La fonction partie entière est dérivable surR\Zet discontinue surZ

Fonction partie entière x7→ bxc

Lafonction partie entièreest la fonctionb.c:R→Zdéfinie parbxc=noùnest l’unique entier tel que n6x < n+ 1

On note également parfois Ent(x) la partie entière dex.

La fonction partie entière est dérivable surR\Zet discontinue surZ.

∀x∈R , bxc6x <bxc+ 1 , x−1<bxc6x

Fonction valeur absolue x7→ |x|

Lafonction valeur absolueest la fonction|.|:R→[0,+∞[ définie par

|x|=

(xsix>0

−xsix <0

La fonction valeur absolue est continue surR et dérivable surR^∗. C’est une fonction paire.

∀x∈R, |x|>0 , | −x|=|x| , √

x²=|x|

∀(x, y)∈R² , |x×y|=|x| × |y| , |x+y|6|x|+|y| ; ∀(x, y)∈R×R^∗ , x y

= |x|

|y|

∀r∈R+, |x|=r⇐⇒(x=−roux=r)

∀r∈R+ , |x|< r⇐⇒ −r < x < r , |x|> r⇐⇒(x <−roux > r)

Fonction exponentielle x7→e^xoux7→exp(x)

La fonction exponentielleexp :R→]0,+∞[ est l’unique fonction dérivable surR qui est égale à sa propre dérivée et dont l’image de 0 vaut 1. On note exp(x) = e^x.

Si u:I→Rest dérivable surIalors expuest dérivable surI et (expu)⁰=u⁰×expu

La fonction exp est continue sur R, dérivable surR, strictement croissante surR.

Autres propriétés :

∀(x, y)∈R², e^x+y = e^x×e^y , e^x−y= e^x

e^y ; ∀(x, α)∈R² , (e^x)^α= e^αx

∀(x, y)∈R² , e^x= e^y ⇐⇒x=y , e^x<e^y⇐⇒x < y

Fonction logarithme népérien x7→ln(x)

Pour toutx∈]0,+∞[ il existe un uniquey∈Rtel que e^y =x.

On note alorsy= ln(x) et on définie ainsi la fonctionlogarithme népérienln : ]0,+∞[→R.

C’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Si u:I→]0,+∞[ est dérivable surI alors lnuest dérivable surI et (lnu)⁰= u⁰

u

La fonction ln est continue surR₊^∗, dérivable surR^∗₊, strictement croissante surR^∗₊. Autres propriétés :

∀(x, y)∈(R^∗₊)² , ln(x×y) = lnx+ lny , ln x

y

= lnx−lny

∀x∈R^∗₊ , e^lnx=x ; ∀x∈R , ln(e^x) =x

∀(x, y)∈(R^∗₊)², lnx= lny⇐⇒x=y , lnx <lny⇐⇒x < y

∀(x, α)∈R^∗ ×R, lnx^α=αlnx

Fonction exponentielle de base a∈]0,+∞[ x7→exp_a(x)

Soita >0. La fonctionexponentielle de base aest exp_a: R→]0,+∞[ définie par exp_a(x) =a^x= e^xlna

Si a= 1, c’est la fonction constante égale à 1.

La fonction exp_a est continue sur R, dérivable sur R, strictement monotone sur R (strictement croissante si a >1 et strictement décroissante si 0< a <1).

Autres propriétés :

∀(x, y)∈R² , a^x+y =a^x×a^y , a^x−y=a^x

a^y ; ∀(x, α)∈R² , (a^x)^α=a^αx

∀(x, y)∈R², a^x=a^y ⇐⇒x=y

Fonction logarithme décimal : x7→log(x)

La fonctionlogarithme décimal(ou logarithme de base 10) est log : ]0,+∞[→Rdéfinie par log(x) = lnx

ln 10 C’est la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base 10.

La fonction log est continue surR^∗₊, dérivable surR₊^∗ et strictement croissante surR^∗₊. Autre propriétés :

∀(x, y)∈R^∗₊×R, 10^logx=x , log(10^y) =y , y= logx⇐⇒x= 10^y

∀(x, y)∈(R₊^∗)² , logx= logy⇐⇒x=y , logx <logy⇐⇒x < y

Fonction puissance α∈R\Z x7→x^α

Soitα∈R\Z. La fonctionpuissanceαestfα: ]0,+∞[→R définie par fα(x) =x^α= e^αlnx

Si u:I→]0,+∞[ est dérivable surI alorsu^α est dérivable surI et (u^α)⁰=α×u⁰×u^α−1

La fonctionf_αest continue surR₊^∗ ,dérivable surR^∗₊, strictement monotone surR^∗₊(strictement croissante si α >0 et strictement décroissante siα <0).

Autres propriétés :

∀(x, y)∈(R^∗₊)², (x×y)^α=x^α×y^α , x

y ^α

=x^α

y^α , x^α×x^β=x^α+β , x^α

x^β =x^α−β , (x^α)^β=x^α×β

♥

Pour touta >0 etb∈R on définit de manière générale : a^b= e^blna Remarque 1: Cas particuliers

X Siα >0, la fonction puissance admet un prolongement continue àR⁺.

X Ce prolongement pourα= ¹₂ correspond à la fonctionracine carrée(notée√

x), bien connue, qui est la réciproque de la restriction de la fonction carrée à [0,+∞[.

Remarque 2: Cas où α∈Z

X Siα= 0 par convention la fonction puissance est définie surR comme la fonction constante égale à 1.

