Produit Scalaire

Produit Scalaire

Produit scalaire : formule avec le cosinus et avec le projeté orthogonal

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel . En Sciences Physiques, il permet de calculer le travail d’une force, en Mathématiques il permet, notamment, de calculer des longueurs et des angles.

Formule avec le cosinus

Soient ⃗u et ⃗v deux vecteurs du plan.

Le produit scalaire du vecteur _⃗u par le vecteur _⃗v est noté ⃗u .⃗v ( qui se lit « u scalaire v » ) et on a : ⃗u .⃗v = ‖⃗u‖×‖ ⃗v‖× cos(⃗u ,⃗v)

• ‖⃗u‖ désigne la norme du vecteur ⃗u : si ⃗u= ⃗AB alors ‖⃗u‖= ‖⃗AB‖=AB

• (⃗u ,⃗v) désigne l’angle formé par les vecteurs ⃗u et ⃗v

on peut également écrire :⃗AB .⃗AC = AB × AC × cos

(

^{^BAC}

)

Exemples

Compléter le tableau suivant :

‖⃗u‖ ‖⃗v‖ (⃗u ,⃗v) ⃗u. ⃗v

4 5 π

12 5(

√

⁶⁺

√

²⁾

produit scalaire positif ↔ angle aigu 10

3 9 π

3 15

7 12 3π

4 −42

√

²

√

^{3 4 5}₆^{π – 6} produit scalaire négatif ↔ angle obtus

8 2,5 2π

3 – 10

3 4 π

2 0 produit scalaire nul ↔ angle droit

Cas particuliers

• si ⃗u= ⃗0 ou si ⃗v= ⃗0 alors _⃗u . ⃗v=0

• si _⃗u et _⃗v sont colinéaires et de même sens, alors ⃗u .⃗v=‖ ⃗u‖×‖⃗v‖ ( puisque (⃗u ,⃗v) =0 )

• si _⃗u et _⃗v sont colinéaires et de sens contraire, alors ⃗u. ⃗v= −‖ ⃗u‖×‖⃗v‖ ( puisque (⃗u ,⃗v) =π )

Formule avec le projeté orthogonal

Soient ⃗AB et ⃗AC deux vecteurs non nuls du plan et H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB):

(^⃗AB,⃗AC) est aigu :

⃗AB .⃗AC = ⃗AB .⃗AH

=AB × AH

(^⃗AB,⃗AC) est obtus :

⃗AB .⃗AC = ⃗AB .⃗AH

= −AB × AH

Exemples

1) Calculer les produits scalaires suivants :

⃗AD .⃗AE= 6 × 8 = 48

⃗AD .⃗AB= 6 × ( – 2 ) = – 12

⃗AD .⃗AG= 6 × ( – 3 ) = – 18

⃗AD .⃗DC= 6 × ( – 2 ) = – 12

⃗AD .⃗FE= 6 × 8 = 48

⃗AD .⃗AF= 0 car (AD)  (AF)

⃗AB .⃗HF= 0 car (AB)  (HF)

⃗AG .⃗FA= 3 × ( – 1 ) = – 3

⃗HC .⃗CD= 0 car (HC)  (CD)

rq : (AB)  (HF) s’explique car m(AB) × m(HF) = –2/3 × 3/2 = –1

2) MNPQ est un trapèze et (AB)  (MQ).

Démontrer que ⃗AB .⃗MP= ⃗AB .⃗QN

⃗AB .⃗MP=2 × 3=6

⃗AB .⃗QN=2 × 3=6 donc ⃗AB .⃗MP= ⃗AB .⃗QN

3) ABC est un triangle. H est le pied de la hauteur issue de A.

HA = 4 , HB = 2 et HC = 4 . a) Calculer ⃗BA .⃗BC .

⃗BA .⃗BC=BH × BC= 2 ×6=12 b) K est le pied de la hauteur issue de C.

Calculer la longueur BK.

⃗BA .⃗BC=BA × BK

12=

√

^{20 × BK} ( calcul de BA avec Pythagore dans ABH )

BK=6

√

^5÷5

Vecteurs orthogonaux

Définition

Dire que deux vecteurs _⃗u et _⃗v sont orthogonaux signifie que les droites ^d_⃗u et ^d_⃗v sont perpendiculaires Le vecteur nul ⃗0 est orthogonal à tout vecteur.

