Contribution à l'analyse numérique de quelques problèmes en chimie quantique et mécanique.

(1)

HAL Id: tel-00459149

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00459149

Submitted on 23 Feb 2010

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

problèmes en chimie quantique et mécanique.

Rachida Chakir

To cite this version:

Rachida Chakir. Contribution à l’analyse numérique de quelques problèmes en chimie quantique et mécanique.. Modélisation et simulation. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. Français. �tel-00459149�

(2)

Universit´e Pierre et Marie Curie – Paris 6 Laboratoire Jacques-Louis Lions – UMR 7598

Contribution `

a l’analyse num´

erique

de quelques probl`

emes en chimie

quantique et m´

ecanique

TH`

ESE DE DOCTORAT

pr´esent´ee et soutenue publiquement le 30 novembre 2009 par

Rachida Chakir

pour l’obtention du

Doctorat de l’universit´

e Pierre et Marie Curie – Paris 6

Spécialité Mathématiques Appliquées

Devant le jury compos´e de : ´

Eric CANCÈS Examinateur Bruno DESPRÉS Examinateur Fran¸cois JOLLET Examinateur Yvon MADAY Directeur de thèse Endre S ÜLI Rapporteur

Apr`es avis des rapporteurs : Jean-Luc GUERMOND Endre S ¨ULI

´

(3)

(4)

i

Remerciements

J’aimerais en premier lieu exprimer ma reconnaissance envers mon directeur de thèse, Yvon Maday, pour la confiance qu’il m’a accordée, en me permettant d’obtenir un financement sans lequel cette thèse n’aurait pas eu lieu. J’ai énor-mément appris durant ces trois années, j’ai pu découvrir un nouveau monde, celui de la recherche. L’aide qu’il m’a apportée ainsi que sa patience m’ont été très précieuses dans l’accomplissement de ce travail.

Je souhaiterais remercier mes rapporteurs Jean-Luc Guermond et Endre Süli pour le temps qu’ils ont accordés à la lecture de cette thèse et à l’élaboration de leur rapport. L’intérêt qu’ils ont porté à mes travaux ainsi que leurs critiques ont permis d’améliorer ce mémoire.

Un grand merci également à Eric Cancès pour ses conseils avisés durant cette thèse et pour sa présence dans mon jury. C’est également avec plaisir que je remercie Fran¸cois Jollet et Bruno Désprès d’avoir accepté de faire parti de mon jury.

Je tiens à témoigner ma reconnaissance à Edwige Godlewski pour son soutien et sa disponibilité dans les moments de doute.

Pour leur gentillesse et leur disponibilité, je remercie Danièle Boulic, Liliane Ruprecht, Florence Saidani, Salima, et Christian David. C’est également avec plaisir que je remercie Khashayar, Antoine Le Hyaric et Fréderic Hecht pour leur aide lors de mes déboires informatiques.

Je n’oublie évidemment pas mes amis et camarades du LJLL avec lesquels j’ai partagé ces trois dernières années.

Je remercie tout particulièrement Alexandra C., qui a su être présente à tout instant. Son soutien, toutes ces heures passées à me relire et corriger mes ”perles” orthographiques et grammaticales et ses remarques ont été autant de mains tendues. Je pense également à Nicolas L., l’expert en Gnuplot et correcteur suppléant. Je ne pourrais jamais assez vous remercier pour votre aide (j’espère que vous avez gardé vos stylo rouge, car cette page doit comporter de beaux spécimens).

Un grand merci également à Laurent, Nicole et Ulrich pour leur nombreux conseils avisés.

Merci aux anciens et nouveaux du bureau 3D18, Joelle (tu nous manques, reviens vite), Paulo et Raphael. Mais aussi à Maya (promis je ferais moins de bruit et mon bordel restera de mon coté du bureau), Sépideh, Matthieu L., Giacomo, Tina, Alexandra F. et Joanna. Quant à nos voisins de paliers, je remercie Evelyne (pour ses réponses à mes questions mêmes les plus stupides), Mathieu G. (ils sont trop bons tes gâteaux), Alexis (les tiens aussi, la relève est assurée), Benjamin A., Pierre, Jean-Marie et Mouna.

Je n’oublie pas Julie, Cuc, Benjamin B., Vincent, Thomas, Etienne, Rym, Noura, les autres Nicolas, Bawer, Filipa, C´eline et J.F.

(5)

Merci à vous tous, chacun à votre fa¸con vous avez contribué à l’accomplis-sement de cette thèse.

Je termine ces remerciements, en pensant `a mes parents qui m’ont toujours soutenue et encourag´ee.

(6)

Table des mati`

eres

Introduction et pr´esentation des r´esultats 1

I Schéma à deux grilles pour la résolution de problèmes aux

valeurs propres non lin´eaires 23

1 Analyse num´erique de probl`emes aux valeurs propres non

lin´eaires : un premier mod`ele 25

1 Introduction . . . 27

2 Basic error analysis . . . 31

3 Fourier expansion . . . 39

4 Finite element discretization . . . 43

5 The effect of numerical integration . . . 48

6 Appendix: properties of the ground state . . . 54

2 Analyse numérique de problèmes aux valeurs propres non linéaire : le modèle de Thomas-Fermi-von-Weizäcker (TFW) 57 1 Introduction . . . 59

2 Basic Fourier analysis for planewave discretization methods . 59 3 Thomas-Fermi-von-Weizs¨acker model . . . 64

3.1 Step 1: first part of the a priori errors estimates . . 67 iii

(7)

3.2 Step 2: proof of the uniqueness of uNc . . . 83

3.3 Step 3: second part of the a priori errors estimates . 84 3.4 Step 4: proof of the uniqueness of uNc,Ng . . . 87

3 Schémas à deux grilles pour la résolution de problèmes aux valeurs propres non linéaires 89 1 Introduction . . . 92

2 Résolution d’un problème linéarisé aux valeurs propres sur la grille fine . . . 97

3 Résolution d’un problème linéarisé avec second membre sur la grille fine . . . 108

3.1 Etude du probl`eme 2 . . . 109

3.2 Etude du probl`eme 3 . . . 112

4 R´esultats Num´eriques . . . 115

5 Annexe . . . 117

II Schéma à deux grilles combinée à la méthode des bases réduites pour la résolution d’ E.D.P paramétrées 121 4 Schéma à deux grilles combinée à la méthode des bases réduites pour la résolution d’ E.D.P paramétrées 123 1 Introduction . . . 125

2 An alternating reduced basis method . . . 127

3 Post-processing . . . 130

4 Numerical results . . . 131

4.1 Example 1 . . . 132

4.2 Example 2 . . . 133

(8)

v

Bibliographie 137

R´esum´e 143

(9)

(10)

Introduction et pr´

esentation

des r´

esultats

(11)

(12)

3 L’objet principal de cette thèse est une contribution à l’analyse numérique de problèmes de valeurs propres non linéaires, comme on peut en trouver en chimie quantique. La résolution de ces problèmes étant très coûteuse, l’idée est de proposer de nouvelles méthodes permettant de simplifier la résolution de ce type de problèmes et ainsi diminuer le coût total de calcul. L’analyse numérique est nécessaire pour comprendre si l’impact positif sur le coût de total n’a pas de mauvaise conséquence sur la précision des résultats.

On s’est aper¸cu que l’analyse numérique de discrétisation classique n’était pas entièrement faite, et surtout elle n’était pas optimale. Il a fallu préalablement compléter les travaux existant sur les estimations d’erreur a priori, afin d’obte-nir des résultats équivalents à ceux connus dans le cas de problèmes aux valeurs propres linéaires. Les deux premiers chapitres sont consacrés à l’analyse numé-rique de ces problèmes aux valeurs propres non linéaires, ainsi que l’effet de l’intégration numérique.

Dans le chapitre 3, ces résultats ont été utilisés pour la mise en œuvre et l’ana-lyse numérique de nouveaux schémas à deux grilles pour l’approximation de problèmes aux valeurs propres non linéaires.

Dans une dernière partie, on propose d’adapter ce type de méthode de sous-grilles, pour une utilisation originale, associée à la méthode des bases réduites pour la résolution de problèmes elliptiques avec second membre.

Quelques r´

esultats d’estimations a priori dans le cas

de probl`

emes aux valeurs propres lin´

eaires

De nombreuses applications physiques et mécaniques, nécessitent l’approxi-mation des valeurs propres et des vecteurs propres de problèmes elliptiques, ayant des conditions aux limites. L’analyse numérique de ces problèmes linéaires a été amplement étudiée et développée, et plus particulièrement dans le cas de la méthode des éléments finis [2, 45, 50]. La présentation de ces principaux ré-sultats est faite dans le même esprit que celle qui sera proposée dans la suite de la thèse, pour le cas de problèmes non linéaires.

Soit Ω un ouvert borné de Rd _{(d = 2 ou 3) `}_{a frontière « régulière ». On}

s’int´e-resse au probl`eme suivant : Trouver u_{∈ H}1 0(Ω) et λ∈ R tels que      a(u, v) = λ Z Ω uv, ∀v ∈ H1 0(Ω) Z Ω u2= 1, (1)

où a est une forme bilinéaire, symétrique, continue et coercive sur H₀1(Ω). Les valeurs propres de ce problème forment une suite croissante tendant vers +_∞

(13)

et les fonctions propres associ´ees um sont born´ees dans H2(Ω) (en supposant

que la forme bilinéaire a et la frontière du domaine Ω sont suffisamment régu-lières, par exemple si Ω est convexe ).

Il s’agit maintenant d’approcher numériquement les couples d’élements propres (λ, u). On introduit un sous-espace de H₀1(Ω) de dimension finie, de type éle-ments finis (K, PK,P_K), noté X_hk tel que :

X_hk={v ∈ H01(Ω), ∀ K ∈ Th, v|K ∈ Pk(K)}.

