Etat de l’art

L’´ecoulement du mouvement d’un fluide autour d’un cylindre circulaire fixe en d´epart impulsionnel a ´et´e ´etudi´e dans cette partie. Ce cas acad´emique a ´et´e ´etudi´e num´eriquement et exp´erimentalement par de nombreux chercheurs [111, 112, 16, 65, 108, 85, 42].

Soit un cylindre de diam`etre D et de normale n `a sa fronti`ere S<sub>0</sub> (n est orient´ee du fluide vers le cylindre). Le cylindre est plac´e dans un ´ecoulement de vitesse U<sub>0</sub> `a l’infini suivant la direction ox perpendiculaire `a l’axe du cylindre 5.6.

Figure 5.6 – Sch´ema de l’´ecoulement

En fonction du nombre de Reynolds R_e de l’´ecoulement, on peut distinguer plusieurs r´egimes :

– Re≤ 5. L’´ecoulement est laminaire et parfaitement sym´etrique entre l’amont et l’aval du cylindre 5.7(a).

– 5 < Re≤ 40. L’´ecoulement reste laminaire mais on observe un d´etachement de la couche limite en aval du cylindre pour former deux tourbillons contrarotatifs (zones de recirculation) et qui restent attach´es au cylindre. La largeur de ces deux tourbillons d´epend du nombre de Reynolds 5.7(b).

– 40 < Re ≤ 200 L’´ecoulement est instable et cesse d’ˆetre stationnaire. Des tourbillons se d´etachent p´eriodiquement du cylindre et ils sont convect´es vers l’aval de l’´ecoulement par le champ moyen. Ces tourbillons forment un sillage appel´e all´ee de Von Karman. La fr´equence de d´etachement f est caract´eris´ee

par le nombre de Strouhal S_r (sans dimension) 5.7(c) : S_r= f d

U₀ (5.3)

– 200 < Re ≤ 105 Il se superpose aux grandes structures coh´erentes des plus petites structures proches de la paroi et dans la zone de m´elange d´ecol´ee en aval du cylindre 5.7(d).

(a) R_e= 0.16

(b) Re= 26

(c) R_e= 200

(d) R_e= 104 114

5.3.2

Mise en oeuvre num´erique

Le domaine du calcul a ´et´e pris ´egal `a 10D× 6D avec un cylindre centr´e au point de coordonn´ees (3D, 3D). Ce choix de taille de domaine est justifi´e par le fait que les simulations sont effectu´ees jusqu’`a un temps adimmensionnel t = 10 et qu’`a ce temps l`a et pour la plage de nombres de Reynolds choisie, l’´ecoulement moyen se recolle `a une distance inf´erieure `a 3D du cylindre (figure 5.8).

U₀ U0

3D 7D

6D

Figure 5.8 – domaine de calcul

A l’´etat initial, le fluide a ´et´e discr´etis´e en choisissant une distribution polaire des particules autour du cylindre. Pour des raisons de simplicit´e des calculs (d´erivations par SPH et remaillage), les particules ont ´et´e distribu´ees de fa¸con `a ce qu’elles aient toutes le mˆeme volume V et qui est ´egal `a celui d’une cellule de la grille cart´esienne (voir figure 5.9) :

V = r dr dθ = Δx2

Δx ´etant le pas d’espace de la grille. Quant au cylindre, il a ´et´e discr´etis´e en un ensemble de segments N_p de longueur de l’ordre de Δx.

L’initialisation de l’´ecoulement a ´et´e r´ealis´ee en utilisant l’´equation (4.17) pour le calcul du champ de vitesse initial, suivi par la r´esolution de l’´equation (3.22) pour le calcul du champ de pression initial.

Dans cette ´etude, on a utilis´e les nombres de Reynolds 50, 100, 200, 300 et 550. Pour tous ces nombres de Reynolds, on a fix´e les param`etres suivants :

– Pas de temps Δt = 0.01 – Temps de simulation t = 10 – Nombre de segments N_p = 315 – Nombre de Particules 1000× 600 – Fr´equence de remaillage N_r = 5

Pour un nombre de segments N_p inf´erieur `a celui choisi, il a ´et´e constat´e que la solution de simulation finit par diverger.

