un revtement tale deX_R^′.

Partant deYK,XK etX, on peut (EGA II, 6.3) construire le normalisYe deX dans le corpsK(YK) extension galoisienne finie deK(XK). En effet, les schmas considrs sont normaux et intgres. La normalisation commutant la localisation, la fibre gnrique deYe est isomorphe YK et le morphisme ˜Y →X est fini (fait gnral quand on normalise dans une extension sparable), de dimension 2 par Cohen-Seidenberg. Cependant la normalisation peut avoir cr de la ramification.

Au-dessus de l’ouvertXK,Ye est tale. Soitξle point gnrique de la fibre spcialeXs. L’anneauOX,ξest local rgulier de dimension 1, i.e. un anneau de valuation discrte, d’uniformisanteπ(celle deR) carOXs,ξ=OXR,ξ/(π) est un corps (ξest le point gnrique, etOXs,ξest local rgulier, donc intgre). Pour toute extensionK^′deK, on aK(Y_K^′) =K(YK)⊗KK^′=K(YK)⊗K(XK)K(X_K^′), que l’on peut voir comme des extensions composes puisqueYK est gomtriquement intgre. Nous recherchons une extension finie K^′deKtelle que la fermeture intgraleYf^′deX_R^′ dansK(Y_K^′) soit non ramifie au-dessus deξ^′, point gnrique de la fibre spciale deX_R′; nous pouvons alors conclure l’aide du thorme suivant :

Th´eor`eme 2.2 (de puret de Zariski-Nagata). — SoientXun schma rgulier localement noethrien, etU ⊂X le complmen- taire d’un ferm de codimension≥2. Le foncteur X^′ X^′×^XU : FEt|X(ii)

→FEt|U est une quivalence de catgories d’inverse le foncteur normalisation.

D´emonstration. Ce rsultat est difficile en gnral (cf. SGA 2,X).

Lorsque dimX ≤2, on peut en donner une dmonstration lmentaire.

Corollaire 2.3. — SoitX un schma rgulier noethrien de dimension2, etY le normalis deX dans une extension finie sparable deK(X). SiY →X est tale en codimension1, il est tale partout.

D´emonstration. PrenonsX = SpecA, oA est un anneau rgulier de dimension 2. Le fait d’tre tale tant une proprit locale, on peut supposerA local. SoitM le normalis deAdans l’extension considre. C’est un A-module de type fini. Vu queM est un A-module rflexif, prof_A(M)≥2 ([1],1,§10,prop.16), et l’galit dp_A(M) + prof_A(M) = dim(A) = 2 (loc. cit.,4,§1,prop.3) montre queM est unA-module libre. Or, le lieu de ramification d’uneA-algbre finie libre est dfini par l’annulation de l’idal discriminant (δ), oδ = Tr(eiej) pour une base (ei)1...n de M surA. Mais cet idal, qui est principal, ne contient par hypothse aucun idal premier de hauteur 1. Le Hauptidealsatz entrane queδest inversible, c’est--dire queM est tale surA.

A prsent, montrons l’existence de l’extensionK^′/K cherche. On sait que l’inertie de l’extension K(YK)/K(XK) en ξ est d’ordrendivisant|G|, qui est premier p: celle-ci est donc modrment ramifie au-dessus deOX,ξ. PosonsK^′=K[T]/(Tⁿ−π) ; c’est une extension galoisienne deK(contenant les racines den-imes l’unit, par le lemme de Hensel) totalement ramifie de degr n. Il nous faut montrer que siζ^′ est un point deYf^′ au-dessus deξ^′,OYf^′,ζ^′ est non ramifi au-dessus deOX_R′,ξ^′. Le lemme (2.4),

4 FABRICE ORGOGOZO & ISABELLE VIDAL

appliqu au diagramme suivant, fournit le rsultat.

K(YK^′),OYf^′,ζ^′

K(YK),OY ,ζe

nn nn nn nn nn nn

K(X_K^′) =K(XK)(√ⁿπ),OX_R′,ξ^′ n.r.