Th représente une famille régulière de triangulation de Ω, le paramètre de

dis-cr´etisation h est d´efini par h = max

T∈Th

hT où hT est le diamètre de T (c’est à dire

la longueur du plus grand coté). On rappelle qu’une famille de triangulation est dite régulière si elle vérifie les hypothèses suivantes :

– pour tout h, Ω est égale à l’union de tous les éléments de Th,

– l’intersection de deux éléments distincts est vide, ou un sommet, ou une arête entière ou une face entière,

– il existe une constante σ ind´ependante de h telle que ∀T ∈ Th, σT ≤ σ

avec σT = h_ρT_T, et ρT le diam`etre de la boule inscrite dans T .

L’approximation de Galerkin de (1) sur X_hk, s’´ecrit alors : Trouver uh ∈ X_hk et λh∈ R tels que

     a(uh, vh) = λh Z Ω uhvh, ∀vh∈ X_hk Z Ω u2_h = 1. (2)

Ce probl`eme admet Nh(= dim Xhk) valeurs propres positives qui forment une

suite croissante :

0 < λ1,h≤ λ2,h ≤ · · · ≤ λm,h ≤ · · · ≤ λNh,h.

Soit _Vm l’ensemble des sous-espaces de H01(Ω) et Vm,h l’ensemble des

sous-espaces de X_hk, tous deux de dimension m. Alors, d’après le Principe du Min-Max, la mème valeur propre λm du problème (1) et la mème valeur propre λm,h

du probl`eme (2) sont donn´ees par λm = min Em∈Vm max v∈Em v6=0 a(v, v) kvk2 L2 , λm,h = min Em∈Vm,h max v∈Em vh6=0 a(vh, vh) kvhk2_L2 ,

et vérifient la propriété suivante :

(14)

5 De plus, l’égalité suivante nous permet d’obtenir un premier résultat de conver-gence. λm,h− λm = a(um,h, um,h)− a(um, um) = a(um,h− um, um,h− um) + 2 a(um,h− um, um) = a(um− um,h, um− um,h)− 2 λm(um, um− um,h)L2 = a(um− um,h, um− um,h)− λm (um, um)L2 + (u_m,h, u_m,h)_L2 − 2(um, um,h)L2 ( en utilisant _kumkL2 =ku_m,hk_L2 = 1) = a(um− um,h, um− um,h)− λm(um− um,h, um− um,h)L2. (3) Avec la continuité de la forme bilinéaire a, ainsi que l’inégalité de Cauchy-Schwarz sur le second terme de droite, on a

|λm,h− λm| ≤ Ckum− um,hk2H1. (4) Faisons maintenant l’hypoth`ese d’approximation suivante :

Il existe une constante C > 0 telle que pour tout u_{∈ H}1

0(Ω)∩ Hℓ(Ω),

1≤ ℓ ≤ k + 1 on ait : inf

vh∈Xhk

ku − vhkH1 ≤ Chℓ−1kuk_Hℓ.

Les estimations d’erreur suivantes sont classiques, voir par exemple [2, 45, 50], néanmoins nous choisissons de donner ici une démonstration qui servira d’intro-duction au raisonnement utilisé pour obtenir les estimations d’erreur a priori dans le cas de problèmes aux valeurs propres non linéaires.

Lemme : Si λm est une valeur propre simple, alors pour h≤ h0 assez petit,

λm,h est une valeur propre simple et il existe une constante C positive,

ind´e-pendante du sous-espace Xk

h, telle que l’on ait

kum− um,hkH1 ≤ Chℓ−1kuk_Hℓ (5) kum− um,hkL2 ≤ Chku_m− u_m,hk_H1. (6) D´emonstration :

Seul le cas m = 1 sera trait´e. On commencera par montrer que ku1− u1,hkH1 −→

h→00. (7)

Pour cela, on considère le problème de minimisation suivant : Ilin= inf{Elin(v), v∈ H01(Ω),kvkL2 = 1}, où Elin(v) =

1

2a(v, v). Ce probl`eme admet une unique solution positive, que l’on notera u. Ainsi, en introduisant l’op´erateur auto-adjoint, Alin, tel que

(15)

on obtient que la fonction u v´erifie l’´equation d’Euler-Lagrange suivante : Alinu = λu

où λ ∈ R est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte kukL2 = 1. Le problème aux valeurs propres, issu de ce problème de minimisation, n’est autre que (1). Il existe une base hilbertienne orthonormale de L2(Ω) formée des vecteurs propres de (1), de fa¸con à ce que tout v∈ L2_{(Ω) et de norme 1, puisse}

s’´ecrire sous la forme v = X

m αmum avec X m α2_m = 1 et a(v, v) = X m α2_mλm.

De ce fait, en remarquant λ1 est la plus petite valeur propre, il apparaˆıt que

le couple (u1, λ1) est solution de cette ´equation d’Euler-Lagrange, ainsi que du

probl`eme de minimisation Ilin.

Par ailleurs, on peut montrer que λ1, la plus petite valeur propre Alin, est simple.

Il en r´esulte que hAlinv, viF − λ1 Z Ω v2 ≥ (λ2− λ1) kvk2L2 − (u1, v)2L2 ∀v ∈ H01(Ω).

On rappelle que_ku1kL2_(Ω)=ku_1,hk_L2_(Ω)= 1, de ce fait |(u₁, u_1,h)_L2_(Ω| ≤ 1. Par cons´equent, il apparaˆıt hAlin(u1− u1,h), (u1− u1,h)i − λ1 Z Ω (u1− u1,h)2 ≥ (λ2− λ1) 1_{− |(u}1, u1,h)L2_(Ω)|

Ainsi, en choisissant u1,h tel que (u1, u1,h)L2_(Ω) ≥ 0, il d´ecoule a(u1− u1,h, u1− u1,h)− λ1ku1− u1,hk2L2_(Ω) =_hAlin(u1− u1,h), (u1− u1,h)i − λ1ku1− u1,hk2L2_(Ω) ≥ 1 2(λ2− λ1 ku1kL2_(Ω)+ku_1,hk_L22_(Ω)− 2(u1, u1,h)L2_(Ω) ≥ (λ2− λ1) 2 ku1− u1,hk 2 L2_(Ω).

Soit θ tel que 0 < θ _≤ λ2− λ1 λ2+ λ1

< 1. À partir de la ligne précédente, on obtient alors a(u1− u1,h, u1− u1,h)− λ1ku1− u1,hk2_L2_(Ω) = θ a(u1− u1,h, u1− u1,h) + (1− θ) a(u1− u1,h, u1− u1,h)− λ1ku1− u1,hk2L2_(Ω) −θλ1ku1− u1,hk2L2_(Ω) ≥ θa(u1− u1,h, u1− u1,h) + (1_{− θ)(λ}2− λ1) 2 ku1− u1,hk 2 L2_(Ω)− θλ1ku1− u1,hk2_L2_(Ω) ≥ θa(u1− u1,h, u1− u1,h) + 1 2 λ2− λ1− θ(λ2+ λ1) ku1− u1,hk2_L2_(Ω). Ceci implique, en utilisant la coercivité de la forme bilinéaire a et en choisissant θ assez petit, qu’il existe une constante C positive telle que

(16)

7 En combinant ceci avec l’´egalit´e (3), on a

C 2ku1− u1,hk 2 H1_(Ω) ≤ 1 2a(u1− u1,h, u1− u1,h)− λ1 2 (u1− u1,h, u1− u1,h)L2 = 1 2(λ1,h− λ1) = Elin(u1,h)− Elin(u1).

Puisque u1,hest solution du probl`eme aux valeurs propres (2), elle est ´egalement

le minimiseur de Elinsur l’espace X_hk. On a ainsi pour tout vh ∈ X_hk, Elin(u1,h)≤

Elin(vh). Soit xh ∈ Xhk telle que

ku1− xhkH1_(Ω) = inf vh∈X_hk ku1− vhkH1_(Ω) etku₁− x_hk_H1_(Ω) −→ h→00. On obtient finalement C 2ku1− u1,hk 2 H1_(Ω) ≤ Elin(xh)− Elin(u1) = 1 2a(vh, vh)− 1 2a(u1, u1) = 1 2a(xh− u1, vh+ u1) ≤ Ckxh− u1kH1_(Ω)kx_h+ u₁k_H1_(Ω) −→ h→00.

Revenons à la démonstration de l’estimation (5). En utilisant (8), pour tout xh ∈ Xhk, on a C_ku1− u1,hk2H1_(Ω) ≤ a(u1− u1,h, u1− u1,h)− λ1ku1− u1,hk2L2_(Ω) ≤ a(u1− xh, u1− u1,h)− λ1 Z Ω (u1− xh)(u1− u1,h) +a(xh− u1,h, u1− u1,h)− λ1 Z Ω (xh− u1,h)(u1− u1,h) ≤ a(u1− xh, u1− u1,h)− λ1 Z Ω (u1− xh)(u1− u1,h) +λ1 Z Ω (xh− u1,h)u1− λ1,h Z Ω (xh− u1,h)u1,h −λ1 Z Ω (xh− u1,h)(u1− u1,h) ≤ a(u1− xh, u1− u1,h)− λ1 Z Ω (u1− xh)(u1− u1,h) +(λ1− λ1,h) Z Ω (xh− u1,h)u1,h ≤ Cku1− xhkH1_(Ω)ku₁− u_1,hk_H1_(Ω)+ |λ₁− λ_1,h| ku₁− x_hk_L2_(Ω). Ainsi en utilisant (4) dans cette dernière ligne, il vient

ku1− u1,hk2H1_(Ω) ≤ Cku1− u1,hkH1_(Ω) ku1− xhkH1_(Ω)+ku₁− u_1,hk_H1_(Ω)ku₁− x_hk_L2_(Ω) ≤ Cku1− u1,hkH1_(Ω)ku₁− x_hk_H1_(Ω) 1 +_ku1− u1,hkH1_(Ω) .

