new.affinite

(1)

Ellipse d´ eduite d’un cercle par affinit´ e orthogonale dans le plan.

Applications (en particulier, projection orthogonale d’un cercle sur un plan).

Dans ce document on va montrer que toute ellipse est l’image d’un cercle par une affinité orthogonale. Les affinités orthogonales étant en particulier des applications affines, cela perme- ttra de transférer aux ellipses toutes les propriétés affines du cercle. On verra aussi que d’autres types de propriétés du cercle ont des analogues pour l’ellipse.

Une ´etude des affinit´es est en appendice.

1. Image d’un cercle par une affinit´e orthogonale

Soit dans un plan affine euclidien P une ellipse E . Il existe un rep`ere orthonorm´e (O,−→ i ,−→

j ) dans lequel cette ellipse a pour ´equation

x² a² +y²

b² = 1, 0 < b < a.

Dans ce repère, E est aussi la courbe d’équations paramétriques x = a cos t, y = b sin t.

Soit Ω le point de coordonn´ees (−α, −β) dans (O,−→ i ,−→

j ) et M le point de coordonn´ees x = a cos t, y = b sin t. On a

−→

ΩM =

−→

ΩO +

−→

OM

= α~i + β~j + (a cos t)~i + (b sin t)~j

= (α + a cos t)~i + (β + b sin t)~j.

L’ellipse E a donc pour équations paramétriques x = α + a cos t, y = β + b sin t dans le repére (Ω,~i,~j).

Réciproquement, on voit facilement qu’une courbe d’équations paramétriques x = x0+a cos t, y = y0 + b sin t, 0 < b < a, dans un repère orthonormé (Ω,~i,~j) est une ellipse de centre O = (x0, y0), de grand axe (O,~i) et de petit axe (O,~j).

Remarquons qu’une preuve analogue avec a = b permet d’obtenir les ´equations param´etriques du cercle.

Soit un cercle C de centre Ω et d’équations paramétriques x = x₀+ R cos t, y = y₀+ R sin t dans le repère orthonomé (O,−→

i ,−→

j ) et soit h l’affinité orthogonale de base (O,~i) et de rapport k 6∈ {0, 1}. Pour tout t ∈ R, un point M a pour coordonnées x = x0+ R cos t, y = y₀+ R sin t si et seulement si les coordonnées de h(M ) sont x = x0+ R cos t, y = ky0+ kR sin t. La courbe

211

(2)

h(C) est donc une ellipse de centre h(Ω) = (x₀, ky₀) et d’axes (h(Ω),~i), (h(Ω),~j). L’axe (h(Ω),~i) est le grand axe si et seulement si |k| < 1.

Proposition 19.1. L’image d’un cercle par une affinité orthogonale de rapport non nul différent de 1 est une ellipse dont l’un des axes est parallèle à la base de l’affinité. Le grand axe de l’ellipse image est parallèle à la base de l’affinité si et seulement si le rapport de l’affinité est en valeur absolue inférieure à 1.

Remarques. 1) Par une généralisation immédiate de la preuve de la proposition précédente, on voit que l’image par une affinité orthogonale de rapport non nul différent de 1 d’une ellipse dont l’un des axes est parallèle à la base de l’affinité est une ellipse.

2) Si le rapport k de l’affinité orthogonale h est nul alors les équations paramétriques de h(C) deviennent x = x0+ R cos t, y = 0 et h(Ω) a pour coordonnées (x0, 0). La courbe h(C) est donc le segment de l’axe (h(Ω),~i), de milieu h(Ω) et de longueur 2R.

1.1. Construction géométrique de l’image d’un point. La donnée du cercle C de centre C, de (O,~i) et de h(C) (ou du rapport de h si ce nombre est constructible) permet de construire à la règle et au compas l’image par h d’un point M de C. (Si C ∈ (O,~i) on doit donner l’image par h d’un point qui n’appartient pas à sa base.)

Désignons par A et A⁰ les extrémités du diamètre de C orthogonal à l’axe (O,~i) et par B et B⁰ les extrémités du diamètre orthogonal à AA⁰.

