L28 [V2-VàC] – Droites et plans de l’espace

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9

Droites et plans de l’espace

28

Leçon

n°

Niveau Terminale S

Prérequis résolution de systèmes linéaires, vecteurs, Thalès dans le plan et position relatives

de deux droites dans le plan

Références [91], [92], [93]

Pour travailler dans l’espace (ou la troisième dimension), il est nécessaire de se fixer quelques axiomes.

Axiome 28.1 Par deux points distincts passe une seule droite. Deux points distincts déterminent une droite.

Définition 28.2 — Points alignés. On dit que des points sont alignés s’ils appartiennent à la même droite.

Axiome 28.3 Par trois points non alignés passe un seul plan.

Définition 28.4 — Points coplanaires. Si plusieurs points de l’espace appartiennent à un même plan, on dit qu’ils sont coplanaires.

Axiome 28.5 _{Si A et B sont deux points du plan P alors tous les points de la droite (AB)} appar-tiennent au plan P.

Axiome 28.6 Si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite. Définition 28.7 — Intersection de deux plans. Si deux plans distincts ont un point commun, alors leur intersection est une droite.

Axiome 28.8 Tous les résultats de la géométrie plane s’appliquent dans chaque plan de l’espace.

R 28.9 Un plan peut être défini par :

— un point et une droite ne passant par ce point, — deux droites sécantes,

28.1 Droites et plans

28.1.1 Définitions

Définition 28.10 — Droite. _{On appelle D, une droite, toute partie de R}3 telle qu’il existe un point A et #»u 6= #»0 vérifiant :

D =nM _{∈ R}3, _{∃k ∈ R,} AM# »= k #»uo.

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Définition 28.11 — Plan. _{On appelle P, un plan, toute partie de R}3 telle qu’il existe un point A et deux vecteurs non nuls linéairement indépendants #»u et #»v vérifiant :

P =nM _{∈ R}3, _{∃(λ, µ) ∈ R}2, AM# »= λ#»u + µ#»vo.

On note alors P = P(A, #»u ,#»v) où #»u et #»v sont appelés vecteurs directeurs de P.

R 28.12

1. Une droite est parfaitement définie par la donnée de deux points non alignés. Il s’agit de l’ensemble des barycentres possibles de ces points.

2. Un plan est parfaitement définie par la donnée de trois points non alignés. Il s’agit de l’ensemble des barycentres possibles de ces points.

Proposition 28.13 _{Soit P un plan. Il existe un point A et un vecteur #»}n ₆₌ #»0 vérifiant :

P =nM _{∈ R}3, AM# »_·#»

n = 0o.

On dit alors que #»n est un vecteur normal au plan P. Dv

•Démonstration —Considérons P(A, #»u ,#»v) avec #»u(α, β, γ) et #»v(α0_{, β}0_{, γ}0). Prenons #»_n =

#»

u∧#»

v. Procédons par double inclusion :

— Si M ∈ P alorsAM# »·#»

n= 0 car #»u·#»

n = 0 et #»v ·#»

n = 0.

— D’autre part(#»n ,#»u ,#»v) est une base de R3. Donc siAM# »·#»

n = 0 alorsAM# »est engendré

par #»uet #»v et donc M ∈ P.

•

28.1.2 Représentation paramétrique d’une droite

Soit D(A, #»u) une droite et P(A, #»u, #»v) avec A(a, b, c), #»u(α, β, γ) et #»v(α0, β0, γ0). Alors : M(x, y, z) ∈ D(A, #»u) ⇔ ∃k ∈ R,        x= a + kα y= b + kβ z= c + kγ M(x, y, z) ∈ P(A, #»u, #»v) ⇔ ∃λ, µ ∈ R,        x= a + λα + µα0 y= b + λβ + µβ0 z= c + λγ + µγ0

Ces systèmes sont appelés représentation paramétrique de D (resp. P).

28.1.3 Équation cartésienne d’un plan

Théorème 28.14 _{Soit P(A, #»}u ,#»

v) un plan avec #»u(α, β, γ) et #»v(α0, β0, γ0). Il existe (p, q, r, s) ∈ R4

avec(p, q, r) 6= (0, 0, 0) tel que :

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28.2 Positions relatives 11

Réciproquement, si(p, q, r, s) ∈ R4_avec_{(p, q, r) 6= (0, 0, 0), alors l’ensemble} n

M(x, y, z) ∈ R3, px+ qy + rz + s = 0o

est un plan de vecteur normal #»n(p, q, r). Dv

•Démonstration —_{Soit P(A, #»}n) un plan avec #»n(p, q, r) et A(a, b, c). M(x, y, z) ∈ P ⇔AM# »_·#»

n = 0

⇔ (x − a)p + (y − b)q + (z − c)r = 0 En posant s= −pa − qb − rc, nous avons donc l’implication.

Réciproquement, on montre facilement que l’ensemble

E =M(x, y, z) ∈ R3, px+ qy + rz + s = 0

est non vide (si r 6= 0, il contient (0, 0,s r)).

