e
er
ex
ey
H
M (m)
Sol sens > 0 pour θ
O ez
g
B A
Physique PCSI DS7
Lundi 23 mars 2020 On rédigera clairement sa copie et on encadrera en couleur tous les résultats demandés.Un résultat numérique sera donné accompagné de son unité. De nombreuses questions sont indépendantes, ne pas abandonner « trop vite » un exercice.
Laisser de la place en haut de la première feuille de votre copie pour la note et les commentaires.
Faire un effort sur l’écriture et l’orthographe.
I- Glissade puis chute d’un point matériel
Un point matériel M de masse m peut glisser sans frottement sur un support de glace en forme de quart de cercle de rayon .
A l’instant initial le point M est lâché sans vitesse en un point A du support tel que (t = 0) = θA = 0.
On appelle t1 l’instant pour lequel M quitte le support de glace (point B : θ(t1) = θB). La vitesse en B est notée vB est sa norme vB= vB . Les vitesses atteintes par le point M sont assez faibles pour que l’on puisse négliger toute force de frottement fluide quel que soit l’instant t.
On néglige par ailleurs tout frottement solide ainsi que la poussée d’Archimède.
Remarque : dans ce problème, de nombreuses parties sont indépendantes.
On peut notamment faire une grande partie des questions du 3°), (qui sont du niveau de terminale S) même si l’on n’a pas répondu aux premières questions.
1°) Détermination de l’équation différentielle vérifiée par entre t = 0 et t = t1 via le principe fondamental de la dynamique.
a) Déterminer l’expression littérale du poids P du point matériel dans la base cylindrique e ,e ,er z b) Donner l’expression de la force (inconnue) de réaction R du support sur le point matériel dans la base cylindrique e ,e ,er z
c) Déterminer l’expression de l’accélération a du point matériel M dans la base cylindrique pour la situation décrite entre t = 0 et t = t1.
On exprimera a en fonction de , , et de vecteurs unitaires de la base cylindrique.
d) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et donner ainsi l’équation différentielle vérifiée par la variable θ (équation différentielle du mouvement) pour 0 < t < t1.
2°) Etude énergétique pour 0 < t < t1.
a) Donner l’expression du déplacement élémentaire dOM en coordonnées cylindriques pour le problème exposé ici : on donnera dOM en fonction de , de la variation élémentaire dθ et d’un vecteur unitaire à définir.
b) Déterminer l’expression littérale du travail du poids P du point matériel (noté
( 0 t )
WP
→ ) entre l’état initial (θ)t = 0 = 0 et un état quelconque : instant t, angle θ.
On donnera au final
( 0 t )
WP
→ en fonction de constantes de problème et de l’angle θ.
c) Déterminer le travail de la force de réaction R du support sur le point matériel noté
( 0 t )
WR
→ entre l’état initial (θ)t = 0 = 0 et un état quelconque : instant t, angle θ.
d) Appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre l’état initial et un état quelconque et en déduire l’expression de la vitesse v = v en fonction de g, et θ.
e) Grâce à cette expression, retrouver l’équation différentielle du mouvement.
f) Donner l’expression littérale de la vitesse vB du point matériel lorsqu’il arrive au point B.
e
er
e x
ey
H
M (m)
Sol
sens > 0 pour θ
O ez
g
B A
C vB
vC
3°) Etude du mouvement pour t > t1.
On a donc vB= −v .eB x où vB= vB est la vitesse du point matériel M lorsqu’il arrive au point B.
B B x
v = −v .e est la vitesse initiale de la deuxième partie du mouvement pour laquelle M n’est plus au contact d’aucun support (chute libre).
a) Appliquer le principe fondamental de la dynamique pour t > t1 et donner ainsi les équations différentielles vérifiées par les variables cartésiennes x, y et z.
b) Déterminer l’évolution de la variable x pour t > t1. On donnera x en fonction de vB, t1 et t.
c) Déterminer l’évolution de la variable y pour t > t1. On donnera y en fonction de g, t, t1 et .
d) Donner l’équation de la trajectoire y(x) pour t > t1. On donnera ici y en fonction de g, vB, et x.
e) Donner à présent y en fonction de et x uniquement (on remplace vB par l’expression déterminée au 2°)f)) .
f) On note C le point d’impact de M sur le sol (voir figure ci-contre).
