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Siz∈Cest une racine de l’unit´e, alors z est alg´ebrique surQ

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Academic year: 2022

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Universit´e de Versailles - Saint Quentin Ann´ee 2016/2017

L3 Alg`ebre Maria Chlouveraki

Extensions alg´ebriques de corps - TD 8 1. Soit K/F eta, b∈K. Montrer queF(a, b) =F(a)(b) =F(b)(a).

2. Sin∈N, alors√

nest alg´ebrique sur Q.

3. Siz∈Cest une racine de l’unit´e, alors z est alg´ebrique surQ. 4. D´ecrireQ(√

2).

5. D´ecrireQ(√3 2).

6. Montrer queQ(√

2)∩Q(√

3) =Q.

7. D´ecrireQ(√ 2,√

3).

8. D´ecrireQ(√3 2,√

3).

9. Calculer [Q(√ 2,√

3) :Q(√ 6)].

10. Calculer [Q(√3 2,√

3) :Q(√3 2√

3)].

11. Montrer que Q(√ 2,√

3) = Q(√ 2 +√

3). D´eduire que Q(√ 2,√

3) est une extension simple de Q.

12. D´ecrire Q(i,√

2). Est-ce que Q(i,√

2) = Q(i√

2) ? Montrer que Q(i,√

2) est une extension simple de Q.

13. Soit ω une racine cubique de l’unit´e. D´ecrire Q(ω).

14. Soit ω∈C\Rtel que ω3 = 1. Est-ce que Q(ω,√

2) =Q(ω√

2) ? Montrer que Q(ω,√ 2) est une extension simple deQ.

15. Trouver une extension E de Qtelle que [E:Q] = 15.

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