(17)

D’apr`es (7), le terme ku1− u1,hkH1_(Ω) est petit, de ce fait on trouve ku1− u1,hkH1_(Ω) ≤ Cku₁− x_hk_H1_(Ω)= C inf vh∈Xkh ku1− vhkH1_(Ω), et finalement, si u∈ H1_(Ω)_{∩ H}ℓ_{(Ω), 1}_{≤ ℓ ≤ k, on a} ku1− u1,hkH1 ≤ Chℓ−1kuk_Hℓ.

Il reste à montrer l’estimation (6), la démonstration qui suit diffère légèrement de celles qui existent dans la littérature, mais elle pourra facilement être adap-tée pour fonctionner dans le cas de problème aux valeurs propres non linéaire. Pour cela, on note u⊥ ={v ∈ H01(Ω),

Z

Ω

uv = 0}, le sous espace de H1 0(Ω), et

on consid`ere le probl`eme adjoint suivant :

Trouver ψ _{∈ u}⊥ tel que pour tout v_{∈ u}⊥, alors

a(ψ, v)− λ(ψ, v) = Z

Ω

(u1− u1,h)v. (9)

La forme bilinéaire (v, w)7→ a(w, v) − λ(w, v) étant coercive, continue et symé-trique sur u⊥, le théorème de Lax-Milgram nous assure l’existence et l’unicité de la solution ψ du problème (9). De plus elle vérifie les hypothèses de régularité et de continuité suivantes : ψ_{∈ H}₀1(Ω)_{∩ H}2(Ω) (10) kψkH2_(Ω)≤ Cku₁− u_1,hk_L2_(Ω). (11) En particulier, on a inf vh∈Xhk kψ − vhkH1_(Ω) ≤ Chku₁− u_1,hk_L2_(Ω). (12) Soit u∗₁ _{∈ H}₀1(Ω), définie par

u∗₁ = u1,h+ (1−

Z

Ω

u1u1,h)u1,

de sorte que u∗₁− u1 ∈ u⊥, on a ´egalement

u∗₁− u1,h =

1

2u1ku1− u1,hk

2

(18)

9 Alors, on remarque ku1− u1,hk2_L2_(Ω) = Z Ω (u1− u1,h)(u1− u∗1) + Z Ω ((u1− u1,h)(u∗1− u1,h) = Z Ω (u1− u1,h)(u1− u∗1) + 1 4ku1− u1,hk 4 L2_(Ω) = a(ψ, u1− u1,h)− λ1 Z Ω ψ(u1− u1,h) = a(ψ_{− ψ}h, u1− u1,h)− λ1 Z Ω (ψ_{− ψ}h)(u1− u1,h) +a(ψh, u1− u1,h)− λ1 Z Ω ψh(u1− u1,h), ∀ψh ∈ Xhk = a(ψ− ψh, u1− u1,h)− λ1 Z Ω (ψ− ψh)(u1− u1,h) +(λ1− λ1,h) Z Ω (ψh− ψ)u1,h+ Z Ω ψu1,h , _∀ψh ∈ Xhk.

Par cons´equent, en utilisant (4), on obtient, pour tout ψh ∈ Xhk

ku1− u1,hk2L2_(Ω) ≤ Cku1− u1,hkH1_(Ω)kψ − ψ_hk_H1_(Ω) +_ku1− u1,hk2_H1_(Ω) ku1kL2_(Ω) kψ − ψhkL2_(Ω)+kψk_L2_(Ω) ≤ Cku1− u1,hkH1_(Ω) inf ψh∈Xhk kψ − ψhkH1_(Ω) +ku1− u1,hk2H1_(Ω) inf ψh∈Xhk kψ − ψhkL2_(Ω)+kψk_H2_(Ω) ≤ Cku1− u1,hkH1_(Ω)ku₁− u_1,hk_L2_(Ω) h +ku1− u1,hkH1_(Ω) ≤ Cku1− u1,hkH1_(Ω)ku₁− u_1,hk_L2_(Ω) h + hℓku1kHℓ+1_(Ω) 1≤ ℓ ≤ k. ≤ Chku1− u1,hkH1_(Ω)ku₁− u_1,hk_L2_(Ω).

On retrouve ainsi (6), ce qui conclut la d´emonstration de ce lemme. ✷

`

A la recherche du fondamental

Il existe plusieurs modèles mathématiques issus des sciences physiques et de l’ingénierie, dont la résolution demande une recherche de valeurs et vecteurs propres de problèmes non linéaires, comme le calcul de modes de vibration en mécanique des solides non linéaires. On trouve aussi des exemples en chimie quantique, où les modèles dit ab initio dérivent directement de l’équation de Schrödinger [27] :

(19)

– les équations de Gross-Pitaevskii qui décrivent les états stationnaires du condensat de Bose-Einsten,

– les mod`eles d’Hartree-Fock et Kohn-Sham.

Ces deux derniers ont pour but de déterminer l’état fondamental, c’est-à-dire l’état de plus basse énergie d’un système moléculaire.

Le modèle de Kohn- Sham est très populaire en physique du solide, mais aussi en chimie moléculaire. Il repose sur la Théorie de la fonctionnelle de densité (DFT, Density Functional Theory [23,24,41,53]). Le principal intérêt de cette méthode réside dans le fait qu’elle permet de modéliser des systèmes relativement étendus (molécules de taille importante ou des solides) avec une bonne précision. La description quantique non-relativiste d’un système moléculaire ou cristallin est basée sur l’équation de Schrödinger [27] suivante (qui sera simplifiée par diverses approximations pour faciliter sa résolution) :

HΨ(−R→j, −→ri) = i~

∂ ∂tΨ(

−→ Rj, −→ri)),

où H est le hamiltonien du système. Cette équation peut être ramenée à un cas stationnaire, qui prend la forme d’un problème aux valeurs propres

Hψ(−R→j, −→ri) = Eψ(−R→j, −→ri),

où ψ(−R→j, −→ri) est la fonction d’onde qui décrit le comportement des électrons,

−→

Rj et −→ri représentent les coordonnées des noyaux et des électrons, E

corres-pond quant à lui à l’énergie du système. Chaque valeur propre E correspond à un niveau d’énergie associé à un état du système décrit par la fonction d’onde ψ(−R→j, −→ri). L’état de plus faible énergie est le plus stable, chercher celui-ci revient

`

a résoudre un problème de minimisation. Pour un système moléculaire composé de M noyaux et de N électrons. La complexité de ce problème est telle qu’il ne peut être résolu sans simplification supplémentaire :

– 1er_{´etape d’approximation : l’approximation de Born-Oppenheimer,}

– 2ème _{étape d’approximation : les méthodes de type Fonctionnelle de la}

densité ou Hartree-Fock (celui-ci ne sera pas traité dans cette thèse), – 3ème_{étape d’approximation : les méthodes de discrétisations et de}

r´esolu-tions num´eriques.

Le premier niveau d’approximation est basé sur l’approximation de Born-Oppenheimer, qui permet de traiter séparément les électrons et les noyaux d’un système. Celle-ci s’appuie sur la différence de masse entre ces deux familles de particules. Ainsi, on peut découpler le mouvement des noyaux de celui des électrons. On fixe alors la position des noyaux. Ils deviennent des paramètres et les degrés de liberté nucléaires apparaissent uniquement dans le potentiel moyen W . La position d’équilibre la plus stable du système est donc obtenue minimisant l’énergie po-tentiel W.

(20)

11 1. le terme X

1≤k≤l≤M

zkzl

|−→Rk−−R→l|

qui décrit la répulsion internucléaire (où zi

repr´esente la charge du noyau i),

2. le terme qui correspond au potentiel effectif ressenti par les noyaux, dû à la présence du nuage électronique. La valeur de ce potentiel en un point est obtenue en cherchant le fondamental du hamiltonien électronique He

sur l’espace des fonctions d’ondes, que l’on appellera probl`eme electro-nique.

En raison de la taille des fonctions d’ondes, la résolution numérique de ce pro-blème de minimisation, telle quelle, n’est possible que pour des systèmes ne contenant qu’un ou deux atomes. Il existe ainsi un second niveau d’approxima-tion découpé en deux classes : la méthode d’Hartree - Fock et celle issue de la théorie de la Fonctionnelle de la densité.

La méthode de Hartree-Fock ( [21, 48]) est une approximation variationnelle du problème électronique consistant à restreindre l’ensemble de minimisation aux seules fonctions d’onde ψe, qui s’écrivent comme un déterminant de Slater

de N fonctions d’onde monoélectroniques orthonormées φi appelées orbitales

mol´eculaires ψe(−→r1,· · · , −→rN) = 1 p (N !)det(φi(− →_r_j_)). Soit

WN ={Φ = (φi)1≤i≤N, φi ∈ H1(R3), tel que

Z

R3

φiφj = δi,j, 1≤ i, j ≤ N}

l’ensemble des configurations de N orbitales moléculaires. On note par ρΦ(x) = N X i=1 |φ(x)|2la densité électronique, τΦ(x, x′) = N X i=1 φi(x)φi(x′)

la matrice densit´e d’ordre 1 et V (x) =−

M

X

k=1

zk

|x −−→Rk|

, le potentiel créé par les noyaux et subis par les électrons du système. Le problème d’Hartree-Fock s’écrit sous la forme inf_{EHF(Φ), Φ_{∈ W}N}, avec EHF(Φ) = N X i=1 1 2 Z R3|∇φi| 2₊ Z R3 V ρΦ+ 1 2 Z R3 Z R3 ρΦ(x)ρΦ(x′) |x − x′_| dxdx′ −1₂ Z R3 Z R3 |τΦ(x, x′)|2 |x − x′_| dxdx′.

