Incompressibilité et conditions aux limites dans la méthode Smoothed particle hydrodynamics

THESE

pour obtenir le titre de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS

(Facult´

e des Sciences Fondamentales et Appliqu´

ees)

(Diplˆ

ome National - Arrˆ

et´

e du 7 aoˆ

ut 2006)

Ecole Doctorale : SI-MMEA

Secteur de Recherche : M´

ecanique des fluides

Pr´

esent´

ee par

Hicham Machrouki

*************************************

Incompressibilit´

e et conditions aux limites dans la m´

ethode

Smoothed particle Hydrodynamics

*************************************

Directeur de Th`

ese : Serge Huberson

*************************************

soutenue le 23/03/2012

devant la Commission d’Examen

*************************************

JURY

Pr´

esident :

Didier Clamond

- Universit´

e de Nice-Sophia Antipolis

Rapporteurs :

Spyros Voutsinas

- NTUA Ath`

enes

Iraj Mortazavi

- Universit´

e Bordeaux 1

Directeur :

Serge Huberson

- Universit´

e de Poitiers

Examinateurs : Elie Rivoalen

- Universit´

e du Havre

Anthony Beaudoin - Universit´

e de Poitiers

Remerciement

Mes premiers remerciements s’adressent tout naturellement `a mon directeur de th`ese Serge Huberson pour ses conseils pr´ecieux, sa patience et son soutien tout au long des ann´ees de la th`ese. Mes remerciements vont ´egalement `a Anthony Beaudoin pour son aide dans le sprint final de la th`ese et pour son amiti´e.

Je tiens `a remercier M. Spyros Voutsinas et M. Iraj Mortazavi d’avoir accept´e d’ˆetre les rapporteurs de cette th`ese. Je tiens ´egalement `a remercier M. Didier Clamond et M. Elie Rivoalen qui m’ont fait l’honneur de juger mon travail.

Ce travail a ´et´e r´ealis´e au sein de l’institut Pprime de Poitiers. Merci `a tous les th´esard, stagiaires, post-docs et permanents que j’ai pu cˆotoyer et pour les moments agr´eables que j’ai pu partager avec eux.

Enfin, Merci ´egalement `a H´el`ene pour son amour, `a mes parents, mon fr`ere Adil et tous les membres de ma famille.

R´

esum´

e

Nous pr´esentons une m´ethode num´erique particulaire pour la r´esolution des ´equations Navier-Stockes en formulation vitesse-pression pour la mod´elisation bidimentionnelle des ´ecoulements incompressibles en pr´esence d’obstacles. Cette m´ethode s’appuie sur la formulation Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) pour le calcul du transport des moments. L’absence de maillage structur´e permet de traiter des domaines d´ecoulement avec des fronti`eres complexes. Par ailleurs, le calcul du champ de pression est r´ealis´e par la r´esolution d’une ´equation de poisson qui as-sure l’incompressibilit´e de l’´ecoulement et les conditions aux limites sont renforc´ees par l’utilisation de la m´ethode des int´egrales de fronti`eres (BIM). Cette derni`ere m´ethode est connue pour ˆetre p´enalisante en terme de temps CPU. Pour rem´edier `

a ce probl`eme, les contributions des termes sources de l’´equation de poisson pour la pression et de l’´equation de Helmhotz g´en´eralis´ee pour la vitesse sont calcul´es en superposant une grille cart´esienne au domaine de l’´ecoulement et en utilisant une m´ethode de diff´erences finies. Les diff´erentes ´etapes de construction de la m´ethode que nous proposons ont ´et´e valid´ees par l’´etude de plusieurs cas acad´emiques parmi lesquels l’´ecoulement dans une cavit´e, la rupture de barrage ou encore l’´ecoulement derri`ere un cylindre.

En plus de son utilisation classique pour la mod´elisation num´erique des ´ecoulements, notre m´ethode a ´et´e utilis´ee pour reconstruire les champs de vitesse et de pression `a partir d’un champ de vitesse mesur´e exp´erimentalement par PIV et appliqu´ee au cas de l’´ecoulement autour d’un profil NACA en mouvement.

Abstract

A numerical particle method for solving the Navier-Stokes equations in velocity-pressure formulation for two dimensional incompressible flows is presented. The basis of the method is the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) formulation for the moments transport. On advantage of this meshless method is an easy treatment of computational domains with complex boundaries. The pressure is computed by solving a poisson equation that ensures the flow incompressibility and the bound-ary conditions are imposed by using a boundbound-ary integral method (BIM). This last method, is known to be strongly CPU time consuming. To overcome this difficulty, the source term of the poisson equation was solved by introducing a cartesian grid and by using finite differences. The same treatment has been applied to the gen-eralize Helmholtz equation for the velocity field as well. The different steps were validated by studying several academic cases including a driven cavity low, a dam break and an impulsively started flow around a circular cylinder.

Aditionaly to this standard use for flow numerical modeling, the method was also applied for rebuilding the pressure and velocity fields from velocity fields experimentally measured by a PIV method. The method was then applied to the flow around a moving NACA profile.

Table des mati`

eres

Introduction 12

1 La m´ethode Smoothed Particle Hydrodynamics 15

1.1 Rappels . . . 15

1.1.1 Equations de Navier-Stokes . . . 15

1.1.2 M´ethodes particulaires . . . 16

1.1.3 Smoothed particle Hydrodynamics . . . 18

1.2 Les bases de la m´ethodes SPH . . . 18

1.2.1 Approximation d’une fonction . . . 19

1.2.2 Approximation des d´eriv´ees . . . 20

1.3 Noyau de coupure . . . 23

1.3.1 Choix du noyau . . . 23

1.3.2 Longueur de lissage h . . . . 25

1.4 Les ´equations de Navier-Stokes en SPH . . . 26

1.4.1 Le probl`eme continu . . . 26

1.4.2 Transport des particules . . . 26

1.4.3 Equation de conservation de la masse . . . 27

1.4.4 Equation de conservation de la quantit´e de mouvement . . . . 27

1.4.5 Calcul de pression (WSPH) . . . 29

1.5 Les conditions aux limites . . . 30

1.5.1 Surface libre . . . 31

1.5.2 Adh´erence aux parois . . . 31

1.6 Int´egration dans le temps . . . 34

1.7 Recherche des voisines . . . 35

1.8 Am´elioration de la m´ethodes SPH . . . 36

1.8.1 Consistance des interpolations . . . 36

1.9 Outils num´eriques . . . 43

1.9.1 D´etection de la surface libre . . . 43

1.10 Tests et validations . . . 46

1.10.1 Equations `a r´esoudre . . . 46

1.10.2 Tourbillon de Oseen . . . 46

1.10.3 Ecoulement dans une cavit´e entraˆın´ee . . . 54

2 M´ethode SPH incompressible 58 2.1 M´ethodes classiques . . . 59

2.1.1 M´ethode `a divergence nulle . . . 59

2.1.2 M´ethode `a densit´e invariante . . . 60

2.2 Couplage SPH-maillage . . . 61

2.3 Validations et applications . . . 63

2.3.1 Tourbillon de Oseen . . . 64

2.3.2 Ecoulement en cavit´e entraˆın´ee . . . 65

2.3.3 Sloshing . . . 66

3 Calcul du champ de pression 69 3.1 Introduction . . . 69

3.2 Equation de poisson´ . . . 70

3.3 D´ecomposition de la Solution . . . 71

3.4 Formulation int´egrale . . . 73

3.4.1 Rappel de la formulation int´egrale d’une ´equation de poisson . 73 3.4.2 Equations exactes pour le calcul de la pression . . . .´ 77

3.5 R´esolution num´erique . . . 78

3.5.1 Calcul de h_ω . . . 78

3.5.2 Calcul de h_γ et traitement de la singularit´e des coins . . . 78

3.6 Validation et application . . . 82

3.6.1 Application `a un champ de vitesse num´erique . . . 82

3.6.2 Application `a un champ de vitesse mesur´e . . . 84

4 Calcul de la vitesse 89 4.1 Introduction . . . 89

4.2 Equation de Helmholtz g´´ en´eralis´ee . . . 91

4.3 Mod`ele num´erique . . . 94

4.4 Validation et application . . . 97

4.4.2 Application : Correction de vitesse exp´erimentale . . . 103

5 Applications 105 5.1 Algorithme de r´esolution . . . 105

5.2 Ecoulement en cavit´e entraˆın´ee . . . 108

5.2.1 Mise en oeuvre num´erique . . . 108

5.2.2 R´esultats . . . 109

5.3 Ecoulement derri`´ ere un cylindre . . . 112

5.3.1 Etat de l’art . . . 112

5.3.2 Mise en oeuvre num´erique . . . 115

5.3.3 R´esultats . . . 116

Introduction g´

en´

erale

L’´etude du comportement hydrodynamique d’un fluide dans son milieu na-turel (ex. rivi`ere, ´ecoulement souterrain) ou dans un milieu construit (ex. canal hydraulique) est au coeur de la probl`ematique de recherche de l’´equipe HydEE de l’institut Pprime. Un tel ´ecoulement est g´en´eralement fortement instation-naire, visqueux, rotationnel et les fronti`eres peuvent ˆetre sujettes `a de grandes d´eformations. Son ´evolution est gouvern´ee par les ´equations de Navier-Stokes , dont on ne connaˆıt une solution analytique que dans des cas exceptionnels. Ainsi, l’´etude est effectu´ee soit par la r´ealisation des mesures exp´erimentales (PIV, LDV, ...), soit par l’utilisation de la simulation num´erique (Star CD, Fluent, TELEMAC, codes d´evelopp´es par l’´equipe, . . .).

