TD5-Séries entières

le 3 Janvier 2012 UTBM MT26

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

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Sur les s´eries enti`eres

Exercice 1 D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres suivantes (et regarder au bord) : 1. U_n(x) =n.xⁿ,

2. Un(x) = _n¹n.xⁿ, 3. Un(x) = _n^n!n.xⁿ, 4. U_n(x) =xⁿlnn, 5. Un(x) = (_n+1^nx )ⁿ, 6. U_n(x) = (_n!¹ +_n¹)xⁿ.

Exercice 2 On consid`ere la suite

Un= sinUn−1 avec 0< U0< π 2. 1. Calculer la limite de cette suite quand n tend vers l’infini.

2. D´eterminer l’intervalle de convergence de la s´erie de terme g´en´eral Vn=Unxⁿ.

Exercice 3 D´eterminer le rayon de convergence des s´eries enti`eres suivantes (et regarder au bord) : 1. ∑

n≥0an.xⁿ avec an= 1 sin pair et an= _n¹ sin est impair, 2. ∑

n≥21+nⁿ⁻² nⁿ xⁿ, ∑

n≥2−_n¹2xⁿ et la s´erie dont le terme g´en´eral est la somme de celui des deux pr´ec´edentes.

Exercice 4 En utilisant uniquement le r´esultat suivant 1

1−x =

∑∞ n=0

xⁿ ∀x∈]−1,1[

et les r´esultats vus en cours sur les s´eries enti`eres, trouver le d´eveloppement en s´erie enti`ere des fonctions suivantes (pr´eciser leur rayon de convergence) :

1. ₁₋¹_x3, 2. ₍₁₋^3x_x²3)², 3. xln(1−x³).

1

Exercice 5 Soit f :R−→Rd´efinie par f(x) = arctan(¹_1+x^−x44).

1. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere def au voisinage de 0 sur un intervalle de conver- gence `a pr´eciser.

2. Retrouver le rayon de convergence de la s´erie obtenue.

(Rappel : _∂x^∂ (arctanx) = _1+x¹2.)

Exercice 6 Trouver le domaine de convergence et la somme des s´eries : 1. Un(x) = 2xⁿ, n≥3,

2. Un(x) =xⁿcoshna, a >0.,

Exercice 7 Quels sont les rayons de convergence des s´eries enti`eres 1. U_n(x) = (−1)^n−1xn_n⁻¹,

2. Vn= (−1)ⁿ⁻¹_n(n+1)^xn ?

Calculer leurs sommes U(x) et V(x) (n≥1).

Exercice 8 D´eterminer les fonctions de d´eveloppement en s´erie enti`ere : i) f₁(x) =∑

n≥1

(−1)ⁿ⁻¹x²ⁿ⁻¹ 2n−1 , ii) f₂(x) =∑

n≥1(2n−1)x²ⁿ⁻², iii) f₃(x) =∑

n≥1n(n+ 1)xⁿ⁻¹.

Exercice 9 Calculer les sommes, en pr´ecisant le domaine de convergence de : i) f₁(x) =∑

n≥1 n xⁿ, ii) f2(x) =∑

n≥1x⁴ⁿ⁻³ 4n−3, iii) f₃(x) =∑

n≥1n⁽⁻¹⁾ⁿxⁿ.

Exercice 10 Trouver les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere de l’equation diff´erentielle : xy^′′+y= 0.

A-t-on toutes les solutions ?

Exercice 11 Trouver les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere de l’equation diff´erentielle : xy^′′+ 3y^′−4x³y = 0.

Reconnaˆıtre ces solutions. A-t-on toutes les solutions ?

2

Exercice 12 Trouver les solutions d´eveloppables en s´erie enti`ere de l’equation diff´erentielle :

x²y^′′+ 4xy^′+ (2−x²)y= 1.

Reconnaˆıtre les solutions. A-t-on toutes les solutions ?

Exercice 13 D´eterminer le d´eveloppement en s´erie enti`ere des fonctions :

f1(x) =

∫ _x

0

e^−t2dt f2(x) =

∫ _x

0

sin(t) t dt.

Exercice 14 Calculer sous forme de s´erie l’int´egrale I =∫_+∞

0 ln(1 +e^−x)dx apr`es en avoir montr´e la convergence.

En d´eduire la valeur de l’int´egrale.

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