Si M 6∈ {A, A⁰, B, B⁰}, on trace CM qui rencontre (O,~i) en I. L’image de la droite CI est la droite h(C)I d’où le point h(M ) qui est à l’intersection de h(C)I et de la perpendiculaire à (O,~i) passant par M .

Construction de h(A) et h(B).

La parallèle à (O,~i) passant par h(C) est l’image par h de la droite CB d’où la construction de h(B).

Si droite AB rencontre (O,~i) en J alors l’image par h de la droite AB est la droite h(B)J ce qui permet d’obtenir h(A).

1.2. L’ellipse, image de son cercle principal ou de son cercle secondaire par une affinité. Considérons l’ellipse E d’équation réduite x²

a² + y²

b² = 1, 0 < b < a dans un rep`ere orthonorm´e (O,−→

i ,−→

j ). Le cercle C₁ d’´equation x²+ y² = a² est le cercle principal de E et le cercle C2 d’´equation x²+ y² = b² est son cercle secondaire.

(3)

Soit l’affinit´e orthogonale h₁de base (O,~i) et de rapport b

a. Comme les ´equations param´etriques de C1 dans (O,−→

i ,−→

j ) sont x = a cos t, y = a sin t, l’ellipse h(C1) a pour ´equations param´etriques x = a cos t, y = b

aa sin t = b sin t et donc h(C1) = E .

Si on consid`ere maintenant l’affinit´e orthogonale h2 de base (O,~j) et de rapport a

b alors on a par un raisonnement analogue h(C2) = E .

Proposition 19.2. Soit l’ellipse E d’´equation r´eduite x² a² + y²

b² = 1, 0 < b < a dans un rep`ere orthonorm´e (O,−→

i ,−→

j ), h1l’affinit´e orthogonale de base (O,~i), de rapport b

a et h2l’affinit´e orthogonale de base (O,~j), de rapport a

b. L’ellipse E est l’image de son cercle principal par l’af finit´e h1 et de son cercle secondaire par l’affinit´e h2.

2. Applications

2.1. Projection orthogonale d’un cercle. Soit P et Q deux plans d’un espace affine euclidien E que nous supposerons d’abord ni perpendiculaires ni parallèles. On désigne par ∆ la droite d’intersection de P et Q et on considère un repère orthonormé (O,−→

i ,−→

j ) de Q avec O ∈ ∆ et ~i ∈ ~∆.

Soit ρ une rotation affine d’axe ∆ telle que ρ(Q) = P et ~k = ~ρ(~j). Les rotations vectorielles conservant la norme et l’orthogonalité, (O,~i, ~k) est un repère orthonormé de P .

Soit ~v un vecteur unitaire tel que (O,~i, ~k, ~v) soit un rep`ere orthonorm´e de E , Π la projection orthogonale sur P et ~u = ~Π(~j). On a

~j = (~j.~i)~i + (~j.~k)~k + (~j.~v)~v = (~j.~k)~k + (~j.~v)~v d’o`u

~

u = (~j.~k)~k car ~Π(~v) = 0. On pose λ = ~j.~k.

(On a |λ| ∈]0, 1[ et il existe θ ∈]0,π

2[ tel que

|λ| = cos θ. Si λ > 0 alors θ est la mesure de l’angle des plans P et Q. Sinon la mesure de cet angle est π − θ. Ici on a évité de parler de l’angle de deux plans, une notion qui n’est pas toujours facile à utiliser.)

Soit M un point de Q de coordonn´ees (x, y) dans (O,−→ i ,−→

j ). On a

−→

OM = x~i + y~j d’o`u

~ ρ(

−→

OM ) = x~i + y~k et

(4)

~Π(

−→

OM ) = x~i + y~u = x~i + λy~k.

Autrement dit les coordonnées de Π(M ) sont (x, λy) et, si h désigne l’affinité orthogonale du plan P de base (O,~i) et de rapport λ, on a donc pour tout point M de Q,

Π(M ) = h(ρ(M ))

Cela ne signifie pas Π = h ◦ ρ car la relation précédente n’est valable que pour M ∈ Q et de plus h dépend de Q.

