II. S ÉRIES À TERMES DE SIGNE QUELCONQUE , SÉRIES COMPLEXES

Séries numériques

I. S ÉRIES À TERMES POSITIFS

1) Dans chacun des cas suivants, étudier la nature de la série de terme généralun : (a) u_n= 1

n|sinn|

(b) un= 1

(ln (lnn))^−ln(lnn)

(c) un= Z n+1

n

sin²t t dt

(d) u_n=

ch1 n

−n⁵²

(e) u_n=h

Arc cos

n n+1

i^α α∈R (f) un=a

√n, a >0

(g) un= (₁

n sinest un carré

1

n² sinon

(h) un=

n

X

k=1

(lnk)²

!−1

(i) u_n= n!aⁿ n^αnⁿ (j) u_n= (lnn)ⁿ

n!

(k) u_n=

(a+ 1) (a+ 2). . .(a+n) (b+ 1) (b+ 2). . .(b+n)

^λ

(l) un= n^bn!

a(a+ 1). . .(a+n)

(m) un= 2n

n 1 4

ⁿ

(n) u_n=

1×3× · · · ×(2n−1) 2×4× · · · ×2n

³

2) Irrationalité dee

(a) À l’aide de la formule de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction exponentielle, montrer que e=

∞

X

n=0

1 k!

(b) On noteR_n =X

k>n

1

k! le reste d’ordrende cette série. Montrer que R_n6 1 n.n!. (c) En déduire queeest irrationnel.

Indication : supposere= ^p_q et considérerRq.

(d) En utilisant une méthode similaire, montrer quecos 1est irrationnel.

3) Trouver la partie entière de

10⁹

X

k=1

k^−2/3.

4) Soit X

u_n une série à termes positifs. On pose v_n = u_n 1 +un

. Montrer que X

u_n et X

v_n sont de même nature.

5) Soit(un)_n>1 une suite réelle décroissante telle queX

un converge.

(a) Montrer quenu_n −−−−→

n→∞ 0(considérer

2n

X

k=n+1

u_k).

(b) Montrer que

∞

X

n=1

n(u_n−u_n+1)converge et a même somme que

∞

X

n=1

u_n.

(c) Application : calculer, pour06r <1,

∞

X

k=1

kr^k et06r <1,

∞

X

k=1

k²r^k.

6) Soit(an)une suite réelle positive. On poseun= an

(1 +a1) (1 +a2). . .(1 +an).

(a) Montrer que la sérieX

unconverge.

Indication : écrirea_n= 1 +a_n−1!

7) Montrer qu’il existe une unique suite réelle(u_n)_n∈Ntelle que∀n∈N^∗, e^un+u_n−n= 0. Etudier, pour(a, b)∈R², la nature de la série de terme généralu_n−alnn− b

nlnn. 8) On considère la suite(u_n)_n∈Ndéfinie paru₀>0et ∀n∈N, u_n+1= sinu_n.

(a) Montrer que la suite(u_n)_n∈N est convergente, de limite nulle.

(b) Etudier la nature de la série de terme général ln un+1

un

, et en déduire la nature de la série Xu²_n.

(c) Etudier la nature de la série de terme général (un+1−un), et en déduire la nature de la série Xu³_n.

(d) Nature de la sérieX u_n ?

(e) Etudier la suite de terme généralvn= 1 u²_n+1 − 1

u²_n. En déduire un équivalent deun. (f) Nature de la sérieX

u^α_n, α∈R?

II. S ÉRIES À TERMES DE SIGNE QUELCONQUE , SÉRIES COMPLEXES

1) Dans chacun des cas suivants, étudier la nature de la série de terme généralu_n : (a) un= sin

πp

n²+ 1

(b) un= (−1)ⁿ n−lnn

(c) u_n=

Z (n+1)π

nπ

sint

t^α dt, α >0

(d) un = (−1)ⁿ√ nsin1

n (e) un = cos

πp

n²+n+ 1

(f) u_n = sin π

2 +√ 5n

(g) un= (−1)ⁿ n^α+ (−1)ⁿ (h) un= sin^p(πen!),p∈N^∗

(i) un= (−1)ⁿ ln (n+ (−1)ⁿ)

2) Soitu_n=

∞

X

k=n

(−1)^k

√k+ 1. Étudier la convergence de la sérieX u_n.

3) Une bizarrerie de la série harmonique alternée (a) Soit un = (−1)ⁿ⁻¹

n , terme général de la série harmonique alternée. Calculer la somme de cette série.

(b) On pose a_p = 1

2p−1 et a_p = −1

2p, pourp∈N^∗. Soient M et N deux entiers strictement positifs.

On définit la suite(c_p)_p∈Ndépendant deM et N en posant :

• lesM premiers termes de(cp)_p∈N sont dans l’ordre lesM premiers termes de(ap)_p∈N ;

• lesN termes suivants de(cp)_p∈N sont dans l’ordre lesN premiers termes de(bp)_p∈N ; On recommence ainsi de suite en épuisant alternativementM termes de la suite(a_p)_p∈N puisN termes de la suite(b_p)_p∈N.