Dans le cas d’une ´etude num´erique, deux approches distinctes sont disponibles pour simuler l’´ecoulement d’un fluide : la premi`ere est spatiale (dite eul´erienne) o`u les propri´et´es de l’´ecoulement sont examin´ees `a des points fixes du domaine (maillage) en fonction du temps, les ´equations ´etant r´esolues en utilisant des techniques telles que les diff´erences finies [4, 51] ou les volumes finis [86, 43]. Cette cat´egorie, qui est la plus r´epandue dans le domaine de la simulation num´erique des ´ecoulements, est th´eoriquement capable de traiter tous les probl`emes de la dynamique des fluides. Mais en pratique, elle rencontre des difficult´es lorsque les fronti`eres du domaine subis-sent de larges d´eformations au cours du temps. Autre inconv´enient, les m´ethodes eul´eriennes peuvent souffrir d’une erreur num´erique diffusive due au traitement du terme convectif non-lin´eaire de l’´equation de quantit´e de mouvement (1.2) :

∂u

∂t + (u· ∇) u = − 1

ρ∇p + ν Δu + f (1)

points qui se d´eplacent `a la vitesse de l’´ecoulement. Les positions de ces points sont calcul´ees dans un syst`eme de coordonn´ees lagrangiennes ce qui conduit `a la r´esolution d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire par rapport `a la vitesse du fluide. Dans ce cas, la convection est repr´esent´ee par une ´equation lin´eaire con-trairement aux m´ethodes eul´eriennes. `A chaque point, on associe des quantit´es li´ees `a l’´ecoulement telle que la masse, la quantit´e de mouvement, l’´energie , etc. Leur ´evolution est assur´ee par la r´esolution des ´equations de conservation. Dans la cat´egorie des m´ethodes lagrangienne, on peut distinguer les m´ethodes dans lesquelles on utilise un maillage se d´eformant avec l’´ecoulement du fluide et celles dans lesquelles on utilise un ensemble de points qui ne sont pas connect´es par des relations g´eom´etriques. Pour les premi`eres, il y a par exemple la m´ethode des ´el´ements finis (EF) [51] qui est tr`es efficace pour la dynamique des structures mais qui l’est beaucoup moins pour les syst`emes `a grandes d´eformations. Sans maillage, il y a les m´ethodes particulaires o`u les nœuds de calcul sont remplac´es par des particules physiques ind´ependantes (ind´ependantes d’un point de vue g´eom´etrique). Ces m´ethodes ont ´et´e d´evelopp´ees pendant les derni`eres d´ecennies pour apporter plus de pr´ecision et plus de stabilit´e num´erique `a des probl`emes o`u les techniques classiques rencontrent des difficult´es. Dans cette classes de m´ethodes, on trouve les m´ethodes de transport de tourbillon (VM : vortex method) [29, 24], les m´ethodes de transport de quantit´e de mouvement (SPH : smoothed particle hydrodynamics ) [78, 71] ou encore la m´ethode des ´el´ements discrets (DEM) [32, 106].

Chaque approche a ses avantages et ses inconv´enients. Il est donc tentant de mod´eliser un ´ecoulement en combinant les deux approches en essayant de ne garder que leurs avantages. Grˆace `a son suivi de particules, l’approche lagrangienne est une m´ethode adaptative pouvant am´eliorer la pr´ecision `a l’endroit o`u doit ˆetre r´esolu le probl`eme d’´ecoulement. Par contre, l’absence de relations g´eom´etriques entre les points de calcul rend l’approximation des op´erateurs diff´erentiels spatiaux plus d´elicate et aussi plus coˆuteuse en temps CPU que pour les m´ethodes eul´eriennes pour lesquelles l’´evaluation d’un laplacien par exemple ne n´ecessite que la prise en compte de quelques noeuds voisins du noeud de calcul. Dans ce travail, nous utiliserons aussi le couplage entre diff´erentes formulations, en particulier les formulation int´egrales de fronti`ere que nous utiliserons pour am´eliorer le traitement des conditions aux limites.

capable de r´esoudre les ´equations de Navier-Stokes pour un ´ecoulement bidimen-sionnel, instationnaire, incompressible, visqueux et rotationnel. La r´esolution se fait par le couplage de la m´ethode particulaire SPH avec la m´ethode des diff´erences finies pour la r´esolution de l’´equation de poisson (pression) et l’´equation de Helmoltz g´en´eralis´ee (diffusion visqueuse). La m´ethode des int´egrales de fronti`eres, quand `a elle, sera utilis´ee pour renforcer des conditions aux limites.

Le rapport de la th`ese s’articule autour des chapitres suivants :

Chapitre 1 On r´esout les ´equations de Navier-Stokes avec la m´ethode SPH stan-dard telle qu’elle est d´ecrite dans la litt´erature. Le champ de pression est d´etermin´e par l’utilisation d’une ´equation d’´etat en supposant une pseudo compressibilit´e du fluide.

Chapitre 2 On impose l’incompressibilit´e du fluide par la r´esolution d’une ´equation de poisson pour le calcul de pression. R´esoudre cette ´equation par une m´ethode particulaire donne de bons r´esultats, mais coˆuteux en temps de calcul CPU. Pour r´eduire ce coˆut, on utilise une grille fixe sur laquelle on r´esout l’´equation de poisson `a la mani`ere de la m´ethode PIC.

Chapitre 3 Les conditions aux limites restent un probl`eme important pour les m´ethodes particulaires. La m´ethode des particules fantˆomes est souvent utilis´ee pour forcer les conditions aux limites. Il reste que cette m´ethode n’est applicable que pour les cas o`u les fronti`eres du domaine sont simples. Dans ce chapitre, on propose de r´esoudre l’´equation de poisson par la m´ethode des int´egrales de fronti`eres afin de satisfaire les conditions aux limites sur la pression.

Chapitre 4 Dans ce chapitre, on traite deux probl`emes li´es au champ de vitesse. Le premier concerne la satisfaction de la condition d’adh´erence `a des parois solides. Le second concerne le calcul du terme diffusif dans l’´equation de conservation de quantit´e de mouvement. Ce deuxi`eme probl`eme est tr`es d´elicat dans les m´ethodes particulaires. Ces deux probl`emes seront r´esolus simultan´ement en r´esolvant une ´equation de Helmholtz g´en´eralis´ee sous le formalisme int´egral.

Chapitre 1

La m´

ethode Smoothed Particle

Hydrodynamics

1.1

Rappels

1.1.1

Equations de Navier-Stokes

Dans un ´ecoulement, le mouvement d’un fluide visqueux est gouvern´e g´en´eralement par les ´equations de Navier-Stokes ´ecrites en fonction des variables primitives : la vitesse u et la pression p :

– Equation de continuit´e :

dρ

dt + ρ∇u = 0 (1.1)

– Equation de quantit´e de mouvement ρdu

dt =−∇p + ∇τ + ρ f (1.2)

ρ ´etant la masse volumique constante, τ le tenseur des contraintes de viscosit´e et f la densit´e de forces massiques ext´erieures agissant sur le fluide (la gravit´e par exemple).

Pour pouvoir parler d’existence et d’unicit´e d’une solution `a ce probl`eme, on rajoute `a ces ´equations diff´erentielles des conditions aux limites (la valeur d’une variable ou de son flux sur une fronti`ere) et des conditions initiales (l’´etat du syst`eme `a l’instant t = t₀). D’autres types de conditions initiales et des conditions aux limites peuvent ˆetre utilis´es.