5.3.3

R´esultats

Afin de valider les r´esultats calcul´es par la m´ethode propos´ee pour le nombre de reynolds R_e = 200, ceux-ci ont ´et´e compar´es `a des r´esultats num´eriques et exp´erimentaux de r´ef´erence. Sur la figure 5.10, on trace les lignes de courant calcul´ees par la m´ethode propos´ee autour du cylindre `a diff´erents instants de l’´ecoulement. Ces r´esultats sont confront´es aux r´esultats de Koumoutsakos et al [37] obtenus par la m´ethode Lattice-Boltzmann. Les ´evolutions pr´edites par les deux m´ethodes sont similaires au cours du temps et on retrouve la formation des deux zones de recircu- lation sym´etriques en aval du cylindre comme cela a ´et´e d´ecrit dans la litt´erature.

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figure 5.10 – Lignes de courant pour R_e = 200 `a t = 1, t = 3 et t = 5. A gauche (a,c,e), les r´esultats de Koumoutsakos et al. [37]. A droite (b,d,f) les r´esultats du mod`ele propos´e

Pour valider le calcul de la pression par le mod`ele propos´e, on repr´esente le coefficient de pression C_p sur la paroi du cylindre. On calcul C_p par la relation :

C_p = p₁− p0 2ρ U02

(5.4) Pour avoir la valeur Cp = 1 au point d’arrˆet, la valeur de p₀ est d´etermin´ee en

appliquant le th´eor`eme de Bernoulli sur la ligne de courant issue du point d’arrˆet en amont du cylindre : 1 2ρ U 2 0 + p0 = parret (5.5)

Sur la figure 5.11, on superpose les valeurs de C_p calcul´ees et les valeurs mesur´ees exp´erimentalement par Thom [5] sur le cylindre. La concordance des r´esultats peut permettre de valider le calcul de pression.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 pression θ/π modele propose reference

Figure 5.11 – Coefficient de pression moyen compar´e avec Thom (1933) [5]

N´eanmoins, lorsque on superpose les valeurs de la pression calcul´ees sur le cylindre par notre m´ethode aux r´esultats calcul´es num´eriquement par Daube [33] `a l’instant t = 7 (figure 5.12) et bien que les deux calculs aient la mˆeme tendance, on observe que les r´esultats obtenus par notre mod`ele pr´esentent un certain lissage au voisinage des deux points de d´ecollement en aval du cylindre. Comme pour l’´ecoulement dans la cavit´e de la partie pr´ec´edente, ce lissage peut ˆetre attribu´e au nombre important d’interpolations effectu´ees, ce qui fait augmenter la diffusion num´erique.

Figure 5.12 – Champ de pression `a t = 7 compar´e avec Daube [33]

D’autres nombres de Reynolds plus ´elev´es ont ´et´e test´es. Sur la figure 5.13, on trace les lignes de courant pour le nombre de Reynolds R_e = 550 calcul´ees `a t = 5. La figure de gauche repr´esente la solution obtenue par notre m´ethode et la figure de droite repr´esente celle calcul´ee par A. Beaudoin au court de sa th`ese par une m´ethode utilisant des int´egrales de fronti`eres. On observe que les deux zones de recirculation qui se trouvent dans le sillage de l’´ecoulement ont bien ´et´e mod´elis´ees. En revanche, les petites structures qui se trouvent aux voisinages de la paroi du cylindre en aval, qui sont responsables du d´eclenchement de l’instationnarit´e de l’´ecoulement (all´ee de Van Karman), n’ont pas pu ˆetre captur´ees `a cause de la diffusion importante de la solution obtenue.

