Sur les facteurs premiers milieux d'un entier

Sur les facteurs premiers milieux d'un entier

Thèse

Vincent Ouellet

Doctorat en mathématiques

Philosophiæ doctor (Ph. D.)

Québec, Canada

Sur les facteurs premiers milieux d’un entier

Thèse

Vincent Ouellet

Sous la direction de:

Jean-Marie De Koninck, directeur de recherche Nicolas Doyon, codirecteur de recherche

Résumé

Le présent document porte sur les facteurs premiers se situant entre le plus petit et le plus grand, appelés les facteurs premiers milieux, ou encore les facteurs premiers β-positionnés. Il s'agit d'une version plus élaborée d'articles publiés ou en phase de publication.

Le premier chapitre présente les notions préalables à la bonne compréhension de cet ouvrage. S'y retrouvent entre autres les notations utilisées tout au long du texte, qu'elles soient des notations de fonctions arithmétiques ou encore des notations asymptotiques. Certains résultats classiques de théorie des nombres, tels que la formule de sommation d'Abel, la formule de Mertens et les séries de Dirichlet, de même qu'une introduction à la théorie de l'équirépartition modulo 1, y sont également mentionnés.

Le second chapitre porte sur des problèmes d'estimation de sommes ou de séries sur des entiers qui ont un nombre prédéterminé de facteurs premiers, que la multiplicité soit comptée ou non, mais qui possèdent également d'autres propriétés. Celles-ci portent sur la taille des facteurs premiers, et c'est pourquoi il est question d'entiers friables ainsi que d'entiers sans petits facteurs premiers. Dans le cas des entiers friables, l'un des résultats présentés est dû à Erd®s et Tenenbaum et a été démontré par la méthode du col. En ce qui a trait aux entiers sans petits facteurs premiers, les résultats énoncés sont ceux d'Alladi obtenus par la méthode de Selberg-Delange.

Le troisième chapitre porte sur le premier résultat principal de ce document. Il s'agit de l'étude du comportement asymptotique du facteur premier β-positionné, plus particulièrement l'obtention d'une estimation pour la somme sur la réciproque de ce facteur premier. L'idée générale est de généraliser et d'améliorer la démarche utilisée précédemment par De Koninck et Luca dans le cas du facteur premier milieu grâce aux résultats d'Alladi, d'Erd®s et Tenenbaum présentés au deuxième chapitre. Un résultat en phase de publication, portant sur la distribution du facteur premier β-positionné, clos le chapitre.

Le quatrième chapitre, quant à lui, présente le second résultat principal, à savoir l'étude asymptotique ainsi que l'obtention d'une estimation pour la somme sur la réciproque du facteur premier β-positionné dans le cas où la multiplicité de chacun des facteurs premiers est prise en considération. Bien que l'idée initiale soit similaire à celle du précédent chapitre, la résolution

de ce problème est bien diérente et permet d'obtenir une estimation beaucoup plus précise. Le chapitre se termine par la présentation d'une amélioration de cette méthode dans le cas de l'étude du comportement asymptotique de la somme sur la réciproque du facteur premier milieu avec multiplicité.

Abstract

The aim of this thesis is the study of some sums of the prime factors that are between the smallest and the largest ones, called the middle prime factors. In particular, this is an extended version of published and prepublished articles on this subject.

The rst chapter develops all the preliminary notions necessary for the good understanding of this document. In particular, arithmetic and asymptotic notations are established. Moreover, some classical analytic number theory results, such as the Abel summation formula, Mertens' formula and Dirichlet series, and an introduction to the theory of uniform distribution mod 1 are mentioned.

The second chapter is about some problems on the asymptotic behavior of sums and series of integers that have a given number of prime factors, with or without multiplicity, and that have other properties concerning their smallest and biggest prime factors. In the case of smooth numbers, one of the result was obtained by Erd®s and Tenenbaum by the use of the saddle-point method. For the integers without small prime factors, the results were obtained by Alladi by the use of the Selberg-Delange method.

The third chapter exposes the rst main result of this thesis, namely the study of the asymp-totic behavior of the sum of the reciprocals of the β-positioned prime factors of the integers n ≤ x. The proofs improve and generalize previous work of De Koninck and Luca about the middle prime factor. This was possible by the use of Alladi's and Erd®s and Tenenbaum's results which are given in the second chapter. This third chapter ends with the study of the distribution of the β-positioned prime factor.

The fourth chapter presents the second main result, which is about the study of the asymptotic behavior of the sum of the reciprocals of the β-positioned prime factors with multiplicity of the integers n ≤ x. The methods used are dierent from those in the third chapter and allow for much more precise estimates. Moreover, this chapter ends by showing that the proof can be improved in the case of the middle prime factor with multiplicity.

Table des matières

Résumé iii

Abstract v

Table des matières vi

Liste des gures viii

Remerciements x Avant-propos xi Introduction 1 1 Résultats préliminaires 8 1.1 Notations . . . 8 1.2 Analyse asymptotique . . . 9 1.3 Fonction de Lambert . . . 15 1.4 Calcul d'extremums . . . 17

1.5 Résultats classiques de théorie des nombres . . . 20

1.6 Équirépartition modulo 1 . . . 21

1.7 Séries de Dirichlet . . . 25

2 Entiers ayant un nombre prédéterminé de facteurs premiers 28 2.1 Entiers friables . . . 28

2.2 Entiers sans petits facteurs premiers . . . 33

3 Facteur β-positionné 40 3.1 Introduction. . . 40

3.2 Démonstration . . . 41

3.3 Ordre normal de log2p(β)(n). . . 86

4 Facteur β-positionné avec multiplicité 115 4.1 Introduction. . . 115

4.2 Démonstration . . . 116

4.3 Améliorations possibles . . . 146

Conclusion 155 4.4 Facteur β-positionné sans multiplicité . . . 155

4.5 Facteur β-positionné avec multiplicité . . . 159

4.6 Mot de la n . . . 160

Liste des gures

Chaque problème que j'ai résolu est devenu une règle, qui a servi ensuite à résoudre les autres problèmes.

Remerciements

Je tiens tout d'abord à remercier l'Université Laval, ainsi que l'ensemble des professeurs du Département de mathématiques et de statistique, qui m'ont accepté à bras ouverts et m'ont permis de me développer en tant que mathématicien, que ce soit par leurs enseignements, leurs précieux conseils, ou encore pour m'avoir donné l'opportunité d'y travailler et d'y enseigner à deux reprises. Je remercie également le Fonds de recherche du Québec - Nature et Technologies (FRQNT) pour leur soutien nancier tout au long de mes trois années au doctorat.

Je veux également remercier mes directeurs, monsieur Jean-Marie De Koninck et monsieur Nicolas Doyon, qui ont vu le potentiel en moi et ont accepté de m'encadrer dès le début de ma maîtrise en 2014. Je les remercie également pour tout leur travail à mon égard, que ce soit pour des pistes à suivre an de résoudre un problème, pour la rédaction d'articles ou encore pour des problèmes personnels.

Je tiens fortement à remercier tous ceux et celles qui ont été présents et qui m'ont soutenu lors de ces dernières sessions qui m'ont été diciles. Que ce soit avec monsieur Nicolas Doyon à son bureau, avec Maëva Ostermann, avec tous mes amis de l'Association des Étudiantes et Étudiants en Statistique et Mathématiques de l'Université Laval, ou encore avec ma famille et les quatre enfants de ma s÷ur, tous ces moments ont été d'une grande importance pour moi. Je veux particulièrement remercier ma famille qui m'a toujours soutenu et encouragé, et mes parents qui ont toujours été présents pour moi.

Finalement, je tiens à remercier l'Association des Étudiantes et Étudiants en Statistique et Mathématiques de l'Université Laval qui m'a accueilli à bras ouverts depuis le tout début de mes études universitaires en 2011, et qui m'ont permis de vivre une multitude d'expériences inoubliables. Vous allez me manquer.

Avant-propos

Cet ouvrage traite d'un sujet ayant commencé lors de mon projet de n d'études au baccalau-réat en 2011. Il a été écrit dans l'intention de présenter la majorité des résultats connus à ce jour sur les facteurs premiers β-positionnés, la plupart étant déjà parus sous forme d'article ou encore acceptés pour publication et sur le point d'être publiés. Il porte plus particulièrement sur les méthodes utilisées ainsi que sur l'obtention de formules asymptotiques pour la somme sur la réciproque du facteur premier β-positionné. Entre autres, cela répond à une question posée par Erd®s à De Koninck en 1984.

Les résultats de deux articles en phase de publication sont également inclus dans les troisième et quatrième chapitres. Le premier traite de la distribution de ce facteur β-positionné et a été écrit en collaboration avec les professeurs Jean-Marie De Koninck et Nicolas Doyon. Le second, écrit en collaboration avec le professeur Nicolas Doyon, porte sur l'étude du comportement asymptotique de la somme sur la réciproque du facteur premier milieu avec multiplicité. Néanmoins, cette thèse se veut être une version beaucoup plus complète de la plupart de ces articles. D'une part, chacune des étapes qui ont mené vers les démonstrations sont explicitées, de même que les idées derrière elles. D'autre part, toutes les traces de calculs pour les deux résultats principaux y sont présentées avec beaucoup plus de détails que tout ce qui est paru sous forme d'articles.