Plusieurs m´ethodes peuvent ˆetre employ´ees pour la r´esolution num´erique de ce probl`eme. Chacune d’elles a ses propres caract´eristiques, avantages et inconv´enients, mais elles ont toutes en commun le mˆeme principe de base : la discr´etisation du domaine de calcul en un ensemble de points de contrˆole. Sur chaque point, on d´efinit une ou plusieurs suites, repr´esentant une des variables de l’´ecoulement -vitesse, pression,... - qu’on esp`ere voir converger vers la solution du probl`eme. La nature du point de contrˆole est d´etermin´ee par le choix de l’approche utilis´ee pour d´ecrire l’´ecoulement, `a savoir une approche eul´erienne ou lagrangienne.

1.1.2

M´

ethodes particulaires

La mod´elisation num´erique d’un probl`eme de la m´ecanique des fluides par une m´ethode particulaire consiste `a discr´etiser le fluide ´etudi´e en un ensemble de partic-ules mouvantes. Chaque particule transporte des informations relatives `a l’ensemble de propri´et´es physiques du syst`eme. L’´evolution de ses propri´et´es et de sa trajectoire est d´etermin´ee par la r´esolution d’un syst`eme d’´equations diff´erentielles du type :

d x_a dt = ua(Xa, t) =  b F (x_a, x_b, ω_a, ω_b, . . .) (1.3) d ω_a dt =  b G(x_a, x_b, ω_a, ω_b, . . .) (1.4) Les indices a et b font respectivement r´ef´erence `a une particule et `a ses voisines. x_a, u_a repr´esentent la position et la vitesse de la particule a et la variable ω_a d´esigne une quantit´e physique de l’´ecoulement telle que la vitesse, la vorticit´e, etc. Les fonctions F et G d´ecoulent des lois dynamiques du syst`eme, c’est `a dire des ´equations de Navier-Stokes.

Les m´ethodes particulaires de type SPH ont ´et´e d´evelopp´ees dans le but de mod´eliser des ´ecoulements poss´edant de fortes perturbations tels que les probl`emes d’impact en dynamique des fluides. Pour ce genre d’´ecoulement, les m´ethodes clas-siques rencontrent des probl`emes pour traiter de telles singularit´es (par m´ethodes classiques, on entend des m´ethodes utilisant des maillages). Th´eoriquement, l’aspect lagrangien des m´ethodes particulaires permet de bien traiter les discontinuit´es et de s’adapter facilement `a toutes les formes de domaine. Cela les rend tr`es int´eressantes pour la mod´elisation des ´ecoulements avec des interfaces comme les ´ecoulements

Figure 1.1 – Ecoulement derri`ere un cylindre entre t = 12 et t = 24 par Chorin [23] en 1973

`

a surface libre ou les probl`emes diphasiques. Dans la pratique, malgr´e l’utilisation de la technique des particules fantˆomes ou une de ses variantes, les m´ethodes particulaires rencontrent toujours des difficult´es pour traiter correctement les conditions aux limites.

La plupart de ces m´ethodes ont ´et´e d´evelopp´ees au d´epart pour des probl`emes discrets o`u chaque particule repr´esente un objet physique distinct. C’est le cas par exemple pour la m´ethode DEM (pour Discret Element Method) qui est utilis´ee pour mod´eliser la dynamique de particules solides comme le sable ou la m´ethode DM (pour Molecular Dynamics) qui est utilis´ee pour la simulation du mouvement des mol´ecules. Ces m´ethodes ont alors ´et´e prises de leur milieu naturel discret, puis reformul´ees et appliqu´ees `a des probl`emes des milieux continus o`u cette fois-ci, chaque particule repr´esente une partie du domaine continu.

Les m´ethodes particulaires sont aussi classifi´ees selon la nature du traitement envisag´e pour le terme diffusif. Une m´ethode est d´eterministe si le terme diffusif est ´evalu´e par une technique directe comme utiliser une d´erivation seconde ou redistribuer la circulation (PSE). Une m´ethode est probabiliste si le terme diffusif est simul´e par une technique de marche al´eatoire comme c’est le cas pour la m´ethode de Monte-Carlo [23].

1.1.3

Smoothed particle Hydrodynamics

La m´ethode Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) s’inscrit dans la lign´ee des m´ethodes particulaires d´eterministes. Elle a ´et´e con¸cue en 1977 par Lucy [72] et Monaghan & Gingold [45] pour la mod´elisation de ph´enom`enes tridimensionnels non-confin´es issus de l’astrophysique. Les auteurs expliquaient que grˆace au caract`ere lagrangien pure de la m´ethode SPH, cette derni`ere permettait de traiter ais´ement ce genre de probl`eme, alors que les m´ethodes compressibles existantes `a l’´epoque rencontraient d’´enormes difficult´es pour les raisons suivantes :

– plusieurs ´echelles (spatiale, temporelle) doivent ˆetre consid´er´ees. – les fronti`eres du domaine ne sont pas d´efinies

– asym´etrie du probl`eme.

La ressemblance du mouvement d’un ensemble de corps gravitaires avec celui des gaz et des liquides a permis l’extension de la m´ethode SPH `a la dynamique des fluides. On trouve donc des applications en m´ecanique des fluides incom-pressibles [61, 110], `a des probl`emes avec des interfaces tels que les ´ecoulements `

a surface libre [81, 27] ou les probl`emes diphasiques [28]. Elle a ´et´e appliqu´ee `a des probl`emes fortement non lin´eaires tels que les probl`emes d’impact [59] ou les probl`emes de d´etonation [101]. Forte de ses succ`es, la m´ethode SPH a ´elargi son champ d’application pour toucher d’autres domaines que celui des fluides. On en trouve des applications en m´ecanique des solides et des milieux fractur´es [11], dans la formation des glaces [82] et des m´etaux [26], etc. Dans le livre de Liu et al. [71], on trouve une liste plus riche concernant les applications de la m´ethode SPH.

1.2

Les bases de la m´

ethodes SPH

Comme nous l’avons dit, le domaine fluide est discr´etis´e en un ensemble de particules. Chacune est porteuse des informations locales du fluide (position, masse, volume, pression, temp´erature, . . . ) et se d´eplace `a la vitesse de l’´ecoulement. G´en´eralement, la masse d’un ´el´ement reste fixe au cours du temps.

La m´ethode SPH est bas´ee sur une repr´esentation int´egrale des variables de l’´ecoulement en chaque point du fluide. L’´evolution de ces variables est gouvern´ee

par les ´equations de Navier-Stokes. Dans ce cas, ces ´equations diff´erentielles sont transform´ees en ´equations int´egrales via l’utilisation de fonctions d’interpolations. Ensuite, pour les calculs num´eriques, les repr´esentations int´egrales sont remplac´ees sur chaque ´el´ement du fluide par des approximations utilisant des sommations sur l’ensemble des particules voisines.

1.2.1

Approximation d’une fonction

La formulation SPH provient de la repr´esentaion int´egrale d’une fonction scalaire f d´efinie convenablement dans un domaine Ω. Cette repr´esentation est obtenue par le produit de convolution suivant :

f (r) = 

Ω

f (r)δ(r− r)dr (1.5)

o`u r la position au domaine Ω, dr un volume ´el´ementaire et δ la mesure de Dirac. En rempla¸cant δ par une fonction W de type gaussienne ou spline, qu’on appelera “noyau de coupure”, on obtient une interpolation de la fonction f dans le point r :

f_i(r) = 

Ω

f (r)W (r− r,h)dr (1.6)

h est un param`etre appel´e “longueur de lissage”, jouant le mˆeme rˆole que les param`etres de discr´etisation spatiale dans les m´ethodes classiques.

Le noyau de coupure W doit respecter les propri´et´es suivantes : – propri´et´e de la mesure δ

lim

h→0W (r− r

_{,h) = δ(r− r}_{) (1.7)}

– propri´et´e de normalisation  W (r− r,h)dr = 1 (1.8) – sym´etrie : _ (r− r) W (r− r,h)dr = 0 (1.9) – Support compact : W (r− r,h) = 0 pour |r − r _| h > k (1.10)

Les deux premi`eres propri´et´es sont n´ecessaires pour pouvoir r´ealiser une interpola-tion consistante (passage de l’´equation 1.5 `a l’´equation 1.6), la troisi`eme propri´et´e permet d’avoir une pr´ecision d’ordre deux pour les interpolations et la derni`ere permet de d´elimiter le rayon de l’int´egration `a une distance fixe ´egale `a k h, k ´etant un entier.

