4) Equations diff´ ´ erentielles

Evaluation´ D-IRIS1-09.tex

TS 1 IRIS : Evaluation de R´ ´ evision

1) Complexes

Soitf la transformation complexe qui `a tout pointM d’affixez associe le pointM⁰ =f(M) d’affixe Z =f(z) tel que : z 7→ Z =f(z) = iz

z+i

a) Calculer les nombres complexes u etv tels que : f(z) = u

z+i +v . b) D´ecomposer la transformation f en transformations ´el´ementaires.

c) Soit D la droite verticale d’´equation x= 1 .

Tracer sur une mˆeme figure les images de D et de D⁰ =f(D) .

Pr´eciser et nommer les transform´ees interm´ediaires sur la figure.

2) D´ erivation

Calculer les d´eriv´ees des expressions suivantes :

a) f(t) = (5t+ 3)e^−2t b) g(t) = cos(2t)e^−3t

3) Int´ egration

Calculer les int´egrales suivantes :

a) A=

Z ^π₂

0

cos(t)e^−tdt b) B =

Z 1 0

3t−1 (t−2)(t+ 3)dt

4) Equations diff´ ´ erentielles

D´eterminer la solution g´en´erale sur R de chacune des ´equations diff´erentielles suivantes : a) x⁰(t) + 3x(t) = 6 b) x⁰⁰(t) + 2x⁰(t) + 10x(t) = 4e^−2t

5) Laplace

a) Calculer la transform´ee de Laplace suivante : L[(t+ 1)e^−tU(t) + (t+ 2)U(t−2)]

b) Calculer la transform´ee inverse de Laplace suivante : L⁻¹

p+ 2

p(p² + 1) + e^−p p+ 1

c) Utiliser la transform´ee de Laplace pour d´eterminer la solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle :

x⁰⁰(t) + 6x⁰(t) + 9x(t) = e^−2tU(t) v´erifiant les conditions initiales

x(0) = 0 x⁰(0) = 0

♣♦♥

♠ L^ATEX 2ε

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TS 1 IRIS : Evaluation de R´ ´ evision (Solution)

1) Complexes

Soitf la transformation complexe qui `a tout pointM d’affixez associe le pointM⁰ =f(M) d’affixe Z =f(z) tel que : z 7→ Z =f(z) = iz

z+i

a) Calculer les nombres complexes u etv tels que : f(z) = u

z+i +v .

z 7→ Z =f(z) = iz

z+i = 1 z+i +i

b) D´ecomposer la transformation f en transformations ´el´ementaires.

z7−→^f1 z₁ =z+i7−→^f2 z₂ = 1 z₁

f3

7−→Z =f(z) = z₂+i

Ce qui signifie quef est la compos´ee de f₁,f₂ etf₃ successivement dans cet ordre.

z 7−→ Z =f(z) =f₃

f₂ f₁(z)

Avec :

f1 Translation de vecteur d’affixe (i) f₂ Inversion Complexe

f₃ =f₁ Translation de vecteur d’affixe (i)

c) Soit D la droite verticale d’´equation x= 1 .

Tracer sur une mˆeme figure les images de D et de D⁰ =f(D) .

Pr´eciser et nommer les transform´ees interm´ediaires sur la figure.

D7−→^f1 D₁ 7−→^f2 D₂ 7−→^f3 D⁰ =f(D)

R iR

1 0

i

D₂ D⁰

D=D₁

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2) D´ erivation

Calculer les d´eriv´ees des expressions suivantes :

a) f(t) = (5t+ 3)e^−2t f⁰(t) = (−10t−1)e^−2t

b) g(t) = cos(2t)e^−3t g⁰(t) = −2 sin(2t)−3 cos(2t) e^−3t

3) Int´ egration

Calculer les int´egrales suivantes :

a) A= Z ^π₂

0

cos(t)e^−tdt = 1 +e^−π2 2 Par partie :

u= cos(t) dv=e^−tdt

du=−sin(t)dt

v =−e^−t deux fois

u= sin(t) dv=e^−tdt

du= cos(t)dt v =−e^−t

A= Z ^π₂

0

cos(t)e^−tdt=h

−cos(t)e^−ti^π₂

0 − Z ^π₂

0

sin(t)e^−tdt

= 0

−

−1

− h

−sin(t)e^−ti^π₂

0

+ Z ^π₂

0

sin(t)e^−tdt

!

A= 1− (−e^−π2)−(0) +A 2A= 1 +e^−π2

b) B = Z 1

0

3t−1

(t−2)(t+ 3)dt= ln 8

9

B = Z 1

0

3t−1

(t−2)(t+ 3)dt = Z 1

0

1

t−2+ 2 t+ 3

dt

= h

ln(2−t) + 2 ln(t+ 3) i1

0 =

ln(1) + 2 ln(4)

−

ln(2) + 2 ln(3)

= 3 ln(2)−2 ln(3)

4) Equations diff´ ´ erentielles

D´eterminer la solution g´en´erale sur R de chacune des ´equations diff´erentielles suivantes : a) x⁰(t) + 3x(t) = 6

x(t) = k e^−3t+ 2

♣♦♥

♠ 3 / 4 L^ATEX 2ε

Evaluation´ D-IRIS1-09.tex

b) x⁰⁰(t) + 2x⁰(t) + 10x(t) = 4e^−2t

r² + 2r+ 10 = 0 a pour solutions : r₁ =−1 + 3i et r₂₁=−1−3i Donc : x⁰⁰(t) + 2x⁰(t) + 10x(t) a pour solution g´en´erale : x(t) =

λcos(3t) +µsin(3t) e^−t On cherche une solution particuli`ere de la forme :

x(x) = ke^−2t x⁰(x) = −2ke^−2t x⁰⁰(x) = 4ke^−2t Par identification : 10k = 4

x(t) =

λcos(3t) +µsin(3t)

e^−t+2 5e^−2t

5) Laplace

a) Calculer la transform´ee de Laplace suivante : L[(t+ 1)e^−tU(t) + (t+ 2)U(t−2)]

(t+ 1)e^−tU(t) + (t+ 2)U(t−2) = (t+ 1)e^−tU(t) + (t−2) + 4

U(t−2)

L

(t+ 1)e^−tU(t) + (t−2) + 4

U(t−2)

= 1 p² +1

p + 1

p² + 4 p

e^−p

b) Calculer la transform´ee inverse de Laplace suivante : L⁻¹

p+ 2

p(p² + 1) + e^−p p+ 1

p+ 2

p(p²+ 1) + e^−p p+ 1 = 2

p +−2p+ 1

p²+ 1 + e^−p p+ 1

L⁻¹

p+ 2

p(p²+ 1) + e^−p p+ 1

= 2−2 cos(t) + sin(t)

U(t) +e^−(t−1) U(t−1)

c) Utiliser la transform´ee de Laplace pour d´eterminer la solution particuli`ere de l’´equation diff´erentielle :

x⁰⁰(t) + 6x⁰(t) + 9x(t) = e^−2tU(t) v´erifiant les conditions initiales

x(0) = 0 x⁰(0) = 0

p²X(p) + 6pX(p) + 9X(p) = 1 p+ 2 p²+ 6p+ 9

X(p) = 1 p+ 2

X(p) = 1

(p+ 2)(p+ 3)² X(p) = −1

(p+ 3)² + −1

p+ 3 + 1 p+ 2

x(t) =

(−t−1)e^−3t+e^−2t U(t)

♣♦♥

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