Déterminer l’abscisse (notée xC) de ce point (valeur de la variable x lorsque M atteint C). On donnera xC en fonction de et H.
4°) Déterminer la norme du vecteur vitesse noté vC = vC lorsque M arrive en C. On exprimera vc en fonction de constantes du problème.
II- Ressort sur guide incliné en rotation :
On considère un point matériel M de masse m assujetti à un ressort de raideur k et de longueur à vide l0. On note g = g l’accélération de la pesanteur.
M glisse sans frottement solide sur une tige Oe qui guide le ressort. r
Cette tige est inclinée d’un angle par rapport à la verticale (voir figure1).
L’angle reste constant au cours du mouvement.
On note R le référentiel du laboratoire supposé galiléen.
La tige est en rotation uniforme autour de l’axe Oe à la vitesse de rotation (constante) z
= dt
d (voir aussi figure2)
On travaillera dans la base orthonormée de coordonnées
sphériques O, er,e,een utilisant les variables sphériques H
e r
O
e y
M (m)
e z
g
e
e x
e
Figure 1
r = OM ; =
(
ez;OM)
; =(
ex;OH)
H étant le projeté orthogonal de M dans le plan Oxy (voir figure1) Rappelons que le vecteur unitaire e
appartient au plan Oxy et qu’il est perpendiculaire à OH.
La tige est graissée pour éviter les frottements solides (que l’on négligera donc ici).
Par ailleurs on néglige tout frottement fluide.
On posera 0 k
= m (pulsation propre du système si la tige n’était pas en rotation) L’obtention des composantes de l’accélération en coordonnées sphériques
est assez fastidieuse. Nous rappelons ici le résultat : a=ar.er+a.e+a.e )
² sin
².
² .(
r r
ar =− + ; a =2.r.+r.−r.².sin.cos ; a =2.r...cos+2.r..sin+r..sin
1°) Donner les expressions projetées dans le système de coordonnées sphériques (projections sur er,e,e)….
a) … du poids P du point matériel
b) …. de la réaction R de la tige sur le point matériel M c) …. de la force de rappel T du ressort
2°) Dans le référentiel du laboratoire, appliquer le principe fondamental de la dynamique en coordonnées sphériques et donner ainsi l’équation différentielle vérifiée par la variable : r = OM pour ce mouvement.
3°) Donner une condition sur (inégalité) pour que le régime soit oscillatoire (régime harmonique).
4°) On suppose que cette condition est respectée, donner alors l’expression littérale de r(t) sachant que (r)t=0 = 0 et
t 0
dr 0
dt =
=
. On exprimera ici r uniquement en fonction de g, Ω, ω0 , θ, 0 et t .
III- Particule chargée dans une champ électrique et un champ de pesanteur uniformes.
Particule libre dans le champ de pesanteur et un champ électrique uniforme et permanent en l’absence de
« frottement ».
On s’intéresse à une particule chargée de charge q > 0 et de masse m, assimilable à un point matériel M.
Dans cet exercice le poids n’est pas négligeable devant la force électrique.
Dans la zone où se situe la particule, il règne le champ électrique E=E.ezuniforme et permanent (où E représente une constante positive).
On rappelle que la présence d’un champ électrique entraine pour une particule chargée de charge q la présence d’une force électrique F=q.E
Par ailleurs il règne également le champ de pesanteur g=−g.ez (g est une constante positive)
Durant tout l’exercice, nous admettrons que le poids est plus grand que la force électrique : m.g > q.E
L’altitude de M par rapport à O (origine du repère utilisé et point fixe du référentiel terrestre, considéré comme galiléen) est notée z : z = OM Les conditions initiales sont les suivantes :
A t = 0, (z)t=0 = d > 0 et
( )
t 0 0 0 z 0t
e . v v dt v
OM
d = = =
=
=
avec v0 > 0
1°) Etude dynamique :
O
ez g
e x e y
Surface « balayée » par la tige au cours de son mouvement par rapport au référentiel du laboratoire
Figure 2
V0
E
(M)t=0
O
d
g
e z
e x
a) Appliquer le principe fondamental de la dynamique et en déduire l’équation horaire z(t) (évolution de la variable z en fonction du temps.
b) En déduire l’altitude maximale (notée zmax) atteinte par le point matériel M (on pourra nommer t1 l’instant pour lequel z = zmax). On veillera à simplifier au maximum l’expression finale.
c) On veut déterminer l’expression du vecteur vitesse à l’instant où le point matériel M passe par le point O. On nommera t2, l’instant > 0 pour lequel z = 0 (donc pour lequel M est en O).