La repr´esentation particulaire de cette interpolation est obtenue alors en effec-tuant une sommation sur l’ensemble des particules voisines :

f_a(r) =  1≤b≤N

f_bmb

ρ_b W (ra− rb,h) (1.11)

l’indice a repr´esente une particule cible ( la particule sur laquellle on calcule l’ap-proximation), l’indice b repr´esente une particule voisine de la particule cible et N le nombre de particules voisines. m repr´esente la masse d’une particule et ρ sa densit´e.

Figure 1.2 – Repr´esentation d’une interpolation en sph

1.2.2

Approximation des d´

eriv´

ees

La repr´esentation int´egrale de la d´eriv´ee spatiale premi`ere de la fonction f est obtenue par une simple substitution de sa d´eriv´ee ∇f `a la fonction `a l’int´erieur de l’int´egrale :

∇fi(r) =



Ω∇f(r

Puisqu’on connaˆıt la forme explicite du noyau de coupure et de ses d´eriv´ees, on veut alors que l’op´erateur de d´erivation dans l’´equation 1.12 soit port´e par le noyau W . Sachant qu’on a :

∇f(r_{)W (r− r}_{,h) =∇[f(r}_{)W (r− r}_{,h)]− f(r}_{)∇W (r − r}_{,h) (1.13)}

On proc`ede alors `a une int´egration par parties : ∇fi(r) =  Ω∇ [f(r _{) W (r− r}_{,h)] dr}₋ Ω f (r)∇W (r − r,h)dr (1.14) Le th´eor`eme de la divergence de Green-Ostrogradski permet de r´eduire la premi`ere int´egrale du terme de droite en une int´egrale surfacique pour obtenir :

∇fi(r) =  ∂Ω f (r) W (r− r,h).n ds−  Ω f (r)∇W (r − r,h) dr (1.15) avec ∂Ω est la fronti`ere du domaine Ω et n, le vecteur unitaire normal `a cette fronti`ere.

Si la distance entre le point d’interpolation r et la fronti`ere du domaine ∂Ω est sup´erieure au support du noyau de coupure (figure 1.3(a)), alors la valeur de l’int´egrale surfacique est nulle et l’approximation int´egrale de la d´eriv´ee devient :

∇fi(r) =−

 Ω

f (r)∇W (r − r,h)dr (1.16) Dans le cas inverse, o`u le point d’interpolation est proche de la fronti`ere (figure 1.3(b)), l’int´egrale surfacique est non nulle et la n´egliger devient une source d’erreur. On verra plus tard dans ce manuscrit comment corriger ces erreurs si on veut n´egliger ce terme.

En utilisant la sym´etrie du noyau, on peut voir la d´erivation d’une fonction par SPH comme un simple d´eplacement de l’op´erateur de d´erivation sur le noyau de coupure :

∇fi(r) =

 Ω

f (r)∇_iW (r− r,h)dr (1.17) Comme pour le cas d’interpolation d’une fonction, on obtient la repr´esentaion particulaire d’une d´erivation premi`ere en rempla¸cant l’int´egration par une somma-tion sur toutes les particules voisines :

(a) (b)

Figure 1.3 – Interpolation en sph dans le cas monodimensionnel. (a) interpolation `

a l’int´erieur du domaine. (b) interploation au voisinage d’une fronti`ere

∇fa(r) =

 1≤b≤N

f_bmb

ρ_b ∇bW (ra− rb,h) (1.18)

Pour respecter la sym´etrie des interactions entre les particules, on utilise une des deux identit´es ci-dessous pour r´e´ecrire l’approximation de la d´eriv´ee :

∇f(r) = 1 ρ[∇(ρf) − f∇ρ] (1.19) ∇f(r) = ρ  ∇(f ρ) + f ρ2∇ρ  (1.20) Ces deux identit´es peuvent ˆetre utilis´ees dans l’´equation (1.17) pour obtenir la forme sym´etrique souhait´ee :

∇fa(r) = 1 ρ_a  1≤b≤N m_b[f_b− f_a]∇W (r_a− r_b,h) (1.21) ∇fa(r) = ρa  1≤b≤N m_b  f_b ρ2_b + f_a ρ2_a  ∇W (ra− rb,h) (1.22)

L’approximation SPH de la d´eriv´ee seconde est obtenue d’une mani`ere analogique `

a celle faite pour obtenir la d´eriv´ee premi`ere : on remplace l’op´erateur∇() par Δ(). Exemple :

Δf_a(r) = 1 ρ_a

 1≤b≤N

m_b[f_b− f_a] ΔW (r_a− r_b,h) (1.23) Les relations 1.21 et 1.23 illustrent l’int´erˆet fondamental de la m´ethode SPH : calculer les d´eriv´ees d’une fonction en utilisant seulement les valeurs analytiques des d´eriv´ees du noyau de coupure et de ne plus avoir besoin d’un maillage pour r´ealiser de telles op´erations ni de sch´emas de diff´erentiation.

Dans la suite de ce rapport, pour all´eger l’´ecriture, on utilise les notations suivantes : r_ab = r_a− r_b, f_ab= f_a− f_b et W_ab = W (r_a− r_b,h)

1.3

Noyau de coupure

1.3.1

Choix du noyau

Dans les m´ethodes particulaires qui se basent sur l’utilisation d’un noyau d’interpolation, le choix de ce dernier d´etermine comment on veut effectuer les interpolations entre les particules. Par cons´equent, de ce choix d´ependent la stabilit´e, la convergence et la rapidit´e d’un calcul num´erique. Il y a trois conditions qu’un noyau doit respecter au minimum : avoir une limite vers la mesure de Dirac 1.7 quand h tend vers z´ero, qu’il soit normalis´e 1.8 et qu’il soit sym´etrique 1.9. D’autres conditions doivent ˆetre v´erifi´ees telles que la positivit´e et la d´ecroissance monotone.

En SPH, un noyau a souvent la forme d’une gaussienne et s’exprime de la fa¸con suivante :

W (r_ab,h) = 1

hσf (s) (1.24)

par σ on d´esigne la dimension de l’espace, s = |rab|

h la distance relative entre la particule cible et une particule voisine. Dans ce cas, le gradient s’´ecrit alors comme :

∇W (rab,h) = 1 hσ+1 r_ab |rab| f(s) (1.25)

Le plus populaire des noyaux est sans doute celui introduit par Monaghan et Lattanzio [57], il est bas´e sur un spline cubique :

f (s) = α_σ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2 3− s 2₊1 2s 3 _{0≤ s < 1} 1 6(2− s) 3 _{1≤ s < 2} 0 s ≥ 2 (1.26)

o`u α<sub>σ</sub> est une constante de normalisation qui d´epend de l’espace et qui peut ˆetre d´etermin´ee analytiquement. Dans le cas bi-dimensionnel, elle vaut α<sub>σ</sub> = 15/(7π). Cette fonction a la forme de la gaussienne utilis´ee dans l’article pionnier de Mon-aghan [45], avec l’avantage d’avoir un support compact ( support = 2 h) qui permet de gagner ´enorm´ement en temps de calcul CPU. L’inconv´enient est la d´eriv´ee sec-onde qui est un polynˆome d’ordre un, ce qui le rend tr`es sensible `a la r´epartition des particules si on l’utilise pour le calcul direct de la diffusion visqueuse et donc, une source d’erreurs pour une r´epartition d´esordonn´ee des particules. Dans cette ´etude, on a pr´ef´er´e utiliser le noyau d’ordre sup´erieur, introduit par Morris et al. [61] et qui est bas´e sur un spline quintique :

f (s) = α_σ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ (3− s)5− 6 (2 − s)5+ 15 (1− s)5 0≤ s < 1 (3− s)5− 6 (2 − s)5 1≤ s < 2 (3− s)5 2≤ s < 3 0 s ≥ 3 (1.27)

avec α_σ = 7/(478π) dans le cas bi-dimensionnel. Ce noyau est moins sensible au d´esordre des particules car sa d´eriv´ee seconde est d’ordre trois. Mais il est l´eg`erement plus cˆouteux en temps de calcul CPU puisque il a un support ´egal `a 3 h. En partant de la gaussienne qui est connue pour sa stabilit´e, Colagrossi et Landrini [28] ont propos´e une version modifi´ee de cette derni`ere pour lui permettre d’avoir un support compact : W (r<sub>ab</sub>,h) = e −s2 − e−s2 c 2 π <sub>0</sub>scs (e−s2 − e−s2c) ds (1.28) avec s<sub>c</sub> une distance relative de coupure. Sa valeur est ´egale au support du noyau divis´e par h. Comme le support a ´et´e fix´e `a 3 h, la valeur analytique du d´enominateur dans le cas bi-dimensionnel est ´egale alors `a π h2(1− e−9). Sur la figure 1.4 on trace les noyaux ´evoqu´es ci-dessus. Dans la litt´erature consacr´ee `a la m´ethode SPH, on trouve d’autres exemples de noyaux et des m´ethodes pour en construire d’autres [79, 71].

