Application ` a un champ de vitesse mesur´ e

Dans le cas d’une application `a un champ de vitesse mesur´e, on a choisi l’´ecoulement autour d’un profil en configuration dite de vol battu [56]. L’exp´erience a ´et´e r´ealis´ee dans une cuve d’eau de dimensions 1 × 1 × 2 m3. Le profil ´etudi´e est une aile NACA0012 de corde et d’envergure respectivement ´egales `a 60 et 500 mm. Le mouvement du profil est repr´esent´e sur la figure 3.8 o`u on reconnaˆıtra un mouvement de ”godille”. Il est caract´eris´e par une vitesse de translation

u₀ = 0.0166 m/s et un angle d’attaque diff´erent entre les phases appel´ees upstroke et downstroke (20˚ et 45˚, respectivement).

Figure 3.8 – Description du mouvement du profil

Le champ de vitesse est mesur´e par la m´ethode PIV (Particle Image Velocimetry). Ces mesure sont effectu´ees dans le plan de sym´etrie vertical du profil o`u l’´ecoulement est suppos´e bidimensionnel. La pertinence de cette hypoth`ese et la qualit´e des mesures du champ de vitesse sont tr`es importants pour la pr´ecision du calcul du champ de pression.

La figure 3.9 illustre les vairations du coefficient de pression C_p calcul´e `a diff´erents instants de l’´ecoulement pendant une p´eriode T .

Figure 3.10 – champ de pression adimensionnel `a diff´erents instants

La figure 3.10 donne la carte du champ de pression adimensionnel calcul´e `a diff´erents instants de l’´ecoulement pendant une p´eriode T . On remarque que pendant la phase dite ”de retournement” (t ≤ 0.1 et t ≤ 0.1) `A t = 0.1 T , le profil est ´egalement en mouvement de translation et continue `a tourner jusqu’`a atteindre un angle d’attaque de 20˚. A cause de cette rotation, la pression est tr`es importante au voisinage du bord de fuite cˆot´e extrados. `A t = 0.3 T , le profil est en translation seul et la pression maximale retrouve sa position habituelle au voisinage du bord d’attaque. Enfin, `a t = 0.6 T , le profil a entam´e une rotation pour la phase retour jusqu’`a atteindre un angle d’attaque de 45˚. Les forces de pression sont encore tr`es importants au voisinage du bord de fuite cˆot´e extrados. Au bord d’attaque la pression est plus ´elev´ee que quand le profil ´etait dans la phase aller `a cause de

la diff´erence d’angle entre les deux phases. On note enfin les zones de d´epression derri`ere le bord de fuite cr´ees quand le profil est en rotation.

Ces r´esulats ne peuvent ˆetre compar´es `a des r´esultats de mesure de pression dans le champ car de telles mesures n’existent pas. Il faut n´eanmoins se rappeler que le champ de vitesse, mˆeme dans le plan m´edian, est rarement bidimentionnel. Tout au plus peut on supposer raisonablement que la composante normale au plan et sa d´eriv´ee normale sont petites, de mˆeme que celles des autres composantes de la vitesse.

La m´ethode propos´ee ici permet de construire le champ de pression correspon- dant `a un champ de vitesse d´efini sur un r´eseau non structur´e de points. Le probl`eme correspondant n ’est pas uniquement rencontr´e avec des m´ethodes particulaires type SPH, mais peut ´egalement se retrouver dans beaucoup d’autres situations, en particulier exp´erimentales. Dans ce dernier cas, plusieurs difficult´es sont encore pr´esentes : la plupart des champs de vitesse exp´erimentaux sont incomplets, `a la fois parce qu’ils sont mesur´es sur des r´eseaux de points non n´ecessairement r´eguliers et parce qu’il manque une composante. L’estimation de l’erreur r´ealis´ee avec ces deux probl`emes reste `a faire.

Chapitre 4

Calcul de la vitesse

4.1

Introduction

Dans le Chapitre 1(sph), on a vu que la r´esolution des ´equations de Naviers- Stokes par la m´ethode SPH doit faire face `a deux probl`emes majeurs : le premier concerne la satisfaction des conditions aux limites, et le second concerne la mod´elisation du terme de diffusion visqueux. Bien ´evidemment, ces deux probl`emes ne sont pas propres seulement `a la m´ethode SPH, mais `a toutes les m´ethodes particulaires.