On demande dans cette question d’exprimer l’instant t2 (en fonction de V0, d, m, g, q, E) puis le vecteur vitesse v(t )2 en fonction de V0, d, m, g, q, E et ez.
2°) Etude énergétique :
a) Déterminer l’expression littérale de l’énergie potentielle Ep associée au point matériel M.
Pour le calcul de la constante, on prendra la convention suivante : l’énergie potentielle est nulle au point O (origine du repère utilisé).
On exprimera Ep en fonction de g, q, m, E et z.
b) On donne au point matériel M les conditions initiales suivantes : A t = 0, z = d > 0 et
( )
t 0 0 0 z0 t
e . v v dt v
OM
d = = =
=
=
avec v0 > 0
En déduire l’expression littérale de l’énergie mécanique Em pour t > 0. On exprimera Em en fonction de V0, g, m, q, E et d.
c) Tracer la fonction Ep(z), faire apparaitre l’énergie mécanique sur ce diagramme et faire ainsi apparaitre les
« états interdits » pour la particule chargée.
d) En déduire l’altitude zmax que peut atteindre la particule avec ces conditions initiales.
e) Commenter ce résultat.
f) Représenter la trajectoire de phase du mouvement : dt
dzen fonction de z.
g) Grâce au théorème de l’énergie mécanique retrouver l’expression du vecteur vitesse v(t )2 à l’instant t2 où le point matériel M passe par le point O.
On donnera v(t )2 en fonction de V0, d, m, g, q, E et ez.
IV- Trajectoire dans l’espace
Un objet M de masse m (assimilé à un point matériel) est abandonné à une distance r0 du soleil sans vitesse initiale par rapport au référentiel de Kepler (considéré Galiléen).
On se place en coordonnées polaires. OM =r et OM=r.er On admet que mouvement sera plan dans le plan O, e ,e . x y
On peut considérer que tout se passe comme s’il n’y avait que le soleil
et l’objet M (les autres astres du système solaire, trop éloigné de M, n’ont aucune influence sur sa trajectoire).
On note ms la masse du soleil, Rs le rayon du soleil et G la constante de gravitation.
Rappel : la force exercée par le soleil sur l’objet (force gravitationnelle) s’écrit : G.m.ms r
F .e
= − r² en coordonnées polaires.
Initialement M est dans le plan O, e ,e x y
Comme indiqué sur la figure, l’angle initial entre e et OM est noté θx 0 et
t 0
OM = = r0.
On nomme dOM
v= dt la vitesse du point matériel et v= v la norme de ce vecteur.
1°) Démontrer les expression de la vitesse v et de l’accélération a du point M dans la base polaire O,e ,er
2°) Appliquer dans la base polaire, le principe fondamental de la dynamique au point matériel M pour t ≥ 0.
Instant initial φ0
Soleil
M (m) r0
z O e
e y
e x
En déduire 2 équations différentielles :
• l’une étant la projection du principe fondamental sur er(elle sera notée (1) )
• l’autre étant la projection du principe fondamental sur e(elle sera notée (2)).
3°) Au cours de ce mouvement l’angle θ restera constant et nous aurons donc, nous aurons θ = θ0 ∀ t.
Montrer que θ = constante = θ0 ∀ t est bien solution de (2)
4°) En déduire une nouvelle expression littérale de la vitesse v du point matériel.
5°) Déduire de 2°) et 3°) l’expression de l’équation différentielle (non linéaire) vérifiée par la variable r pour t ≥ 0.
6°) En appliquant le théorème de l’énergie cinétique déterminer l’évolution de la vitesse v = v en fonction de la distance r entre M et le centre su soleil. On donnera v en fonction de r0, r, G, ms.
7°) Retrouver cette expression à partir de l’équation différentielle (non linéaire vérifiée par la variable r).
8°) Donner l’expression littérale de la vitesse (notée v1) lorsque la distance de M par rapport au centre du soleil vaut 1 r0
r = 2. On exprimera v1 en fonction de G, ms et r0.
