Lineare rekurrente Folgen auf elliptischen Kurven

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

A

TTILA

P

ETHÖ

H

ORST

G. Z

IMMER

Lineare rekurrente Folgen auf elliptischen Kurven

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

2, n

o

_{1 (1990),}

p. 217-227

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_1_217_0>

© Université Bordeaux 1, 1990, tous droits réservés.

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Lineare

rekurrente

_Folgen

auf

_elliptischen

Kurven

von ATTILA

PETHÖ

und HORST G. ZIMMER

1.

_{Einleit ung}

,

Sei R ein kommutativer

_Ring

und M ein Linksmodul über ~. Seien

mo, ... , mk-1 E

M,

rl, ... , rk

E R

mit 0

gegeben

und

gesetzt,

wobei

No

die

_Menge

der

_{nicht-negativen}

_ganzen Zahlen bezeichnet. Die

_Folge

_IM,llEN.

wird lineare rekurrente

_Folge

_genannt.

Die

Eigen-schaften solcher

_Folgen

sind sehr intensiv untersucht

_worden,

insbesondere für M = R =

C oder

M = R =

K,

wobei K ein

algebraischer

Zahlkörper

ist

_(siehe

_Shorey

und

_Tijdeman

_{[7] ;}

_Evertse,

_Györy,

Stewart und

Tijdeman

111).

Eines der

_{Grundprobleme}

besteht

_darin,

das Wachstum der Elemente

mn E M nach unten abzuschätzen. Sei also

_speziell

eine lineare rekurrente

_Folge

in K C_ C. Wir bezeichnen mit _{a 1, ... , at} E C die

ver-schiedenen Wurzeln des charakteristischen

Polynoms

X k -

von . Zudem setzen wir noch

lall

2:: ... &#x3E; voraus. Für k = 2

hat Mahler

_[5]

und im

_allgemeinen

haben van der Poorten und Schlickewei

[6]

für

_beliebiges

6 &#x3E; 0 die

_Ungleichung

bewiesen - unter der

_Annahme,

daß nicht

_ausgeartet

ist. Sei nun K ein

_{Körper, E}

eine

elliptische

Kurve über K und bezeichne

E(K)

die K-rationale

_Punktgruppe

von E. Nach dem Mordell-Weilschen

Satz ist

_E(K)

eine

_{endlich-erzeugte}

abelsche

_Gruppe.

Für die

Grundeigen-schaften der

_elliptischen

Kurven verweisen wir z.B. auf

_Lang

_[3]

und

Zim-mer

[10].

Die

Gruppe

E(K)

kann man als linken Z-Modul betrachten und

somit in

_E(K)

durch

₍₁₎

lineare rekurrente

_Folgen

definieren. In dieser Note wollen wir zunächst eine

_{"analytische"}

Formel für beweisen. Manuscrit _re~u le 2 avril 1990

Wenn K ein

_{algebraischer}

_{Zahlkörper ist,}

dann kann man auf

E(K)

die

absolute Neron-Tate Höhe h :

_{E(K) -~}

R definieren. Diese erweist sich als

ein natürliches Maß für das Wachstum rekurrenter

_Folgen

in

_E(K).

Wir beweisen eine Formel für

_h(m"),

aus der im Falle

lajl,

2 j t,

das genaue Wachstum von

abgelesen

werden kann.

Bemerkung.

Wir sind hier nur an der

Betrachtung

elliptischer

Kurven E

über einem

_Zahlkörper

K interessiert. Die Resultate dieses Artikels

_gelten

jedoch

ohne

_Änderung

_ganz

_allgemein

für abelsche Varietäten A über

_K,

wenn zur

_Bildung

der Neron-Tate Höhe auf

A(K)

die zu einer

geraden

Divisorklasse c _E Pic

_(A)

_gehörige

Weil Höhe

hc

_{genommen wird}

(s.

[4],

Ch.

_5,

_§3,

Th.