Le premier terme représente l’énergie cinétique de la fonction d’onde, le troi-sième terme correspond à la répulsion coulombienne, quant au dernier il résulte de l’antisymétrie de la fonction d’onde, et est appelé terme d’échange. Tout

(21)

minimum du problème de Hartree-Fock vérifie les équations d’Euler-Lagrange du problème suivant, à savoir

−1₂∆φi+ V φi+ ρΦ⋆ 1 |x| φi− Z R3 |τΦ(x, y)|2 |x − y| dxdy = ǫiφi, ∀1 ≤ i ≤ N, où ǫi est le multiplicateurs de Lagrange associé à la contrainteRR3φiφj = δi,j.

Ce modèle très non linéaire reste très complexe, et très coûteux en terme de calcul. L’existence d’un état fondamental est connue ( [26, 30–32]), en revanche l’unicité de celui-ci reste un problème ouvert. Par ailleurs, des résultats sur l’analyse numérique de ce modèle, en particulier sur les estimations a posteriori, ont été établis dans [37].

La seconde classe de modèle est celle issue de la Théorie de la Fonctionnelle de la densité. Celle-ci est très populaire en physique du solide et gagne en succès en chimie moléculaire. Elle consiste à utiliser la densité électronique comme variable principale pour caractériser le système. Ainsi, contrairement aux modèles de type Hartree-Fock, où la variable est une fonction d’onde multi-électronique, avec 3_{× N degrés de liberté, elle n’en a ici plus que trois. Pour} déterminer l’énergie et la densité électronique fondamentale, il suffit de résoudre directement un problème de minimisation de la forme

inf F (ρ) + Z R3 ρV, ρ∈ L1(R3), ρ≥ 0, Z R3 ρ = N ,

où F est une fonctionnelle universelle, c’est à dire qu’elle ne dépend pas du potentiel V créé par les noyaux. Avant même qu’une justification théorique soit apportée par Hohenberg et Kohn en 1964 [23], il existait déjà des modèles utilisant ce type de formalisme. Ce sont les modèles dit de Thomas- Fermi ( [14, 16,51]), qui sont apparus dans les années 30. La fonctionnelle F ne pouvant être exprimée explicitement, elle a été approchée à l’aide de modèles empiriques de la physique statistique des gaz homogènes d’électrons. Dans le premier modèle proposé, celui de Thomas-Fermi, la fonctionnelle F (ρ) est remplacée par :

FT F(ρ) = CTF Z R3 ρ5/3+1 2 Z R3 Z R3 ρΦ(x)ρΦ(y) |x − y| dxdy, avec CTF = 3 5/3_π4/3

10 . Le premier terme correspond à l’énergie cinétique d’un gaz

homogène d’électrons et peut être déterminé simplement. Le second terme, dit d’échange, décrit l’interaction coulombienne. Ce modèle a été perfectionné par von Weizsäcker en améliorant le terme d’énergie cinétique. La fonctionnelle F est alors approchée par

FT F W(ρ) = CW

Z

R3|∇

√_ρ

|2+_FT F(ρ),

avec CW = 0.093. Plus tard, le terme d’échange a été corrigé par Dirac pour

mieux décrire l’intéraction entre les électrons, c’est ainsi que le modèle Thomas-Fermi-Dirac-von Weizsäcker a été introduit :

FT F DW(ρ) =FT F W(ρ)− CD

Z

R3

(22)

13 avec CD = 3₄ 3 π 1/3 .

Dans le modèle de Kohn-Sham, la fonctionnelle F est décomposée en trois contributions F (ρ) = TKS(ρ) + J(ρ) + Exc(ρ), où TKS est l’énergie cinétique

d’un système non interagissant, J est l’énergie coulombienne et Excest l’énergie

dite d’´echange-correlation, avec TKS = inf ( 1 2 N X i=1 Z R3|∇φi| 2_{, Φ =}_{φ i} ∈ WN, ρΦ = ρ ) J(ρ) = 1 2 Z R3 Z R3 ρΦ(x)ρΦ(y) |x − y| dxdy Exc = F (ρ)− TKS − J(ρ).

La m´ethode de Kohn-Sham est formellement exacte mais la fonctionnelle Excest

inconnue. De ce fait, la validité de ce modèle dépend exclusivement de la qualité de la fonctionnelle d’échange-corrélation approchée. Dans le cas de Kohn-Sham, on ne cherche pas à approcher directement la fonctionnelle F , mais seulement une partie, ce qui donne de meilleurs résultats . En effet, bien qu’ils reproduisent correctement un certain nombres de phénomènes, les modèles de type Thomas-Fermi ne sont guère utilisés en chimie. Ils restent toutefois intéressants d’un point de vue mathémarique, car malgré leur simplicité par rapport aux modèles de type Hartree-Fock ou Kohn-Sham, les difficultés restent semblables (non linéarité des équations, présence de potentiels coulombiens et de fonctionnelles non locales). De nombreuses études ont été réalisés sur ces modèles, mais il existe peu de travaux sur leur analyse numérique [28,59,60]. La première partie de cette thèse est essentiellement consacrée à l’amélioration des estimations a priori déjà existantes pour le modèle de Thomas- Fermi.

Quelques r´

esultats d’estimations a priori dans le cas

de probl`

emes aux valeurs propres non lin´

eaires

Les probl`emes aux valeurs qui nous int´eressent sont de la forme suivante : Trouver u_{∈ X et λ ∈ R tels que}

− div(A · ∇u) + V u + G′(u2)u = λu sur Ω, (13) avec Ω dans Rd, d = 1, 2, 3. Lorsque les conditions aux bords sont p´eriodiques, le domaine Ω est le cube (0, 2π)d _{et X d´esignera l’espace H}1

#(Ω) d´efini par

H_#1(Ω) ={v ∈ H1(Ω), v est 2π-p´eriodique sur Ω}.

Dans le cas contraire, Ω sera simplement un domaine borné à frontière régu-lière, et X sera l’espace H1

0(Ω). En plus de ces conditions au bord, il est

(23)

kukL2_(Ω)= 1.

Ce probl`eme aux valeurs propres est issu du probl`eme de minimisation suivant : I = inf_{{E(w), w ∈ X, kwk}_L2_(Ω) = 1}, avec E(w) = 1 2 Z Ω (A_{∇w) · (∇w) +}1 2 Z Ω V w2+ Z Ω G(w2),

qui a exactement deux solutions u et _{−u. On notera u la solution positive.} Celle-ci v´erifie l’´equation de Euler-Lagrange suivante

∀v ∈ X, Z Ω (A_{∇u) · (∇v) +} Z Ω V uv + Z Ω G′(u2)uv_{− λ} Z Ω uv = 0, où λ∈ R est le multiplicateur de Lagrange associé à la contrainte kukL2_(Ω) = 1. Cette équation d’Euler-Lagrange, avec la contrainte de normalisation, prend la forme d’un problème aux valeurs propres non linéaire qui n’est autre que (13). Par ailleurs, λ, la plus petite valeur propre de (13), est simple, et u est la fonction propre associée à λ.

Soit Xδ une famille de sous espace de dimension finie de X telle que pour tout

v∈ X inf vδ∈Xδ {kv − vδkH 1_(Ω)} −→ δ→δ∞ 0. On d´efinit le probl`eme de minimisation discret suivant

Iδ= inf{E(wδ), wδ∈ Xδ,kwδkL2_(Ω)= 1}. (14) Celui-ci admet exactement deux minimiseurs uδet−uδqui v´erifient le probl`eme

aux valeurs propres ∀vδ ∈ Xδ, Z Ω (A_∇uδ)· (∇vδ) + Z Ω V uδvδ+ Z Ω G′(u2_δ)uδvδ− λδ Z Ω uδvδ = 0.

Lemme : (voir par exemple [59, 60])

Il existe un δ0 > 0 et C, γ, et M ∈ R+ tels que pour tout 0 < δ < δ0 on ait

ku − uδkH1_(Ω −→ δ→δ∞ 0 γ 2ku − uδk 2 H1_(Ω≤ E(uδ)− E(u) ≤ M 2 ku − uδk 2 H1_(Ω), |λδ− λ| ≤ C kuδ− uk2_H1_(Ω+ Z Ω (uδ− u)u2δ G′(u2_δ)_{− G}′(u2) uδ− u |λδ− λ| ≤ C(kuδ− uk2H1_(Ω+kuδ− ukL2_(Ω). (15) Cette estimation sur les valeurs propres est très décevante, en particulier lors-qu’on la compare à celle obtenue dans le cas linéaire. Pour améliorer celle-ci, il faudra traiter différemment l’intégrale

Z Ω (uδ− u)u2δ G′(u2_δ)− G′_(u2₎ uδ− u de fa¸con `a

(24)

15 faire ressortir une norme n´egative.

Deux types de discrétisations ont été analysées : une méthode spectrale (ondes planes) et la méthode des éléments finis.

Dans le cas d’un problème aux valeurs propres non linéaires, ayant des condi-tions aux limites périodiques, il est naturel d’utiliser une base d’ondes planes pour discrétiser l’espace X.

On note ek(x) =

eik.x

2πd/2, pour k ∈ Z

d_{, de fa¸con `}_{a ce que pour tout v} _{∈ L}2

#(Ω),

on ait v(x) = X

k∈Zd

b

vkek(x ), où bvk désigne le kème coefficient de Fourier de v.

On choisit ainsi Xδ = XN = Span{ek,|k|∞ ≤ N}, de sorte que, pour tout

v_{∈ H}_#s(Ω), sa meilleure approximation dans H_#r(Ω) pour tout r_{≤ s soit} ΠNv = X k∈Zd_,|k| ∞≤N b vkek, et ∀v ∈ H#s(Ω) k v − ΠNvkHr_(Ω)≤ 1 Ns−rkvkH#s(Ω).