(a) (b)

Figure 5.13 – Lignes de courant `a t = 5 compar´e aux r´esultats de Beaudoin [9]

Pour am´eliorer la solution obtenue et ainsi pouvoir capturer les petites struc- tures, il faudra augmenter le nombre de particules qui discr´etisent le fluide au voisinage du cylindre. Cette augmentation du nombre de particules sera confront´e

au coˆut des calculs CPU qui est devenu tr`es ´elev´e dans la nouvelle m´ethode par rapport au coˆut de calcul de la m´ethode SPH de d´epart. Ce coˆut de calcul pourra ˆetre diminu´e par l’utilisation de particules de tailles diff´erentes (les particules qui se trouvent dans les zones de forts gradient ont des volumes plus petits que celles qui se trouvent dans les zones de faibles gradients) et par la parall`elisation du code.

Conclusion g´en´erale :

L’objectif de cette th`ese ´etait la construction de m´ethodes particulaires de type Smooth Hydrodynamics Particles pour la simulation de probl`emes d’impact hydro- dynamique. Les m´ethodes de type SPH sont connues pour leur capacit´es `a simuler des ´ecoulements pr´esentant une surface libre vraiment complexe, et reposent sur des bases encore tr`es proches de celles du travail initial de Lucy et Monaghan[72, 45]. Il semblait donc a priori possible de transposer `a ces m´ethodes des techniques im- port´ees de m´ethodes particulaires de type vortex, en particulier en ce qui concerne la prise en compte de l’ellipticit´e de la pression et celle des conditions aux limites. Une application directe de celles-ci a rapidement montr´e ses limites : la m´ethode obtenue permet un contrˆole am´elior´e de la pression et une prise en compte plus pr´ecise des conditions aux limites, au moins vis a vis des m´ethodes les plus courantes. Par contre, la m´ethode obtenue devient beaucoup plus exigeante en temps CPU ce qui d´enature quelque peu la m´ethode SPH.

Pour palier ces inconv´enients, nous nous sommes orient´es vers une autre tech- nique utilis´ee pour les m´ethodes vortex, la m´ethode particule-maillage. L’id´ee est de remplacer la plus grosse partie de la m´ethode int´egrale utilis´ee pour r´esoudre les ´equations de Poisson par une m´ethode classique sur maillage beaucoup plus rapide. Il faut rappeler que ce type de m´ethode est aujourd’hui bien souvent pr´ef´er´e aux m´ethodes d’arborescence type tree-code, en particulier pour les ´ecoulements tridi- mensionnels pour lesquels elles se montrent souvent plus efficaces[87]. La r´esolution des difficult´es associ´es `a ce type de technique nous a finalement amen´e sur un probl`eme diff´erent sensiblement de notre sujet initial : comment, connaissant une g´eom´etrie et un champ de vitesse discret `a l’int´erieur du domaine d’´ecoulement, reconstruire au mieux un champ de vitesse et un champ de pression compatibles jusqu’aux parois. En orientant nos travaux dans cette direction, nous perdons de vue l’objectif initial d’impact hydrodynamique pour ouvrir sur une classe de probl`emes plus large, que l’on rencontre par exemple dans l’interpr´etation de champs de vitesse mesur´es par des techniques d’imagerie particulaire type PIV ou encore avec des

m´ethodes num´eriques ne permettant pas une description pr´ecise des fronti`eres type fronti`eres immerg´ees.

Les m´ethodes int´egrales de fronti`ere coupl´ees `a des m´ethodes de r´esolution de l’´equation de Poisson par diff´erences finies ont ´et´e syst´ematiquement utilis´ees pour calculer le champ de pression d’une part, et une fonction de courant d’autre part. L’introduction de cette derni`ere est un ´ecart par rapport `a la m´ethode SPH habituelle ce qui se comprend car le calcul de la vitesse n’est pas la partie la plus p´enalisante en temps CPU dans un calcul SPH. Cela dit, son introduction est une cons´equence naturelle de celle de la m´ethode int´egrale de fronti`ere de type APS pour la satisfac- tion des condistions aux limites et le calcul de la vitesse dans le champ se trouve ainsi ramen´e `a une simple interpolation sur une grille r´eguli`ere. Les m´ethodes ainsi d´efinies ont par ailleurs l’avantage d’ˆetre facilement ´extensibles `a des configurations tridimensionnelles.