_{3.6) ;}

denn nach dem Mordell-Weilschen Satz ist auch die

Gruppe

A(K)

der rationalen Punkte von A über K

endlich-erzeugt

(s. [4],

Ch.

_6),

_{und genau für}

Torsionspunkte

T E

_A(K)

_gilt

ebenfalls

_h(T)

= 0

(s.

[4],

Ch.

_5,

_§3).

2. Lineare rekurrente

_Folgen

in abelschen

_Gruppen

Sei G eine abelsche

_Gruppe.

Für

_gegebene

Elemente _{mo, ... ,} Mk-i E G

und E Z sei mn E G für n &#x3E; 0 durch

₍₁₎

definiert.

Offen-sichtlich

_gilt

_{mn E mo, ... , ~nk-1 &#x3E;,} wobei die Klammern die durch

mo, ... , mk-1

erzeugte

Untergruppe

von G bezeichnen. Wir können

des-halb o.B.d.A. mo,..., mk-1 &#x3E;= G annehmen. Nach dem Struktursatz für

_{endlich-erzeugte}

abelsche

_Gruppen

haben wir

wobei

_Tj

die endliche

_Ordnung

_t)

hat und die

_{Gj ( 1 j s)}

von unendlicher

_Ordnung

sind. Dabei

_gilt

auch k &#x3E; s + t. Mit diesen

Bezeichnungen

erhalten wir

SATZ 1. s+t. Dann

_gibt

es

_eindeutig

bestimmte

_Folgen

1 j

s, welche

jeweils

unendlich viele von Null verschiedene Glieder

enthalten,

eindeutig

bestimmte

_Folgen

t,

aus _ganzen

_Zahlen,

die der

_{Differenzengleichung}

Beweis. Wir haben nach

₍₃₎

und

₍₁₎

unter

_Benutzung

der Z-Modul

Eigenschaft

von G

Somit

_genügt

die durch

₍₃₎

definierte

_Folge

der

_Beziehung

_(1).

Das

_{Gleichungssystem}

..

ist _{in ganzen} Zahlen

_{0, ... , s}

_{+ t ; u =}

_{0, ... , k -}

_1,

_lösbar,

und

zwar sind die

Lösungen

in den

_{x~u,1 j}

_s, 0 u 1~ -

_1,

eindeutig

sowie in den

_xS+j,u,1

_j

_{t, 0}

u k -

_1,

mod _{n j}

_eindeutig.

Die

Anfangswerte

bewirken die

_{Eindeutigkeit}

bzw.

_{Eindeutigkeit}

_{mod nj}

der

Lösungen

von

(2).

Nehmen wir nun _an, daß es

ein j

in 1

j

s und ein

no E

No

gibt,

derart da ~

_{x jno ¥}

_0,

aber = 0 für alle n _{&#x3E; no}

gilt.

Sei

o.B.d.A. j =

1

_{vorausgesetzt.}

Nach

₍₁₎

_gilt

dann

im

_Widerspruch

zur

Voraussetzung.

Daher enthält also in der Tat

jede

der

Folgen

unendlich viele von Null verschiedene Glieder.

Damit ist Satz 1 bewiesen.

Beispiel.

Sei die

_elliptische

Kurve E über

_Q

durch die

_Gleichung

y2

=

x3-388.800

gegeben.

Ihre rationale

Punktgruppe

E(Q)

hat den

_Rang

2 mit den

_erzeugenden

Punkten

_{Po=(76,224), Pl=(124,1232) (siehe}

H.M.

Tschöpe

und H.G. Zimmer

_[8]).

Es

_gibt

nach Satzl zwei

_Folgen

_f,,

und

_In

_ganzer

_Zahlen,

welche die

Rekur-renz

(4)

erfüllen mit

Die

_Anfangswerte

erhalten wir durch

_Lösung

des

_{Gleichungssystems}

Setzt man =

1,

so ist

bewiesen,

wobei

_In

die

_{F’i bonacci-F’olge}

bezeichnet und

_{f n}

= ist.