Sans prétendre à une complète originalité, les démonstrations sont, pour la plupart, un raf-nement des méthodes utilisées par De Koninck et Luca [7] lorsqu'ils ont cherché à borner supérieurement la somme sur la réciproque du facteur premier milieu. De ce fait, plusieurs similarités peuvent être trouvées entre cet article et cet ouvrage. Au lieu de tout présenter en une seule démonstration, chacune des grandes lignes a été séparée en propositions an de bien représenter les étapes importantes ainsi que leurs explications.

Toutes les démonstrations de résultats nouveaux utilisés an d'obtenir les deux résultats prin-cipaux, à savoir les théorèmes3.1.2 et4.1.2portant sur la somme sur la réciproque du facteur premier β-positionné avec ou sans multiplicité, sont détaillées dans le texte, incluant toutes les références pertinentes.

Introduction

L'analyse asymptotique est une branche des mathématiques qui est apparue vers la n du dix-septième siècle dans le but d'étudier le comportement de sommes et de séries (voir, entre autres, le chapitre sur les développements asymptotiques de Bourbaki [2]). En particulier, elle joue un grand rôle en théorie analytique des nombres où il est souvent question de l'étude de fonctions arithmétiques, c'est-à-dire des applications de N → C qui ne semblent pas avoir de comportement régulier. Dans ce présent ouvrage, les entiers naturels sont considérés comme étant les entiers plus grands ou égaux à 1.

Ces fonctions arithmétiques peuvent posséder plusieurs propriétés désirables telles que la mul-tiplicativité et l'additivité. Rappelons qu'une fonction arithmétique f(n) est dite multiplica-tive si f(1) = 1 et

f (mn) = f (m)f (n) (1)

pour tous entiers m, n ≥ 1 copremiers, et qu'elle est dite complètement multiplicative si (1) est satisfaite pour tous entiers m, n ≥ 1.

Une fonction arithmétique f(n) est dite additive si f(1) = 0 et

f (mn) = f (m) + f (n) (2)

pour tous entiers m, n ≥ 1 copremiers, et complètement additive si (2) est satisfaite pour tous entiers m, n ≥ 1. Par exemple,

 ω(n) := # {p|n : p premier} = P

p|n

1, la fonction qui compte le nombre de facteurs pre-miers distincts d'un entier, est une fonction additive.

 De même, Ω(n) := P

pa_kn

a, la fonction qui compte le nombre de facteurs premiers avec multiplicité d'un entier, est complètement additive.

Remarquons, entre autres, qu'il est possible de passer d'une fonction additive à valeur dans N à une fonction multiplicative grâce à l'exponentielle. Ainsi, les fonctions zω(n) et zΩ(n), où z ∈ C est xé, sont des fonctions multiplicatives.

De part leurs dénitions, les fonctions additives et multiplicatives partagent une même pro-priété : elles dépendent uniquement de leurs valeurs sur les puissances de nombres premiers.

En eet, selon le théorème fondamental de l'arithmétique, tout entier n ≥ 2 peut s'écrire de manière unique sous la forme

n = pa1 1 p a2 2 · · · p ak k ,

où les pjsont des nombres premiers, p1 < p2 < · · · < pk, les aj ≥ 1sont des entiers et k = ω(n)

est le nombre de facteurs premiers distincts de n. Puisque les pj sont copremiers deux à deux,

alors pour une fonction multiplicative f(n), nous avons f (n) = f (pa1 1 ) f (p a2 2 ) · · · f p ak k
= Y pa_kn f (pa) ,

et si elle est complètement multiplicative, alors elle est entièrement déterminée par ses valeurs sur les nombres premiers, car

f (n) = f (p1)a1f (p2)a2· · · f (pk)ak =

Y

pa_kn

f (p)a.

La notation pa_{knsignie ici que p}a _{divise n, mais que p}a+1 _{ne divise pas n.}

Dans le cas d'une fonction additive f(n), nous avons f (n) = f (pa1 1 ) + f (p a2 2 ) + · · · + f p ak k
= X pa_kn f (pa) ,

et si elle est complètement additive, elle est également entièrement déterminée par ses valeurs sur les nombres premiers, puisque

f (n) = f (p1)a1 + f (p2)a2 + · · · + f (pk)ak =

X

pa_kn

f (p)a.

Cela est une raison pourquoi les fonctions additives et multiplicatives sont souvent étudiées par leurs valeurs sur les nombres premiers.

Il existe néanmoins plusieurs fonctions arithmétiques qui ne possèdent aucune de ces propriétés tout en étant digne d'intérêt. Il y a, entre autres, la fonction

π(x) = # {p ≤ x : ppremier} =X

p≤x

1

qui compte le nombre de nombres premiers p ≤ x. Étudiée, entre autres, par Legendre et Gauss au cours du dix-huitième siècle, il a fallu attendre en 1896 pour que J. Hadamard [16] et C.J. de La Vallée-Poussin [8] démontrent indépendamment ce que l'on appelle aujourd'hui le théorème des nombres premiers, c'est-à-dire

lim

x→∞

π(x) x/ log x = 1.

L'étude du comportement asymptotique de fonctions arithmétiques f(n) en théorie analytique des nombres, qu'elles soient additives, multiplicatives ou ayant d'autres propriétés, porte sou-vent à obtenir des estimations pour des problèmes de moyenne de la forme

1 x

X

n≤x

f (n),

et ce sont les dites propriétés de la fonction f(n) qui vont en quelques sortes dicter les dé-marches possibles. Dans le cas de fonctions multiplicatives, cela peut passer par l'utilisation de ce que l'on appelle des séries de Dirichlet, c'est-à-dire des séries génératrices de la forme

X

n≥1

f (n) ns ,

où s ∈ C est tel que la série converge simplement.

L'objectif de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique de deux fonctions arith-métiques qui ne sont ni additives, ni multiplicatives, mais pouvant être exprimées en termes de telles fonctions. Elles sont appelées les facteurs premiers milieux.

Dénition 0.0.1. Soit β ∈ (0, 1) un nombre réel xé. La fonction arithmétique p(β)_{(n), appelée}

le facteur premier β-positionné de n, est dénie par

p(β)(n) := pmax(1,bβkc) (n ≥ 2) ,

où p1 < p2 < · · · < pk désignent les facteurs premiers de n, et par p(β)(1) := 1. Le

facteur premier milieu de n, noté p(m)_{(n), est déni par}

p(m)_{(n) := pb}k+1

2 c (n ≥ 2)

et par p(m)_{(1) := 1.}

Il est également possible de dénir ces facteurs premiers tout en tenant compte de la multi-plicité de chacun.

Dénition 0.0.2. Étant donné un nombre réel β ∈ (0, 1), la fonction arithmétique p(β) Ω (n),

appelée le facteur premier β-positionné de n avec multiplicité, est dénie par p(β)_Ω (n) := pmax(1,bβkc) (n ≥ 2) ,

où p1 ≤ p2 ≤ · · · ≤ pk désignent les facteurs premiers de n répétés avec multiplicité, et par

p(β)_Ω (1) = 1. Le facteur premier milieu de n avec multiplicité, noté p(m)_Ω (n), est déni par p(m)_{Ω (n) := pb}k+1

2 c (n ≥ 2)

et par p(m)

Plus concrètement, nous voulons être aptes à obtenir une estimation pour une somme de la forme X n≤x 1 p∗(n) ,

où p∗(n)correspond à un facteur premier β-positionné de n, que ce soit avec ou sans

multi-plicité.

L'obtention d'une estimation pour cette somme a de l'intérêt pour plusieurs raisons. D'une part, elle permet de faire un lien entre deux fonctions arithmétiques : les fonctions p(n) et P (n) qui dénotent respectivement le plus petit et le plus grand facteur premier d'un entier n ≥ 2. En eet, il est possible de démontrer qu'il existe une constante C > 0 telle que

X 2≤n≤x 1 p(n) = Cx + O  x (log log x)2  (3)

(voir le problème 9.6 de [6]). Néanmoins, le comportement asymptotique de la somme X

2≤n≤x

1 P (n)

est, quant à lui, beaucoup plus dicile à étudier. Plusieurs recherches au cours des années 1970 et 1980 ont porté sur ce problème. La meilleure estimation a été obtenue par Erd®s, Ivi¢ et Pomerance [11, Théorème 1] en 1986 lorsqu'ils ont démontré que

X 2≤n≤x 1 P (n) = xδ(x) 1 + O  log log x log x 1/2!! , (4) où δ(x) := Z x 2 ρ  log x log t  t2 dt

et ρ(u) est la fonction de Dickman, dénie comme étant la seule fonction satisfaisant pour u ≥ 0 à l'équation diérentielle avec délai

  

ρ(u) = 1 si 0 ≤ u ≤ 1,

uρ0(u) + ρ (u − 1) = 0 si u > 1. En particulier, la fonction de Dickman peut être approximée par

ρ(u) = exp −u log u + log log u − 1 +log log u − 1 log u + O

 log log u log u

2!!! . Une question est de comprendre pourquoi les estimations (3) et (4) sont si diérentes et pourquoi l'une d'entre elles est beaucoup plus dicile à obtenir que l'autre. Il est peut-être possible de répondre à cette question en étudiant les autres facteurs premiers, c'est-à-dire ceux

qui se situent entre le plus petit et le plus grand. Cela a été fait en partie par De Koninck en 1993 [4, Théorème 2] où il a démontré que, pour tout entier k ≥ 2

X 2≤n≤x Ω(n)≥k 1 Pk(n) = λk x (log log x)k−2 log x  1 + O  1 log log x  , (5)

où les λk sont des nombres réels strictement positifs ne dépendant uniquement que de k ≥ 2,

et Pk(n)désigne le k-ième plus grand facteur premier avec multiplicité de l'entier n ≥ 2.