Par ailleurs on notera uN la solution discr`ete uδet l’on supposera que V ∈ H#σ(Ω),

pour σ > d/2.

Th´eor`eme (Ondes Planes) :

Pour tout N ∈ N, on note uN le minimiseur de (14), tel que (u, uN)L2_(Ω) ≥ 0. Alors, pour N assez grand, uN est unique et v´erifie les estimations suivantes

ku − uNkHs_(Ω)≤ C

Nσ+2−skukHσ+2_(Ω) − σ ≤ s < σ + 2,

|λN − λ| ≤ C

C

N2(σ+1)kukHσ+2(Ω).

Par ailleurs, lorsque les conditions aux bord ne sont pas périodiques, on choi-sit X_hk, l’espace de type éléments finis, pour approcher X. De plus, on posera uh = uδ.

Théorème (Eléments Finis) :

Pour tout h, on note uh le minimiseur de (14), tel que (u, uh)L2_(Ω)≥ 0. Alors pour h assez petit, uh est unique et il v´erifie les estimations suivantes :

– Si V _{∈ L}2(Ω), et si Xh est un espace de type ´el´ements finis P1 on a

ku − uhkH1_(Ω) ≤ Chkuk_H2_(Ω) ku − uhkL2_(Ω) ≤ Ch2kuk_H2_(Ω)

(25)

– Si V ∈ H1_{(Ω), et que X}

h est un espace de type ´el´ements finis P2 on a

ku − uhkH1_(Ω) ≤ Ch2kuk_H3_(Ω) ku − uhkL2_(Ω) ≤ Ch3kuk_H3_(Ω) ku − uhkH−1_(Ω) ≤ Ch4kuk_H3_(Ω) |λh− λ| ≤ Ch4kukH3_(Ω).

Grâce aux estimations d’erreur obtenues en norme négative, on retrouve des ré-sultats du même ordre de convergence que ceux du cas linéaire. Toutefois, il faut tenir compte de l’effet de l’intégration numérique. En effet, le choix du nombre de points d’intégration Ngest primordial, car une sous-intégration pourrait

gra-vement détériorer ces estimations (en particulier pour les valeurs propres). La figure suivante 1 illustre ce phénomène lors de l’approximation par des ondes planes, pour différentes valeurs de N et de Ng, du problème aux valeurs propres

non lin´eaire de dimension 1 :

Trouver (u, λ)∈ X × R, tels que kukL2 = 1 et −∆u + V u + u3= λu, avec V (x) = sin(|x − π|/2), 4 ≤ N ≤ 30, Ng = 2p et 7≤ p ≤ 15. 10-5 10-4 10-3 10-2 13 20 30 40 50 60 | |u -u N Ng ||H 1 (Ech e lle l o g ) 2N+1 (Echelle log)

Error Curve of ||u -uNNg||H as function of 2N+1 in log scale

N N N N N N N N N 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 13 20 30 40 50 60 | |u -u N Ng ||L 2 (Ech e lle l o g ) 2N+1 (Echelle log)

Error Curve of ||u -uNNg||L as function of 2N+1 in log scale

N N N N N N 10(11 10(10 10(9 10(8 10(7 10(6 10(5 10(4 13 20 30 40 50 60 |⁄ ( ⁄N N g | (Ech e lle l o g ) 2N+1 (Echelle log)

Error Curves of |⁄ ( ⁄NNg| as function of 2N+1 in log scales

N N N N N N ( ( ( ( ( ( ( ( ⁄ ( ⁄ ⁄( ⁄ Ng = 128 Ng = 256 N_g = 512 N_g = 1024 ( ( ( ( ( ( ( ( ⁄ ( ⁄ ⁄( ⁄ Ng = 512 Ng = 1024 N_g = 2048 Ng = 4096 Ng = 8192 ( ( ( ( ( ( ( ( ⁄ ( ⁄ ⁄( ⁄ Ng = 4096 Ng = 8192 Ng = 16384 Ng = 32768

Fig. 1 – Effet de l’int´egration num´erique sur les taux de convergence

M´

ethodes de sous-grilles pour la r´

esolution de

pro-bl`

emes aux valeurs propre non lin´

eaires

Les estimations d’erreurs vues précédemment sont nécessaires à l’adaptation des schémas à deux grilles, pour la résolution de problèmes aux valeurs propres non linéaires. En effet, cette technique repose sur le fait que la contribution de uδ à l’erreur mesurée en norme L2(Ω) a un ordre plus élevé que si elle était

mesur´ee en norme H1_(Ω).

(26)

17 de problèmes aux valeurs propres, a été introduite par Xu et Zhou [57, 58] et plus particulièrement, pour les équations de Kohn-Sham. Celles-ci sont de la forme

[_{−∆ + V + V}s(ρ)]φi = ǫiφi.

La particularité de ce problème est que le terme Vs est non linéaire. Celui-ci

provient de la dérivation de l’énergie coulombienne et de celle de l’échange-correlation. En effet, ce potentiel Vs dépend de la densité électronique ρ (qui

n’est autre que la somme des_|φi|2). Ce type d’équation doit être résolue à l’aide

d’algorithmes it´eratifs dit self consistant (SCF) (cf. sch´ema ci-dessous).

[−∆ + V + V

s

(ρ

0

)] ˜

φ

1_i

= ˜

#

i

φ

˜

1_i

ρ

1

= ˜

ρ

1 !!

(*) [−∆ + V + V

s

(ρ

k−1

)] ˜

φ

ki

= ˜

#

i

φ

˜

ki θ=argmin α∈[0,1]{αE(˜ ρk−1)+(1−α)E(˜ρk)} !!

ρ

k

= θρ

k−1

+ (1 − θ)˜

ρ

k if _|E(ρk−1_{) − E(ρ}k₎ | ≥ tol ""

if

_|E(ρ

k−1

) − E(ρ

k

)

_{| < tol}

!!

ρ = ρ

k

Fig. 2 – Schéma de résolution d’un problème aux valeurs propres non linéaire `

a l’aide d’un algorithme de type SCF

Ainsi, à chaque étape (*), il faut résoudre un problème aux valeurs propres linéaire. Dans les schémas à deux grilles existant [12], cette étape est remplacée par la résolution d’un problème linéarisé avec un second membre. On a par exemple ces différentes étapes :

1. Résoudre le problème aux valeurs propres linéaires sur un espace de dis-crétisation grossier noté SH :

Trouver (uH, λH)∈ SH × R, tels que

kuHkL2_(Ω) = 1 et Z Ω∇uH∇v + Z Ω (V + Vs)uHv = λH Z Ω uhv ∀v ∈ SH.

2. Résoudre le problème linéaire avec second membre sur un espace de dis-crétisation fin Sh _:

(27)

Trouver uh ∈ Sh telle que Z Ω∇uh∇v + Z Ω (V + Vs)uhv = λH Z Ω uhv ∀v ∈ Sh. 3. Poser λh = Z Ω|∇uh| 2₊ Z Ω (V + Vs)u2h kuhk2L2_(Ω)

Bien que cette méthode donne de bon résultat (car la résolution d’un problème linéaire avec second membre est plus rapide et moins complexe que celle d’un problème aux valeurs propres linéaire), la partie itérative de cet algorithme reste néanmoins faite sur la grille la plus fine.

C’est pourquoi les schémas présentés ici sont tels que, dans l’espace de dis-crétisation fin, ne sont résolus que des problèmes linéaires. Pour cela, il faut préalablement calculer la solution du problème aux valeurs propres non linéaire sur un espace grossier. Cette solution sera ensuite utilisée pour résoudre un pro-blème aux valeurs propres linéarisé, ou même un propro-blème linéarisé avec second membre, de la fa¸con suivante :

1. Sur une grille grossi`ere

Résolution d’un problème aux valeurs propres non linéaire sur un espace grossier X_H1 alin(uH, v) + ! Ω G!_(u2 H)uHv = λH ! Ω uHv, ∀_{v ∈ X}_H1

2. Sur une grille fine

Problème 1 Résolution d’un problème aux valeurs propres linéarisé

sur un espace fin X1

h alin(uHh, v) + ! Ω G!_(u2 H)uHhv = λH h ! Ω uH hv ∀v ∈ Xh1 Problème 2 Résolution d’un problème linéarisé avec second membre

h alin(˜uHh, v) + ! Ω G!_(u2 H)˜uHhv = λH ! Ω uHv ∀v ∈ Xh1 Problème 3 Résolution d’un problème linéarisé avec second membre

h alin(uHh, v) = − ! Ω G!_(u2 H)uHv +λH ! Ω uHv ∀v ∈ Xh1.

Ainsi, si les espaces de discrétisation grossier et fin sont choisis de fa¸con adéquate, l’erreur commise par l’approximation, à l’aide de ces schémas, sera du même ordre que celle commise lors de la résolution directe du problème non linéaire sur la grille fine. En effet, si la forme bilinéaire a et la fonction G sont telles que les problèmes 2 et 3 soient bien posés, il existe alors une constante C positive et δ0 tels que, pour 0 < h < H ≤ δ0, on ait, pour chacun des problèmes

présentés plus haut, une estimation de la forme suivante ku − vHhkH1_(Ω) ≤ C[h + H2]kuk_H2_(Ω), où vH

h d´esigne la solution du probl`eme 1, 2 ou 3. Cette estimation est semblable

`

(28)

19 Remarque : Cette analyse n’a été faite que pour des grilles d’éléments finis P₁_{, mais il est raisonnable de penser que cette méthode peut facilement} s’adap-ter aux discrétisations de type spectrale, et plus particulièrement, à celle par les ondes planes. En effet, pour obtenir ces dernières estimations d’erreurs, il a fallu utiliser les résultats sur la convergence des approximations en norme L2, et en norme négative, obtenus un peu plus tôt.