Conditions aux limites Le traitement num´erique des conditions aux limites dans la m´ethode SPH est assur´e g´en´eralement par la m´ethode des particules fantˆomes (voir paragraphe 1.5.2). Cette m´ethode, qui est construite `a partir d’une v´erification locale approximative des conditions aux limites, pr´esente l’avantage d’ˆetre facile `a utiliser pour des g´eom´etries simples. Dans le cas contraire, si la g´eom´etrie du domaine devient un peu plus complexe, la manipulation de cette m´ethode se transforme en une ´epreuve difficile et la pr´ecision obtenue est souvent loin d’ˆetre satisfaisante. R´ecemment, Hieber et Koumoutskos [50] ont introduit la m´ethode des fronti`eres immerg´ees dans le formalisme SPH pour assurer la condition d’adh´erence `a des parois de formes arbitraires et augmenter la pr´ecision. Cette approche est bas´ee sur l’addition d’un terme de for¸cage f `a l’´equation de conservation de la quantit´e de mouvement. Ce terme f est calcul´e pr´ealablement sur la paroi en imposant la condition d’adh´erence, pour ensuite ˆetre interpol´e sur les particules du fluide. L’impl´ementation des fronti`eres immerg´ees est simple car elle ne n´ecessite aucune modification des ´equations `a r´esoudre. La pr´ecision obtenue

est nettement meilleure que celle obtenue par la m´ethode des particules fantˆomes. Mais, d’apr`es les remarques des auteurs et celles qu’on a faites dans le chapitre pr´ec´edent, cette m´ethode tend `a g´en´erer des petites oscillations dans le champ de pression au voisinage de l’obstacle.

Dans les m´ethodes tourbillonnaires, l’imposition d’une condition d’adh´erence pour un fluide visqueux dans un domaine born´e est plus d´elicat puisque on n’a pas de valeur explicite du tourbillon sur l’obstacle. Pendant les derni`eres d´ecennies, plusieurs approches ont vu le jour pour traiter le probl`eme des conditions aux limites [46, 69, 92]. La plupart des ces approches sont bas´ees sur la technique introduite par Chorin [23] : dans un premier temps, on r´esout les ´equations de Naviers-Stokes sans tenir compte de la pr´esence de fronti`eres, ensuite, les conditions aux limites sont impos´ees sur chaque composante de la vitesse d’une fa¸con ind´ependante. Plusieurs sophistications ont depuis ´et´e apport´ees `a cette technique pour augmenter sa pr´ecision et lui assurer une plus grande souplesse. Tout d’abord par Chorin lui mˆeme [24], en utilisant une discr´etisation sp´ecifique de la couche limite par le biais des feuillets tourbillonnaires, puis avec l’´emergence des m´ethodes int´egrales, Koumoutsakos et al. [65] ont introduit des corrections bas´ees sur une int´egrale de fronti`ere.

Diffusion visqueuse Dans le formalisme SPH, la mod´elisation du terme de diffusion μΔu est r´ealis´ee par plusieurs m´ethodes : la m´ethode hybride de Morris, la d´erivation seconde du noyau W selon le formalisme SPH ou par la m´ethode PSE. La pr´ecision de ces m´ethodes a ´et´e am´elior´ee grˆace `a l’introduction de la proc´edure du remaillage et l’utilisation des noyaux de coupure renormalis´es. Cependant, malgr´e ces am´eliorations, l’erreur au voisinage des fronti`eres reste trop importante et n´ecessite encore des am´eliorations.

M´ethode des ´equations int´egrales de fronti`eres L’inconv´enient des m´ethodes cit´ees pour traiter le probl`eme des conditions aux limites est que chaque composante de la vitesse contribue s´epar´ement `a la condition d’adh´erence. De plus, le probl`eme de ces conditions aux limites et celui de la diffusion visqueuse sont ´etroitement li´es, puisque pour un ´ecoulement visqueux, la condition d’adh´erence est diffus´ee `a l’int´erieur du fluide en cr´eant un gradient de vitesse ou cisaillement. Pour r´esoudre ces probl`emes simultan´ement (la condition d’adh´erence sur les deux composantes

de la vitesse et sa diffusion `a l’int´erieur du fluide), Achdou et al. proposent une m´ethode bas´ee sur l’utilisation des ´equations int´egrales de fronti`eres [1, 2, 94, 42].

Dans ce chapitre, on cherche d’abord `a ´etendre cette m´ethode int´egrale `a la m´ethode SPH pour am´eliorer la pr´ecision de cette derni`ere puis on utilise un processus similaire `a celui utilis´e pour le calcul de la pression pour optimiser le temps de calcul.