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 W x h 2 s cubique quintique gaussienne compacte

Figure 1.4 – Divers noyaux d’interpolation en dimension 2

1.3.2

Longueur de lissage h

La longueur de lissage h est une longueur qui permet de fixer le support d’un noyau de coupure W . Ainsi, pour une particule donn´ee, cette longueur permet de d´efinir le nombre de particules voisines qui ont une contribution non-nulle dans le calcul d’un op´erateur SPH. Les tests effectu´es ont montr´e que dans le cas bidimensionnel, on a besoin d’environ 20 particules voisines pour obtenir de bonnes interpolations. La valeur de h = 1.2 Δx combin´ee `a un support de longueur 2 h permet d’avoir cette valeur dans le cas d’une distribution rang´ee des particules.

Si l’´ecoulement ´etudi´e ne contient aucune zone de compression ou de rar´efaction des particules, la valeur de h peut ˆetre gard´ee constante pour toutes les particules au cours d’une simulation. Dans le cas contraire, il faudra adapter la valeur de h pour grader le bon nombre de particules voisines. Dans la litt´erature, on trouve plusieurs m´ethodes pour calculer la valeur de h d’une fa¸con dynamique [66, 61, 83]. Tout au long de ce rapport, on a gard´e une valeur constante de h pour toutes les particules.

1.4

Les ´

equations de Navier-Stokes en SPH

1.4.1

Le probl`

eme continu

On consid`ere l’´ecoulement bidimensionnel d’un fluide visqueux (newtonien), in-compressible. Un tel ´ecoulement est gouvern´e par les ´equations de Navier-Stokes (N-S ) qu’on ´ecrit en formulation vitesse u - pression p avec une description lagrang-ienne : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ dx dt = u transport dρ

dt =−ρ.∇u conservation de la masse

du dt =−

1 ρ∇p +

μ

ρ_aΔu + f conservation de la quantit´e de mouvement (1.29) avec ν la viscosit´e cin´ematique du fluide. Le terme de droite dans l’´equation de conservation de la masse (ou ´equation de continuit´e) est nul. Il est conserv´e `a cause de la formulation pseudo-compressible de la m´ethode SPH.

1.4.2

Transport des particules

Dans le formalisme lagrangien, une particule a du fluide se d´eplace selon : dx_a

dt = ua (1.30)

En l’absence de viscosit´e dans un ´ecoulement qui n’est que quasi-incompressible, les particules, qui sont identifi´ees num´eriquement par leur centre de masse, ont ten-dance `a s’agglom´erer autour des positions d’´equilibres num´eriques et peuvent se coller les unes aux autres. Pour corriger ce probl`eme et donner plus de stabilit´e `a un code SPH, Monaghan [? ] a introduit la variante XSPH qui sugg`ere de d´eplacer toute particule du fluide `a une vitesse proche de la moyenne des vitesses de son voisinage : dx_a dt = ˆua= ua+ ε  b m_buab ¯ ρ_ab Wab (1.31)

avec ¯ρ_ab la densit´e moyenne entre les particules a et b. ε est une constante positive inf´erieure `a 1. Pour conserver la consistance des approximations, la vitesse ˆu doit

ˆetre utilis´ee pour la r´esolution de l’´equation de continuit´e 1.32.

1.4.3

Equation de conservation de la masse

Pour chaque particule a, on discr´etise l’´equation de continuit´e dans le formalisme SPH en utilisant la relation 1.21 : dρ dt =  1≤b≤N m_b ρ_b uab∇Wab (1.32)

L’int´egration temporelle de cette relation nous donne la valeur de la densit´e sur chaque particule du fluide. On peut ´evaluer cette densit´e autrement, en utilisant la relation simple :

ρ_a=  1≤b≤N

m_bW_ab (1.33)

Cependant, dans le cas d’un ´ecoulement avec une surface libre, la relation 1.33 souffre de la discontinuit´e de la densit´e sur la surface. Par cons´equent, le champ de pression d´eduit est incorrect au voisinage de cette surface. Alors, il est pr´ef´erable d’utiliser la relation 1.32 pour le calcul de la densit´e pour la simple raison que la variation de la densit´e sur une particule a est nulle s’il n’y a pas de d´eplacement relatif de cette particule par rapport `a ses voisines.

1.4.4

Equation de conservation de la quantit´

e de

mouve-ment

La discr´etisation de l’´equation des moments sur une particule a du fluide est ´ecrite : du_a dt =− 1 ρ_a∇pa+ 1 ρ_aμ Δua+ fa (1.34)

Ainsi, sur la particule a, on trouve f_a la somme des forces massiques, ∇p_a le gradient du champ de pression qui est obtenu en utilisant l’approximation 1.21 :

∇pa =

 1≤b≤N

m_b

ρ_b pba∇Wab (1.35)

D´erivation seconde du noyau L’approximation de la diffusion visqueuse par une d´erivation seconde du noyau a ´et´e pour longtemps consid´er´ee comme une source d’erreurs. Cela est vrai quand on utilise un noyau de coupure de type B-Spline d’ordre faible. L’utilisation d’un noyau d’ordre ´elev´e (quintique 1.27) et les techniques de renormalisation et de remaillage qu’on verra plus tard permettent de r´esoudre le probl`eme de la pr´ecision et d’ajouter de la stabilit´e au code.

Pour profiter des avantages de la renormalisation sur les d´eriv´ees premi`eres, on calcule le terme diffusif en d´erivant deux fois le champ de vitesse. Alors, comme le fluide est incompressible, on a :

Δu =−∇ ∧ (∇ ∧ u) (1.36)

et en utilisant la relation 1.21, le terme diffusif peut s’´ecrire : 1 ρ_aμ Δua =− μ ρ_a  1≤b≤N m_b ρ_b (Ab− Aa)∧ ∇Wab (1.37) avec A_a=  1≤b≤N m_b ρ_b (ub− ua)∧ ∇Wab (1.38)

Cette m´ethode semble plus dispos´ee `a traiter les probl`emes avec des fronti`eres (Cueille [30]). Un inconv´enient est qu’elle est plus coˆuteuse que les autres m´ethodes qu’on verra par la suite puisqu’elle n´ecessite deux sommations sur les particules voisines.

M´ethode hybride Pour contourner la difficult´e li´ee `a la d´erivation seconde du noyau, Moris et al. [61] se sont inspir´es d’une expression ´etablie par Monaghan pour la mod´elisation de la conduction thermique en SPH et ils ont propos´e le mod`ele 1.39 pour le calcul du terme de la diffusion visqueuse. Ce mod`ele, qui combine une approche de diff´erences finies pour calculer la premi`ere d´eriv´ee et l’approche SPH pour calculer la seconde, pr´esente l’avantage d’ˆetre stable et moins coˆuteux en temps CPU que le mod`ele pr´ec´edent puisqu’il utilise une seule d´erivation du noyau. Dans cette ´etude o`u la viscosit´e est gard´ee constante pour toutes les particules, on utilise un mod`ele identique `a celui de Moris et al. :

1 ρ_aμ Δua= 2 μ ρ_a  1≤b≤N m_b ρ_b r_ab |rab|2+ ε u_ba∇W_ab (1.39)

avec ε une constante positive de l’ordre de 0.01 h2 utilis´ee pour ne pas avoir une valeur singuli`ere du d´enominateur. Enfin, ce mod`ele hybride peut ˆetre utilis´e pour donner une approximation du laplacien scalaire comme on va le voir dans le chapitre suivant.