En 1988, De Koninck et Galambos [3, Théorème 1] ont étudié la somme X

2≤n≤x

1 p∗(n)

,

où p∗(n)désigne un facteur premier de n choisit au hasard avec une probabilité uniforme de

1/ω(n) et ont obtenu, à l'aide d'une méthode probabiliste, qu'il existe une constante stricte-ment positive c1 telle que

X 2≤n≤x 1 p∗(n) = c1 x log log x  1 + O  1 log log x 

pour presque toutes les sommes de cette forme, dans le sens où si N(x) désigne le nombre de sommes ne satisfaisant pas à cette équation, alors

lim

x→∞

N (x)

ω(2)ω(3) · · · ω(x) = 0, car il y a exactement ω(2)ω(3) · · · ω(x) sommes de cette forme.

En 1984, lors de l'Oberwolfach Conference on Analytic Number Theory, Erd®s a demandé à De Koninck s'il pouvait obtenir une estimation pour la somme sur la réciproque du facteur premier milieu de chaque entier. En 2013, De Koninck et Luca [7] ont pu répondre à cette question, dans le cas où les multiplicités ne sont pas prises en compte, et ont démontré que

X 2≤n≤x 1 p(m)_(n) = x log xexp √

2 + o(1) plog log x log log log x 

. (6)

La démarche qu'ils ont employée repose tout d'abord sur le fait que tout entier n ≥ 2 peut être décomposé de manière unique sous la forme

n = apαb,

où p est le facteur premier milieu de n, a est le produit de tous les facteurs premiers de n qui sont < p (et est égal à 1 s'il n'y en a pas) et b est le produit de tous les facteurs premiers de n qui sont > p (et est égal à 1 s'il n'y en a pas). En procédant de la sorte, il est possible de ramener le problème à l'étude de 4 sommes, à savoir une sur le nombre premier p, une sur le nombre de facteurs premiers de n (ce qui permet d'être certain que p correspond au

facteur premier milieu de n), ainsi que celles sur a et b. Ces sommes sont ensuite bornées inférieurement et supérieurement an d'obtenir (6).

En 2014, dans le cadre d'un projet de n d'études au baccalauréat en mathématiques, il me fut demandé de généraliser la démonstration de De Koninck et Luca an d'obtenir un résultat similaire à (6), mais dans le cas des facteurs premiers β-positionnés.

Théorème 0.0.3. Soit 0 < β < 1 un nombre réel xé. Alors, X 2≤n≤x 1 p(β)_(n) = x log xexp (1 − β)2β−1 ββ + oβ(1) !

(log log x)1−β(log log log x)β !

.

La démarche appliquée est sensiblement la même que celle de De Koninck et Luca. Par ailleurs, une version courte et améliorée de ce résultat a été publiée (voir [23]).

Néanmoins, les bornes supérieures utilisées ne peuvent pas s'appliquer au cas où la multipli-cité des facteurs premiers est prise en compte. De plus, les bornes supérieures et inférieures ne sont pas eectives (cela provient, entre autres, de l'inégalité de Hardy-Ramanujan (voir Théorème 2.2.1)). Il y a donc une bonne possibilité d'espérer obtenir des améliorations par rapport au théorème 0.0.3, de même que (6). Il s'agit là d'une seconde raison pourquoi ce projet de thèse est intéressant.

An d'améliorer ces formules asymptotiques, tout en gardant des idées similaires à celles utilisées pour obtenir la borne supérieure, il faut utiliser un outil appelé la méthode de Selberg-Delange. Développée entre 1954 et 1971, cette méthode d'analyse complexe permet, entre autres, d'obtenir de bonnes estimations concernant des entiers ayant un nombre prédéterminé de facteurs premiers, que ce soit avec ou sans multiplicité, de même que pour le théorème des nombres premiers.

Étant applicable dans le cas où les multiplicités sont prises en considération, la méthode de Selberg-Delange permet également d'obtenir une estimation pour la somme sur la réciproque des facteurs premiers β-positionnés avec multiplicité. Par ailleurs, l'étude de cette somme montre qu'il y a un problème d'équirépartition modulo 1, théorie beaucoup étudiée dans le cadre d'approximation diophantienne. Une courte introduction à cette théorie, de même que les résultats qui nous seront utiles, sont présents dans le premier chapitre.

Le chapitre 3 se concentre sur la somme sur la réciproque des facteurs premiers β-positionnés sans multiplicité en suivant une généralisation de la méthode employée par De Koninck et Luca [7] lors de l'obtention de la borne supérieure, tout en utilisant des outils plus puissants. Le chapitre 4, quant à lui, porte sur la somme sur la réciproque des facteurs premiers β-positionnés avec multiplicité. Les démarches employées sont très diérentes de celles du troi-sième chapitre, et la formule asymptotique obtenue est beaucoup plus précise que celle dans le cas où les multiplicités ne sont pas prises en compte. Cela est, entre autres, dû au fait que

les nombres ayant beaucoup de petits facteurs premiers, multiplicité comptée, jouent un plus grand rôle. La démarche utilisée est similaire à celle employée par Ouellet et Doyon [9]. An d'être en mesure de bien comprendre les résultats ainsi que les démarches utilisées dans les chapitres 3 et 4, il est nécessaire d'avoir de bonnes connaissances en théorie des nombres, de même qu'en analyse asymptotique. C'est pourquoi tous les résultats pris pour acquis dans les chapitres 3 et 4 sont présentés dans le chapitre 1.

Le chapitre 2 se concentre sur ce que nous appelons des entiers friables ayant un nombre prédéterminé de facteurs premiers, que ce soit avec ou sans multiplicité, ainsi que sur des entiers ayant également un nombre prédéterminé de facteurs premiers, mais qui sont tous ≥ y pour un certain y > 0. Les deux résultats présentés seront nécessaires à l'obtention des estimations pour la somme sur la réciproque des facteurs premiers β-positionnés. Il traite également de la méthode de Selberg-Delange, plus particulièrement de l'une de ses nombreuses applications, obtenues par Alladi [1, Théorème 6]. Tous les outils nécessaires à l'obtention des résultats principaux des chapitres 3 et 4 sont donc présentés dans les chapitres 1 et 2.

Chapitre 1

Résultats préliminaires

Nous abordons dans ce chapitre tous les résultats préliminaires à la bonne compréhension et à l'obtention des deux résultats principaux de cette thèse, que ce soit des résultats classiques de théorie des nombres ou encore de l'analyse asymptotique, en passant par l'équirépartition modulo 1.

Ce chapitre est donc facultatif pour toute personne ayant de bonnes connaissances de ces sujets, mais est nécessaire an que nous ayons tous les mêmes notations et résultats en tête.

1.1 Notations

Plusieurs notations sont utilisées librement dans le texte. Nous désignons par N, Z, Q, R et C respectivement l'ensemble des entiers ≥ 1, l'ensemble des entiers, l'ensemble des nombres rationnels, l'ensemble des nombres réels et l'ensemble des nombres complexes. Une suite de nombres complexes est notée par (zn)_n≥1.

Sauf indication contraire, les lettres p et q désignent un nombre premier. De plus, une somme ou une série sur p indique que la sommation est faite sur des nombre premiers. Les lettres c et C, avec ou sans indices, désignent des constantes réelles.

Nous écrivons m|n si l'entier m divise l'entier n, et pa_{knsi p}a_{|net p}a+1_{6 |n.}

Les parties entière inférieure et fractionnaire d'un nombre réel x sont notées respectivement par bxc et {x}, et satisfont la propriété

x = bxc + {x} _{∀x ∈ R,} où 0 ≤ {x} < 1.

La fonction log z, dénie pour z ∈ C \ (−∞, 0], désigne la branche principale du logarithme. En particulier,

où −π < arg(z) < π désigne l'argument principal du nombre complexe z. À moins d'avis contraire, pour w ∈ C \ (−∞, 0] et z ∈ C,

wz= exp (z log w) = ez log w.

Nous dénotons également respectivement par <(z) et =(z) les parties réelle et imaginaire d'un nombre z ∈ C.

Les fonctions Gamma d'Euler et zêta de Riemann sont notées par Γ(s) et ζ(s) et ce, peu importe le prolongement analytique utilisé.

Puisqu'il arrive souvent d'obtenir des termes en log log x ou encore log log log x, la notation log_kx est utilisée an de dénoter le k-ième itéré de la fonction logarithme évaluée en x. Dans ce contexte, la variable x est toujours supposée assez grande pour que cette fonction soit bien dénie et strictement positive. Il peut cependant arriver d'utiliser la notation

log+x := max (0, log x) dénie pour x > 0.

Il reste d'autres notations à dénir qui sont nécessaires à la bonne compréhension de tous les résultats présentés dans cette thèse : il s'agit des notations asymptotiques. De par leur importance, la prochaine section leur est consacrée.

1.2 Analyse asymptotique

Vers la n du dix-septième siècle, plusieurs mathématiciens se sont penchés sur le problème du calcul, souvent approximatif, de sommes de la forme Pn

k=1

f (k) lorsque n est très grand. Néanmoins, dans le cas des séries, ils présentaient souvent les formules obtenues comme étant des développements en séries sans se soucier de la divergence de ces dernières. Il a fallu ensuite attendre vers la n du dix-neuvième siècle pour qu'Henri Poincaré développe une théorie sur ces séries divergentes. Diverses notations ont ensuite été utilisées par Paul Bachmann ainsi qu'Edmund Landau. Les multitudes de ces symboles ne sont pas toutes présentées dans ce qui va suivre, mais toutes les notations asymptotiques utilisées dans cette thèse y sont présentes.

