• Aucun résultat trouvé

Universit´e de Nantes

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Universit´e de Nantes"

Copied!
2
0
0

Texte intégral

(1)

Universit´e de Nantes Ann´ee 2004-2005 D´epartement de Math´ematiques Licence de Maths Classiques, module M62

Liste d’exercices n1

Chap. 1 : Applications diff´erentiables.

Exercice 1)Etudier la continuit´´ e et la diff´erentiabilit´e des fonctions f d´efinies sur R2 par (a)

f(x, y) =

 x3y

x2+y2 si (x, y)6= (0,0), 0 si (x, y) = (0,0). (b)

f(x, y) =

 xy2

x2+y2 si (x, y)6= (0,0), 0 si (x, y) = (0,0).

Dans le cas (b), on pourra chercher `a calculer les d´eriv´ees partielles, puis montrer que f n’est pas diff´erentiable.

Exercice 2) a) Soit ϕ :Rn →R, x 7→ kxk2 =< x , x >, et ψ :Rn →R, x7→ kxk. ´Etudier la diff´erentiabilit´e, et d´eterminer la diff´erentielle premi`ere en tout point o`u elle existe de ces deux fonctions.

b) Soitf :Rn\{0} →Rn,x7→ x

kxk2. Montrer quef est diff´erentiable et que sa diff´erentielle premi`ere en tout point est une similitude.

Exercice 3)a) SoitA∈L(Rn,Rp), soitb ∈Rp et soitf l’application affineRn→Rp d´efinie par f(x) = A ·x+b. Montrer que f est diff´erentiable sur Rn et que pour tout a ∈ Rn, Df(a) = A.

b) Soit B : Rn×Rn → R une application bilin´eaire. Montrer que B est diff´erentiable sur Rn×Rn et que pour tout (a, b)∈Rn×Rn et pour tout

(h, k)∈Rn×Rn, D B((a, b)) : (h, k)7→B(h, b) +B(a, k).

c) Montrer que toute application multilin´eaire Rn× · · · ×Rn

| {z }

p

→ R, est diff´erentiable et d´eterminer sa diff´erentielle en tout point.

Exercice 4) Soit E = Mn(R). On consid`ere l’application f : E → E, (que l’on peut consid´erer comme une fonction de Rn2 → Rn2), d´efinie par A 7→ A2. Montrer que f est diff´erentiable et de classe C1 (et mˆeme de classe C) et calculer sa diff´erentielle en tout point.

Exercice 5) Soit E = Mn(R). On consid`ere l’application f : E → R, (que l’on peut consid´erer comme une fonction de Rn2 →R), d´efinie par A7→det(A).

a) Montrer quef est diff´erentiable et de classe C1 (et mˆeme de classe C).

b) SoitH ∈E. On consid`ere la fonction γ :R→R, d´efinie par γ(t) =f(I+t H). Montrer queγ est d´erivable, puis calculer ˙γ(0) afin d’´etablir l’´egalit´e Df(I) (H) = trace(H).

c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que l’on a, pour tout couple (M, H) de E×E, Df(M) (H) = trace (tcom(M)H), o`u com(M) d´esigne la comatrice de M. (On peut commencer par prouver le r´esultat pour M inversible, puis en d´eduire le r´esultat pour M non inversible).

(2)

d) Soit A ∈ E. En consid´erant les deux fonctions γ1(t) = det(et A), et γ2(t) = ettrace(A), prouver que l’on a det(eA) = etrace(A).

Exercice 6) Soit f : R → R une fonction de classe C1 ; on notera f0 sa fonction d´eriv´ee.

On consid`ere la fonction r´eelle de trois variables r´eelles x, y etz d´efinie par F(x, y, z) =

Z x 0

f(ty3+z3)dt .

a) Montrer queF a des d´eriv´ees partielles d’ordre 1 par rapport `a chaque variable en tout point de R3.

b) Montrer queF est diff´erentiable. ´Ecrire la matrice de DF(x, y, z) .

c) Soit G(x, y) := F(x, y, x). Montrer que G est diff´erentiable et calculer sa diff´erentielle DG(x, y).

Exercice 7)a) Soit I un intervalle ouvert deR, a un point deI et f une fonction continue I → R. On suppose que f est d´erivable en tout point de I\{a} et que f0(x) a une limite finie ` quand x tend vers a. Montrer que f est d´erivable en a et que f0(a) =`.

b) Soit U un ouvert de Rn, a un point de U et f une fonction continue U → Rp. On suppose quef est diff´erentiable surU\{a}et que Df(x) admet une limiteAdans L(Rn,Rp).

Montrer que f est diff´erentiable en a et queDf(a) =A. (On pourra consid´erer la fonction g(x) = f(x)−f(a)−A·(x−a)).

Exercice 8) Soit U un ouvert connexe de Rn et f : U → Rp une application diff´erentiable dont la diff´erentielle Df : U → L(Rn,Rp) est constante : il existe A ∈ L(Rn,Rp) telle que pour tout x ∈ U, Df(x) = A. En consid´erant la fonction g : U → Rp, x 7→ f(x)−A·x, montrer quef est une application affine.

Exercice 9)a) SoitU un ouvert deRnetf :U →Rune application diff´erentiable. Montrer que si a∈U est un maximum ou un minimum relatif, alors Df(a) = 0.

b) SoitU un ouvert born´e (non vide) de Rn. Soit f :Rn→ Rune fonction continue sur U, diff´erentiable sur U, et telle que f(x) = 0 pour tout x ∈ U\U. Montrer qu’il existe a ∈ U tel que Df(a) = 0. (Indication : se rappeler qu’une fonction continue sur un compact est born´ee et atteint ses bornes).

Ce r´esultat g´en´eralise un th´eor`eme bien connu : lequel?

Références

Documents relatifs

[r]

[r]

Formuler le fait qu’une suite n’est pas p´eriodique `a partir d’un certain rang.. Formules avec

D´eterminer l’aire maximale d’un parall´elogramme inscrit dans une ellipse du plan3. Calculer le volume maximal du parall´epid`ede rectangle inscrit dans un

A l’aide de la commande plot, tracer les solutions pour des constantes d’int´ egration C1 qui varie de −10 ` a −1 en prenant des valeurs enti` eres3. Imposer des conditions

Si non, donner un contre-exemple et proposer une version

Dans cette premi` ere partie, on va rappeler les diff´ erents points de syntaxe Scilab permettant de d´ efinir et de repr´ esenter graphiquement des fonctions d’une variable.. (a)

Universit´ e Pierre et Marie Curie Licence de Math´ ematiques LM 383 Ann´ ee universitaire 2006-2007. Premi` ere s´