M´ethode PSE Tr`es utilis´ee dans les m´ethodes vortex, la m´ethode PSE (pour Particle Strength Exchange) a ´et´e d´evelopp´ee initialement par Choquin et Huberson [21] pour r´esoudre un probl`eme de convection-diffusion en approchant l’op´erateur laplacien par une ´equation int´egrale. Puis, Degond et Mas-Gallic [34] ont utilis´e cette m´ethode pour approcher l’op´erateur laplacien dans le cas g´en´eral :

Δf (x) = 1 hσ



(f (x)− f(x)) η(x − x,h) (1.40) avec η une noyau de distribution `a d´ecroissance rapide. Par exemple, on prend celle propos´ee par Cottet :

η(x− x,h) = 15 π2 1 1 + s10 avec s = |x − x_| h (1.41)

Dans les calculs num´eriques, on utilise une version normalis´ee de η : ˜

η(x_a− x_b,h) = η(xa− xb,h) 1≤b≤N

η(x_a− x_b,h) v_b (1.42)

et la diffusion visqueuse s’´ecrit : 1 ρ_aμ Δua = μ h2ρ_a  1≤b≤N m_b ρ_b (ub− ua) ˜η(xa− xb,h) (1.43)

1.4.5

Calcul de pression (WSPH)

Pour fermer le syst`eme d’´equations du probl`eme incompressible, on a besoin de calculer la valeur du champ de pression. Pour cela, comme le plus souvent dans la formulation classique de la m´ethode SPH, on consid`ere une certaine compressibilit´e du fluide afin d’utiliser une loi d’´etat qui lie localement le champ de pression `a la densit´e du fluide. Le niveau de compressibilit´e est li´e `a la valeur de la c´el´erit´e du son dans le milieu :

c = 

∂p

En choisissant cette c´el´erit´e ´egale `a une valeur constante c<sub>0</sub> dans tout le fluide, Chorin [22] a introduit une loi d’´etat similaire `a celle des gaz parfaits :

p = p₀+ c2₀(ρ− ρ₀) (1.45)

avec p₀la pression de r´ef´erence. Pour la mod´elisation des ´ecoulements `a surface libre, il est plus courant de voir le choix port´e sur la loi suivante [7] :

p = p₀+ c 2 0ρ0 γ  ρ ρ₀ _γ − 1  (1.46) o`u γ une constante, prise g´en´eralement ´egale `a 7.

On peut d´eterminer la valeur de la vitesse du son c₀ par la relation alg´ebrique donn´ee par Monaghan [77] et qui l’associe `a la variation de la densit´e :

δ = Δρ ρ₀ = |ρ − ρ0| ρ₀ = U2 c2₀ = M 2 _(1.47)

o`u U et M sont respectivement une vitesse caract´eristique et le nombre de Mach. Dans le cas d’un fluide comme l’eau dont la compressibilit´e est tr`es faible, la valeur de c₀ est extrˆemement ´elev´ee. Ainsi, le pas de temps n´ecessaire dans la mod´elisation num´erique du probl`eme sera tr`es petit. Pour contourner ce probl`eme et avoir une valeur acceptable de la vitesse du son, on peut alors, par le biais de la rela-tion 1.47, augmenter l´eg`erement la compressiblit´e du fluide jusqu’`a une limite de 1%.

1.5

Les conditions aux limites

Pour finir la mod´elisation du probl`eme, des conditions aux limites doivent ˆetre impos´ees sur certaines variables de l’´ecoulement aux fronti`eres du domaine. Or, la pr´esence de fronti`eres pose deux probl`emes majeurs `a la m´ethode SPH. Le premier concerne la consistance des interpolations pour les particules qui se trouvent aux voisinages des bords et le second concerne le choix de l’approche `a utiliser pour imposer les conditions aux limites.

1.5.1

Surface libre

Si l’´ecoulement ´etudi´e contient une surface libre (l’interface entre le fluide et l’air ambiant), les particules fluides appartenant `a cette surface doivent respecter deux conditions aux limites. La premi`ere est une condition cin´ematique qui stipule qu’une particule appartenant `a la surface libre doit y rester tout au long de l’´ecoulement. Cette condition est naturellement remplie dans le formalisme SPH grˆace au caract`ere lagrangien de la m´ethode. La seconde condition est dynamique, elle assure la continuit´e des contraintes sur les particules de la surface libre. Dans le cas d’un ´ecoulement o`u les contraintes visqueuses sont moins dominantes par rapport aux autres param`etres dynamiques (par exemple, la pression), on impose sur ces particules une condition de Dirichlet de pression constante.

1.5.2

Adh´

erence aux parois

Dans le cas d’interaction du fluide avec une paroi solide, le fluide doit respecter simultan´ement les deux conditions suivantes :

⎧ ⎨ ⎩ u· τ = 0 non-p´en´etration de la paroi u· n = 0 adh`erence `a la paroi (1.48)

Pour imposer ces conditions et am´eliorer la pr´ecision des interpolations au voisi-nage des parois, il existe plusieurs approches plus ou moins efficaces. Dans la th`ese de J. M. Cherfils [20] la plupart de ces approches ont ´et´e recens´ees. Dans cette ´etude, on s’est int´eress´e `a la m´ethode des particules fantˆomes et la m´ethode des particules virtuelles.

Particules fantˆomes La m´ethode des particules fantˆomes est une des approches les plus populaires pour imposer les conditions aux limites dans les m´ethodes par-ticulaires. Elle a ´et´e utilis´ee par plusieurs auteurs [103, 70, 61] et a donn´e de bons r´esultats. Le principe de cette m´ethode est simple : cr´eer des particules fictives en dupliquant, par sym´etrie par rapport `a la paroi qu’on veut mod´elise,r les particules fluides qui se trouvent `a une distance inf´erieure `a k h de cette mˆeme paroi (voir figure 1.5). k h est le support de noyau d’interpolation. Dans le cas d’une paroi plane, les propri´et´es physiques des particules fantˆomes cr´e´ees sont d´etermin´ees de la mani`ere suivante :

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x_a = 2 x_p− x_a u_a = 2 u_p− u_a p_a = p_a+ ρ₀g (x_a − x_a) δ (1.49)

avec a une particule fluide et a la particule fantˆome correspondante. Les variables x_p et u_p repr´esentent respectivement la projection orthogonale de la particule a sur la paroi et la vitesse de la paroi `a ce point. La constante δ vaut 1 si la paroi est horizontale et 0 si elle est verticale. En consid´erant la derni`ere ´equation de 1.49, qui est une correction hydrostatique quand les forces de gravit´e g sont prises en compte, la densit´e de la particule a est d´etermin´ee alors en inversant l’´equation d’´etat 1.46. Si des particules fluides se trouvent au voisinage d’un coin comme le montre la figure 1.5, alors, il faudra r´ealiser trois sym´etries successives, deux, soit une par rapport `a chaque paroi et une par rapport `a l’intersection de ces deux parois.

Figure 1.5 – particules virtuelles [35]

La m´ethode des particules fantˆomes permet de satisfaire les conditions aux limites avec efficacit´e et simplicit´e, mais on peut lui reprocher les inconv´enients suivants :

• apparition d’instabilit´es quand les particules fluides sont tr`es proches de la paroi (Swegle et al. [101]). Ces instabilit´es peuvent causer le passage de certaines particules fluides `a travers la paroi.

• Probl`eme de continuit´e du gradient de cisaillement entre les particules fluides et les particules fantˆomes (Lachamp [66]). Ce probl`eme est li´e `a l’utilisation d’une vitesse sym´etrique sur les particules fantˆomes pour avoir la condition d’adh´erence.

• M´ethode tr`es difficile `a appliquer dans le cas d’une fronti`ere courbe.

Le premier inconv´enient peut ˆetre ´elimin´e en annulant la composante normale de la vitesse des particules fluides qui se trouvent `a une distance inf´erieure `a 0.25 h de la paroi (Colagrossi et al. [105], Delorme [35]). Pour le cas des parois courbes, Oger propose dans sa th`ese [83] une adaptation de la m´ethode des particules fantˆomes.