1.2.1 Grand O, ,  et 

La notation grand O de Landau permet de comparer l'ordre de grandeur entre deux fonctions. Plus formellement,

Dénition 1.2.1. Soit f(x) et g(x) deux fonctions dénies sur [a, ∞) pour une certaine constante réelle a. Alors, nous disons que f est un grand O de g à l'inni, noté par

ou encore par

f (x)  g(x) (x → ∞) , s'il existe x0≥ a et une constante C > 0 tels que

|f (x)| ≤ C |g(x)| ∀x ≥ x0.

Pour b dans le domaine de dénition de f(x) et g(x), nous écrivons f (x) = O (g(x)) (x → b) , ou encore

f (x)  g(x) (x → b) , s'il existe  > 0 et C > 0 tels que

|f (x)| ≤ C |g(x)| (0 ≤ |x − b| ≤ ) .

La notation f(x)  g(x) est due à Vinogradov. Dans la majorité des calculs asymptotiques eectués dans cette thèse, à moins d'indication contraire, ce sont les notations grand O à l'inni qui sont utilisées. An d'alléger l'écriture, les termes (x → ∞) seront omis.

Exemples 1.2.2.

sin x = O(1), x = O x2
, 1

x = O(1).

En particulier, si f(x) est bornée, alors f(x) = O(1). Il est aussi possible de dénir une arithmétique avec ces notations. En eet, si f(x) et g(x) sont deux fonctions dénies sur [a, ∞) et si f(x) = O (g(x)), alors f (x) + g(x) = O (f (x)) + g(x) = g(x) + O (g(x)) = O (g(x)) et f (x)g(x) = g(x)O (g(x)) = O  (g(x))2  .

De plus, cette relation est transitive, c'est-à-dire que si f(x) = O (g(x)) et g(x) = O (h(x)), alors f(x) = O (h(x)). Il faut cependant faire attention lors de l'utilisation de ces notations dans des calculs, car il ne s'agit pas d'une relation commutative et que l'ordre de l'écriture est très important. En eet, nous avons déni la notation f(x) = O (g(x)), ou encore f(x)  g(x). La notation O (g(x)) = f(x), quant à elle, n'a aucun sens. Dans le cas contraire, il faudrait donner un sens à des relations du genre O (g(x)) = f(x) = O (h(x)). Par exemple, si nous considérons la fonction sinusoïdale, nous avons sin x = O(x) et sin x = O(1). De plus, il est vrai que O(1) = O(x), mais il est faux d'écrire O(x) = O(1). C'est pourquoi la notation de Vinogradov peut être préférable, car elle nous rappelle que nous travaillons avec des inégalités.

Il faut également faire attention au fait que, dans le cas de fonctions dérivables, ce n'est pas parce que f(x) = O (g(x)) qu'il est possible d'armer qu'il en est de même pour leurs dérivées. Par exemple, nous avons

x sin x = O (x) , alors que

x  (x sin x)0 = sin x + x cos x  x et que

O x0
= O(1).

Dans le cas du calcul d'intégrales, il faut également garder en tête que f(x) = O (g(x)) signie que |f(x)| ≤ C |g(x)|, et donc, à moins d'être dans le cas de fonctions strictement positives ou strictement négatives, nous devons tout d'abord utiliser l'inégalité triangulaire pour les intégrales. Par exemple, nous avons

1 = 1 2πi Z |z|=1 sin z z2 dz,

et sin z = O(1), alors que

1 2πi Z |z|=1 1 z2dz = 0. Ainsi, 1 2πi Z |z|=1 sin z z2 dz 6= O Z |z|=1 1 z2dz ! . Néanmoins, nous avons par le lemme d'estimation que

     1 2πi Z |z|=1 sin z z2 dz      ≤ sup |z|=1     sin z z2     = 1, de sorte que 1 2πi Z |z|=1 sin z z2 dz = O(1).

Il faut également faire attention lors du calcul de bornes supérieures ou inférieures. Par exemple, nous avons pour x ≥ 0 que

sin x − x ≤ sin x = O(1), alors que sin x − x 6= O(1).

Il reste nalement à noter que certains abus de notations sont parfois utilisés. Entre autres, si f (x) = O (g(x)), que pouvons-nous dire de

1 1 + f (x)?

La dénition seule du grand O ne permet pas d'obtenir une estimation pour cette fonction. Néanmoins, dans certains cas, nous voulons être aptes à écrire la notation

1 1 + O (g(x)),

ou encore eO(g(x))_{, ou toutes autres relations du même genre, et ensuite obtenir une formule}

asymptotique pour celles-ci. La manière de procéder est de voir le grand O comme un terme d'erreur E(x) qui est bien déni, et qui satisfait E(x) = O (g(x)). De cette manière, il est possible, par exemple, d'écrire

1

1 + O (1/x) = 1 + O (1/x) . En eet, cela provient de la série géométrique

1

1 − y = 1 + y + y

2_{+ · · · (|y| < 1) .}

Dans le cas d'une fonction réelle positive, l'écriture f(x) = eO(g(x)) _{signie que}

log f (x) = O (g(x)) . Passons maintenant à la seconde notation de Vinogradov.

Dénition 1.2.3. Soit f(x) et f(x) deux fonctions dénies sur [a, ∞) pour a ∈ R. Alors, nous écrivons

g(x)  f (x) (x → ∞) si f(x)  g(x) (x → ∞). De même,

g(x)  f (x) (x → b) si f(x)  g(x) (x → b).

Cette notation permet d'obtenir des bornes inférieures, mais, encore une fois, l'ordre de l'écri-ture est important et signie toujours f(x) = O (g(x)).

La dernière notation permet d'indiquer que deux fonctions ont le même ordre de grandeur. Dénition 1.2.4. Soit f(x) et g(x) deux fonctions dénies sur [a, ∞) pour a ∈ R. Alors, nous écrivons

f (x)  g(x) (x → ∞) si

g(x)  f (x)  g(x) (x → ∞) , ou encore f(x)  g(x) et g(x)  f(x) lorsque x → ∞. De même,

si

g(x)  f (x)  g(x) (x → b) .

Cela signie que les deux fonctions f(x) et g(x) sont d'un ordre de grandeur comparable, c'est-à-dire, dans le cas à l'inni, qu'il existe x0 et des constantes C > c > 0 tels que

c |g(x)| ≤ |f (x)| ≤ C |g(x)| ∀x ≥ x₀.

1.2.2 Petit o et ∼

Une deuxième notation, introduite par Landau, s'appelle petit o. Elle permet également de comparer l'ordre de grandeur de deux fonctions, mais cette fois-ci par le passage à la limite. Dénition 1.2.5. Soit f(x) et g(x) deux fonctions dénies sur [a, ∞) pour a ∈ R. Alors, nous écrivons f (x) = o (g(x)) (x → ∞) si lim x→∞ f (x) g(x) = 0. De même, f (x) = o (g(x)) (x → b) si lim x→b f (x) g(x) = 0. Par exemple, sin x = o(x), x = o x2
, 1 x2 = o  1 x  = o(1).

À moins d'avis contraire, ce sont les cas à l'inni qui sont utilisés. Tout comme dans le cas de la notation grand O, il est possible de dénir une arithmétique et il faut faire attention à l'ordre des termes. Il faut cependant garder à l'esprit qu'il s'agit maintenant de travailler avec des limites, contrairement au grand O, ce qui peut compliquer l'estimation de séries ou d'intégrales.

En particulier, remarquons que si

lim

x→bf (x) = 1

pour tout b dans le domaine de dénition de f(x) (il est possible que b = ∞), alors f (x) = 1 + o(1) (x → b) .

La notation

est parfois utilisée dans ce contexte. Remarquons nalement que

f (x) = o (g(x)) ⇒ f (x) = O (g(x)) .

1.2.3 Un exemple

En particulier, les notations asymptotiques permettent d'estimer la fonction de répartition d'une loi normale.

Proposition 1.2.6. Lorsque x → ∞, 2 √ π Z x 0 e−t2dt = 1 + O e −x2 x ! .

Démonstration Nous avons 2 √ π Z x 0 e−t2dt = √2 π Z ∞ 0 e−t2dt − √2 π Z ∞ x e−t2dt = 1 − √2 π Z ∞ x e−t2dt. Il nous sut donc de montrer que

Z ∞

x

e−t2dt  e

−x2

x . Une manière d'y parvenir est d'utiliser le fait que −2te−t2

est la dérivée de e−t2 . En eet, nous avons _{Z ∞} x e−t2dt = − Z ∞ x 1 2t(−2t) e −t2 dt = −1 2 Z ∞ x 1 t  e−t20dt, de sorte que     Z ∞ x e−t2dt     ≤ 1 2x     Z ∞ x  e−t20dt     = e −x2 2x .

1.2.4 Notations asymptotiques à plusieurs variables

Dans une grande partie des calculs qui vont suivre, les fonctions sont à plusieurs variables. À moins d'indication contraire, les notations précédentes seront dénies de la même manière, c'est-à-dire par rapport à x, à la seule exception près que les constantes implicites des no-tations grand O, ,  et  peuvent dépendre des autres variables. Si ces constantes sont indépendantes des autres variables, nous dirons que ces estimés sont uniformes par rapport à ces variables. Par exemple, lorsque x → ∞,

de sorte que

y sin x = O (y) . Nous pouvons également écrire

y sin x = Oy(1)

pour signier que

y sin x ≤ C(y) ∀x ≥ x₀

pour une certaine constante C(y) dépendant seulement de y. Voici un autre exemple. Nous avons

x sin y = O(x),

car |x sin y| ≤ |x|. Comme cela ne dépend pas de la variable y, nous pouvons dire que x sin y = O(x)

uniformément pour tout y.