UUUUUUUUUUU UUUUU

K(XK),OX,ξ tame,n

PPPP

PPPPPPPP

Z/nZiiiiiiiiii ii

ii ii

Lemme 2.4. — SoientV un anneau de valuation discrte de corps des fractionsK,LetK^′deux extensions finies galoisiennes deKmodrment ramifies au-dessus deV. On suppose que l’ordre de l’inertie deL/Kdivise celui deK^′/K. AlorsL^′=LK^′ est une extension deK^′ non ramifie sur les localiss de la clture normale deV dans K^′. En d’autres termes, la ramification “tue”

la ramification.

Nous donnerons une dmonstration en (3.4).

3. Rappels sur la ramification modre, application

3.1. Cas d’un anneau de valuation discrte. — SoitAun anneau de valuation discrte de corps des fractionsK, de corps rsiduelket de caractristique rsiduellep. SoitLuneK-algbre tale locale (i.e. une extension finie sparable deK). On dit queL estmodrment ramifiesurA si une clture normale L^′ deL l’est, autrement dit si tout groupe d’inertieI deL^′/K est d’ordre premier p(les groupes d’inertie tant tous conjugus, il suffit que cela soit vrai pour l’un d’entre eux).

Dsignant parB un localis de la clture intgrale deA dansL, et par I le groupe d’inertie correspondant, on sait queI est extension d’un groupe cyclique d’ordre premier ppar unp-groupe : en effet, l’applicationφ:I→k^∗dfinie par :φ(σ) =σ(u)/u mod(m_B) (u dsignant une uniformisante deB) est un morphisme de groupes, dont le noyauP est un p-groupe. De plus, φ induit un isomorphisme deI/P dans un sous-groupe fini dek^∗, qui est ncessairement cyclique, form de racines de l’unit d’ordre premier p. On en dduit queP est lep-sylow deI, lequel s’insre dans une suite exacte :

1−→P =I^w−→I−→I^t−→1

oI^t est un groupe cyclique d’ordre premier p. Cette dfinition s’tend naturellement au cas oLest un produit fini d’extensions sparables deK.

3.2. Cas d’un anneau de valuation discrte strictement local. — On a la caractrisation simple suivante :Lest modrment ramifie surAsi et seulement si le degr de l’extension[L:K]est un entier premier p.En effet, dsignons parL^nor une clture normale et parB^′ le normalis correspondant. CommeB^′ est intgre, il est local. Par ailleurs, puisque l’extension rsiduelle est triviale, on a Gal(L^nor/K) = I. D’autre part, si L est modrment ramifie sur K, alors I est d’ordre premier p, donc les degrs [L^nor:K] =|Gal(L^nor/K)|et [L:K] aussi. Inversement, si [L/K] est premier p, notantH = Gal(L^nor/L), on voit que

|G|/|H|= [L:K] est premier p. Par suite,P⊂H, ce qui prouve queHest distingu dansI, puisqueP l’est et que le quotient est cyclique (cf. suite exacte ci-dessus). On en dduit queL=L^norest une extension galoisienne deK, dont l’inertieI= Gal(L/K) est d’ordre premier p. On peut mme dcrire compltement les extensions modres deA(toujours dans le cas strictement local) : soit L/Kune extension modre (donc galoisienne et cyclique, d’ordrenpremier p). Dsignons parBle normalis deAdansL: c’est un anneau de valuation discrte d’uniformisantex=πⁿu, ou∈B^∗etπest une uniformisante deA. Mais puisqueBest strictement henslien, on peut trouverv∈B^∗, tel quevⁿ=u. Remplaantxparv⁻¹x, on en dduit facilement queB ∼=A[x]/(xⁿ−π). On appelleextension modre standard toute extension d’anneaux de valuation discrte strictement hensliens de cette forme,ntant suppos premier la caractristique rsiduelle deA.

3.3. Lien avec l’henslisation. — SoitAun anneau de valuation discrte de caractristique discrtep, de corps des fractions K et L une extension sparable de K. On note A^hs l’henslis strict deA,K^hs son corps des fractions, et L^hs =K^hs⊗^K L.