Soit A(a, b, c) ∈ E, alors s = −ap − bq − cr.

M(x, y, z) ∈ E ⇔ px + qy + rz + s = 0 ⇔ px + qy + rz + (−ap − bq − cr) = 0 ⇔ (x − a)p + (y − b)q + (z − c)r = 0 ⇔AM# »_· #» n= 0 ⇔ M ∈ P(A,#» n)

où #»n(p, q, r) est un vecteur normal au plan. Donc E définit bien un plan. •

Définition 28.15 L’équation px+ qy + rz + s = 0 est appelée équation cartésienne de P.

28.2 Positions relatives

28.2.1 De deux plans

Théorème 28.16 _{Soit P et P}0 _{deux plans, de vecteur normal respectif #»}_n _{et #»}_n0_.

1. Si #»n et #»n0sont colinéaires, P et P0 sont soit strictement parallèles, c’est-à-dire qu’ils n’ont

aucun point en commun, soit confondus.

2. Si #»net #»n0ne sont pas colinéaires, les deux plans sont sécants et l’intersection est une droite de vecteur directeur un vecteur normal #»net #»n0.

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•Démonstration —Posons #»n(a, b, c) et #»n0_{(a, b, c). Supposons #»}_n0_{= k #»}_n_. M(x, y, z) ∈ P0_{⇔ a}0x+ b0y+ c0z= d0= 0

⇔ kax + kby + kcz + d0= 0

kd+ d0 = 0

Ainsi, si d0_{= kd, on a bien P = P}0_{. Sinon P ∩ P}0 _{= ∅.}

Supposons #»n0et #»nsont colinéaires. On peut aussi supposer sans perte de généralités, a 6= 0. M(x, y, z) ∈ P0 _⇔ ( ax+ by + cz + d = 0 (1) a0x+ b0y+ c0z+ d0= 0 (2) ⇔      ax+ by + cz + d = 0 (1) (a0_b_{− ab}0₎ | {z } α y+ (a0c− ac0) | {z } β z+ (ad − ad0) | {z } γ = 0 (3) ← a0_{(1) − a(2)}

Puisque #»n0 et #»nsont non colinéaires, on peut supposer sans perte de généralités, α 6= 0, on

obtient alors : _                   x= bβ− cα aα z+ bγ− dα aα y= −β αz− γ α z= z

Ce qui bien l’équation d’une droite. •

Toute droite peut donc être vue comme l’intersection de deux plans, c’est-à-dire comme l’en-semble des points M(x, y, z) vérifiant :

(

px+ qy + rz + s = 0 p0x+ q0y+ r0z+ s0 = 0

où(p, q, r) et (p0_{, r}0_{, q}0_{) ne sont pas proportionnels. On appelle ce système équation cartésienne de la}

droite.

28.2.2 D’une droite et d’un plan

Définition 28.17 _{D est parallèle à P si tout vecteur directeur de D est dans la direction de P (il peut} être engendré par les vecteurs directeurs de P).

Proposition 28.18 _{Si D est parallèle à P alors soit D ⊂ P soit D ∩ P = ∅. Sinon, l’intersection de D} et de P est un point.

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28.2 Positions relatives 13

Dv

•Démonstration —_{Soit P(A, #»}u)∩D(B, #»n) = ∅, soit il existe au moins un point en commun

disons I. Puisque le vecteur directeur #»u de D est dans la direction de P alors : M(x, y, z) ∈ D ⇔IM# »= λ#»u _{⇒ M(x, y, z) ∈ P.}

Ce qui montre le premier point.

Si la droite et le plan ne sont pas parallèles, alors prenons M un point D tel queAM# »= λ#»u. M(x, y, z) ∈ P ⇔BM# »·#» n = 0 ⇔ (BA# »+AM# ») · #»n = 0 ⇔BA# »·#» n = λ#»u·#» n . Puisque #»u·#» n 6= 0, on a : λ= # » BA_·#» n #» u·#» n ,

ce qui définit bien un unique point M. •

28.2.3 De deux droites

Définition 28.19 _{Deux droites sont dites coplanaires s’il existe un plan P les contenant toutes les} deux.

Définition 28.20 Deux droites sont dites parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Proposition 28.21 Deux droites parallèles ou sécantes sont toujours coplanaires.

Dv

•Démonstration —_{Soit D(A, #»}u) et D0(A0,#»u0).

— Si les droites sont parallèles, il suffit de prendre le plan P(A, #»u ,AA# »0_).

— Si les droites sont sécantes, en notant I le point d’intersection, il suffit de prendre P(I, #»u ,#»

u0).

• R 28.22 Deux droites peuvent donc ne pas avoir de points d’intersection sans être pour autant parallèles.