Ces deux exemples sont à deux variables, mais le même principe s'applique lorsqu'il y a d'autres variables en jeu.

1.3 Fonction de Lambert

Les notations asymptotiques permettent, entre autres, d'obtenir des formules closes pour des fonctions qui n'en possèdent pas avec des fonctions usuelles. La fonction de répartition de la loi normale en était une. La seconde qui nous sera utile est appelée la fonction de Lambert. Dénition 1.3.1. La fonction de Lambert, notée W (x), est dénie comme étant l'inverse de la fonction h(y) = yey _{pour y > −1. Ainsi,}

W (x)eW (x)= x pour x > −1 e .

Nous allons avoir besoin d'obtenir de l'information sur le comportement asymptotique de cette fonction à l'inni, de même qu'à 0.

Proposition 1.3.2. Lorsque x → ∞,

W (x) = log x − log₂x +log2x log x + O

 log₂x log x

2! .

Démonstration En prenant le logarithme des deux côtés de l'équation W (x)eW (x)_{= x, nous}

obtenons

Comme W (x) est une fonction strictement croissante et telle que W (x) → ∞ lorsque x → ∞, l'équation (1.1) donne W (x) log x + log W (x) log x = 1, de sorte que W (x) = log x (1 + o(1)) (x → ∞) . En prenant le logarithme des deux côtés de cette équation, nous avons

log W (x) = log₂x + o(1) (x → ∞) . Cette équation, combinée avec (1.1), permet d'obtenir que

W (x) = log x − log₂x + o(1) (x → ∞) . (1.2) En prenant le logarithme de chaque membre de cette dernière équation, nous obtenons

log W (x) = log (log x − log₂x + o(1)) = log₂x + log  1 −log2x log x + o  1 log x  = log₂x −log2x log x + o  log₂x log x  . En reportant cette formule asymptotique dans (1.1), il s'ensuit que

W (x) = log x − log₂x +log2x log x + o

 log₂x log x



(x → ∞) . En prenant une dernière fois le logarithme des deux côtés, nous obtenons

log W (x) = log 

log x − log₂x +log2x log x + o  log₂x log x  = log₂x + log  1 −log2x log x + log₂x (log x)2 + o  log₂x (log x)2  = log₂x −log2x log x + O  log₂x log x 2! . En reportant cette équation dans (1.1), nous avons

W (x) = log x − log₂x +log2x log x + O

 log₂x log x

2! .

Notons que la méthode utilisée peut être appliquée an d'obtenir une estimation pour la fonction de Lambert avec autant de termes que nous le voulons, mais la formule asymptotique donnée ici sera susante pour nos applications.

Proposition 1.3.3. Lorsque x → 0,

W (x) = x + O x2
.

Démonstration Par dénition de la fonction de Lambert, pour x > −1 e ,

W (x)eW (x)= x. (1.3)

Comme la fonction de Lambert est continue et > −1, en laissant x → 0, nous avons lim

x→0W (x)e

W (x)_{= 0.}

de sorte que W (x) = o(1) lorsque x → 0. En reportant cette information dans (1.3), nous obtenons

W (x) (1 + O (W (x))) = x. Ainsi,

W (x) + O(W (x))2= x.

Nous pouvons donc conclure quee W (x) = x (1 + o(1)) lorsque x → 0 et donc que W (x) + O x2
= x,

c'est-à-dire

W (x) = x + O x2
(x → 0) .

Tout comme lors de l'étude du comportement asymptotique de la fonction de Lambert à l'inni, la méthode utilisée lors de la démonstration peut permettre d'obtenir une approximation avec autant de termes que l'on veut.

Les deux estimations obtenues par les propositions 1.3.2 et 1.3.3 nous permettront d'obtenir des approximations pour les extremums de certaines fonctions apparaissant naturellement lors des calculs des prochains chapitres.

1.4 Calcul d'extremums

La première fonction à étudier est assez simple et ne nécessite pas l'introduction de la fonction de Lambert.

Proposition 1.4.1. Pour tout A > 1, la fonction positive f : [1, ∞[ → (0, ∞) dénie par

f (t) = eA t

t

Démonstration De toute évidence,

log f (t) = t (1 + log A − log t) , de sorte qu'en prenant la dérivée,

(log f (t))0= 1 + log A − log t − 1 = log A − log t. Ainsi,

f0(t) = 0 ⇔ (log f (t))0 = 0 ⇔ log A − log t = 0 ⇔ t = A. De plus, comme    log A − log t > 0 si t < A, log A − log t < 0 si t > A,

il s'ensuit que t = A est un maximum de la fonction f. La vérication des extremums donne f (1) = eA, lim

t→∞f (t) = 0et f(A) = e

A_{.Comme e}A_{> eA pour tout A > 1, la démonstration}

est terminée.

Néanmoins, une petite modication de la fonction peut rendre l'obtention de son maximum beaucoup plus dicile.

Proposition 1.4.2. Soit A > e

2 et soit h : [1, ∞) → (0, ∞) la fonction dénie par

h(t) = √1 t  eA t t . Alors, h atteint son maximum lorsque

t = A exp  W −1 2A  .

Démonstration Nous avons h(t) = exp  t (1 + log A − log t) −1 2log t  . Ainsi, h0(t) = h(t)  log A − log t − 1 2t  , de sorte que sa dérivée est nulle si et seulement si

log A − log t − 1 2t = 0. Cela est équivalent à

exp (log t) (log t − log A) = −1 2 .

En multipliant des deux côtés par exp (− log A), nous avons que h0_{(t) = 0si et seulement si}

exp (log t − log A) (log t − log A) = −1 2A. Ainsi, par la dénition de la fonction de Lambert, cela revient à dire que

log t − log A = W  −1 2A  , car −1 e < −1

2A < 0 par hypothèse. Ainsi, la dérivée de h(t) est égale à 0 si et seulement si t

satisfait t = A exp  W −1 2A  .

Comme la fonction de Lambert est strictement croissante, il s'ensuit qu'il s'agit du maximum de la fonction h.

Cette dernière fonction apparaît naturellement lors du troisième chapitre.

Proposition 1.4.3. Soit B > 0 et C des constantes non nulles et soit g : eC_{, ∞
→ (0, ∞)}

une fonction dénie par

g(t) = exp B

β (log t − C)

β_{− t}

. Alors, g atteint son maximum lorsque

log t = (1 − β) W B 1 1−β 1 − β exp  −C 1 − β ! + C. (1.4)

Démonstration En prenant le logarithme de g(t), nous avons log g(t) = B

β (log t − C)

β_{− t.}

Ainsi, (log g(t))0

= B_t (log t − C)β−1− 1, de sorte que g0(t) = 0 ⇔ B = t (log t − C)1−β ⇔ B1−β1 _{= t} 1 1−β _{(log t − C)} ⇔ B1−β1 _{= exp} log t 1 − β  (log t − C) ⇔ B1−β1 _exp  _−C 1 − β  = exp log t − C 1 − β  (log t − C) ⇔ B1−β1 _exp  −C 1−β  1 − β = exp  log t − C 1 − β   log t − C 1 − β  ⇔ log t − C 1 − β = W B1−β1 1 − β exp  _−C 1 − β ! ,

où W désigne la fonction de Lambert. Comme t ≥ eC_{, cette équation possède toujours une}

solution unique. En eet, pour le côté droit de l'équation, comme B1−β1 1 − β exp  _−C 1 − β  > 0,

il est possible d'évaluer la fonction de Lambert en ce point et cela donne un nombre positif. Pour le côté gauche de l'équation, t > eC_{, nous avons que}

log t − C 1 − β >

C − C 1 − β = 0

parcourt tous les nombres strictement positifs. Il sut ensuite de choisir t de sorte que la valeur atteinte soit la même que celle de la fonction de Lambert. Ainsi, la fonction g a une dérivée nulle si et seulement si

log t = (1 − β) W B 1 1−β 1 − β exp  −C 1 − β ! + C.

Comme la fonction de Lambert dénie à la section précédente est une fonction strictement croissante, alors g0_{(t) < 0si} log t > (1 − β) W B 1 1−β 1 − βexp  _−C 1 − β ! + C et g0_{(t) > 0si} log t < (1 − β) W B 1 1−β 1 − β exp  −C 1 − β ! + C.

On peut en conclure que la fonction g atteint son maximum au point t satisfaisant (1.4).

1.5 Résultats classiques de théorie des nombres

Notre objectif ici est de présenter une formule permettant d'obtenir des estimations asympto-tiques pour certaines sommes. Cette formule est appelée la formule de sommation d'Abel. Proposition 1.5.1. (Formule de sommation d'Abel) Soit (an)n≥1 une suite de nombres

complexes et f(x) une fonction dérivable dont la dérivée est continue pour tout x ≥ 1. Pour tout x ≥ 1, posons

A(x) :=X

n≤x

an.

Alors, pour tout x ≥ 1, X n≤x anf (n) = A(x)f (x) − Z x 1 A(t)f0(t)dt.