L’extensionLest modrment ramifie au-dessus deAsi et seulement siL^hsest modrment ramifie au-dessus deA^hs. Autrement dit, le fait d’tre modrment ramifi est une question locale pour la topologie tale (cf. SGA 1,XIII,2.0.2).

3.4. Dmonstration du lemme (2.4). — Grce aux techniques d’henslisation, nous sommes maintenant en mesure de dmon- trer le lemme (2.4).

Puisque le problme est local pour la topologie tale, on peut remplacer les anneaux par leurs hensliss stricts, notsA,B (le normalis deA dansL^hs =L⊗KK^hs), etA^′ (celui dans K^′hs). Soitπ une uniformisante deA. D’aprs (3.2), tout revtement modr deA est de forme standard, donc B = A[t]/(tⁿ−π) et A^′ = A[x]/(x^m−π), o n et m sont des entiers premiers la caractristique rsiduelle deA, tels quen|m. NotantB^′ le normalis deA^′⊗^AB, on obtient un diagramme commutatif :

A //

B

A^′ //_B^′

Dans ce cas,A^′domineB, et on dispose denapplications naturelles (gλ) deB dansA^′, dfinies par :gλ(t) =x^mnλ. Les

est bijectif sur les corps de fractions (les deux anneaux sont normaux, etjest fini). Par suite,B^′ est une somme dencopies de A^′, donc le morphismeA^′→B^′est bien tale.

PARTIE II

RAMIFICATION MODRE AU-DESSUS D’UN DIVISEUR TALE

4. Dfinitions et nonc du thorme

D´efinition 4.1. — SoientX un schma,D un diviseur de Cartier⁽ⁱⁱⁱ⁾ surX (i.e. un sous-schma ferm, localement dfini par un lment non diviseur de 0), etU=X−D. On dit qu’un revtement finiY →X tale au-dessus deU est modrment ramifi le long deD si, pour toutx∈D, les composantes locales du schmaY ×XSpecOX,x^hs sont du type “standard” :OX,x^hs [T]/(T^m−a), o mest premier carκ(x) etaest une quation locale du diviseur tir sur SpecOX,x^hs .

La dfinition donne ne dpend pas de l’quationachoisie car deux quationsa eta^′ deDdiffrent par une unitudeO^hsX,x, qui est une puissancem-ime puisque (m,exp.carκ(x)) = 1. De plus,Y est ncessairement plat surX. Dans le cas rgulier, on a le Lemme 4.2. — SiX est un schma rgulier etD un diviseur rgulier (i.e. localement dfini par un paramtre rgulier), alorsY est rgulier.

D´emonstration. Il suffit de montrer que pour touty∈Y au-dessus dex∈D, l’anneau local strictement henslienO^y¯est rgulier.

Par hypothse surX, l’idal maximal deOx¯ est engendr parnlments (x1,· · ·, xn), ox1 =dest une quation deD et ndsigne la dimension deOx¯. PuisqueOy¯ est fini surO¯x, cet anneau est aussi de dimensionn, et son idal maximal est engendr par le systme (t, x2, ...xn) (otⁿ=d).Oy¯est donc rgulier, etOyaussi d’aprs (EGA IV4, 18.6.10).

Soitf:X^′→Xun morphisme de schmas, oX satisfait (4.2). On noteU^′(resp.D^′) l’image rciproque deU (resp.D) dans X^′. Sig:Y →X est un revtement modr deX le long deD, alors le morphismeg^′:Y^′=Y ×^XX^′→X^′ est un revtement de X^′ modr le long deD^′. En d’autres termes,les extensions modrment ramifies sont stables par changement de base.De plus, la catgorie des revtements deU dont les normaliss sont modrs le long deD est une catgorie galoisienne, ce qui permet de dfinir un nouvel objetπ₁^t(U) faisant intervenirX (l’algbrisation n’tant possiblea priorique sur un schma propre) qui va nous servir de pont. Nous avons donc deux flches naturelles :π1^t(Us)−→π^t1(U) etπ1^t(Uη¯)−→π1^t(U).

