Sloshing

Le ph´enom`ene du ballottement (sloshing) est d´efinie par le mouvement de la surface libre d’un fluide dans une cuve 2.4. Plusieurs ´etudes concernant ce ph`enom`ene existent. Dans le livre de Ibrahim R. [88] on trouve des ´etudes d´etaill´ees de ce ph´enom`ene. Dans cette partie, on va utiliser la m´ethode SPH-maillage pour mod´eliser l’´ecoulement d’un fluide dans une cuve dans les mˆemes conditions utilis´ees par Oger [83] au cours de sa th`ese afin d’avoir une base de donn´ees pour comparer les r´esults obtenus.

Figure 2.4 – Exemple de sloshing

A l’´etat initiale, une cuve de dimensions 0.4× 0.2 rempli d’un fluide de densit´e ρ = 1000 jusqu’`a la demi hauteur est au repos. A partir de t = 0, on applique `a la cuve une acc´el´eration horizontale ob´eissant `a la loi suivante :

γ(t) =−Aω₁2sin(ω₁t)− ω₂2sin(ω₂t) (2.20) Avec A = 0.075 m l’amplitude, ω₁ = 10.04 rad/s et ω₂ = 8.21 rad/s des pulsa- tions. Pour la mod´elisation de ce probl`eme, le fluide a ´et´e discr´etis´e par 8000 particules et le pas de temps Δt a ´et´e fix´e `a 10−4s. A cause de la pr´esence de la surface libre, la r´esolution de l’´equation de poisson a ´et´e r´ealis´ee par l’util- isation du package NSPCG [102] pour la r´esolution des grandes matrices clairsem´ees.

(a) t = 0.2s (b)t = 0.4s (c) t = 0.52s

Figure 2.5 – Champ de pression calcul´es par WSPH [83]

(a) t = 0.2s (b)t = 0.4s (c) t = 0.52s

Les r´esulats de la mod´elisation par la m´ethode SPH-maillge 2.6 montrent que le champ de pression calcul´e reste r´egulier au cours du temps, alors que des instabilit´es apparaissent dans le champ de pression calcul´e par la m´ethode quasi-incompressible WSPH 2.5 utilis´ee par Oger [83] pour mod´eliser ce probl`eme. Cependant, on observe que il y a un certain retard de l’´ecoulement calcul´e par notre m´ethode par rapport `a celui calcul´e par la m´ethode WSPH. Aussi, on observe que les parties de la surface libre qui se trouvent aux voisinages des parois ont des formes plus arrondies. Cela, est dˆu lissage introduit par le processus it´eratif pour r´esoudre l’´equation de poisson.

Chapitre 3

Calcul du champ de pression

3.1

Introduction

L’objectif de ce chapitre est de construire un champ de pression `a partir d’un champ de vitesse suppos´e connu de mani`ere `a ce que le couple vitesse-pression obtenu soit solution des ´equations de Navier-Stokes. Le champ des vitesses utilis´e peut r´esulter, soit d’un calcul num´erique, soit de mesures exp´erimentales, par imagerie particulaire par exemple. Le champ des vitesses est suppos´e connu, non pas sur une grille structur´ee, mais sur un nuage de points r´epartis de fa¸con `a couvrir l’espace. Ce probl`eme n’est pas nouveau et se pose chaque fois que l’on veut r´esoudre num´eriquement les ´equations de Navier-Stokes en formulation pression +  quelque chose . Il se pose encore lorsque la pression ne figure pas explicitement comme inconnue du probl`eme car elle est n´ecessaire au calcul des efforts qui sont bien souvent l’objectif d’un ing´enieur. Du point de vue exp´erimental, le probl`eme est plus r´ecent : d’une part on a g´en´eralement la possibilit´e de mesurer la pression au moins sur les parois solides, d’autre part il faut une description du champ des vitesses suffisamment riche pour que le champ de pression calcul´e ait un sens.

De nombreuses m´ethodes existent aujourd’hui pour r´esoudre ce probl`eme, soit dans un cadre purement num´erique (Quartapelle et Scolan [95, 96]), soit dans un cadre purement exp´erimental (Jardin [56]). Notre objectif ici concerne ces deux aspects et s’appuie sur une m´ethode de construction directe du champ de pression. Nous utilisons pour cela une solution int´egrale de l’´equation de Poisson (Cantaloube et Rehbach [41]) coupl´ee `a une discr´etisation du probl`eme utilisant le formalisme des m´ethodes particulaires, en particulier des m´ethodes SPH [39, 45, 107] pour

lesquelles la pression est une inconnue du probl`eme et des m´ethodes particules- maillage. La r´esolution de l’´equation de Poisson a d´ej`a ´et´e envisag´ee dans le cadre des m´ethodes SPH par Cummins et Rudman [31] en remplacement de la m´ethode de compressibilit´e artificielle utilis´ee pr´ec´edemment et perfectionn´ee par la suite pour donner les m´ethodes XSPH.

D’un point de vue pratique, deux types de difficult´es principales sont ren- contr´ees : il n’existe g´en´eralement pas de conditions aux limites explicites pour la pression et les efforts sont g´en´eralement centr´es sur la construction du champ de vitesse. Pour le cas de m´ethodes num´eriques, cela est dˆu principalement `a la forme des ´equations et `a la difficult´e associ´ee `a la contrainte de divergence nulle. Pour les techniques exp´erimentales non intrusives type VDL ou PIV, elles sont d´edi´ees exclusivement aux champ des vitesses.

Dans tous les cas, nous consid´erons un ´ecoulement tourbillonnaire instation- naire d’un fluide incompressible visqueux. De plus, nous nous limitons `a des exemples d’applications plans, mˆeme si la formulation, comme on le verra, ne n´ecessite pas cette hypoth`ese. Une des raisons `a cette restriction est que nous ne disposons pas encore de champ exp´erimentaux tridimensionnels suffisamment riches.