Pour finir la mod´elisation du probl`eme, des conditions aux limites doivent ˆetre impos´ees sur certaines variables de l’´ecoulement aux fronti`eres du domaine. Or, la pr´esence de fronti`eres pose deux probl`emes majeurs `a la m´ethode SPH. Le premier concerne la consistance des interpolations pour les particules qui se trouvent aux voisinages des bords et le second concerne le choix de l’approche `a utiliser pour imposer les conditions aux limites.
1.5.1
Surface libre
Si l’´ecoulement ´etudi´e contient une surface libre (l’interface entre le fluide et l’air ambiant), les particules fluides appartenant `a cette surface doivent respecter deux conditions aux limites. La premi`ere est une condition cin´ematique qui stipule qu’une particule appartenant `a la surface libre doit y rester tout au long de l’´ecoulement. Cette condition est naturellement remplie dans le formalisme SPH grˆace au caract`ere lagrangien de la m´ethode. La seconde condition est dynamique, elle assure la continuit´e des contraintes sur les particules de la surface libre. Dans le cas d’un ´ecoulement o`u les contraintes visqueuses sont moins dominantes par rapport aux autres param`etres dynamiques (par exemple, la pression), on impose sur ces particules une condition de Dirichlet de pression constante.
1.5.2
Adh´erence aux parois
Dans le cas d’interaction du fluide avec une paroi solide, le fluide doit respecter simultan´ement les deux conditions suivantes :
⎧ ⎨ ⎩ u· τ = 0 non-p´en´etration de la paroi u· n = 0 adh`erence `a la paroi (1.48)
Pour imposer ces conditions et am´eliorer la pr´ecision des interpolations au voisi- nage des parois, il existe plusieurs approches plus ou moins efficaces. Dans la th`ese de J. M. Cherfils [20] la plupart de ces approches ont ´et´e recens´ees. Dans cette ´etude, on s’est int´eress´e `a la m´ethode des particules fantˆomes et la m´ethode des particules virtuelles.
Particules fantˆomes La m´ethode des particules fantˆomes est une des approches les plus populaires pour imposer les conditions aux limites dans les m´ethodes par- ticulaires. Elle a ´et´e utilis´ee par plusieurs auteurs [103, 70, 61] et a donn´e de bons r´esultats. Le principe de cette m´ethode est simple : cr´eer des particules fictives en dupliquant, par sym´etrie par rapport `a la paroi qu’on veut mod´elise,r les particules fluides qui se trouvent `a une distance inf´erieure `a k h de cette mˆeme paroi (voir figure 1.5). k h est le support de noyau d’interpolation. Dans le cas d’une paroi plane, les propri´et´es physiques des particules fantˆomes cr´e´ees sont d´etermin´ees de la mani`ere suivante :
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ xa = 2 xp− xa ua = 2 up− ua pa = pa+ ρ0g (xa − xa) δ (1.49)
avec a une particule fluide et a la particule fantˆome correspondante. Les variables xp et up repr´esentent respectivement la projection orthogonale de la particule a sur la paroi et la vitesse de la paroi `a ce point. La constante δ vaut 1 si la paroi est horizontale et 0 si elle est verticale. En consid´erant la derni`ere ´equation de 1.49, qui est une correction hydrostatique quand les forces de gravit´e g sont prises en compte, la densit´e de la particule a est d´etermin´ee alors en inversant l’´equation d’´etat 1.46. Si des particules fluides se trouvent au voisinage d’un coin comme le montre la figure 1.5, alors, il faudra r´ealiser trois sym´etries successives, deux, soit une par rapport `a chaque paroi et une par rapport `a l’intersection de ces deux parois.
Figure 1.5 – particules virtuelles [35]
La m´ethode des particules fantˆomes permet de satisfaire les conditions aux limites avec efficacit´e et simplicit´e, mais on peut lui reprocher les inconv´enients suivants :
• apparition d’instabilit´es quand les particules fluides sont tr`es proches de la paroi (Swegle et al. [101]). Ces instabilit´es peuvent causer le passage de certaines particules fluides `a travers la paroi.
• Probl`eme de continuit´e du gradient de cisaillement entre les particules fluides et les particules fantˆomes (Lachamp [66]). Ce probl`eme est li´e `a l’utilisation d’une vitesse sym´etrique sur les particules fantˆomes pour avoir la condition d’adh´erence.
• M´ethode tr`es difficile `a appliquer dans le cas d’une fronti`ere courbe.
Le premier inconv´enient peut ˆetre ´elimin´e en annulant la composante normale de la vitesse des particules fluides qui se trouvent `a une distance inf´erieure `a 0.25 h de la paroi (Colagrossi et al. [105], Delorme [35]). Pour le cas des parois courbes, Oger propose dans sa th`ese [83] une adaptation de la m´ethode des particules fantˆomes.
Particules virtuelles Dans la m´ethode des particules virtuelles [71, 68, 97] on discr´etise la paroi `a mod´eliser en un ensemble de particules identiques `a celles du fluide. Ces particules sont plac´ees d’une fa¸con r´eguli`ere et avec le mˆeme pas d’espace que les particules fluides `a l’´etat initial. Leurs propri´et´es physiques sont d´et´ermin´ees par les mˆeme ´equations que celles qui gouvernent le mouvement du fluide, `a part que leur vitesse reste celle qui est impos´ee `a la paroi. A ces particules, on associe une force de r´epulsion pour empˆecher les particules fluides de traverser la paroi. Cette force est analogue `a la force de Lennard-Jones utilis´ee en dynamique mol´eculaire :
fpa = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ D x0 |xpa| n1 − x0 |xpa| n2 xpa |xpa|2 x0 |xpa| ≥ 1 0 x0 |xpa| < 1 (1.50)
avec xpa la distance entre une particule a et la paroi, x0 une distance de coupure choisie arbitrairement ´egale `a la distance inter-particulaire initiale. Les param`etres n1 et n2 sont pris ´egaux `a 12 et 4 respectivement. Quand `a D, c’est une constante homog`ene au carr´e d’une vitesse et qui d´epend du probl`eme r´esolu. Pour des probl`emes de surface libre, en particulier celui de la rupture d’un barrage, D peut prendre la valeur D = K g H avec K un r´eel entre 1 et 10, g la gravit´e et H la hauteur initiale de la colonne d’eau.
Pour satisfaire la condition d’adh´erence, on rajoute au del`a de la fronti`ere une couche de particules virtuelles d’epaisseur ´egale au diam`etre du support du noyau utilis´e. Ces particules virtuelles sont cr´e´ees en dupliquant les particules de la paroi avec la mˆeme distance inter-particulaire initiale (voir figure 1.6). Leurs propri´et´es
physiques sont donc identiques `a celles des particules dont elles sont issues (mˆeme vitesse, mˆeme densit´e, . . . ).
Figure 1.6 – particules virtuelles [109]