Remarque 4.3. — Notre dfinition de la ramification modre n’est raisonnable que dans le cas des courbes relatives. En dimension suprieure, il y a lieu d’introduire de la ramification modre le long d’un diviseur croisements normaux (cf. [5]).

Th´eor`eme 4.4. — Soient X une courbe propre et lisse fibres gomtriquement connexes sur un trait strictement henslien S, etD un diviseur deX tale sur S^(iv). On note U le complmentaire deD dans X. Sous ces hypothses, il existe un morphisme canonique surjectif

sp : π₁^t(Uη¯) ////_π^t_1(Us), qui induit un isomorphisme

sp : π^(p₁^′)(Uη¯) //_π^(p′)

1 (Us).

Notons queD est ncessairement dfini par un paramtre rgulier. Soit en effetx∈Ds, etd∈ OX,x une quation deD. Puisque Dest tale sur le schma strictement henslienS, le composR→ OX,x→ OX,x/d=OD,xest un isomorphisme. La suite (d, π) (π dsignant une uniformisante deR) est donc un systme de paramtres rguliers deOX,x (car cet anneau est de dimension deux), ce qui prouve queDest rgulier. Par consquent, on peut appliquer le lemme (4.2).

5. Dmonstration Comme dans le cas propre, on commence par tablir la

Proposition 5.1. — Sous les hypothses prcdentes, π₁^t(Us)−→^∼ π₁^t(U).

La sujectivit se dmontre comme dans le cas propre, puisqu’ici encore connexe quivaut irrductible, car les schmas considrs sont rguliers.

L’injectivit est nouveau plus dlicate. Il s’agit de montrer que siYs→Usest fini tale, et tel que son normalisfYssoit modrment ramifi le long deDs, il existe un revtementYe →X, tale surU et modrment ramifi le au-dessus deD, tel queYe ×XUs≃Ys. On peut supposer queDest irrductible, et on notex∈Ds son point ferm etτ∈Dη son point gnrique.

On commence par montrer l’existence et l’unicit, isomorphisme unique prs, d’un tel schmaYnsurXn=X×RR/πⁿ⁺¹. On introduit de mmeUnetDn. SurUnl’existence et l’unicit rsulte comme prcdemment de l’quivalence de catgories entre FET|Us

et FET|Un. Soit xn ∈ Dn. NotonsOn l’anneauOXn,xn, ou encore son spectre et Ofn son henslis (ncessairement strict) ; de mme on poseUen =Un×OnOen,Den =Dn×OnOen. Il est facile de construire un revtement Yfn →Ofn modr en xn, tel que fYn×OgnOf0∼=fYs. Pour cela, on choisit une quationfan= 0 de Dfn, dfinie modulo une unit deOfn. SurOf0, chaque composant

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local est alors donn par une quation ¯b^m= ¯a, o ¯adsigne la rductionmodπdeafn. On pose alorsYfn= SpecOe[T]/(T^m−fan), qui est bien modr. On prouve en outre qu’un tel revtement surOfⁿest unique isomorphisme unique prs ; compte tenu de l’unicit surUfn, cela dcoule du lemme suivant.

Lemme 5.2. — Sous les hypothses prcdentes, considrons deux revtements deOfn, Yfn etYfn

′ modrs le long deDfn. Tout Ufn- isomorphismeϕ:Yfn|gUn

→∼ Yfn

′

|gUn se prolonge de manire unique en unOfn-isomorphismeYfn ∼

→Yfn

′.

D´emonstration. Les revtements tant finis au-dessus de Ofn, on a Yfn =` fYⁱ o chaque Yfⁱ est local. Puisque le revtement est modr,OYfⁱ est de plusOfⁿ-isomorphe un composant standardOfⁿ[T]/(T^m−fan) avecmpremier la caractristique rsiduelle.