Seien a1, ... , a1J, die verschiedenen Wurzeln mit

Multiplizitäten

k1, ... ,

k1J,

des

_Polynoms

und sei L =

Q(a1,...,au)

der durch diese Wurzeln

_erzeugte

Zahlkörper.

Die Kombination von Satz 1 mit einem klassischen Resultat

(Theorem

C.l

in

_Shorey

und

_Tijdeman

_[7])

führt unmittelbar auf den

SATZ 2. Es

_gibt

_Polynome

_Pji(X)

E

_L[X]

vom Grade kleiner als

ki,

so daß

gilt.

3.

Die

Höhe der Elemente rekurrenter

_Folgen

auf

_elliptischen

Kurven

Sei K ein

_{algebraischer}

_Zahlkörper

und E wie vorher eine

_elliptische

Kurve über K. Es bezeichne wieder

_E(K)

die additive abelsche

Gruppe

der K-rationalen Punkte von E. Nach dem Mordell-Weilschen Satz

(vgl. [3],

[10])

ist diese

_Gruppe

wie

_gesagt

_{endlich-erzeugt.}

Im weiteren wollen wir als abelsche

_Gruppe

G =

E(K)

wählen,

aber die

Auf

_E(K)

existiert eine

_{positiv-semidefinite}

_quadratische

Form

h :

_{jE(K) 2013~}

_R,

nämlich die

_globale

Neron-Tate Höhe. Die Definition und

Grundeigenschaften

der Neron-Tate Höhe findet man in

Lang

[3]

oder Zim-mer

[10].

Wir wollen hier nur die

_{folgenden Eigenschaften}

hervorheben. Es

gilt

für alle

_P,Q

E

_E(K)

Genau für die

_{Torsionspunkte}

T E

_E(K)

ist

Sei

_E(K)

_{=Pi &#x3E;}

x ... x

_{Ps &#x3E;}

x

_{T1 &#x3E;}

x ... x

_{Tt &#x3E;,wobei}

P1, ... ,

Ps

unendliche und

_{Tl , ... ,}

_Tt

endliche

_Ordnung

haben und 0 t 2

gilt

(s.[3]).

Sei weiter k &#x3E;

_{s + t ;}

_{seien mo, ... , mk_ 1} E

_{E(K ),}

r1, ... , rk E Z

gegeben

und

_k,

durch

₍₁₎

definiert. Unser Ziel ist es in diesem

Abschnitt,

den

_folgenden

Satz 3 zu beweisen.

SATZ 3. Seien cxl, ... , au und =

1,...

_s, i =

1, ... ,

_u, die in

§2

definierten

_Größen,

und sei die oben definierte

_Folge.

Dann

_gilt

wobei =

h(Pi

₊

Pj) - h(Pi) - h(Pj)

_gesetzt

wurde.

Um diesen Satz zu

beweisen,

benötigen

wir das

folgende

bekannte Lemma.

LEMMA 1. Seien

_{undn1,...,nvEZ.}

Dann

_gilt

wobei wieder

_{h(Qi, Qj)}

=

h(Qi

₊

Qj) -

h(Q;) -

h(Qj)

ist.

Beweis. Eine Beweisskizze findet sich z.B. in Cassels

_[2].

Zur

_{Erleichterung}

Seien

_{P, Q, R}

E

_E(K).

Wir wollen zunächst die Identität

verifizieren. Nach

₍₆₎

_ergeben

sich die Relationen

Aus

₍₁₃₎

_folgt

mittels

₍₅₎

und

₍₆₎

Wir erhalten

_(10),

indem wir

_{(11)+(12)-(13’)}

durch 2 dividieren.

Für v = 1

folgt

(9)

_aus

(6)

durch Induktion. Nehmen wir an, daß

die Relation

₍₉₎

für alle w v mit

_beliebigen

_{n1,..., nw E Z}

_gilt.

Für

n, = ... = _nv = 1 erhalten wir

(9),

_wenn wir diese

Beziehung

auf die zwei

v-i

Punkte Z

Qi

und

_Q1J

anwenden.