Propriété

Pour tous vecteurs ⃗u et ⃗v : ⃗u et ⃗v sont orthogonaux ⇔ ⃗u .⃗v=0 La démonstration est évidente, en utilisant le projeté orthogonal.

Propriétés du produit scalaire

Symétrie et bilinéarité

Pour tous vecteurs ⃗u , ⃗v et ⃗w , et pour tout nombre réel l :

• ⃗u. ⃗v= ⃗v . ⃗u ( symétrie )

• ⃗u.( ⃗v ± ⃗w) = ⃗u .⃗v± ⃗u .⃗w ou ( ⃗u± ⃗v).⃗w= ⃗u .⃗w± ⃗v .⃗w ( linéarité )

• ⃗u.(λ ⃗v) =λ×(⃗u .⃗v) ou (λ ⃗u). ⃗v =λ×(⃗u . ⃗v) ( linéarité ) Carré scalaire, identités remarquables

On appelle carré scalaire du vecteur _⃗u le nombre réel _⃗u² et on a _⃗u²= ⃗u . ⃗u

Conséquence importante ⃗u²=‖ ⃗u‖² et ⃗AB²=‖⃗AB‖²=AB² Identités remarquables

Pour tous vecteurs ⃗u et ⃗v : ( ⃗u+ ⃗v )² = ⃗u²+ 2 ⃗u.⃗v+ ⃗v² ( ⃗u− ⃗v )²= ⃗u²− 2⃗u .⃗v+ ⃗v² ( ⃗u+ ⃗v ) .( ⃗u− ⃗v ) = ⃗u²− ⃗v² Remarque

Toutes ces propriétés (symétrie, linéarité, carré scalaire, identités remarquables) sont donc très ressemblantes à celles déjà existantes pour les nombres réels, et serviront surtout pour les démonstrations.

⃗ u

⃗ v

d_⃗u

d_⃗v

Produit scalaire : formule dans un repère orthonormé ( O ; ⃗ i , ⃗ j )

Formule avec les coordonnées

Soient ⃗u

(

^xy

)

^{et ⃗v}

(

^{x 'y '}

)

deux vecteurs dans un repère orthonormé. Alors ⃗u . ⃗v = x x ' + y y '

Démonstration

⃗

u

(

^xy

)

signifie que ⃗u= x⃗i + y⃗j et ⃗v

(

^{x 'y '}

)

signifie que ⃗v =x '⃗i + y '⃗j ; Ainsi :

⃗

u.⃗v= (x⃗i+y⃗j).(x '⃗i+y '⃗j) =x x '⃗i ²+ x y '⃗i .⃗j+ y x '⃗j.⃗i + y y '⃗j²=x x ' ×1+ x y ' ×0+ y x ' ×0+ y y ' ×1 Conséquence

⃗

u

(

^xy

)

^{et ⃗v}

(

^{x 'y '}

)

orthogonaux ⇔ ^{x x ' + y y '=0} ( critère d’orthogonalité )

Exemples

Pour chacune des questions suivantes, on se place dans un repère orthonormé.

1) Calculer le produit scalaire ⃗u. ⃗v dans les cas suivants et préciser la nature de l’angle (⃗u , ⃗v) : a) ⃗u

(

⁻³⁵

)

^{et ⃗v}

(

⁻²¹

)

: 5 × ( – 1 ) + ( – 3 ) × 2 = –11 ( l’angle (⃗u ,⃗v) est donc obtus )

b) ⃗u

(

⁻⁴²

)

^{et ⃗v}

(

⁻⁶¹

)

: – 2 × ( – 6 ) + 4 × 1 = 16 ( l’angle (⃗u ,⃗v) est donc aigu )

c) ⃗u

(

⁴⁶

)

^{et ⃗v}

(

⁻⁹⁶

)

: 4 × 9 + 6 × ( – 6 ) = 0 ( les vecteurs ⃗u et ⃗v sont donc orthogonaux ) 2) Calculer, à 0,1 ° près, une mesure de l’angle (⃗u ,⃗v) des exemples 1.a) et 1.b) précédents.