La partie de chaque composant local situe au-dessus deUfn est irrductible donc connexe ; on est ainsi ramen au cas d’un seul composant local. On supposeYfn∼=Ofn[T]/(T^m−fan) etYfn

′∼=Ofn[T^′]/(T^′m′−afn). Ncessairement,m=m^′car c’est le degr du revtement taleYfn|gU_n→Ufn. De plus, commeT^m=fan, on aϕ(T)^m=afn =T^′mdansOYf_n|g^′

Un

. PuisqueYfn^′|gU_n est irrductible (Yf₀^′ l’est car il est rgulier), il existe une unique racinem-ime de l’unitζ ∈Ofn telleϕ(T) =ζT^′ surOYf_n|^′ _g

Un

, d’o l’existence du prolongement et son unicit.

Remarque 5.3. — Ce lemme nous permettrait de faire de la descente galoisienne de l’henslis strict l’henslis si l’on n’avait pas supposk algbriquement clos.

Lemme 5.4. — SoientO un anneau local, F le point ferm de S = SpecO ,U son complmentaire. NotonsO˜ l’henslis de O etU,˜ F˜les images inverses dans S˜= Spec ˜O. On a une quivalence de catgories entre les schmas Z finis sur S, tales surU et les triplets( ˜Z, Z_|U, ϕ), o :Z˜ est fini surS˜et tale surU˜, et ϕest un isomorphisme deU˜-schmas entre Z˜_|U˜ et(f_|U˜)^∗(Z_|U), les flches tant dfinies de fa¸con naturelle.

D´emonstration. On considre le diagramme de schmas affines suivant : S oo ^f S˜ S˜×SS˜

p1

oo

p2

oo

On prouve d’abord que le schma ˜Zest muni d’une donne de descente relativement f. Pour cela, on remarque que ˜S×^SS˜∼= ˜S` T, op1(T) etp2(T) sont inclus dans ˜U(en effet, le morphisme diagonal ˜S −→^∆ S˜×SS˜est une immersion ouverte et ferme, et la fibre de ce morphisme enF est un isomorphisme). Comme ˜Z_|U˜ provient d’unU-schma, il existe un isomorphisme (p^∗₁Z)˜ _|T →(p^∗₂Z)˜ _|T satisfaisant la condition de cocycle. En le prolongeant par l’identit au-dessus de ∆( ˜S), on obtient une donne de descente. On conclut ensuite par descente fidlement plate.

On doit maintenant montrer qu’il existe un revtement Yn →Xn, unique isomorphisme unique prs, modr le long deDn

et se rduisant enYs. En crivant SpecOn comme limite projective des voisinages de Zariski dexn dansXn, on montre que le schmaZn obtenu par le lemme prcdent provient d’un revtement convenable au-dessus d’un ouvertV ∋xn (EGA IV,8). Il se recolle avec celui au-dessus deUnpar unicit du revtement surUn∩V. On prouve mme que le revtement ainsi obtenu est unique isomorphisme unique prs.

Nous construisons ainsi un systme projectif deO^Xn-algbres cohrentes, que l’on algbrise. Comme dans la partie prcdente, il s’agit bien d’uneOX-algbre Mde type fini. On pose Y =Spec(M). Par hypothse, Spec(M ⊗RR/πⁿ⁺¹) est un revtement tale surUn, modrment ramifi le long deDn=D×XXn, etSpec(M ⊗RR/π)≃Ys. Il reste montrer queY est fini, tale sur U (cf. cas propre), et modrment ramifi le long deD.

Montrons queY est modrment ramifi au-dessus deD, ce qui assurera queY est un revtement fini deX, tale surU et modr le long deD. Soit doncy ∈ Y au-dessus de x∈ Ds. On veut montrer que l’applicationOX,x → OY,y induit un revtement modr standard aprs henslisation stricte. On sait dj qu’il en est ainsi aprs compltionπ-adique carO^hsXn,x→ OY^hsn,y est standard pour toutn≥0, doncO[X,x

hs→O[Y,y

hsaussi. Comme ( ˆA)^hs= ˆAsiAest strictement henslien (EGA IV, 18.6.6), il nous reste montrer le lemme suivant :

Lemme 5.5. — Soit A → B un morphisme fini local entre deux anneaux strictement locaux rguliers de dimension 2. On suppose que(π, d) est une suite de paramtres rguliers de A. On noteAˆetBˆ les complts deAetB pour la topologie π-adique.