Trouver des formules permettant d’exprimercpen fonction de ap⁰ etbp⁰⁰. Calculer

k(M+N)

X

p=1

cp et la limite de cette somme quandktend vers+∞.

En déduire que la série de terme généralcpest convergente et calculerSM,N =

+∞

X

p=1

cp. N’y aurait-il pas un problème ? Essayer de trouver une explication et généraliser.

4) Groupement de termes

On considère la série de terme généralun. Pour toute injection strictement croissanteϕ:N→Ntelle queϕ(0) = 0, on peut considérer la suite(vn)définie par :

(∀n∈N)v_n =

ϕ(n+1)−1

X

k=ϕ(n)

u_k

(a) Montrer que siu_n>0pour toutn, alors les sériesX

u_n etX

v_nsont de même nature, et qu’en cas de convergence elles ont même somme.

Applications :

• un = 1

a_n, où an est le n^eme` entier ne contenant pas le chiffre 0 dans son développement décimal,

• u_n=p^−p_n ⁿ, oùp_n le nombre de chiffres de l’écriture décimale den.

(b) Montrer sur un exemple simple que le résultat précédent tombe en défaut si (u_n) n’est pas de signe constant.

(c) On suppose ici queun est de signe quelconque, mais de limite nulle. D’autre part, on suppose queϕ(n) =pn,pétant un entier naturel non nul.

Montrer alors qu’on retrouve le résultat précédent : X

un etX

vn sont de même nature, et de même somme en cas de convergence.

Application :

• u_n=cos^2nπ₃ n

• un=(−1)(ⁿ³) n .

(d) Chercher un exemple montrant qu’on ne peut pas généraliser le résultat précédent au cas d’une série à termes de signe quelconque mais de limite nulle, avec des groupements de taille variable.

5) Sommation par paquets, ou transformation d’Abel

Soit(an)et(bn)deux suites réelles. On s’intéresse à la sérieX anbn. (a) On noteAn =

n

X

k=0

ak. Montrer que :

∀(p, q)∈N²

q

X

k=p+1

akbk =Aqbq−Apbp+1+

q−1

X

k=p+1

Ak(bk−bk+1)

(b) En déduire que chacune des conditions (I), (II) et (III) ci-dessous est suffisante pour que la série Xanbnconverge :

• (I) la suite(A_n)est bornée, la suite(b_n)est à valeur dansR^∗+ et converge vers0en décrois- sant,

• (II) la sérieX

a_n converge,(b_n)est à valeur dansR^∗+ et décroissante,

• (III) la suite(An)est bornée,bn −−−−→

n→∞ 0etX

|vn−vn+1|converge.

(c) Applications

i. Soit(v_n)une suite réelle convergeant vers0en décroissant. Montrer que pour toutθ∈R\2πZ, la sérieX

v_ne^inθ est convergente.

Ainsi,X

n>1

cosnθ n^α et X

n>1

sinnθ

n^α convergent dès queα >0.

ii. SoitX

un une série convergente. Montrer que pour tout α > 0, la série Xun

n^α est encore convergente.

III. S ÉRIES DOUBLES , PRODUITS INFINIS

A. Séries doubles

1) (a) Soitα >1.Déterminer un équivalent deRn=

∞

X

k=n+1

1 k

α

.

(b) Pour quelles valeurs deαla somme

∞

X

n=0

Rn a-t-elle un sens ?

(c) Montrer qu’alors

∞

X

n=0

∞

X

k=n+1

1 k^α =

∞

X

p=1

1 p^α−1.

2) (a) Justifier :

∞

X

n=1, n6=p

1

n²−p² = 3 4p². (b) En déduire :

∞

X

p=1

∞

X

n=1, n6=p

1 n²−p² 6=

∞

X

n=1

∞

X

p=1, p6=n

1 n²−p². 3) Soitaun complexe de module strictement inférieur à1.

En introduisantup,q=a^p(2q−1)(p, q>1), établir l’égalité :

∞

X

p=1

a^p 1−a^2p =

∞

X

p=1

a^2p−1 1−a^2p−1

4) Convergence et calcul, pourz∈C, deX

n=0

z²ⁿ 1−z²ⁿ⁺¹.

B. Produits infinis

1) Soit(un)_n>1 une suite de complexes.

(a) Montrer : 1 +

N

X

n=1

|un|6

N

Y

n=1

1 +|un|6e^PNn=1|un|.

(b) En déduire que la suite croissante

N

Y

n=1

1 +|un|

!

a une limite finie si et seulement si la série Xun estabsolument convergente.

(c) On suppose être dans ce cas, et de plus (∀n>1) 1 +u_n 6= 0. Montrer que X

ln (1 +u_n) est absolument convergente, et en déduire que

∞

Y

n=1

(1 +un) converge. On dit dans ce cas que le produit infiniY

(1 +un)estabsolument convergent.

2) Pour quelles valeurs dep∈Rle produit infini

∞

Y

k=1

1 +k^−p

est-il convergent ? 3) Montrer que les produits infinis suivants convergent, et en calculer la somme :

•

∞

Y

n=1

1 + 1

n(n+ 2)

•

∞

Y

n=2

1− 2

n(n+ 1)

•

∞

Y

n=2

n³−1 n³+ 1