La formule de sommation d'Abel sera utilisée, en autres, lors de plusieurs calculs de cette thèse. Il y a également, en particulier, une somme qui apparaîtra à plusieurs reprises. Il s'agit de ce que l'on appelle la formule de Mertens.

Proposition 1.5.2. (Formule de Mertens) Il existe une constante c telle que, pour tout x ≥ 2, X p≤x 1 p = log2x + c + O  1 log x  .

Démonstration Voir De Koninck et Luca [6, Théorème 4.5]

1.6 Équirépartition modulo 1

La théorie de l'équirépartition modulo 1, parfois appelée théorie de distribution uniforme modulo 1 ou encore d'équidistribution modulo 1, s'est développée rigoureusement en 1916 avec les travaux d'Hermann Weyl (voir Kuipers et Niederreiter [18, Préface]). Classiquement, il s'agit de s'intéresser à la distribution de la partie fractionnaire de nombres réels dans l'intervalle [0, 1).

Plus concrètement, si nous disposons d'une suite (xn)n≥1 de nombres réels compris dans

l'in-tervalle [0, 1), nous disons qu'elle est équirépartie modulo 1 si, pour tout sous-inl'in-tervalle de [0, 1), la proportion des xn se retrouvant dans ce sous-intervalle est proportionnelle à la

longueur de ce dernier. Mathématiquement, cela peut se dénir de la manière suivante : Dénition 1.6.1. Soit (xn)n≥1une suite de nombres réels. Elle est dite équirépartie modulo

1 si, pour toute paire 0 ≤ a < b ≤ 1, nous avons lim

N →∞

1

N# {n ≤ N : a ≤ {xn} < b} = b − a. Il s'agit en fait de la dénition utilisée par Kuipers et Niederreiter [18].

Entre autres, l'équirépartition modulo 1 est équivalente à un critère, appelé le Critère de Weyl (voir Tenenbaum [26, Chapitre I.6.5]), qui la lie à des sommes d'exponentielles ainsi qu'à une intégrale.

Proposition 1.6.2. (Critère de Weyl) Soit (xn)n≥1 une suite de nombre réels. Les énoncés

suivants sont équivalents.

1. La suite (xn)n≥1 est équirépartie modulo 1 ;

2. Pour toute fonction Riemann-intégrable f sur [0, 1], nous avons

lim N →∞ 1 N N X n=1 f ({xn}) = Z 1 0 f (t)dt;

3. Pour tout entier h 6= 0, lim N →∞ 1 N N X n=1 e2πihxn _{= 0.}

Démonstration Une démonstration est disponible dans le livre de Kuiper et Niederreiter [18, Chapitre 1, théorème 1.1, corollaires 1.1 et 1.2 et théorème 2.1].

Ce critère permet d'obtenir que la suite (αn)n≥1, où α ∈ R \ Q, est équirépartie modulo 1.

Lors de l'étude de

X

2≤n≤x

1 p(β)_Ω (n),

c'est-à-dire la somme sur la réciproque des facteurs premiers β-positionnés avec multiplicité, nous allons avoir aaire à un problème où il faut estimer la somme

X

n≤N

2{αn}

où α > 0 est un nombre réel xé. Dans le cas où α ∈ Q, il s'agit d'une estimation assez simple à obtenir, car il sut d'écrire α = a

b, où a ∈ Z et b ∈ N sont copremiers et de travailler avec

les restes modulo b des entiers n ≤ N. Lorsque α ∈ R \ Q, nous avons par le critère de Weyl que N X n=1 2{αn}= N (1 + o(1)) Z 1 0 2tdt (N → ∞) .

Néanmoins, cette estimation ne nous sera pas susante, car le terme d'erreur en o (N) est beaucoup trop grand. Il nous faut donc un outil an de pouvoir mieux estimer ce terme d'erreur.

L'outil que nous allons utiliser est appelé la discrépance d'une suite. Elle permet, en quelques sortes, de distinguer quelles suites sont bien équiréparties modulo 1 de celles qui ne le sont pas en mesurant la déviation de ces suites à la distribution uniforme dans l'intervalle [0, 1). Il existe plusieurs manières diérentes de dénir la discrépance. La suivante est dénie par Kuipers et Niederreiter [18, Chapitre 2, dénition 1.2].

Dénition 1.6.3. Soit (xn)_n≥1 une suite de nombres réels dans [0, 1) et soit N ≥ 1. Nous

appelons DN := sup 0<α≤1     1 N# {n ≤ N : 0 ≤ xn< α} − α     la discrépance de la suite (xn)n≥1.

De plus, lorsque la suite (xn)_n≥1 est croissante,

DN = max i=1,··· ,Nmax     xi− i N     ,     xi− i − 1 N     

(Voir Kuipers et Niederreiter [18, Chapitre 2, théorème 1.4]).

En particulier, il est possible de démontrer que la suite (xn)n≥1 est équirépartie modulo 1 si

et seulement si DN = o(1)lorsque N → ∞.

Pour obtenir un meilleur estimé que celui du critère de Weyl, il nous faut borner la discrépance. L'outil que nous allons utiliser est appelé la mesure d'irrationalité d'un nombre réel.

Dénition 1.6.4. Soit α ≥ 0 un nombre réel. Posons µ (α) := inf



γ ≥ 0 : ∃ un nombre ni de paire (a, b) avec a, b ∈ N et 0 <   x − a b   < 1 bγ 

si cet inmum existe, et µ = ∞ sinon. Nous appelons µ (α) la mesure d'irrationalité de α.

En particulier, les nombres irrationnels dont la mesure d'irrationalité est innie sont appe-lés des nombres de Liouville. Ces nombres sont les premiers exemples connus de nombres transcendants. (voir [19] et [20])

Nous allons maintenant chercher à obtenir une borne supérieure pour la discrépance de la suite {αn} lorsque α est un nombre irrationnel.

Proposition 1.6.5. Soit α > 0 un nombre irrationnel de mesure d'irrationalité nie µ. Soit (xn)n≥1 la suite dénie par xn= {αn}. Alors, pour tout  > 0, lorsque N → ∞,

DN = O  N −1 µ−1+  .

Démonstration Voir Kuipers et Niederreiter [18, Chapitre 2, théorème 3.2].

Nous sommes maintenant en mesure d'estimer notre somme.

Proposition 1.6.6. Soit α ∈ R un nombre irrationnel de mesure d'irrationalité nie µ et soit r > 1 un nombre réel xé. Soit (xn)_n≥1 la suite dénie par xn= {αn}. Alors, pour tout  > 0,

lorsque t → ∞, X n≤t r{αn}= btc Z 1 0 rydy + O  t1−µ−11 +  .

Démonstration Dénissons la fonction f(x) = rx _{ainsi que la suite nie de nombres (α} n)_n≤t

où cette suite est dénie comme étant la suite (xn)n≤t classée en ordre croissant. Posons

N := btc et Σ :=       1 N X n≤N f (αn) − Z 1 0 f (x)dx       .

Nous voulons montrer que, pour tout  > 0, Σ = O  tµ−1−1+  . Comme Z 1 0 f (x)dx = X n≤N Z n N n−1 N f (x)dx

et comme la fonction f(x) est dérivable sur R, nous avons par le théorème des accroissements nis que, pour chaque n ≤ N, il existe yn∈ n−1_N ,_Nn

tel que Z n N n−1 N f (x)dx = f (yn)  n N − n − 1 N  = 1 Nf (yn) . Ainsi, Σ = 1 N       X n≤N (f (αn) − f (yn))       .

Pour chaque n ≤ N, nous avons par le théorème des accroissements nis qu'il existe cn∈ (0, 1)

tel que

|f (α_n) − f (yn)| = f0(cn) |αn− yn| .

Puisque la fonction f0_{(x)est bornée pour x ∈ [0, 1], disons f}0_{(x) ≤ r, nous obtenons que}

|f (αn) − f (yn)| ≤ r |αn− yn| . Ainsi, Σ ≤ 1 N X n≤N |f (αn) − f (yn)| ≤ r N X n≤N |αn− yn| .

Par dénition des yn, nous avons

|αn− yn| ≤ max     αn− n − 1 N     ,   αn− n N     ≤ max 1≤n≤N     αn− n − 1 N     ,   αn− n N     . Ainsi, Σ ≤ r max 1≤n≤N     αn− n − 1 N     ,   αn− n N     = rDN.

Finalement, selon la proposition 1.6.5, nous obtenons que, pour tout  > 0, Σ = O  N −1 µ−1+  = O  t −1 µ−1+  .

1.6.1 Remarques

La théorie de l'équirépartition ne se limite pas seulement à l'équirépartition modulo 1. D'une part, le terme modulo 1 est spécié, car il est possible de considérer, par exemple, l'équiré-partition modulo un intervalle de [0, ∞). D'autre part, il est également possible de dénir l'équirépartition pour une suite à plusieurs variables, de même que de la dénir dans d'autres espaces. Entre autres, il est possible de la dénir dans un espace compact et Hausdor à l'aide d'une mesure de Lebesgue, de même que dans des groupes topologiques compacts. De plus, même dans le cas considéré d'équirépartition modulo 1, la théorie est beaucoup plus déve-loppée que ce qui a été présenté. Un lecteur intéressé peut consulter, entre autres, le livre de Kuipers et Niederreiter [18], qui est consacré à introduire et présenter les résultats classiques de cette théorie dans plusieurs espaces diérents.

1.7 Séries de Dirichlet

L'étude de fonctions arithmétiques f(n) peut souvent être simpliée par l'étude de leur série génératrice associée

X

n≥1

f (n) ns ,

où s ∈ C est tel que cette série converge.