a) ‖⃗u‖=

√

^52+(−3)2=

^√

^{34 et ‖⃗v‖=}

√

^{(−1)2+22 =}

^√

⁵

Comme ⃗u .⃗v = ‖ ⃗u‖×‖ ⃗v‖× cos(⃗u ,⃗v) alors −11 =

√

^{34 ×}

√

^{5 × cos(⃗u ,⃗v)}

donc cos(⃗u ,⃗v) = − 11

√

¹⁷⁰ et donc (⃗u ,⃗v) =cos⁻¹

( √

⁻¹¹¹⁷⁰

)

^{soit (⃗u ,⃗v) ≈147,5°}

b) ‖⃗u‖=

√

^(−2)2+42=

^√

^{20 et ‖⃗v‖=}

√

^(−6)2+12=

^√

³⁷

Comme ⃗u .⃗v = ‖ ⃗u‖×‖ ⃗v‖× cos(⃗u ,⃗v) alors 16 =

√

^20×

√

^{37×cos(⃗u ,⃗v)}

donc cos(⃗u ,⃗v) = 8

√

¹⁸⁵ et donc (⃗u ,⃗v) =cos⁻¹

( √

¹⁸⁵⁸

)

^{soit (⃗u ,⃗v) ≈54,0°}

3) On considère les points A ( – 4 ; 1 ) , B ( – 1 ; 2 ) et C ( 1 ; – 4 ) . Le triangle ABC est-il rectangle en B ?

⃗BA

(

^{−41−2−(−1)}

)

^{soit ⃗BA}

(

⁻⁻¹³

)

^{et ⃗BC}

(

^{1−−(−4−12)}

)

^{soit ⃗BC}

(

⁻⁶²

)

alors ⃗BA .⃗BC= −3 × 2+ (−1)×(−6) = −6+6=0 donc le triangle ABC est bien rectangle en B.

Produit scalaire et normes

Propriétés

Pour tous vecteurs ⃗u et ⃗v : ‖⃗u + ⃗v‖² = ‖ ⃗u‖²+2 ⃗u . ⃗v+ ‖ ⃗v‖²

‖⃗u− ⃗v‖² = ‖ ⃗u‖²−2⃗u .⃗v + ‖⃗v‖² Démonstration

‖⃗u+ ⃗v‖² = (⃗u + ⃗v)²

= ⃗u²+ 2⃗u.⃗v + ⃗v²

= ‖⃗u‖²+2 ⃗u. ⃗v+ ‖⃗v‖²

Remarque

si _⃗u et _⃗v sont orthogonaux alors ⃗u .⃗v=0 donc :

‖⃗u+ ⃗v‖² = ‖ ⃗u‖² + ‖⃗v‖²

‖⃗u− ⃗v‖² = ‖ ⃗u‖²+ ‖ ⃗v‖²

→ on retrouve alors le théorème de Pythagore Formule avec les normes

Pour tous vecteurs ⃗u et ⃗v : ⃗u .⃗v = 1

2

(

‖⃗u‖²+‖ ⃗v‖²−‖ ⃗u−⃗v‖²

)

⃗

u .⃗v = 1

2

(

^{‖⃗u+⃗v‖2− ‖⃗u‖2− ‖⃗v‖2}

)

Pour tous points A, B et C : ⃗AB .⃗AC = 1

2

(

^AB2+ AC²−BC²

)

Exemple

Soit EFG un triangle tel que EF = 6 , EG = 5 et FG = 9.

1) Réaliser une figure et conjecturer le signe des produits scalaires ⃗EF .⃗EG et ⃗GF .⃗FE .

⃗EF .⃗EG devrait être de signe négatif car (^⃗EF ,⃗EG) est obtus

⃗GF .⃗FE devrait être de signe négatif car (^⃗GF ,⃗FE) est obtus erreur attendue : angle aigu, produit scalaire positif

2) Calculer ces produits scalaires.

⃗EF .⃗EG= 1

2

(

^EF2+ EG²−FG²

)

= 1

2(6²+5²−9²) = 1

2(36+25−81) = −10 erreur attendue : ⃗GF .⃗FE= 1

2

(

^GF2 +FE²−EG²

)

= 1

2(9²+6²−5²) = 1

2(81+36−25) = 46

⃗GF .⃗FE= −⃗FG .⃗FE= −1

2

(

^FG2+ FE²−EG²

)

= −1

2(9²+6²−5²) = −1

2(81+36−25) = −46

→ ces résultats peuvent se vérifier avec GeoGebra