Particules virtuelles Dans la m´ethode des particules virtuelles [71, 68, 97] on discr´etise la paroi `a mod´eliser en un ensemble de particules identiques `a celles du fluide. Ces particules sont plac´ees d’une fa¸con r´eguli`ere et avec le mˆeme pas d’espace que les particules fluides `a l’´etat initial. Leurs propri´et´es physiques sont d´et´ermin´ees par les mˆeme ´equations que celles qui gouvernent le mouvement du fluide, `a part que leur vitesse reste celle qui est impos´ee `a la paroi. A ces particules, on associe une force de r´epulsion pour empˆecher les particules fluides de traverser la paroi. Cette force est analogue `a la force de Lennard-Jones utilis´ee en dynamique mol´eculaire :

f_pa = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ D  x₀ |xpa| _n1 − x₀ |xpa| _n2 x_pa |xpa|2 x₀ |xpa| ≥ 1 0 x0 |xpa| < 1 (1.50)

avec x_pa la distance entre une particule a et la paroi, x₀ une distance de coupure choisie arbitrairement ´egale `a la distance inter-particulaire initiale. Les param`etres n₁ et n₂ sont pris ´egaux `a 12 et 4 respectivement. Quand `a D, c’est une constante homog`ene au carr´e d’une vitesse et qui d´epend du probl`eme r´esolu. Pour des probl`emes de surface libre, en particulier celui de la rupture d’un barrage, D peut prendre la valeur D = K g H avec K un r´eel entre 1 et 10, g la gravit´e et H la hauteur initiale de la colonne d’eau.

Pour satisfaire la condition d’adh´erence, on rajoute au del`a de la fronti`ere une couche de particules virtuelles d’epaisseur ´egale au diam`etre du support du noyau utilis´e. Ces particules virtuelles sont cr´e´ees en dupliquant les particules de la paroi avec la mˆeme distance inter-particulaire initiale (voir figure 1.6). Leurs propri´et´es

physiques sont donc identiques `a celles des particules dont elles sont issues (mˆeme vitesse, mˆeme densit´e, . . . ).

Figure 1.6 – particules virtuelles [109]

1.6

Int´

egration dans le temps

Dans la m´ethode SPH, la r´esolution du syst`eme d’´equations du probl`eme discret est strictement explicite. Ceci implique que le choix du pas de temps Δt doit respecter la condition CFL :

Δt≤ h

c₀ (1.51)

Monaghan [80] et Moris [61] ont introduit deux autres crit`eres qui sont li´es `a la nature physique du probl`eme : un crit`ere qui prend en consid´eration la diffusion visqueuse μ et un autre qui prend en consid´eration les forces ext´erieures f_a :

Δt≤ h 2 μ (1.52) Δt≤ min a  (h f_a) 2  (1.53)

En combinant les trois contraintes 1.51, 1.52 et 1.53 on peut ´ecrire une contrainte globale : Δt≤ λ min h c₀, h2 μ, mina  (h f_a) 2 _(1.54)

avec λ une constante qui est prise g´en´eralement ´egale `a 0.25

Dans les simulations effectu´ees dans cette ´etude, la r´esolution temporelle des ´equations diff´erentielles ordinaires est r´ealis´ee par la m´ethode de Runge-Kutta dont l’ordre de pr´ecision est choisi en fonction du type de l’´ecoulement.

1.7

Recherche des voisines

Pour le calcul des op´erateurs SPH sur une particule donn´ee, seules les particules voisines qui se trouvent `a une distance inf´erieure au support du noyau ont une contribution non-nulle dans les sommations. La recherche de ces voisines peut ˆetre effectu´ee tout simplement en parcourant toutes les particules de l’´ecoulement et en ne gardant que celles qui se trouvent `a l’int´erieur du support. Cependant, le coˆut de cette m´ethode sera tr`es ´elev´e puisque pour l’ensemble des particules, on aura besoin de N (N− 1) op´erations. Pour ´etablir le voisinage des particules d’une mani`ere optimale, il existe d’autres algorithmes performants dont on peut citer par exemple l’algorithme en arbre [49] ou bien le tri par boˆıte (linked-list) [100]. C’est ce dernier qui ´et´e utilis´e et que nous allons d´ecrire.

On rappelle que la longueur de lissage h est constante pour toutes les particules. Dans ce cas, la m´ethode se d´eroule selon les ´etapes suivantes :

• Superposer une grille cart´esienne au domaine de calcul. Le cot´e de chaque maille (ou boˆıte) est ´egale au support du noyau k h.

• Pour chaque particule a , identifier le num´ero de la boˆıte `a laquelle elle appar-tient : n_box=  x1_a+ x1₁ k h  +  x2_a+ x2₁ k h  N_x (1.55)

o`u  repr´esente la partie enti`ere, x₁ la position de la premi`ere boˆıte et N_x le nombre de boˆıtes dans la direction 1.

• Dans un tableau, on stocke pour chaque particule la boˆıte `a laquelle elle ap-partient et son rang dans cette boˆıte :

rang(n_box) = rang(n_box) + 1 (1.56)

box(rang(n_box),n_box) = a (1.57)

Avec cet algorithme, on sait que les voisines d’une particule a se trouvent dans la mˆeme boˆıte qu’elle et probablement dans les huit boˆıtes autour dont on connaˆıt les coordonn´ees et le nombre de particules qu’elles contiennent. Si la distance entre la particule a et une particule b qui se trouvent dans une des huit boites est inf´erieure au support, les deux particules sont r´epertori´ees comme voisines l’une de l’autre. De plus, seules les particules qui se trouvent dans des boˆıtes de rang sup´erieur `a celui de la boˆıte contenant la particules a sont test´ees car les autres l’ont d´ej`a ´et´e (voir figure 1.7). Grˆace `a cet algorithme, dont la mise en oeuvre est assez simple, le temps CPU consacr´e `a la recherche des voisines est consid´erablement r´eduit.

Figure 1.7 – recherche des voisines

1.8

Am´

elioration de la m´

ethodes SPH

1.8.1

Consistance des interpolations

L’estimation de l’ordre de la convergence d’une approximation particulaire par la m´ethode SPH est tr`es difficile, car cela d´epend de la distribution des particules qui est de plus en plus d´esordonn´ee pendant une simulation. Colagrossi [27], puis Doring [36] ont montr´e que la convergence est tout juste d’ordre h dans le cas

o`u l’interpolation est effectu´ee `a l’int´erieur du domaine et que la distribution de particules est uniforme. Sinon, il faut rajouter une correction aux noyaux de coupure.

Il existe plusieurs techniques pour essayer de garder une convergence en h. Dans cette ´etude, on en a test´e trois.

1.8.1.1 Normalisation du noyau

La technique la plus simple est sans doute celle dite “de Shepard” [99]. Elle consiste `a multiplier le noyau par un terme correctif pour conserver la condition de normalit´e 1.8 :

Wsh(r_a− r_b,h) = W (ra− rb,h) 1≤b≤N

W (r_a− r_b,h) v_b (1.58) Cette formule permet de grader une bonne approximation pour une fonction constante dans le domaine. La technique MLS (Moving Least Square) [10], qui est un peu plus compliqu´ee et moins robuste, permet d’avoir une approximation d’un champ avec une convergence en h2.

1.8.1.2 Renormalisation du gradient

La renormalisation des gradients est une technique qui consiste `a ajouter un terme correctif au gradient du noyau pour assurer un certain ordre d’approxima-tions. Elle a ´et´e introduite par Johnson et Beissel [58] pour avoir une convergence en h dans un cas mono-dimensionnel. Ensuite, elle a ´et´e am´elior´ee par Vila [107], Bonet et Lok [13], Eldredge et al. [38], Oger et al. [84], etc.

Pour obtenir le terme correctif, on consid`ere une fonction scalaire bien d´efinie dans le domaine. Le gradient de cette fonction peut s’´ecrire :

∇f = ∇f − f ∇1 (1.59)

En formulation int´egrale, cela est ´equivalent `a :

∇f(x) =  Ω f (x)∇W (x − x,h)dx − f(x)  Ω∇W (x − x _,h)dx _(1.60)

On utilise une d´ecomposition du premier ordre de la fonction f en sa s´erie de Taylor au point x et on l’applique `a l’´egalit´e 1.60 :

∇f(x) = ∂f (x) ∂x₁  Ω (x₁− x₁)∇W (x − x,h) dx+∂f (x) ∂x₂  Ω (x₂− x₂)∇W (x − x,h) dx+O(h) (1.61)

avec x₁ et x₂ les coordonn´ees au point x. Pour avoir une approximation du gradient qui converge en h, il faut avoir :

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩  Ω∇1 W (x− x,h) dx = 0  Ω (x₁− x₁)∇₁W (x− x,h) dx = 1  Ω (x₁− x₁)∇₂W (x− x,h) dx = 0  Ω (x₂− x₂)∇₁W (x− x,h) dx = 0  Ω (x₂− x₂)∇₂W (x− x,h) dx = 1 (1.62)

La premi`ere condition de 1.62 est toujours v´erifi´ee grˆace `a la forme de l’´ecriture du gradient dans 1.59. Elles assure la convergence en 0 : d´eriv´ee nulle pour une constante. Pour avoir la convergence en en h dans le cas discret on rajoute le terme correctif L qui est en dimension deux une matrice 2× 2. On obtient le syst`eme suivant :