Wegen

(5)

können wir also ,

i=l

1 &#x3E; 1 voraussetzen. Die Identität

_(10),

die

nun

und damit ist

₍₉₎

bewiesen.

LEMMA 2. Seien T E

_E(K)

ein

_{Torsionspunkt}

und P E

_E(K)

ein

_beliebiger

Punkt. Dann

_gilt

Beweis.

_{(Vgl. [9];}

S. 7

_oben.)

Sei n die

Ordnung

von T. Dann haben

gemäß

(7)

und

₍₉₎

Beweis von Satz 3. Sei die durch

₍₁₎

definierte

_Folge

in

_E(K).

Nach Satz 1

_gilt

Daraus

_folgt

nach den Lemmata 2 und 1

Nach Theorem C.1 in

_Shorey

und

_Tijdeman

_[7]

_gibt

es

Polynome

e

_L(X)

vom Grade kleiner als

kv

mit

Setzt man diese in

_{(14) ein,}

so liefert das unmittelbar den Beweis von

_(8).

Beispiel

(Fortsetzung).

Wir hatten in dem

_Beispiel

die

_Folge

7~ =

bestimmt. In der zitierten Arbeit

_[8]

_findet

man die

Angaben

h(Po) --

1.737652,

1.889072 und

_{h( Po}

+ 2.834031. Durch

Anwendung

von Satz 3

_ergibt

sich nach einfacher

_Rechnung

Nach Satz 3 ist

_{h (n2n )}

eine lineare rekurrente

_Folge

bzw. eine

Potenz-summe. Wenn die

_Folge

einen

_{algebraischen Zahlkörper angehört,}

so

haben van der Poorten und Schlickewei

[6]

ihr Wachstum

_{genau-beschrieben.}

Nach einer

_{Vermutung gehört}

in unserem Falle die

Folge

h(mn )

im

allge-meinen aber zu einer transzendenten

Erweiterung

von

_Q,

und ihr

Wachs-tum ist sehr schwer zu beschreiben. In einem

Spezialfall gelingt

dies

_jedoch.

SATZ 4. Seien die

_{Bezeichnungen}

die

_gleichen

wie in Satz 3. Wenn dann

s &#x3E; 1 ist und die

_{Ungleichungen}

erfüllt

_sind,

so

gilt

un d es

gibt

ein no =

no (mo , ... ,

mk-l, Tl ... ,

rk),

so daß

d( n)

&#x3E; 0 für alle

n &#x3E; no

_gilt.

cx1 dominant

ist,

muß a1 reell

sein,

und somit

gilt

Pj1(X)

e

_R[X]

für

j = 1, ... , s.

Da weiter die

_ä

_{für j =}

_{2, ... , u}

keine Einheitswurzeln

J

sind,

sind die

_Folgen

_{1 j}

_s,

_{nicht-ausgeartet.}

Nach dem

zitierten Satz von van der Poorten und Schlickewei

[6]

besteht dann

jeweils

für

_beliebiges

E &#x3E; 0 und alle n &#x3E; n1 die

Ungleichung

Daher

_folgt,

daß

gilt.

Die

_Beziehung

₍₁₆₎

erhalten wir unmittelbar aus

(8).

Zum Beweis von

(16)

bleibt nur

noch,

d(n)

&#x3E; 0 für alle n &#x3E; no zu

zeigen.

Dazu bilden wir das

_{Tensorprodukt}

V = R _@Z

E(K).

Dieses Produkt V

ist ein Vektorraum der Dimension s über R. Seien _{Xl,... ,Xs E}

_R,

dann definiert

nach Lemma 1 die

_Fortsetzung

der Neron-Tate Höhe auf V. Sie ist eine

positiv-definite quadratische

Form auf V

_(vgl.