SiAˆ→Bˆ≃A[Tˆ ]/(T^m−d), avec mpremier la caractristique rsiduelle deA, alorsB≃A[T]/(T^m−d).

D´emonstration. On remarque d’abord queB est unA-module libre de rang finim. Il est de la formeA[T]/J, oJ est idal de A[T]. En effet, fixant une suite de paramtres (x, π) deB, l’application A[T]→ B qui envoieT sur xest surjective. D’aprs Cayley-Hamilton,J est engendr par un polynme unitaireP de degrm. Notons ¯A= A/d et ¯P l’image de P dans ¯A[T]. Par hypothse, ¯P a une racine d’ordremdansA, donc dans ¯b¯ Acarmest premier p. DansBqui est factoriel, l’quation d= 0 dfinit un multiplem-ime d’un diviseur d’quationf = 0, i.e. f^m=duouest une unit deB. L’lmentupossdant une racine m-ime dansB, on ad=f^′met le polynme minimal def^′ estT^m−d.

Proposition 5.6. — Sous les hypothses prcdentes, la flche canoniqueπ₁^t(Uη¯)−→π₁^t(Us)est surjective.

D´emonstration. La dmonstration est semblable celle donne dans le cas propre.

Proposition 5.7. — Sous les hypothses prcdentes, l’homomorphisme de spcialisation π₁^t(Uη¯) −→^sp π^t₁(Us) induit un isomor- phisme :

π₁^(p′)(Uη¯) ^∼ //_π^(p′)

1 (Us).

D´emonstration. Seule l’injectivit est prouver. On doit donc montrer que tout revtement Y¯η → Uη¯, galoisien de groupe G, modrment ramifi le long deDη¯ (i.e. tel que l’inertie en un point tdeDη¯ soit de degrm divisant|G|, et premier car.κ(¯η)), provient d’un revtement surX modrment ramifi le long deD. Comme prcdemment, on peut supposer que l’on a un revtement dfini surκ(η) : en effet, siR→R^′ est une extension finie d’anneaux de valuations discrtes, on a encoreπ₁^t(X_R^′) =π₁^t(Xs) car κ(s) est algbriquement clos.

On tendYη→Xη Y →X par normalisation. Ce morphisme est fini mais peut-tre ramifi en le point gnriqueξde la fibre spciale. Comme (|G|, p) = 1, la ramification est au pire modre et disparat donc par une extension modre deR, comme dans le cas propre. D’aprs le thorme de puret (2.2), on peut donc supposerY →X tale surU tout entier.

Il rsulte alors du lemme suivant que la ramification est automatiquement modre le long deD, avec le mme indice m, ce qui termine la preuve.

Lemme 5.8(d’Abhyankar). — SoitX un S-schma rgulier de dimension 2, D ⊂X un diviseur rgulier. Soitf :Y →X un morphisme fini, tale surU =X−D, et ramifi le long deD. On suppose que le revtementf est modr au-dessus des points gnriques deD et d’ordrempremier p. Alorsf est modrment ramifi le long deD.

D´emonstration. Le fait d’tre modrment ramifi tant une proprit locale pour la topologie tale, on peut supposerX strictement henslien. Notonsaune quation deD. Au-dessus deX,Y est dcompos en composants locaux ; prenons-en un et montrons qu’il est du “type”y^m=a. Notant mle degr de l’inertie au point gnrique dea= 0, posons X^′ =X[T]/(T^m−a)→X. C’est un revtement modr standard etX^′ est rgulier par le lemme (4.2). Soit fY^′ le pull-back normalis. On a le diagramme commutatif suivant (non ncessairement cartsien) :

X^′

Yf^′

oo

X oo Y

Au-dessus deU^′, l’extension fY^′ →X^′ reste tale. De plus, la ramification modre a disparu au-dessus de tout point t^′ ∈ D^′_η (2.4), si bien queYf^′ est tale en codimension 1, donc partout par le thorme de puret, puisque X^′ est rgulier. Mais X^′ est strictement henslien (car fini surX), doncfY^′est totalement dcompos surX^′. On a alors une sectionσdeYf^′→X^′, qui donne par composition un morphismeψ:X^′→Y. La situation est rsume dans le diagramme ci-dessous.