En eet, d'une part, considérons l'ensemble des séries de Dirichlet formelles D (f ; s) :=X

n≥1

f (n) ns .

Il s'agit d'un anneau commutatif dont l'addition est dénie par D (f ; s) + D (g; s) =X

n≥1

f (n) + g(n) ns

et la multiplication, appelée le produit de convolution de Dirichlet, est dénie par D (f ; s) D (g; s) = D (h; s) ,

où

h(n) = X

ab=n

f (a)g(b) =: (f ∗ g) (n).

En particulier, cette formule de produit provient seulement du calcul formel termes à termes X n≥1 f (n) ns X n≥1 g(n) ns = X m,n≥1 f (n)g(m) (mn)s = X n≥1 1 ns X ab=n f (a)g(b).

L'unité de cette anneau est ainsi la fonction 1, associée à la fonction δ(n) dénie par

δ(n) :=    1 si n = 1, 0 sinon.

D'autre part, si nous dénissons la série de Dirichlet d'une fonction arithmétique f(n) par

F (s) :=X

n≥1

f (n) ns ,

pour tout s ∈ C où cette série converge, alors nous dénissons les abscisses de conver-gence et de converconver-gence absolue, notées respectivement par σc(F )et σa(F ), comme étant

respectivement les uniques nombres réels minimaux tels que les séries X n≥1 f (n) ns (<(s) > σc(F )) et X n≥1     f (n) ns     (<(s) > σa(F ))

convergent (ils peuvent valoir −∞ si ces séries convergent toujours et +∞ si elles ne convergent jamais). L'existence de ces abscisses ne nous est pas nécessaire, mais un lecteur intéressé peut consulter, par exemple, le théorème 1.5 du chapitre II de Tenenbaum [26].

Ces abscisses jouent un grand rôle. D'une part, si H(s) = F (s)G(s), où F (s) et G(s) sont deux séries de Dirichlet qui convergent absolument pour <(s) ≥ σa, alors il en est de même pour

H(s). Cela vient directement de la dénition de H(s) et de l'inégalité triangulaire. D'autre part, la représentation en séries de Dirichlet est unique dans le sens suivant.

Proposition 1.7.1. (Unicité de la représentation) Considérons les deux séries de Di-richlet F (s) = P n≥1 f (n) ns et G(s) = P n≥1 g(n)

ns et supposons qu'elles possèdent la même abscisse

de convergence absolue nie σa. Supposons, de plus, qu'il existe une suite (sk)k≥1 de nombres

complexes avec σa< < (s1) < < (s2) < · · ·, < (sk) → ∞ et telle que

F (sk) = G (sk) ∀k ∈ N.

Alors,

f (n) = g(n) ∀n ∈ N.

Démonstration La démonstration est la même que celle du théorème 6.5 de De Koninck et Luca [6], mais adaptée pour une suite de nombres complexes en utilisant les parties réelles des sk au lieu des sk.

Ainsi, chaque série de Dirichlet est associée à une unique fonction arithmétique. Il reste ce-pendant à extraire les données de cette série an d'en savoir plus sur la fonction f(n). En particulier, dans le cas d'une fonction f(n) multiplicative, il est possible de montrer que la série de Dirichlet admet un développement en produit, appelé un produit Eulérien.

Proposition 1.7.2. Soit f(n) une fonction multiplicative et s ∈ C. Dénissons la série for-melle F (s) :=X n≥1 f (n) ns . Alors, si la série X p X ν≥1     f (pν) pνs0    

converge pour un s0∈ C, la série F (s0) est absolument convergente et nous avons

F (s0) = Y p X ν≥0 f (pν₎ pνs0 = Y p 1 +f (p) ps0 + f p2
p2s0 + · · · ! .

De plus, nous avons dans ce cas que l'abscisse de convergence absolue de F (s), noté σa(F ),

satisfait σa≤ < (s0).

Démonstration Voir le chapitre II, théorème 1.3 de Tenenbaum [26].

Un exemple de série de Dirichlet que nous allons utiliser au cours du troisième chapitre dans le cadre de la méthode de Selberg-Delange est la fonction zêta de Riemann, dénie pour <(s) > 1 par

ζ(s) :=X

n≥1

1 ns.

Il s'agit d'une fonction pouvant être prolongée analytiquement dans tout le plan complexe, excepté en un pôle simple en s = 1 (voir le chapitre II.3 de Tenenbaum [26]).

Chapitre 2

Entiers ayant un nombre prédéterminé

de facteurs premiers

An d'estimer la somme sur la réciproque des facteurs premiers β-positionnés, que ce soit avec ou sans multiplicité, il nous faudra étudier quelques problèmes portant sur des entiers ayant un nombre précis de facteurs premiers. En particulier, ces entiers auront également une autre propriété : soit ils seront ce que nous appelons des entiers y-friables, soit ils auront tous leurs facteurs premiers ≥ y pour un certain y ∈ R.

2.1 Entiers friables

Nous disons qu'un entier est y-friable si tous ses facteurs premiers sont ≤ y. Plusieurs pro-blèmes arithmétiques font intervenir la quantité

# {n ≤ x : P (n) ≤ y} , (2.1)

c'est-à-dire le nombre d'entiers y-friables qui sont ≤ x. Le chapitre III.5 de Tenenbaum [26] est, entre autres, entièrement consacré à la présentation des méthodes utilisées habituellement pour estimer (2.1), dont plusieurs font intervenir la fonction de Dickman dénie dans l'introduction. Nous traitons dans ce chapitre un problème qui, même s'il peut sembler plus compliqué à résoudre que d'estimer (2.1), s'avère en n de compte beaucoup plus facile à étudier.

Le problème que l'on veut résoudre est le suivant : nous voulons estimer X n≤x P (n)≤y ν(n)=k 1 n

où y ≥ 2 est un entier pouvant dépendre de x, de même que k, et ν = ω ou ν = Ω. Cela revient donc à estimer la somme sur la réciproque des entiers y-friables ayant un nombre prédéterminé de facteurs premiers.

2.1.1 Le cas ν(n) = ω(n)

Le cas ν(n) = ω(n) a été étudié par Erd®s et Tenenbaum [13, Théorème 1].

Théorème 2.1.1. Soit  > 0. Pour tout nombre premier p ≥ 5 et 1 ≤ k0− 1 ≤ π(p) − 2, soit

ρ l'unique solution réelle de

X

q<p

ρ

q − 1 + ρ = k0− 1. Introduisons également les fonctions

w(t) :=    Γ (t + 1) t−tet si t > 0, 1 si t = 0 et F (z, p) :=Y q<p  1 + z q − 1  . Considérons l'ensemble G := {a ∈ N : ω(a) = k0− 1, P (a) < p} .

Alors, uniformément pour 1 ≤ k0 ≤ p1−,

X a∈G 1 a = F (ρ, p) ρk0−1_{w (k} 0− 1) 1 + O R−1

, où R = log  log p log (k0+ 1)   1 + O  log+   k0

log_log(klog p

0+1)       . En particulier, ρ = k0− 1

log₂p − log 1 + log+ k0

log  log p log(k0+1)  !! 1 + O R −1

_.

Erd®s et Tenenbaum ont fait face à ce problème lorsqu'ils ont voulu estimer 1

x# {n ≤ x : pk(n) = p} ,

où pk(n) dénote le k-ième facteur premier de l'entier n. La démonstration d'Erd®s et

Tenen-baum met en lumière une idée générale utilisée lorsque nous nous intéressons aux entiers ayant un nombre prédéterminé de facteurs premiers, que nous présentons dans la section suivante portant en partie sur la méthode de Selberg-Delange. La démonstration du théorème 2.1.1 né-cessite également l'utilisation d'une méthode appelée la méthode du col. Il s'agit d'une manière d'évaluer une intégrale complexe en modiant le chemin d'intégration an de se rapprocher

d'un point où la dérivée de l'intégrant est nulle, permettant ainsi d'utiliser des estimations asymptotiques pour la fonction à intégrer.

Plus concrètement, la méthode d'Erd®s et Tenenbaum consiste à tout d'abord remarquer que la série de Dirichlet X a≥1 P (a)<p zω(a) a

est convergente pour tout z ∈ C. En eet, puisque la fonction ω(a) est additive et à valeurs dans N, alors zω(a) _{est bien dénie pour tout z ∈ C et représente une fonction multiplicative.}

De même, la propriété P (a) < p est multiplicative. Sous forme de produit Eulérien, nous avons donc X n≥1 zω(n) n = Y q<p  1 + z q − 1  . Cette série dénit une série de Taylor

1 +X

m≥1

bmzm

centrée en 0 dont les coecients de Taylor bm satisfont

bm := X a∈N ω(a)=m P (a)<p 1 a.

Ainsi, le théorème2.1.1 correspond à estimer le coecient bk0−1. Pour ce faire, nous pouvons

utiliser la formule de Cauchy. Ainsi, pour tout r > 0,

bk0−1 = 1 2πi Z |z|=r P n≥1 zω(n) n zk0 dz = 1 2πrk0−1 Z π −π X n≥1 rω(n) n e iω(n)−k0+1_dθ.

L'idée d'Erd®s et Tenenbaum est d'ensuite utiliser un rayon d'intégration r = ρ, où ρ cor-respond à un point où la dérivée de l'intégrant est nulle, c'est-à-dire une valeur r telle que la dérivée par rapport à r de la formule précédente est nulle. De cette manière, il est ensuite possible de montrer que ce ne sont que les petites valeurs de θ qui contribuent le plus à l'es-timation de bk0−1. Pour de plus amples détails, nous référons le lecteur à la démonstration

complète d'Erd®s et Tenenbaum [13].