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28.3 Applications

28.3.1 Théorème de Thalès

Théorème 28.23— Théorème de Thalès. _{Soient P}1, P2, P3trois plans strictement parallèles de

l’es-pace, D et D0_{deux droites non parallèles aux plans P}_i_{. Posons A}_i _{= P}_i_{∩ D et A}0

i = Pi∩ D0 alors on a : A1A3 A1A2 = A01A03 A₀₁A₀₂. Dv

•Démonstration —_{Si D(A}1,#»u) et D0(A01,#»u0) sont coplanaires, on a l’égalité par le

théo-rème de Thalès dans le plan. Si D(A1,#»

u) et D0(A0

1,#»u) ne sont pas coplanaires, on considère D00(A01,#»u) et on pose A00i =

Pi∩ D00.

A0₁∈ D0_{∩ D}00_{donc D}0_{et D}00_{sont coplanaires.} A0 1A3 A0 1A02 = A001A003 A00 1A002 .

Puisque D et D0 _{ont pour vecteur directeur #»}_u_{, elles sont parallèles et donc coplanaires elles}

aussi. D’après le théorème de Thalès dans le plan, on a là aussi :

A1A3 A0

1A02

= A001A003 A1A2.

Ce qui donne bien :

A1A3 A1A2 = A0 1A03 A0₁A0₂. •

28.3.2 Application du théorème des trois perpendiculaires

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ap-28.3 Applications 15

pelle B le projeté orthogonal de A sur P et C le projeté orthogonal de B sur D. Alors (AC) est perpendiculaire à D.

Dv

•Démonstration —Par hypothèse : (# »

BC_·#»

u= 0

# »

AB_·#»

u = 0 car #»uest dans la direction de P.

DoncAC# »_·#»

u = (AB# »+BC# ») · #»u = 0.

Les droites sont donc orthogonales. Comme C appartient à (AC) et à D alors elles sont

perpendiculaires. •

P

A

B C

Proposition 28.25— Résultat de Descartes. Soit (OABC) une pyramide rectangle, c’est-à-dire tel queOA# »,OB# »etOC# »soient orthogonaux deux à deux. Alors :

A2ABC = A2OAB+ A2OBC+ A2OCA.

O A

C

B

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• Démonstration — D’après le théorème des trois perpendiculaires, A et O ont le même projeté sur(BC), disons I. On utilise alors le théorème de Pythagore dans les triangles AOI et OBC, on a : A2ABC− A2OBC= 1 4(IA2× CB2− IO2× BC2) =1 4 ×CB2× (IA2− IO2) =1_{4 ×}CB2× AO2 =1₄(CO2_{+ OB}2_{) × AO}2 = A2 AOC+ A2AOB. •

28.3.3 Distance d’un point à un plan

Définition 28.26 — Distance d’un point à un plan. _{Soient P un plan et M}₀ un point. La distance de

M0 au plan P est la distance de M0 au projeté orthogonal H du point M0 sur le plan P. Cette

distance est la plus courte distance de M0 à un point quelconque de P.

Proposition 28.27 _{Si dans un repère orthogonal le plan P a pour équation cartésienne ax + by + cz +}

d = 0 (l’un des trois réels a, b et c n’étant pas nul) et M0 a pour coordonnées(x0, y0, z0) alors la

distance de M0à P est donnée par :

d(M0,_{P) =} |ax0√+ by0+ cz0+ d|

a2+ b2+ c2 .

Dv

•Démonstration —On a vu que l’équation cartésienne d’un plan relativement à un repère orthonormé est de la forme :

ax+ by + cz + k = 0

où a, b et c sont les coordonnées d’un vecteur normal à ce plan.

P

#»

n

H M

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28.3 Applications 17

Soit donc P un plan d’équation

P : ax + by + cz + k = 0

M de coordonnées(α, β, γ) un point quelconque de l’espace (situé ou non dans le plan P).

La droite passant par M et orthogonale à P coupe P en H de coordonnées (xH, yH, zH) et

#»

n un vecteur normal à P de coordonnées a, b et c.

Le vecteurM H# »lui aussi orthogonal à P a donc pour coordonnées (λa, λb, λc). La distance

du point M au plan P est donc :

M H= |λ|pa2+ b2+ c2.

Il faut donc déterminer λ. Puisque H appartient au plan P, on a :

axH+ byH+ czH+ k = 0.

Le vecteurM H# »a pour coordonnées(xH− α, yH− β, zH− γ) qui sont égales à (λa, λb, λc).

Donc :

xH = λa + α, yH= λb + β, zH = λc + γ.

En remplaçant dans l’équation axH+ byH+ czH+ k = 0, on obtient :

a(λa + α) + b(λb + β) + c(λc + γ) + k = 0. D’où : λ(a2+ b2+ c2) + (aα + bβ + cγ + k) = 0, et donc : λ= −aα+ bβ + cγ + k a2+ b2+ c ,

le dénominateur n’étant pas nul puisque #»nne l’est pas. Donc : M H= |aα+ bβ + cγ + k| a2+ b2+ c2 p a2+ b2+ c2= |aα√+ bβ + cγ + k| a2+ b2+ c2 . •

28.3.4 Distance entre deux plans opposés dans un octaèdre

Exercice 28.28 Soit ABCDEF un octaèdre dessiné ci-dessous :

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Bibliographie

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