Théorème fondamental

Douine – Cours - Chapitre 9 – Fluctuation et estimation

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Théorème fondamental

On considère une variable aléatoire X_n qui suit la loi binomiale ^{B n p} ^;  et on note F_n ^Xn

 n . On considère  un nombre réel tel que 0  1 et u_ le réel tel que ^p^u  ^{Z u} ¹  où Z est la variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite ^N ^{0;1 .}

Si ¹  ¹ 

n ;

p p p p

I p u p u

n n

 

   

 

  

 

 

alors n^lim p F n In ¹ 

    .

Un rappel important

Intervalle de fluctuation

 Au seuil de 95% : ¹  ¹ 

1,96 ; 1,96

n

p p p p

I p p

n n

   

 

    

 

 

 Au seuil de 99% : ¹  ¹ 

2,58 ; 2,58

n

p p p p

I p p

n n

   

 

    

 

 

Prise de décision au seuil de 5%

On cherche à savoir, au seuil de décision de 5%, si la proportion p du caractère C dans une population donnée vaut p p₀ ou non.

On prélève un échantillon de taille n (on fait en sorte que n30, np5 et ⁿ^1p^5).

La prise de décision consiste en :

 Calcul de l’intervalle de confiance I,

 Calcul de la fréquence f du caractère C sur l’échantillon de taille n prélevé,

 Prise de décision : si f I on rejette l’hypothèse p p₀, sinon on l’accepte.

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Intervalle de fluctuation simplifié

On peut « agrandir » l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% en majorant la quantité ^{1,96 p}^1p par 1 pour 0 p 1. Ainsi si X_n est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale ^{B n p} ^,  ^{et si} Fn Xn n alors : pour tout p tel que 0 p 1, il existe un entier n₀ tel que si nn₀ on puisse affirmer :

1 1

0, 95

p p Fn p

n n

     

 

 

Théorème

Si X_n est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale ^{B n p} ^,  ^{et si} Fn Xn n alors pour tout p tel que 0 p 1, il existe un entier n₀ tel que si nn₀ p F_n ¹ p F_n ¹ 0,95

n n

     

 

  .

Intervalle de confiance à 95%

Soit f la fréquence observée sur un échantillon de taille n. L’intervalle f ¹ ;f ¹

n n

   

 

  est

un intervalle de confiance de la proportion inconnue p au niveau de confiance de 95%.

NB : les conditions communément admises sont les suivantes : n30, nf 5 et ⁿ^{1 f}^5.

Un tableau pour récapituler

Intervalle de fluctuation au seuil de 95% Intervalle de confiance à 95%

Intervalle obtenu avec la loi binomiale :

^{a n b n;}  ^{avec a et b} deux entiers tels que

 n  ^{0, 025}

p X a  et p X n b^{0, 025} /

Intervalle de fluctuation asymptotique :

¹  ¹ 

1,96 p p ; 1,96 p p

p p

n n

   

     

 

 

1 ; 1

f n f n

   

 

On l’utilise

lorsque : la proportion p dans la population est connue

ou quand on fait une hypothèse sur sa valeur. on veut estimer p inconnu à partir d’un échantillon.