2.1.2 Le cas ν(n) = Ω(n)

Ce cas-ci est beaucoup plus simple que celui d'Erd®s et Tenenbaum et peut être obtenu par des méthodes élémentaires.

Théorème 2.1.2. Pour tout nombre premier p ≥ 3 et pour tout entier k0 ≥ 2, dénissons

l'ensemble

A := {a ∈ N : Ω(a) = k0, P (a) = p} .

Alors, uniformément pour p ≥ 3 et k0 ≥ 2,

X a∈A 1 a = 1 p 1 2k0−1 Y 3≤q≤p  1 −2 q −1 + O (log p) 3 p 1 3k0−1 ! .

Démonstration Une manière simple de montrer ce résultat est de procéder de manière élé-mentaire, c'est-à-dire sans utiliser l'analyse complexe. Lorsque p = 3, nous voulons évaluer

X m+n=k0 n≥1 1 2m₃n = 1 2k0−1₃ X 0≤n≤k0−1  2 3 n = 1 2k0−1₃  1 −2 3 −1 1 − 2 3 k0! = 1 3 1 2k0−1  1 −2 3 −1 + O  1 3k0−1  .

Notons qu'il est possible d'obtenir une formule exacte, mais cela ne sera pas nécessaire pour la suite.

Lorsque p > 3, si y = π(p) et si pr désigne le r-ième nombre premier, nous avons

X a∈A 1 a = X α1+α2+···+αy=k0 αy≥1 αj≥0 1 2α1₃α2· · · pαy = 1 p X α1+α2+···+αy=k0−1 αj≥0 1 2α1₃α2· · · pα_yy.

Si nous mettons les facteurs de 2 en évidence, nous obtenons X α1+α2+···+αy=k0−1 αj≥0 1 2α13α2· · · pα_yy = 1 2k0−1 X 0≤α2+···+αy≤k0−1 2α2+···+αy 3α2· · · pα_yy = 1 2k0−1          1 + X a∈N P (a)≤p p(a)>2 1≤Ω(a)≤k0−1 2Ω(a) a          .

En particulier, les facteurs de 2 sont mis en évidence, car ils risquent d'être ceux qui contribuent le plus à cette somme.

Le terme entre parenthèses est une série de Dirichlet qui peut s'écrire comme un produit eulérien sous la forme

1 + X a∈N P (a)≤p p(a)>2 2Ω(a) a = Y 2<q≤p   X v≥0  2 q v  = Y 2<q≤p  1 −2 q −1 .

Ainsi, X a∈A 1 a = 1 2k0−1_p          Y 3≤q≤p  1 −2 q −1 − X a∈N P (a)≤p p(a)>2 Ω(a)≥k0 2Ω(a) a          .

Il ne nous reste donc plus qu'à estimer cette dernière série. Nous avons X a∈N P (a)≤p p(a)>2 Ω(a)≥k0 2Ω(a) a = X m≥k0 2m X a∈N P (a)≤p p(a)>2 Ω(a)=m 1 a.

En procédant de la même manière que lorsque les facteurs de 2 ont été mis en évidence, nous obtenons en plaçant les facteurs de 3 en évidence que

X a∈N P (a)≤p p(a)>2 Ω(a)=m 1 a = 1 3m          1 + X a∈N P (a)≤p p(a)>3 1≤Ω(a)≤m 3Ω(a) a          ≤ 1 3m        1 + X a∈N P (a)≤p p(a)>3 3Ω(a) a        = 1 3m Y 3<q≤p  1 −3 q −1 . Ainsi, X a∈A 1 a = 1 p 1 2k0−1 Y 3≤q≤p  1 −2 q −1 + O   1 p 1 2k0−1 Y 3<q≤p  1 −3 q −1 X m≥k0  2 3 m   = 1 p 1 2k0−1 Y 3≤q≤p  1 −2 q −1 + O   1 p 1 3k0−1 Y 3<q≤p  1 −3 q −1  . Puisque X 3<q≤p log  1 −3 q  = X 3<q≤p 3 q + X 3<q≤p  −3 q + log  1 −3 q  , nous avons par la formule de Mertens que

X 3<q≤p log  1 −3 q  = 3 (log₂p) + O(1) uniformément pour p ≥ 3, de sorte que

X a∈A 1 a = 1 p 1 2k0−1 Y 3≤q≤p  1 −2 q −1 + O (log p) 3 p 1 3k0−1 ! , ce qui termine la démonstration.

Notons que la démarche utilisée lors de cette démonstration peut permettre d'obtenir une formule plus précise. Néanmoins, cela ne sera pas nécessaire pour la suite. Notons également que la formule asymptotique obtenue, même si elle est uniforme pour tout p ≥ 3 et k0 ≥ 2,

n'est pas toujours intéressante. En eet, dans les cas où k0 et p sont bornés, elle nous révèle

seulement que la somme est bornée. Dans les cas où k0 est borné, mais pas p, alors c'est le

terme d'erreur qui l'emporte, car le premier terme est de l'ordre de (log p)2

p et le terme d'erreur

est de l'ordre de (log p)3

p . Cependant, cela ne causera pas de problèmes lors des calculs où cette

formule doit être utilisée.

2.2 Entiers sans petits facteurs premiers

Il arrive souvent en théorie analytique des nombres qu'il faille avoir recours à l'utilisation de l'analyse complexe, surtout lors de l'évaluation asymptotique de sommes. Un problème bien connu dont les meilleures estimations sont obtenues avec l'analyse complexe est le théorème des nombres premiers qui a été démontré indépendamment par Hadamard et de la Vallée Poussin en 1896. Bien que des démonstrations élémentaires, c'est-à-dire des démonstrations ne faisant pas usage de l'analyse complexe, sont souvent possibles, entres autres celles d'Erd®s [10] et Selberg [25] pour le théorème des nombres premiers, les termes d'erreur des estimations asymptotiques obtenus par l'analyse complexe sont la plupart du temps plus petits.

Nous allons introduire ici un résultat obtenu par une méthode particulière, développée par Selberg et Delange entre 1954 et 1971, et qui repose sur l'utilisation de l'analyse complexe. Avant d'attaquer cette méthode, nous allons tout d'abord nous intéresser à un problème résolu par Hardy et Ramanujan en 1917, appelé l'inégalité de Hardy-Ramanujan.

Théorème 2.2.1 (Inégalité de Hardy-Ramanujan). Posons, pour tout k ≥ 1 et x ≥ 1, Πk(x) := # {n ≤ x : ω(n) = k} .

Alors, il existe des constantes positives x0, c0 et c1 telles que, uniformément pour tout entier

1 ≤ k ≤ 10 log₂x, Πk(x) ≤ c0 x log x 1 (k − 1)!(log2x + c1) k−1 pour tout x > x0.

Démonstration Voir le théorème 10.1 de De Koninck et Luca [6, Chapitre 10].

Cette inégalité nous sera fort utile lorsque nous voudrons borner le nombre d'entiers ≤ x qui possèdent un nombre prédéterminé de facteurs premiers, mais qui possèdent également une condition sur ces dits facteurs.

Notons également que la condition ω(n) = k ≤ 10 log2xne causera aucun problème et qu'il est

possible de démontrer l'inégalité de Hardy-Ramanujan pour tout entier k ≥ 1 par induction.

2.2.1 Entiers sans petits facteurs premiers ayant un nombre prédéterminé de facteurs premiers

Nous voulons obtenir une estimation précise sur des nombres qui possèdent un nombre prédé-terminé de facteurs premiers, que ce soit comptés avec ou sans multiplicité, et qui ne possèdent pas de petits facteurs premiers.

Théorème 2.2.2. Étant donné un entier λ ≥ 1, posons

ωλ(x, y) := # {n ≤ x : p(n) ≥ y, ω(n) = λ} et considérons la fonction g1(s, y, z) := Y p  1 + z ps_{− 1}   1 − 1 ps z Y p<y  1 + z ps_{− 1} −1

dénie pour tout z ∈ C et <(s) > 1

2. Alors, pour tout r > 0, 2 ≤ y ≤ exp



(log x)2/5 et λ ≤ r log₂x, nous avons, lorsque x → ∞,

ωλ(x, y) = x log x g1(1, y, µ) Γ (1 + µ) (log₂x)λ−1 (λ − 1)! + Or

x (log₂x)λ−1(log y)−µ(log₂y)2λ (λ − 1)! log x (log₂x)2

!

uniformément en y, où µ = λ−1 log2x.

Théorème 2.2.3. Étant donné un entier λ ≥ 1, posons

Ωλ(x, y) := # {n ≤ x : p(n) ≥ y, Ω(n) = λ} et considérons la fonction g2(s, y, z) := Y p  1 − z ps −1 1 − 1 ps z Y p<y  1 − z ps 

dénie pour tout |z| ≤ 2 et < (s) > 1

2. Soit 0 < r < 2. Alors, pour tout 2 ≤ y ≤ exp



(log x)2/5  et λ < r log2x, nous avons, lorsque x → ∞,

Ωλ(x, y) = x log x g2(1, y, µ) Γ (1 + µ) (log₂x)λ−1 (λ − 1)! + Or

x (log₂x)λ−1(log y)−µ(log₂y)2λ (λ − 1)! log x (log₂x)2

!

uniformément en y, où µ = λ−1 log2x.