Informatique MPSI B Hoche L’algorithme d’exponentiation rapide permet de calculer a

Informatique MPSI B Hoche

L’algorithme d’exponentiation rapidepermet de calculera^e oùaet esont des nombres naturels en effectuant moins (beaucoup moins !) deemultiplications.

Le premier cas est celui où l’exposanteest une puissance de 2. Pour calculer

xm=a^(2m)

on peut utiliser seulementm(au lieu de 2^m) multiplications en remarquant que

x0=a, xm+1=x²_m

Dans le cas général, on peut utiliser la décomposition deeen base 2. Les coefficients sont 0 ou 1 et seuls les 1 "comptent" dans le calcul de la puissance

e = c₀+c₁2¹+c₂2²+· · ·+c_m2^m

a^e = a^c0a^c121· · ·a^cm2m a^e = xi₁xi₂...

aveci1,i2 associés aux coefficients non nuls de la décomposition

1. Mettre en oeuvre le principe précédent pour calculer a^e sur un exemple en décomposant e en base 2 (par une succession d’opérations sans chercher à former un programme). Vérifier en calculant directement.

2. On modifie légèrement l’algorithme de décomposition deeen base 2 en cal- culant toutes les puissances dea dont l’exposant est une puissance de 2 et en multipliant ces nombres lorsque c’est nécessaire. Ce nouvel algorithme est présenté dans le diagramme de la figure1 que vous devez traduire dans la syntaxe Maple.

Fig.1 – exponentiation rapide

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Pas d’utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Aexporap