_Lang

_[3],

Theorem 4.3 und Zimmer

_{[9], § 2).}

Die

_Beziehung

_d(n)

= 0 ist also genau dann

erfüllt,

_wenn

Pm (n) _ ~ ~ ~

= = 0

gilt.

Dieses

Gleichungssystem

hat aber _nur

endlich viele

_Lösungen,

und damit ist Satz 4 bewiesen.

Bemerkung.

Ein

_anderer,

mehr

_{begrifflicher}

Beweis der Lemmata 1 und

2,

des Satzes 3 und der

_{nachfolgenden}

_Proposition

_ergibt

sich mittels

Ein-bettung

der rationalen

_Punktgruppe

_E(K)

in den s-dimensionalen reellen Vektorraum V =

R0x

E(K)

durch

Ausnutzung

der

Grundeigenschaften

der

zu einer

_{positiv-definiten quadratischen}

Form auf V

_{fortgesetzten}

Neron-Tate Höhe h und des

_{zugehörigen Skalarprodukts}

auf V. Wir haben hier

jedoch

den direkteren und

_{expliziteren Zugang}

über die

_Gruppe

_E(K)

selbst und die

_{positiv-semidefinite quadratische}

Form h auf

_E(K)

_bevorzugt.

4. Eine

_Ungleichung

für die Höhe

Beim Beweis von Satz 4 haben wir als

_Nebenprodukt

_{folgende Ungleichung}

wiederentdeckt

_{(vgl. [9],}

_{§ 2,}

Kor.

_2).

PROPOSITION. Seien P und

_Q

_unabhängige

Punkte

_{auf E(K).}

Dann

_gilt

Beweis. Seien _{x, y} E R.

_Wegen

der im Beweis von Satz 4

_{festgestellten}

positiven

Definitheit von h haben wir

Diese

_Ungleichung

_impliziert

für _xy &#x3E; 0

und für x y 0

ergibt

sich aus den letzen beiden

_{Ungleichungen}

der Beweis der

_Proposition.

Wir danken dem Referenten für

_wichtige

Korrekturen und

_ergänzende

Hinweise.

LITERATUR

[1]

J.H. _EVERTSE, K.

_GYÖRY,

C.L. _STEWART, R. _TIJDEMAN, "S-unit _equations and their _{applications.} In "New Advances in Transcendence _{Theory, Cambridge} Univ. Press _(1988), 110-174

[2]

J.W.S. CASSELS, On a theorem _{of Dem’janenko.} J. London Math. Soc.43 _(1968),

61-66

[3]

S. LANG, Elliptic Curves : Diophantine Analysis, Springer-Verlag, Berlin-Heidel-berg-New York _(1978).

[4]

S. _LANG, Fundamentals _{of Diophantine Geometry, Springer-Verlag,} Berlin-Heidel-berg-New York _(1983).

[5]

K. MAHLER, Eine arithmetische _Eigenschaft der rekurrierenden Reihen, Mathe-matica B

_(Leiden)

3 _(1934), 153-156.

[6]

A.J. van der _POORTEN, H.P. _SCHLICKEWEI, The _growth condition _for recur-rence _{sequences. Macquarie} Univ. Math. Report 82-0041, North Ryde, Australia,

1982

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[8]

H.M.

_TSCHÖPE,

H.G. _{ZIMMER, Computation of} the Néron-Tate height on el-liptic curves, Math. Comp. 48 (1987), 351-370.

[9]

H.G. _ZIMMER, Über eine quadratische Form auf der _Gruppe der rationalen Punkte einer elliptischen Kurve über einem Funktionenkörper, Dissertation, Tübingen (1966).

[10]

H.G. _ZIMMER, Zur Arithmetik der _elliptischen Kurven. Bericht Nr 271

₍₁₉₈₆₎

der Math.-Stat. Sektion der _{Forschungsges.} Joanneum, Graz, Österreich

Kossuth Lajos Universität Mathematisches Institut H-4010 Debrecen Pf.12 und

Universität des Saarlandes Fachbereich 9.1 Mathematik D-6600 Saarbrücken