2010-2011

ISA BTP, 1◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2010-2011

CONTR ˆOLE CONTINU

Suites num´eriques

Dur´ee : 1h30. Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 _{1. Soit q ∈ R, q 6= 1. Montrer par r´ecurrence que pour tout n ∈ N}∗, on a 1 + q + q2+ . . . + qn = 1 − q

n+1

1 − q . 2. D´eterminer la nature de la suite (un) d´efinie par

∀n ∈ N, un =

3n_{− 2}n

3n_{+ 2}n.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

Exercice 2 ´Etude des suites v´erifiant un+1=

1 + u2_n

2 .

On note (un) un suite du type

(un) :    u0 > 0, un+1 = 1 + u2 n 2 . et on note f la fonction f : [0, +∞[ −→ _R x 7−→ 1 + x 2 2

1. (a) Faire l’´etude de f et tracer son graphe, ainsi que la droite d’´equation y = x dans le rep`ere n◦ 1 ci-joint.

(b) D´eterminer les points fixes de f et dresser le tableau de signes de f (x) − x. 2. (a) Tracer sur le graphe le parcours de (un) dans le cas o`u u0 = 1₂.

(b) Tracer le parcours de (un) si u0 = 2.

3. Montrer que (un) est une suite positive (c’est-`a-dire un > 0 ∀n ∈ N).

5. Que dire de (un) si u0 = 1 ?

6. On suppose dans cette question que 0 < u0 < 1.

(a) Montrer que 0 < un< 1 pour tout n ∈ N.

(b) En d´eduire que (un) est convergente.

(c) Quelle est la limite de (un) ? (Justifier).

7. On suppose dans cette question que u0 > 1.

(a) Montrer que un> 1 pour tout n ∈ N.

(b) Que peut-on dire de un quand n → +∞ ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

Exercice 3 Soient (un)n>2 et (vn)n>2 d´efinies par

un = cos π 4  · cosπ 8  · · · cosπ 2n  = n Y k=2 cosπ 2k  et vn= unsin π 2n  . 1. Calculer u2, u3 et u4. 2. Calculer u3 u2 et u4 u3 . 3. Exprimer le quotient un+1 un en fonction de n. 4. Montrer que (un) est monotone.

5. Montrer que (vn) est une suite g´eom´etrique dont on pr´ecisera la raison et le premier terme.

(On rappelle que cos a sin a = 1₂ sin(2a)). 6. En d´eduire vn puis un en fonctions de n.

7. En d´eduire la limite de la suite (un).

? ? ?

ISA BTP 1◦ann´ee Contrˆole continu 2010-2011 Nom : ... Pr´enom : ...

1

2

1

2

3

4

Rep`ere 1

CORRECTION

Exercice 1 : 1. Soit P(n) : n X k=0 qk= 1 − q n+1 1 − q . – Initialisation : pour n = 1, on a : 1 − q1+1 1 − q = 1 − q2 1 − q = (1 − q)(1 + q) 1 − q = 1 + q = 1 X k=0 qk.

Donc P(1) est vraie.

– H´er´edit´_{e : supposons qu’il existe un entier n > 1 tel que P(n) soit vraie. Alors}

n+1 X k=0 qk = n X k=0 qk+ qn+1 = 1 − q n+1 1 − q + q

n+1 _{par hypoth`ese de r´ecurrence}

= 1 − q n+1_{+ (1 − q)q}n+1 1 − q = 1 − q n+1_{+ q}n+1_{− q}n+2 1 − q = 1 − q n+2 1 − q .

Ainsi, si P(n) est vraie, P(n + 1) l’est ´egalement.