Par ailleurs, ces schémas à deux grilles peuvent être également adaptés à la méthode de bases réduites.

Une m´

ethode de bases r´

eduites alternative

La méthode de bases réduites [34] est apparue dans les années 70, pour l’étude de problèmes de mécanique des solides non linéaires [40], et a été éten-due à un grand nombre d’équations aux dérivées partielles dépendant de para-mètres [36, 42]. Cette méthode repose sur le fait que l’ensemble des solutions u(µ), variant selon la valeur de µ, est de faible dimension. En effet, il existe un ensemble (de taille raisonnable) de paramètres µi, qui, si ils sont bien choisis,

permettent d’approcher n’importe quelle solution u(µ) à l’aide d’une combi-naison linéaire des solutions dépendant de ces µi, à un seuil de tolérance près.

Cette méthode d’approximation est une alternative aux méthodes usuelles, car le nombre de degrés de liberté nécessaire est moins grand. En fait plus qu’une alternative c’est un complément car les éléments de la bases sont calculés par la méthode méthode des éléments finis. Il existe deux manières pour déterminer ses solutions particulières u(µi) :

– les m´ethodes de d´ecomposition propre orthogonale (POD)

– les algorithmes gloutons, bien que moins coûteux, nécessitant la définition d’indicateurs d’erreur a posteriori [33, 46].

L’implémentation de la méthode de bases réduites, se découpe en deux étapes : – la première, dite « hors ligne », durant laquelle la base sera construite, et les matrices pourront être assemblées à l’aide de techniques de décompo-sition affine, ou d’interpolation sur « points magiques ». C’est la phase la plus coûteuse puisqu’on utilisera une méthode de discretisation habituelle (éléments finis, ou autres),

– la seconde ´etape, dite « en ligne », est plus rapide puisqu’elle ne fait inter-venir que la base r´eduite.

Pour assembler rapidement la matrice de rigidit´e, pour chaque nouvelle valeur de µ, il existe deux m´ethodes :

– la décomposition affine des paramètres, si a(u, v, µ) peut s’écrire sous la forme X

p

(29)

– l’interpolation sur des « points magiques »pour traiter les non lin´eari-t´es [18, 35].

Ainsi, il suffit de pré-calculer les parties indépendantes des paramètres durant l’étape « hors-ligne », pour gagner en temps de calcul. Pour mettre en oeuvre ces techniques, il faut avoir accès au code simulation. Comment faire alors, dans le cas industriel où les codes sont utilisés en boite noire ?

Il existe une alternative, exposée dans la partie 2, qui utilise des arguments de sous-grille d’éléments finis (inspiré de [20, 54]) et dont on peut accélérer la convergence grâce à des arguments de bases réduites et un post-traitement.

Plan de la th`

ese

Partie 1 :

Le but de cette première partie est de montrer que l’utilisation de schémas à deux grilles pour la résolution de problèmes aux valeurs propres non linéaires est possible. Pour cela, il faudra préalablement montrer que l’erreur mesurée en norme L2 a un ordre plus élevé que celle mesurée en norme H1. De nombreux travaux ont été effectués dans les cas de problèmes aux valeurs propres linéaires [2, 45, 50] mais il existe peu de résultats sur l’analyse numérique de problèmes aux valeurs propres non linéaires [28, 59, 60].

Dans le premier chapitre, des résultats de convergence seront établis pour le cas d’un problème simple. Une attention particulière sera portée aux normes négatives. En effet, l’utilisation de celles-ci permettra d’obtenir le même type d’estimation que dans le cas d’un problème aux valeurs propres linéaire. L’effet de l’intégration numérique devra également être pris en compte pour obtenir des taux de convergence optimaux. Cette étude sera faite sur deux types de discrétisations : spectrales (Fourier) et élements finis.

Le second chapitre est consacré à l’analyse numérique du modèle de Thomas-Fermi-Von-Weizacker.

Le dernier chapitre de cette partie sera dédié à l’analyse numérique de nouveaux schémas à deux grilles, pour la résolution de problèmes aux valeurs propres non linéaires.

Partie 2 :

La méthode des bases réduites permet la diminution du nombre de degrés de liberté dans l’approximation d’un système d’équations aux dérivées partielles dépendant d’un paramètre.

La procédure numérique de la méthode des bases réduites se déroule en deux étapes. Dans un premier temps, une étape de pré-calcul a lieu, dans laquelle

(30)

21 la base réduite et des fonctions associées sont calculées pour un ensemble de points prescrits dans l’espace des paramètres. Dans un deuxième temps, la solu-tion approchée du modèle en temps réel est calculée pour une valeur quelconque du paramètre.

La première étape de cette procédure, nécessite l’accès au code de simulation, ce qui peut poser problème dans le cas de codes industriels. Ces derniers sont souvent utilisés en boite noire.

Le but de cette seconde partie est d’adapter les schémas à deux grilles aux méthodes de bases réduites. Ainsi, il sera possible d’obtenir des taux de conver-gence optimaux, tout en diminuant le nombre de degrés de liberté, et ce, même dans le cas d’un code utilisable uniquement en boite noire.

En effet, en combinant les propriétés de convergence des normes négatives et celles des bases réduites, ceci est possible. Le premier chapitre sera essentielle-ment consacré à l’introduction au méthodes de bases réduites, le second sera dédié à l’étude de cette nouvelle méthode.

(31)

(32)

Premi`

ere partie

Sch´

ema `

a deux grilles pour la

r´

esolution de probl`

emes aux

valeurs propres non lin´

eaires

(33)

(34)

Chapitre 1

Analyse num´

erique de

probl`

emes aux valeurs propres

non lin´

eaires : un premier

mod`

ele

(35)

(36)

1. Introduction 27

Numerical analysis of nonlinear eigenvalue problems

Eric Canc`es1, Rachida Chakir2 and Yvon Maday3

1_{Universit´e Paris-Est, CERMICS, Project-team Micmac, INRIA-Ecole des}

Ponts, 6&8 avenue Blaise Pascal, 77455 Marne-la-Vall´ee Cedex 2, France.

2,3_{UPMC Univ Paris 06, UMR 7598 LJLL, Paris, F-75005 France ; CNRS,}

UMR 7598 LJLL, Paris, F-75005 France.

3_{Division of Applied Mathematics, Brown University, Providence, RI, USA.}

Abstract

We provide a priori error estimates for variational approximations of the ground state energy, eigenvalue and eigenvector of nonlinear ellip-tic eigenvalue problems of the form _{−div(A∇u) + V u + f(u}2_{)u = λu,} kukL2 = 1. We focus in particular on the Fourier spectral approximation

(for periodic problems) and on the P1 and P2 ﬁnite-element discretiza-tions. Denoting by (uδ, λδ) a variational approximation of the ground state eigenpair (u, λ), we are interested in the convergence rates ofkuδ− ukH1,

kuδ− ukL2,|λδ− λ|, and the ground state energy, when the discretization parameter δ goes to zero. We prove in particular that if A, V and f satisfy certain conditions,_|λδ− λ| goes to zero as kuδ− uk2_H1+kuδ− ukL2. We

also show that under more restrictive assumptions on A, V and f ,_|λδ− λ| converges to zero as_kuδ− uk2_H1, thus recovering a standard result for

lin-ear elliptic eigenvalue problems. For the latter analysis, we make use of estimates of the error uδ_{− u in negative Sobolev norms.}

Keywords: nonlinear eigenvalue problem, convergence analysis, super-convergence, Fourier spectral approximation, ﬁnite element approxima-tion.

1 Introduction

Many mathematical models in science and engineering give rise to nonlinear eigenvalue problems. Let us mention for instance the calculation of the vibra-tion modes of a mechanical structure in the framework of nonlinear elasticity, the Gross-Pitaevskii equation describing the steady states of Bose-Einstein con-densates [38], or the Hartree-Fock and Kohn-Sham equations used to calculate ground state electronic structures of molecular systems in quantum chemistry and materials science (see [9] for a mathematical introduction).

The numerical analysis of linear eigenvalue problems has been thoroughly studied in the past decades (see e.g. [2]). On the other hand, only a few results on nonlinear eigenvalue problems have been published so far [59, 60].

(37)

In this article, we focus on a particular class of nonlinear eigenvalue problems arising in the study of variational models of the form

I = inf E(v), v_{∈ X,} Z Ω v2 = 1 (1) where

Ω is a regular bounded domain or a rectangular brick of Rd _{and X = H}1

0(Ω)

or

Ω is the unit cell of a periodic latticeR of Rd _{and X = H}1

#(Ω)

with d = 1, 2 or 3, and where the energy functional E is of the form E(v) = 1 2a(v, v) + 1 2 Z Ω F (v2(x)) dx with a(u, v) = Z Ω (A_{∇u) · ∇v +} Z Ω V uv.

Recall that if Ω is the unit cell of a periodic latticeR of Rd_{, then for all s}_{∈ R}

and k _{∈ N,} H_#s(Ω) = nv|Ω, v∈ Hlocs (Rd)| v R-periodic o , C_#k(Ω) = nv_|Ω, v∈ Ck(Rd)| v R-periodic o . We assume in addition that

• A ∈ (L∞(Ω))d×d and A(x) is symmetric for almost all x_{∈ Ω} (2) ∃α > 0 s.t. ξTA(x)ξ_{≥ α|ξ|}2 for all ξ_{∈ R}d and almost all x_{∈ Ω} (3)

• V ∈ Lp(Ω) for some p > max(1, d/2) (4)

• F ∈ C1([0, +∞), R) ∩ C2((0,∞), R) and F′′> 0 on (0, +∞) (5) ∃0 ≤ q < 2, ∃C ∈ R+ s.t. ∀t ≥ 0, |F′(t)| ≤ C(1 + tq) (6)

F′′(t)t remains bounded in the vicinity of 0. (7) To establish some of our results, we will also need to make the additional as-sumption that there exists 1 < r≤ 2 and 0 ≤ s ≤ 5 − r such that

∀R > 0, ∃CR∈ R+ s.t. ∀0 < t1 ≤ R, ∀t2∈ R, F′_(t2 2)t2− F′(t21)t2− 2F′′(t21)t21(t2− t1) ≤ CR(1 +|t2|s)|t2− t1|r. (8)

Note that for all 1 < m < 3 and all c > 0, the function F (t) = ctm satisﬁes (5)-(7) and (8), for some 1 < r _{≤ 2. It satisﬁes (8) with r = 2 if 3/2 ≤ m < 3.} This allows us to handle the Thomas-Fermi kinetic energy functional (m = 5₃) as well as the repulsive interaction in Bose-Einstein condensates (m = 2).