 1≤b≤N

x_ba⊗ L_a∇W_abV_b = I (1.63)

avec I la matrice identit´e en dimension deux. La valeur de la matrice L_a est ainsi calcul´ee analytiquement par :

L_a= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝  b x1_ba∇1W_abV_b  b x1_ba∇2W_abV_b  b x2_ba∇1W_abV_b  b x2_ba∇2W_abV_b ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ −1 (1.64)

Ainsi, on ´ecrit le gradient de la fonction f sur la particule a sous la forme : ∇fa = 1 ρ_a  1≤b≤N m_bf_baL_a∇W_ab (1.65)

Avec cette renormalisation du gradient par la matrice L, la convergence est assur´ee dans le cas o`u la fonction f est lin´eaire, mˆeme si la distribution des particules est non uniforme (Vila [107]). Mais le probl`eme est que cette mˆeme renormalisation nous oblige `a faire une entorse au principe de la r´eciprocit´e des interactions entre les particules, puisque :

m_b

ρ_a (fa− fb)∇W (xa− xb, h)= m_a

ρ_b (fb − fa)∇W (xb− xa, h) (1.66) Alors, avoir le choix entre une meilleure approximation de d´erivation ou pr´eserver le principe de r´eciprocit´e des interactions est une question qui se pose au sein de la communut´e SPH. Oger [83] et l’exp´erience num´erique acquise dans cette th`ese font que le premier choix l’emporte sur le deuxi`eme.

1.8.1.3 Correction de Liu

Pour augmenter la consistance de la m´ethode SPH, on utilise une approche pro-pos´ee par Liu [75], bas´ee sur la d´ecomposition de la fonction f en sa s´erie de Taylor :

f (x) = f_i+ (xα− xα_i)f_i,α+(x

α_{− x}α

i)(xγ− xγi)

2! fi,αγ+ . . . , (1.67) avec α et γ des entiers qui varient entre 1 et la dimension de l’espace d.

On multiplie l’´equation (1.67) une fois par le noyau W_i et une fois par son gradi-ent ∇W_i puis on int`egre les ´equations obtenues sur tout le domaine Ω. Dans ces ´equations, les termes sup´erieurs `a l’ordre 1 sont n´eglig´es :

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩  f (x)W_i(x)dx = f_i  W_i(x)dx + f_i,α  (xα− xα_i)W_i(x)dx  f (x)W_i,β(x)dx = f_i  W_i,β(x)dx + f_i,α  (xα− xα_i)W_i,β(x)dx (1.68)

β est un entier qui varie entre 1 et d.

On obtient un syst`eme de 1 + d inconnues pour 1 + d ´equations. L’approximation int´egrale de la fonction f et de son gradient se calcule alors par :

f_i =      f W_idx  (xα− xα_i)W_idx  f W_i,βdx  (xα− xα_i)W_i,βdx     .      W_idx  (xα− xα_i)W_idx  W_i,βdx  (xα− xα_i)W_i,βdx     −1 (1.69)

f_i,α =      W_idx  f W_idx  W_i,βdx  f W_i,βdx     .      W_idx  (xα− xα_i)W_idx  W_i,βdx  (xα− xα_i)W_i,βdx     −1 (1.70)

et leurs approximations particulaires par :

f_i =       j f W_ijdx  j (xα− xα_i)W_ijdx  j f w_ij,βdx  j (xα− xα_i)W_ij,βdx      .       j W_ijdx  j (xα− xα_i)W_ijdx  j W_ij,βdx  j (xα− xα_i)W_ij,βdx      −1 (1.71) f_i,α=       j W_ijdx  j f W_ijdx  j W_ij,βdx  j f W_ij,βdx      .       j W_ijdx  j (xα− xα_i)W_ijdx  j W_ij,βdx  j (xα− xα_i)W_ij,βdx      −1 (1.72)

Cette approche permet d’avoir une approximation int´egrale et particulaire d’une fonction et de son gradient avec une pr´ecision d’ordre 2. Cette pr´ecision est obtenue `

a l’int´erieur du domaine comme `a ses fronti`eres, avec une distribution de particules uniforme ou non-uniforme. Ce r´esultat nous assure la consistance C1, c’est `a dire la consistance de l’approximation de la fonction et de son gradient de la m´ethode SPH.

1.8.1.4 Consistance d’ordre C1

Pour v´erifier la consistance C1 de cette approche, on ´etudie l’approximation d’un polynˆome f d’ordre 1 par la m´ethode SPH classique et par l’approche d´etaill´ee ci-dessus.

On prend f (x,y) = 5x + 7y + 1 dans un domaine bidimensionnel (x,y)∈ [0 : 1]2 avec une distribution de particules al´eatoire. Le test utilise n = 441 particules de volumes ´el´ementaires Δv = Δx2 avec Δx = 1/(√n − 1). Le noyau utilis´e est celui men-tionn´e pr´ec´edemment (1.26), et une longueur de lissage constante ´egale `a h = 1.2Δx.

(a) (b) (c)

Figure 1.8 – approximation du polynˆome f : (a) valeur exacte, (b) r´esultat de l’approche standard, (c) r´esultat de l’approche de Liu

erreur maximale (%) f ∇_xf ∇_yf

SPH standard 273 386 387

Approche propos´ee par Liu 5,7.10−5 2,7.10−3 1,9.10−3 Table 1.1 – Erreurs d’approximations du polynˆome f

Comme le montrent la figure 1.8 et le tableau 1.1, la m´ethode SPH classique est incapable de reproduire convenablement un polynˆome d’ordre 1 pour une distribution de particules non-uniforme, et les erreurs d’approximation sont encore plus ´elev´ees aux bords du domaine. Par contre, l’approche utilis´ee par Liu donne des r´esultats tr`es pr´ecis pour le polynˆome f et pour ses d´eriv´ees premi`eres `a l’int´erieur du domaine comme sur ses bords et semble ne pas souffrir de la distribution al´eatoire des particules.

On peut augmenter la Consistance de la m´ethode SPH `a un ordre Cn avec n≥ 2 en gardant les termes li´es aux d´eriv´ees d’ordre n dans l’´equation (1.67) mais le temps CPU augmentera n´ecessairement avec la pr´ecision demand´e.

1.8.2

Remaillage

Ce qui fait le succ`es des m´ethodes particulaire est leur capacit´e `a s’adapter facilement `a toutes sortes d’´ecoulements. Pour une m´ethode particulaire comme la m´ethode SPH, la bonne pr´ecision des approximations des op´erateurs est condi-tionn´ee par une r´epartition uniforme des particules. Or, sous l’effet de l’´ecoulement, une r´epartition uniforme des particules n’est valable qu’`a l’instant initial et

l’adapt-abilit´e de la m´ethode fait que ces particules ont tendance `a s’agglom´erer dans les zones de forts gradients, ce qui g´en`ere une h´et´erog´eniet´e dans leur distribution et par cons´equent des mauvaises approximations des op´erateurs.

Pour garder une pr´ecision acceptable des op´erateurs, on utilise la technique de remaillage [18, 92] afin de limiter la distorsion des particules. Cette technique consiste `a r´einitialiser p´eriodiquement la position des particules sur une grille r´eguli`ere d’espacement Δx et interpoler sur ces nouvelles positions les valeurs des moments du champ.

Figure 1.9 – sch´ema du remaillage

Soit Q une quantit´e conservative de l’´ecoulement connue sur les anciennes posi-tions de particules x, l’interpolation de la quantit´e Q sur les nouvelles positions ˜x not´ee ˜Q est calcul´ee par la relation :

˜ Q(˜x_a) =  V˜a b V_bM₄(|˜x_a− x_b|)  b Q(x_b) M₄(|˜x_a− x_b|) (1.73) avec ˜V le volume des nouvelles particules. Les interpolations sont r´ealis´ees en util-isant la fonction de distribution du troisi`eme ordre M₄ introduite par Monaghan [79]. En une dimension, cette fonction s’´ecrit :

M₄(|x|) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1− 5 2s 2₊3 2s 3 _{0≤ s < 1 avec s =} |x| Δx 1 2(2− s) 2_{(1− s) 1 ≤ s < 2} 0 s ≥ 2 (1.74)

En deux ou trois dimensions, le noyau s’obtient par un produit tensoriel des valeurs de 1.74 dans chaque direction.