1.10 Tests et validations
1.10.3 Ecoulement dans une cavit´ e entraˆın´ ee
Pour valider le traitement des conditions aux limites de type solides dans la m´ethode SPH, on mod´elise la dynamique d’un fluide incompressible visqueux dans une cavit´e entraˆın´ee en l’absence de gravit´e. La configuration de ce cas acad´emique bien connu est sch´ematis´ee sur la figure 1.19 : le fluide est contenu dans un domaine carr´e Ω = [0,1]× [0,1] limit´e par quatre parois. Celle qui se trouve `a y = 1 est anim´ee par une vitesse horizontale constante U0 = 1, tandis que les autres sont maintenues immobiles.
Figure 1.19 – Repr´esenation de l’´ecoulement de cavit´e
Le mouvement du fluide est alors assur´e seulement par son adh´erence `a la paroi sup´erieure. On donne les conditions aux limites de cet ´ecoulement :
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ u = (U0, 0), ∂p ∂n = 0 sur {(x,y), y = 1, 0 ≤ x ≤ 1} u = (0, 0), ∂p ∂n = 0 sur {(x,y), x = 1, 0 ≤ y ≤ 1} u = (0, 0), ∂p ∂n = 0 sur {(x,y), y = 0, 0 ≤ x ≤ 1} u = (0, 0), ∂p ∂n = 0 sur {(x,y), x = 0, 0 ≤ x ≤ 1} (1.87)
Malgr´e la simplicit´e de la g´eom´etrie, l’´ecoulement dans une cavit´e entraˆın´ee ne peut pas avoir de solutions analytiques `a cause de la pr´esence de singularit´es sur les coins sup´erieurs du domaine. En effet, sur ces positions, le champ de vitesse est d´efini par deux valeurs diff´erentes, la premi`ere vient de la paroi mobile sup´erieure (U = U0 = 0) et la seconde vient de la paroi verticale fixe correspondante (U = 0). Ce qui donne une acc´el´eration instantan´ement infinie sur ces coins, qui est physiquement impossible.
Les ´etudes exp´erimentales [64, 62, 63, 76] et num´eriques [44, 15, 6, 19, 40] qui ont ´et´e entreprises concernant ce probl`eme ont permis de comprendre et de caract´eriser cet ´ecoulement quand il atteint son r´egime stationnaire. Ainsi, on sait qu’`a partir du nombre de Reynolds Re = 100, l’´ecoulement est caract´eris´e par une structure tourbillonaire principale au centre de la cavit´e et deux structures secondaires contre-rotatives au voisinage des coins inf´erieurs du domaine (figure 1.19). Au del`a du nombre de Reynolds Re = 1000, une autre structure secondaire apparaˆıt au voisinage du coin sup´erieur gauche (figure 1.20). De nombreuses structures de niveaux plus bas existent aussi. Dans le cas d’une r´esolution num´erique, la capture de ces structures de tailles plus petites d´epend du nombre de Reynolds et de l’ordre de pr´ecision de la m´ethode de calcul utilis´ee [Reichert et Wittum, 1995 [90]].
Figure 1.20 – Lignes de courant `a Reynolds 5000 [47]
Vu la pr´esence de plusieurs niveaux de structures dans cet ´ecoulement, la r´esolution num´erique des ´equations de Navier-Stokes pour ce probl`eme est un
excellent moyen pour tester la convergence et la stabilit´e d’un code de calcul (Deville et al. [73]). Malheureusement, la pr´esence de singularit´es g´eom´etriques ne nous permet pas de confirmer facilement la validit´e ou non d’un r´esultat num´erique. Les r´esultats publi´es par Ghia et al. [44], utilisant la m´ethode de multigrille sur des maillages de r´esolutions allant jusqu’`a 256× 256 et pour des nombres de Reynolds entre 100 et 10000, sont consid´er´es par la communaut´e scientifique comme r´esultats de r´ef´erence.
Dans ce chapitre, on se limite au nombre de Reynolds Re = 100. Pour la mod´elisation SPH, le fluide est discr´etis´e en un ensemble de particules 100× 100 et le traitement des effets des parois est r´ealis´e par la m´ethode des particules virtuelles, comme il est montr´e sur la figure 1.6, associ´ees `a la force de r´epulsion 1.50. L’initialisation de l’´ecoulement est effectu´ee en distribuant les particules sur une grille cart´esienne uniforme. Pour chaque particule, la masse volumique est pos´ee ´egale `a ρ = ρ0 = 1 et la vitesse est pos´ee nulle except´ees celles qui se trouvent `
a y ≥ 1. On prend la vitesse du son num´erique ´egale `a c0 = 15.U0, le pas de temps Δt = 2.10−4 et la fr´equence de redistribution de la densit´e ´egale `a fr = 10.
La figure 1.21 repr´esente les vecteurs du champ de vitesse colori´es par leurs modules (figure de gauche) et les lignes de courant (figure de droite) obtenus par le calcul. On constate que les structures qui caract´erisent cette ´ecoulement `a Reynolds 100 ont ´et´e bien captur´ees. Pour mieux juger la pr´ecision de ce calcul, on a superpos´e sur la figure 1.22 le profil de la vitesse longitudinale u `a x = 0.5 (figure de gauche) et le profil de la vitesse verticale v `a y = 0.5 (figure de droite) avec ceux obtenus par Ghia et al. [44]. On constate alors, le bon accord de notre calcul avec ceux de r´ef´erence. En particulier, les valeurs des extrema et leurs positions ont ´et´e bien ´evalu´es.
(a) champ de vitesse (b) fonction de courant Figure 1.21 – solution calcul´ee par RWSPH pour Re = 100
(a) (b)
Chapitre 2
M´ethode SPH incompressible
La mod´elisation d’un ´ecoulement incompressible par la formulation SPH classique, en supposant une certaine compressibilit´e du fluide comme on l’a vu dans le chapitre pr´ec´edent, pr´esente l’avantage d’ˆetre simple `a programmer, puisque le champ de pression est calcul´e localement d’une mani`ere explicite par la r´esolution d’une ´equation d’´etat. Toutefois, `a cause de la compressibilit´e ajout´ee, de faibles fluctuations de la densit´e peut engendrer beaucoup d’erreurs sur le champ de pression. Ceci conduit `a des solutions pr´esentant des oscillations qui n’existent pas sur la solution du probl`eme incompressible. Aussi, l’utilisation d’une vitesse de son ´elev´ee n´ecessite un pas de temps tr`es petit et qui par cons´equent, augmente le temps de calcul CPU.
Partant de ces constats, plusieurs approches ont ´et´e propos´ees pour conserver l’incompressibilit´e dans le formalisme SPH [31, 98, 52]. Ces approches sont toutes bas´ees sur la m´ethode de projection introduite par Chorin [22] pour la r´esolution des ´equations de Navier-Stokes en diff´erences finies. Dans ce chapitre, on pr´esente dans un premier lieu quelques exemples de ces approches qui permettent de conserver l’ioncompressibilit´e. Ensuite, on propose une autre approche bas´ee sur les m´ethodes particules-maillage [25, 53] qui garde les grandes lignes de la m´ethode SPH, mais qui calcule le champ de pression par la r´esolution d’une ´equation de poisson sur une grille cart´esienne uniforme.