L’application de ces deux m´ethodes `a des r´esultats exp´erimentaux ou num´eriques nous a amen´e aux conclusions suivantes : les champ de vitesse et de pression recon- struit sont r´egulier jusqu’`a la paroi, quelle que soit la pr´ecision dans cette zone. En contrepartie, cette r´egularit´e induit comme on peu s’y attendre un certain lissage sur les donn´ees qui aura pour effet de rogner les extrema. Ce point est particuli`erement vrai pour les constructions effectu´ees `a partir de champ num´erique. Par contre, la compatibilit´e entre l’approximation pari´etale et les donn´ees dans le champ est as- sur´ee et on peu supposer que la solution obtenue est optimale en ce sens.

Le retour sur la m´ethode SPH autonome -au sens o`u il s’agit d’une r´eelle m´ethode d’int´egration des ´equations de Navier-Stokes- a ´et´e r´ealis´ee rapidement dans le dernier chapitre de cette th`ese. D’une part nous n’avons pas abord´e les probl`emes de surfaces libre initialement vis´e, d’autre part le nombre de cas pr´esent´es est limit´e. En effet, la construction d’une m´ethode SPH est devenue un objectif secondaire pour nous pour plusieurs raisons. Il y a d’abord l’importance et l’int´erˆet de la construc- tion d’une m´ethode permettant de reconstruire une approximation coh´erente d’un ´ecoulement, au moins localement en temps. Il y a aussi l’´eloignement induit par nos choix avec la m´ethode SPH de Lucy et Monghan. En effet, le recours `a un maillage, s’il est b´en´efique `a la pr´ecision et au temps CPU, ne pr´eserve pas compl`etement les qualit´es initiales de la m´ethodes SPH. Il est en effet assez d´elicat de calculer des ´ecoulements `a surface libre, sauf dans le cas o`u les deux fluides, l’air et l’eau par exemple, sont pris en compte effectivement et simultan´ement. Il semble que ceci soit n´ecessaire `a la pr´ecision de la m´ethode [30], mais ce gain en pr´ecision se fait

au d´etriment de l’adaptabilit´e de la m´ethode `a des situations vraiment complexes. Comme souvent en m´ethodes num´eriques, il est possible que la m´ethode SPH telle qu’elle est d´efinie par exemple dans [27, 91], avec ses forces et ses faiblesses, soit le compromis actuellement le plus utile.

Dans ce dernier cas, notre approche combin´ees trouvera plutˆot son application dans une autre cat´egorie de probl`emes pour lesquelles les techniques num´eriques nou- velles sont sans doute appel´ees `a se d´evelopper. Les mesures de champs de vitesse PIV atteignent aujourd’hui les champs tridimensionnels instationnaires et la possi- bilit´e de construire un champ de vitesse pari´etal et un champ de pression compatible `

a partir de ces donn´ees permettra une am´elioration importante de notre connaissance des ´ecoulement.

D’un autre cˆot´e, il est possible de s’interroger sur les prog`es qu’il faudrait ac- complir pour que notre m´ethode SPH Particules-Maillage devienne une alternative `

a la m´ethode SPH particulaire. Avec l’exp´erience acquise dans cette th`ese, il semble que deux points au moins sont `a ´etudier. Il s’agit d’une part de la parall`elisation des m´ethodes de r´esolution : le recours `a des biblioth`eques standards de r´esolution de probl`emes de Poisson est de ce point de vue tr`es b´en´efique, mais la m´ethode int´egrale de fronti`ere utilis´ee devra faire l’objet d’un effort sp´ecifique pour ne pas devenir l’´el´ement p´enalisant en temps CPU. D’autre part, l’´etat de l’art sur le traitement d’une surface libre a ´et´e pr´esent´e dans le chapitre 1.9.1 et une m´ethode efficace a ´et´e impl´ement´ee. Il est toutefois n´ecessaire maintenant d’am´eliorer son int´egration dans le formalisme particule-maillage que nous avons choisi. C’est seulement apr`es que ces deux questions auront ´et´e r´esolues que la m´ethode particule-maillage pourra ˆetre s´erieusement ´evalu´ee par comparaison aux m´ethode particule/ Tree-code dvelopp´ees par d’autres ´equipes.

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