X Siα=n∈N^∗ la fonction puissance est définie surRpar xⁿ=x× · · · ×x

| {z }

nfois

La fonction ainsi définie est continue et dérivable surR.

X Siα=−n <0 avec n∈N^∗ la fonction puissance est définie surR^∗ par x⁻ⁿ= 1

xⁿ La fonction ainsi définie est continue et dérivable surR^∗.

X Ces fonctions sont paires sinest pair (resp. sont impaires sinest impair).

X A retenir quandn∈Z^∗ :x²ⁿ est du signe dex² etx²ⁿ⁺¹ est du signe dex.

Fonction racine n-ième

• Soitn∈N^∗ pair.Pour toutx∈[0,+∞[ il existe un uniquey∈[0,+∞[ tel queyⁿ =x.

On note alorsy= √ⁿ

xet on définie ainsi la fonctionracine n-ième √ⁿ

.: [0,+∞[→[0,+∞[.

C’est la fonction réciproque de la restriction de la fonctionx7→xⁿ à l’intervalle [0,+∞[.

• Soitn∈N^∗ impair.Pour toutx∈R il existe un uniquey∈Rtel que yⁿ=x.

On note alorsy= √ⁿ

xet on définie ainsi la fonctionracine n-ième √ⁿ

.: R→R.

C’est la fonction réciproque de la fonctionx7→xⁿ. Dans ce cas la fonction √ⁿ

.est impaire.

•Dans tous les cas, la fonction √ⁿ

.est dérivable (sauf en 0 sin>2) et strictement croissante sur son ensemble de définition. On a de plus

∀x∈R₊^∗ , √ⁿ

x=xⁿ¹ = e^n1lnx ce qui permet d’étudier √ⁿ

. surR^∗₊ (comme cas particulier de fonction puissance avecα= 1/n). Dans le cas oùnest impair, on en déduit l’étude surRpar imparité de √ⁿ

.. Autres propriétés : (casnpair) ∀(x, y)∈(R+)² , √ⁿ

xⁿ= √ⁿ xn

=x , y=xⁿ ⇔x= √ⁿ y (casnimpair) ∀(x, y)∈R², √ⁿ

xⁿ = √ⁿ xⁿ

=x , y=xⁿ⇔x= √ⁿ y

Fonction circulaires : x7→cos(x) x7→sin(x) x7→tan(x)

Les fonctionscosinuscos :R→R etsinussin :R→Rsont respectivement définies comme étant l’abscisse et l’ordonnée du point M(x) associé au réel x lors de l’enroulement usuel de la droite réelle sur le cercle trigonométrique.

La fontion tangentetan :D →Rest définie surD=R\π

2 +kπ; k∈Z par tan(x) = sin(x)

cos(x) .

La fonction cos est dérivable sur R, paire et 2π-périodique. La fontion sin est dérivable sur R, impaire et 2π-périodique. La fonction tan est dérivable surD, impaire etπ-périodique.

∀x∈R, cos⁰(x) =−sin(x) , sin⁰(x) = cos(x) ; ∀x∈ D, tan⁰(x) = 1

cos²(x) = 1 + tan²(x) Si u:I→Rest dérivable surIles fonctions cosuet sinusont dérivables surI et

(cosu)⁰=−u⁰×sinu ; (sinu)⁰=u⁰×cosu

x π π

2 π 3

π 4

π 6

cos(x) −1 0 1

2

√2 2

√3 2

sin(x) 0 1

√3 2

√2 2

1 2

tan(x) 0 ND √

3 1

√ 3

x −√

3 −1 −

√3

3 0

√3

3 1 √

3

arctan(x) −π

3 −π

4 −π

6 0 π

6 π 4

π 3

Fonction circulaires réciproques : x7→arccos(x) x7→arcsin(x) x7→arctan(x)

• Pour toutx∈[−1,1], il existe un uniquey∈[0, π] tel que cosy=x.

On note alorsy= arccos(x) et on définie ainsi la fonctionarccosinusarccos : [−1,1]→[0, π].

C’est la fonction réciproque de la restriction de la fonction cos à l’intervalle [0, π].

∀x∈[−1,1], cos(arccos(x)) =x ; ∀y∈[0, π], arccos(cos(y)) =y

• Pour toutx∈[−1,1], il existe un uniquey∈h

−π 2,π

2 i

tel que siny=x.

On note alorsy= arcsin(x) et on définie ainsi la fonctionarcsinusarcsin : [−1,1]→h

−π 2,π

2 i

. C’est la fonction réciproque de la restriction de la fonction sin à l’intervalleh

−π 2,π

2 i

.

∀x∈[−1,1], sin(arcsin(x)) =x ; ∀ y∈h

−π 2,π

2 i

, arcsin(sin(y)) =y

• Pour toutx∈R, il existe un uniquey∈i

−π 2,π

2 h

tel que tany=x.

On note alorsy= arctan(x) et on définie ainsi la fonctionarctangentearctan : R→i

−π 2,π

2 h

. C’est la fonction réciproque de la fonction tan.

La fonction arctan est dérivable surR, strictement croissante et impaire surR.

∀ x∈R , tan(arctan(x)) =x ; ∀ y∈i

−π 2,π

2 h

, arctan(tan(y)) =y Si u:I→Rest dérivable surIla fonction arctanuest dérivable surI et

(arctanu)⁰ = u⁰ 1 +u²