(38)

1. Introduction 29 Remark 1.1 Assumption (6) is sharp for d = 3, but is useless for d = 1 and can be replaced with the weaker assumption that there exist q <_{∞ and C ∈ R}+

such that_|F′(t)_{| ≤ C(1 + t}q_{) for all t}_{∈ R}

+, for d = 2. Likewise, the condition

0 ≤ s ≤ 5 − r in assumption (8) is sharp for d = 3 but can be replaced with 0_{≤ s < ∞ if d = 1 or d = 2.}

In order to simplify the notation, we denote by f (t) = F′(t).

Making the change of variable ρ = v2 and noticing that a(|v|, |v|) = a(v, v) for all v_{∈ X, it is easy to check that}

I = inf E(ρ), ρ ≥ 0, √ρ_{∈ X,} Z Ω ρ = 1 , (9) where E(ρ) = 1 2a( √ ρ,√ρ) + 1 2 Z Ω F (ρ).

We will see that under assumptions (2)-(6), (9) has a unique solution ρ0 and

(1) has exactly two solutions: u = √ρ0 and −u. Moreover, E is C1 on X and

for all v_{∈ X, E}′(v) = Avv where

Av =−div(A∇·) + V + f(v2).

Note that Av deﬁnes a self-adjoint operator on L2(Ω), with form domain X.

The function u therefore is solution to the Euler equation

∀v ∈ X, hAuu− λu, viX′_,X = 0 (10) for some λ _{∈ R (the Lagrange multiplier of the constraint kuk}2_L2 = 1) and equation (10), complemented with the constraint _kuk_L2 = 1, takes the form of the nonlinear eigenvalue problem

Auu = λu

kukL2 = 1. (11)

In addition, u _{∈ C}0(Ω), u > 0 in Ω and λ is the ground state eigenvalue of the linear operator Au. An important result is that λ is a simple eigenvalue of

Au. It is interesting to note that λ is also the ground state eigenvalue of the

nonlinear eigenvalue problem   

search (µ, v)_{∈ R × X such that} Avv = µv

kvkL2 = 1,

(12)

in the following sense: if (µ, v) is solution to (12) then either µ > λ or µ = λ and v =±u. All these properties, except maybe the last one, are classical. For the sake of completeness, their proofs are however given in the Appendix.

Let us now turn to the main topic of this article, namely the derivation of a priori error estimates for variational approximations of the ground state

(39)

eigenpair (λ, u). We denote by (Xδ)δ>0 a family of ﬁnite-dimensional subspaces

of X such that

min_{{ku − v}δkH1, v_δ∈ X_δ} −→

δ→0+ 0 (13)

and consider the variational approximation of (1) consisting in solving Iδ= inf E(vδ), vδ∈ Xδ, Z Ω v_δ2= 1 . (14)

Problem (14) has at least one minimizer uδ, which satisﬁes

∀vδ∈ Xδ, hAuδuδ− λδuδ, vδiX′,X = 0 (15) for some λδ ∈ R. Obviously, −uδ also is a minimizer associated with the same

eigenvalue λδ. On the other hand, it is not known whether uδ and −uδ are

the only minimizers of (14). One of the reasons why the argument used in the inﬁnite-dimensional setting cannot be transposed to the discrete case is that the set

ρ| ∃uδ∈ Xδ s.t. kuδkL2 = 1, ρ = u2_δ

is not convex in general. We will see however (cf. Theorem 1) that for any family (uδ)δ>0 of global minimizers of (14) such that (u, uδ)≥ 0 for all δ > 0,

the following holds true

kuδ− ukH1 −→

δ→0+ 0.

In addition, a simple calculation leads to

λδ− λ = h(Au− λ)(uδ− u), (uδ− u)iX′_,X+ Z Ω wu,uδ(uδ− u) (16) where wu,uδ = u 2 δ f (u2_δ)− f(u2₎ uδ− u .

The ﬁrst term of the right-hand side of (16) is nonnegative and goes to zero as kuδ− uk2_H1. We will prove in Theorem 1 that the second term goes to zero at least as _kuδ− ukL6/(5−2q). Therefore, |λδ− λ| converges to zero with δ at least

as_kuδ− uk2_H1+kuδ− ukL6/(5−2q).

The purpose of this article is to provide more precise a priori error bounds on |λδ−λ|, as well as on kuδ−ukH1,ku_δ−uk_L2 and E(u_δ)−E(u). In Section 2, we prove a series of estimates valid in the general framework described above. We then turn to more speciﬁc examples, where the analysis can be pushed further. In Section 2, we concentrate on the discretization of problem (1) with

Ω = (0, 2π)d, X = H_#1(0, 2π)d, E(v) = 1 2 Z Ω|∇v| 2₊ 1 2 Z Ω V v2+ 1 2 Z Ω F (v2),

(40)

2. Basic error analysis 31 in Fourier modes. In Section 4, we deal with the P1 and P2 ﬁnite element

discretizations of problem (1) with

Ω rectangular brick of Rd_, X = H₀1(Ω), E(v) =1 2 Z Ω|∇v| 2₊1 2 Z Ω V v2+1 2 Z Ω F (v2).

Lastly, we discuss the issue of numerical integration in Section 5.

2 Basic error analysis

The aim of this section is to establish error bounds on_kuδ− ukH1,ku_δ− uk_L2, |λδ− λ| and E(uδ)− E(u), in a general framework. In the whole section, we

make the assumptions (2)-(7) and (13), and we denote by u the unique positive solution of (1) and by uδ a minimizer of the discretized problem (14) such that

(uδ, u)L2 ≥ 0. We also introduce the bilinear form E′′(u) deﬁned on X× X by hE′′(u)v, w_iX′_,X =hA_uv, wi_X′_,X+ 2

Z

Ω

f′(u2)u2vw.

When F ∈ C2_{([0, +}_{∞), R), then E is twice diﬀerentiable on X and E}′′_{(u) is}

the second derivative of E at u.

Lemma 1 There exists β > 0 and M∈ R+ such that for all v∈ X,

0 ≤ h(Au− λ)v, viX′_,X ≤ Mkvk2

H1 (17)

βkvk2H1 ≤ h(E′′(u)− λ)v, viX′_,X ≤ Mkvk2

H1. (18)

There exists γ > 0 such that for all δ > 0,

γkuδ− uk2H1 ≤ h(Au− λ)(uδ− u), (uδ− u)iX′_,X. (19) Proof We have for all v_{∈ X,}

h(Au− λ)v, viX′_,X ≤ kAk_L∞k∇vk2

L2 +kV kLpkvk2

L2p′ +kf(u2)kL∞kvk2_L2

where p′ = (1_{− p}−1)−1 and

h(E′′(u)_{− λ)v, vi}X′_,X ≤ h(A_u− λ)v, vi_X′_,X + 2kf′(u2)u2k_L∞kvk2

L2.

Hence the upper bounds in (17) and (18). We now use the fact that λ, the lowest eigenvalue of Au, is simple (see Lemma 2 in the Appendix). This implies

that there exists η > 0 such that

∀v ∈ X, h(Au− λ)v, viX′_,X ≥ η(kvk2

(41)

This provides on the one hand the lower bound (17), and leads on the other hand to the inequality

∀v ∈ X, h(E′′(u)− λ)v, viX′_,X ≥ 2 Z

Ω

f′(u2)u2v2. As f′ = F′′> 0 in (0, +_{∞) and u > 0 in Ω, we therefore have}

∀v ∈ X \ {0} , h(E′′(u)_{− λ)v, vi}X′_,X > 0.

Reasoning by contradiction, we deduce from the above inequality and the ﬁrst inequality in (20) that there exists eη > 0 such that

∀v ∈ X, h(E′′(u)_{− λ)v, vi}X′_,X ≥ eηkvk2

L2. (21)

Besides, there exists a constant C _{∈ R}+ such that

∀v ∈ X, h(Au− λ)v, viX′_,X ≥ α 2k∇vk

2

L2 − Ckvk2_L2. (22) Let us establish this inequality for d = 3 (the case when d = 1 is straightforward and the case when d = 2 can be dealt with in the same way). For all x_{∈ X,} h(Au− λ)v, viX′_,X = Z Ω (A∇v) · ∇v + Z Ω (V + f (v2)− λ)v2 ≥ αk∇vk2L2 − kV kLpkvk2 L2p′ + (f (0)− λ)kvk 2 L2 ≥ αk∇vk2L2 − kV kLpkvk2−3/p L2 kvk 3/p L6 + (f (0)− λ)kvk2_L2 ≥ αk∇vk2L2 − C₆3/pkV kLpkvk2−3/p L2 kvk 3/p H1 + (f (0)− λ)kvk2_L2 ≥ α₂k∇vk2L2 +  f(0) − λ −3− 2p_2p 3C62kV k 2p/3 Lp pα !3/(2p−3) −α₂   kvk2 L2,

where C6 is the Sobolev constant such that ∀v ∈ X, kvkL6 ≤ C₆kvk_H1. The coercivity of E′′(u)_{− λ (i.e. the lower bound in (18)) is a straightforward} consequence of (21) and (22).