X^′

σ

55

Aψ

AA

AA AA

Yf^′

oo

X oo Y

Il reste montrer queψest un isomorphisme. Or cela rsulte du fait que [K(X^′) :K(X)] =m, [K(Y) :K(X)] =|G| ≥m, et de la proprit suivante : siA ֒→B est une injection entre anneaux intgralement clos vrifiant Frac(A) = Frac(B), avecB fini surA, alorsA=B. On applique ceci X^′etY, qui sont normaux connexes, aprs avoir remarqu queψest fini et dominant.

Remarque 5.9. — Considrons maintenant une courbe X propre sur R , semi-stable (cf. [6]), fibre gnrique lisse. SoitD un diviseur tale surX, fini surRet contenu dans le lieu lisse deX et notonsU l’ouvertX−D. Alors on a encore une notion de revtement modr deU et deUs qui tient compte des points doubles deXs. Il y a toutefois une diffrence essentielle avec le cas lisse, que l’on vient de traiter : un revtement fini modr deUsse relve en un revtement modr deU seulement aprs une extension modre deR(cf [7] et [8]).

6. Application Voici une application (non immdiate) du thorme de spcialisation.

Th´eor`eme 6.1. — SoitX une courbe propre et lisse au-dessus d’un corps ksparablement clos, D un diviseur rgulier tale sur k, etU =X−D. Soitk^′une extension algbriquement close dek. On dsigne parX^′ (resp.D^′, resp.U^′) les schmas dduits deX (resp.D, resp. U) par le changement de baseSpeck^′→Speck. La flche canonique :π1(U^′)→π1(U)induit un isomorphisme sur les groupes fondamentaux modrs :

π^t₁(U^′)−→^∼ π₁^t(U).

Corollaire 6.2. — SoitXQ¯ une courbe propre et lisse au-dessus de la clture algbrique deQ, et notonsXC la courbe dduite par le changement de baseSpecC→Spec ¯Q. Alorsπ1(XQ¯)−→^∼ π1(XC).

8 FABRICE ORGOGOZO & ISABELLE VIDAL

7. Bibliographie

[1] N. Bourbaki.lments de Mathmatique, Algbre commutative, chapitre X. Masson, 1998.

[2] A. Grothendieck.lments de gomtrie algbrique. Publication mathmatiques de l’I.H.E.S.

[3] A. Grothendieck.Revtements tales et groupe fondamental. Springer-Verlag, LNM224.

[4] A. Grothendieck.Cohomologie locale des faisceaux cohrents et thormes de Lefschetz locaux et globaux. Advanced Studies in Pure Mathematics, North-Holland.

[5] A. Grothendieck et J. Murre.The tame fundamental group of a formal neighbourhood of a divisor with normal crossings on a scheme.

Springer-Verlag, LNM208.

[6] D. Mauger.Module des courbes stables. Ce volume.

[7] M. Saidi.Revtements modrs et groupe fondamental de graphes de groupes. Compositio Math.107, (1997).

[8] K. StevensonGalois groups of unramified covers of projective curves in characteristicp. Journal of Algebra182, (1996).

Fabrice Orgogozo, cole normale suprieure, 45, rue d’Ulm, 75230 Paris, Cedex 05, France • Courriel :fabrice.orgogozo@ens.fr Isabelle Vidal, cole normale suprieure, 45, rue d’Ulm, 75230 Paris, Cedex 05, France • Courriel :ividal@ens.fr