– Conclusion : par r´_{ecurrence, P(n) est vraie pour tout n > 1.} 2. La limite lim

n→+∞unest une forme ind´etermin´ee de la forme

∞

∞. Pour lever cette ind´etermination, on peut mettre en facteur le terme “le plus fort” au num´erateur et au d´enominateur :

un= 3n 1 − 2₃nn
3n _{1 +} 2n 3n
= 1 − 2₃
n 1 + 2 3
n Ainsi, puisque 2 3 < 1, 2 3
n → 0 et un → 1. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Exercice 2 :

1. f est d´efinie et d´erivable sur son domaine [0, +∞[ et ∀x ∈ R+, f0(x) = 2x. D’o`u : x 0 +∞ f0(x) 0 + f 1₂ % +∞ et

0.5

1

1.5

2

0.5

1

1.5

2

2.5

2. f (x) − x = 1 + x 2 2 − x = 1 − 2x + x 2 2 = (1 − x) 2 2 D’o`u : x 0 1 +∞ f (x) − x 1₂ + 0 + Ainsi, f admet x∗ _{= 1 pour unique point fixe sur R}+. 3.

4. D’apr`es la relation de r´ecurrence, un est un carr´e pour tout n > 1. un est donc positif

pour tout n > 1. Puisque u0 est donn´e > 0, un> 0 pour tout n ∈ N.

5. D’apr`es l’´_{etude de la question 1b f (x) − x est toujours positif sur R}+_{. Puisque u}

n ∈ R+

pour tout n, on a

∀n ∈ N, un+1− un= f (un) − un > 0.

Donc la suite (un) est croissante.

6. Puisque 1 est un point fixe de f , si u0 = 1, alors (un) est constante ´egale `a 1.

7. (a) On a montr´e plus haut que un > 0 pour tout n ∈ N. D’autre part, puisque f est

strictement croissante sur R+, si u0 < 1, on a

u1 = f (u0) < f (1) = 1.

Par r´ecurrence (`a ´ecrire proprement), on en d´eduit que un< 1 pour tout n ∈ N.

(b) Puis (un) est croissante et major´ee (par 1), elle converge.

(c) Puisque (un) converge, sa limite est l’unique point fixe de f . Donc un→ 1.

8. (a) D’apr`es la question 4, la suite (un) est croissante. Ainsi,

(b) On montre par l’absurde que (un) ne peut converger. En effet, si elle converge, elle

doit converger vers un point fixe de f . Or elle s’´eloigne de l’unique point fixe x∗ = 1 de f . Elle ne peut donc converger. Puisqu’elle est croissante, on en d´eduit qu’elle tend vers +∞. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? Exercice 3 : 1. u2 = 2 Y k=2 cosπ 2k  = cosπ 4  = √ 2 2 u3 = 3 Y k=2 cos π 2k  = cos π 4  cos π 8  u4 = 4 Y k=2 cos π 2k  = cos π 4  cos π 8  cos π 16  2. u3 u2 = cos π 4
cos π 8
cos π₄
= cos π 8  u4 u3 = cos π 4
cos π 8
cos π 16

cos π₄
cos π₈
= cos π 16  3. un+1 un = n+1 Y k=2 cos π 2k  n Y k=2 cosπ 2k  = cos π 2n+1 

4. D’apr`es l’´etude pr´ec´edente, puisque ₂n+1π ∈]0, 1[ pour tout n > 2, on a < 0

un+1

un < 1. La

suite (un) est donc d´ecroissante.

5. vn+1 vn = un+1sin π 2n+1
unsin ₂πn
= cos π 2n+1
sin π 2n+1
sin ₂πn
= 1 2 sin 2 π 2n+1
sin ₂πn
= 1 2

Le quotient ´etant constant, la suite (vn) est g´eom´etrique et sa raison est q = 1₂. D’autre

part, son premier terme est

v2 = u2sin π 4  = 1 2

6. D’apr`es ce qui pr´ec`ede, on a ∀n > 2, vn= 1 2n−1 et un= vn sin ₂πn
= 1 2n−1_sin π 2n

7. On a ₂πn → 0. On peut donc exploiter le D.L. de sinus en 0 : sin(u) = u + o(u). Ainsi,

un= 1 2n−1 π 2n + o π 2n

= 1 π 2 + o π 2
→ 2 π.