To prove (19), we notice that

kuδk2_L2 − |(u, uδ)L2|2 ≥ 1 − (u, u_δ)_L2 = 1

2kuδ− uk

2

L2.

It therefore readily follows from (20) that

h(Au− λ)(uδ− u), (uδ− u)iX′_,X ≥ η

2kuδ− uk

2

L2.

(42)

2. Basic error analysis 33 For w∈ X′_{, we denote by ψ}

w the unique solution to the adjoint problem

ﬁnd ψw ∈ u⊥ such that ∀v ∈ u⊥, _h(E′′(u)_{− λ)ψ}w, viX′_,X =hw, vi_X′_,X, (23) where u⊥= v_{∈ X |} Z Ω uv = 0 .

The existence and uniqueness of the solution to (64) is a straightforward con-sequence of (18) and the Lax-Milgram lemma. Besides,

∀w ∈ L2(Ω), _kψwkH1 ≤ β−1Mkwk_X′ ≤ β−1Mkwk_L2. (24) We can now state the main result of this section.

Theorem 1 Under assumptions (2)-(6) and (13), it holds kuδ− ukH1 −→

δ→0+ 0.

If in addition, (7) is satisfied, then there exists C_{∈ R}+ such that for all δ > 0,

γ 2kuδ− uk 2 H1 ≤ E(uδ)− E(u) ≤ M 2 kuδ− uk 2 H1 + Ckuδ− ukL6/(5−2q), (25) and |λδ− λ| ≤ C kuδ− uk2H1+kuδ− ukL6/(5−2q) . (26)

Besides, if assumption (8) is satisfied for some 1 < r _{≤ 2 and 0 ≤ s ≤ 5 − r,} then there exists δ0> 0 and C ∈ R+ such that for all 0 < δ < δ0,

kuδ− ukH1 ≤ C min vδ∈Xδkvδ− ukH 1 (27) kuδ− uk2L2 ≤ C kuδ− ukL2ku_δ− ukr_L6r/(5−s) +_kuδ− ukH1 min ψδ∈Xδkψ uδ−u− ψδkH1 . (28) Lastly, if F′′ is bounded in the vicinity of 0, there exists C ∈ R+ such that for

all δ > 0,

γ

2kuδ− uk

2

H1 ≤ E(uδ)− E(u) ≤ Ckuδ− uk2H1. (29)

Remark 2.1 If 0_{≤ r + s ≤ 3, then}

kuδ−ukr_L6r/(5−s) ≤ kuδ−uk(5−r−s)/2_L2 kuδ−uk(3r−5+s)/2_L6 ≤ kuδ−ukL2ku_δ−ukr−1

H1 ,

so that (70) implies the simpler inequality kuδ− uk2L2 ≤ Ckuδ− ukH1 min

ψδ∈Xδkψ

(43)

Proof of Theorem 1 We have E(uδ)− E(u) = 1 2hAuuδ, uδiX′,X− 1 2hAuu, uiX′,X +1 2 Z Ω F u2_δ_{− F u}2_{− f u}2(u2_δ_{− u}2) = 1

2h(Au− λ)(uδ− u), (uδ− u)iX′,X +1 2 Z Ω F (uδ)− F u2 − f u2(u2_δ− u2). (31) Using (19) and the convexity of F , we get

E(uδ)− E(u) ≥

γ

2kuδ− uk

2

H1.

Let Πδu∈ Xδ be such that

ku − ΠδukH1 = min{ku − v_δk_H1, v_δ∈ X_δ} .

We deduce from (13) that (Πδu)δ>0 converges to u in X when δ goes to zero.

Denoting by euδ = kΠδuk−1_L2Πδu (which is well deﬁned, at least for δ small

enough), we also have

lim

δ→0+keuδ− ukH1 = 0.

The functional E being strongly continuous on X, we obtain kuδ− uk2H1 ≤

2

γ (E(uδ)− E(u)) ≤ 2

γ(E(ueδ)− E(u)) −→δ→0+0. It follows that there exists δ1 > 0 such that

∀0 < δ ≤ δ1, kuδkH1 ≤ 2kuk_H1, ku_δ− uk_H1 ≤ 1 2. We then easily deduce from (31) the upper bounds in (67) and (29).

Next, we remark that

λδ− λ = hE′(uδ), uδiX′_,X− hE′(u), ui_X′_,X = a(uδ, uδ)− a(u, u) + Z Ω f (u2_δ)u2_δ− Z Ω f (u2)u2 = a(uδ− u, uδ− u) + 2a(u, uδ− u) + Z Ω f (u2_δ)u2_δ− Z Ω f (u2)u2 = a(uδ− u, uδ− u) + 2λ Z Ω u(uδ− u) − 2 Z Ω f (u2)u(uδ− u) + Z Ω f (u2_δ)u2_δ− Z Ω f (u2)u2 = a(uδ− u, uδ− u) − λkuδ− uk2L2 − 2 Z Ω f (u2)u(uδ− u) + Z Ω f (u2_δ)u2_δ₋ Z Ω f (u2)u2 = _h(Au− λ)(uδ− u), (uδ− u)iX′_,X+

Z

Ω

(44)

2. Basic error analysis 35 where wu,uδ = u 2 δ f (u2_δ)_{− f(u}2) uδ− u . As u_{∈ L}∞(Ω), we have |wu,uδ| ≤ 12u sup t∈(0,4kuk2 L∞] F′′(t)t if|uδ| < 2u 2 _|f(u2_δ)_{| +} max t∈[0,kuk2 L∞] |f(t)| ! |uδ| if|uδ| ≥ 2u,

and we deduce from assumptions (6)-(7) that |wu,uδ| ≤ C(1 + |uδ|

2q+1_),

for some constant C independent of δ. Using (17), we therefore obtain that for all 0 < δ_{≤ δ}1, |λδ− λ| ≤ Mkuδ− uk2_H1+kwu,uδkL6/(2q+1)kuδ− ukL6/(5−2q) ≤ Mkuδ− uk2H1+ C(1 +kuδk2q+1_H1 )kuδ− ukL6/(5−2q) ≤ C kuδ− uk2_H1 +kuδ− ukL6/(5−2q) , (33)

where C denotes constants independent of δ.

In order to evaluate the H1-norm of the error uδ− u, we ﬁrst notice that

∀vδ∈ Xδ, kuδ− ukH1 ≤ ku_δ− v_δk_H1+kv_δ− uk_H1, (34) and that

kuδ− vδk2H1 ≤ β−1h(E′′(u)− λ)(uδ− vδ), (uδ− vδ)iX′_,X = β−1

h(E′′(u)_{− λ)(u}δ− u), (uδ− vδ)iX′_,X +h(E′′(u)− λ)(u − vδ), (uδ− vδ)iX′_,X

. (35) For all wδ ∈ Xδ

h(E′′(u)− λ)(uδ− u), wδiX′_,X =₋ Z Ω f (u2_δ)uδ− f(u2)uδ− 2f′(u2)u2(uδ− u) wδ+ (λδ− λ) Z Ω uδwδ. (36)

On the other hand, we have for all vδ∈ Xδ such that kvδkL2 = 1, Z Ω uδ(uδ− vδ) = 1− Z Ω uδvδ = 1 2kuδ− vδk 2 L2.

Using (8) and (33), we therefore obtain that for all 0 < δ≤ δ1 and all vδ∈ Xδ

such that_kvδkL2 = 1,

h(E′′_(u)_{− λ)(u}

δ− u), (uδ− vδ)iX′_,X ≤ C kuδ− ukr_L6r/(5−s)kuδ− vδkH1 + _kuδ− uk2_H1 +kuδ− ukL6/(5−2q) kuδ− vδk2_L2 . (37)

(45)

It then follows from (18), (35) and (78) that for all 0 < δ≤ δ1 and all vδ ∈ Xδ

such that_kvδkL2 = 1,

kuδ− vδkH1 ≤ C ku_δ− ukr_H1 +kuδ− ukH1ku_δ− v_δk_H1 +kv_δ− uk_H1. Combining with (73) we obtain that there exists 0 < δ2 ≤ δ1 and C ∈ R+ such

that for all 0 < δ ≤ δ2 and all vδ ∈ Xδ such thatkvδkL2 = 1,

kuδ− ukH1 ≤ Ckv_δ− uk_H1. Hence, for all 0 < δ≤ δ2

kuδ− ukH1 ≤ CJ_δ where J_δ= min vδ∈Xδ| kvδkL2=1 kvδ− ukH1. We now denote by e Jδ = min vδ∈Xδkvδ− ukH 1,

and by u0_δ a minimizer of the above minimization problem. We know from (13) that u0

δ converges to u in H1 when δ goes to zero. Besides,

Jδ ≤ ku0δ/ku0δkL2 − uk_H1 ≤ ku0δ− ukH1+ku 0 δkH1 ku0 δkL2 1 − ku0 δkL2 ≤ ku0δ− ukH1+ku 0 δkH1 ku0 δkL2ku − u 0 δkL2 ≤ 1 +ku 0 δkH1 ku0 δkL2 e Jδ.

For 0 < δ ≤ δ2 ≤ δ1, we have ku0_δ− ukH1 ≤ ku_δ− uk_H1 ≤ 1/2, and therefore ku0

δkH1 ≤ kuk_H1+ 1/2 and ku0_δk_L2 ≥ 1/2, yielding J_δ≤ 2(kuk_H1 + 1) eJ_δ. Thus (69) is proved.

Let u∗_δ be the orthogonal projection, for the L2 inner product, of uδ on the

aﬃne spacev_{∈ L}2(Ω)_|R_Ωuv = 1 . One has

u∗_δ ∈ X, u∗_δ− u ∈ u⊥, u∗_δ− uδ=

1

2kuδ− uk

2