Proposition 19.3. Soit P et Q deux plans distincts non perpendiculaires et non parall`eles qui se coupe suivant une droite ∆.

(1) La projection orthogonale sur P d’une ellipse de Q dont l’un des axes est parall`ele `a ∆ est une ellipse de P .

(2) La projection orthogonale sur P d’un cercle de Q est une ellipse dont le grand axe est parall`ele `a ∆.

(3) Tout ellipse de P est la projection orthogonale d’un cercle.

Preuve. 1) et 2) résultent immédiatement de la relation Π(M ) = h(ρ(M )) pour tout M ∈ Q car l’image par l’isométrie ρ d’une ellipse de Q dont l’un des axes est paralléle à ∆ (resp. d’un cercle de Q) est une ellipse de P dont l’un des axes est parallèle à ∆ (resp. un cercle de P ) et l’image par h d’une ellipse de P dont l’un des axes est paralléle à ∆ (resp. d’un cercle de P ) est une ellipse de P dont l’un des axes est parallèle à ∆. L’affinité h ayant un rapport inférieure à 1 en valeur absolue, l’ellipse image d’un cercle a son grand axe parallèle à ∆.

3) Soit E une ellipse de P d’équations paramétriques x = a cos t et y = b sin t, 0 < b < a, dans un repère orthonormé (O,~i, ~k) de P et ∆ = (O,~i). Soit ~v tel que (O,~i, ~k, ~v) soit un repère orthonormé de E et ~j = b

a~k + r

1 − b²

a²~v. D´esignons par Q le plan passant par O et engendr´e par les vecteurs ~i et ~j et par ρ la rotation d’axe ∆ telle que ~ρ(~j) = ~k. On a ρ(Q) = P .

Soit C le cercle de Q d’équations paramétriques x = a cos t, y = a cos t dans le repère orthonormé (O,−→

i ,−→

j ) de Q. L’image par ρ de C est le cercle de P d’équations paramétriques x = a cos t, y = a sin t dans le repère orthonormé (O,~i, ~k) et l’image de ce cercle par l’affinité orthogonale de base ∆ et de rapport ~j.~k = b

a est l’ellipse d’´equations param´etriques x = a cos t, y = b

aa cos t = b sin t c’est-`a-dire E .

Remarques. 1) Avec les notations de la preuve de 3), les équations paramétriques x = a cos t et y = b sin t, 0 < b < a, dans le repère orthonormé (O,~i, ~k, ~v) sont celles d’un cylindre de révolution d’axe (O, ~v) et ayant pour base l’ellipse E . On a donc démontré que pour tout cylindre de révolution à base elliptique il existe un plan qui coupe ce cylindre suivant un cercle. Ce résultat peut ce rapprocher du théorème de Dandelin pour le cylindre de révolution : L’intersection d’un cylindre de révolution à base circulaire par un plan ni parallèle ni perpendiculaire à l’axe du cylindre est une ellipse. Toute ellipse peut être considérée comme l’intersection d’un plan et d’un cylindre de révolution à base circulaire.

2) Supposons les plans P et Q perpendiculaires. Avec les notations pr´ec´edentes on a λ =

~j.~k = 0. La projection orthogonale d’un cercle de Q est donc un segment de ∆.

(5)

Maintenant si les plans P et Q sont parall`eles, la restriction `a Q de la projection orthogonale sur P est une translation. L’image du cercle de Q de centre O et de rayon R est le cercle de P de rayon R et ayant pour centre la projection de O sur P .

2.2. Applications aux sécantes et aux tangentes à l’ellipse. Considérons l’ellipse E d’équation réduite x²

a² + y²

b² = 1, 0 < b < a dans un rep`ere orthonorm´e (O,−→ i ,−→

j ) et son cercle principal C₁ d’´equation x²+ y²= a². Soit h₁ l’affinit´e de base (O,~i) et de rapport b

a qui transforme C₁ en E .

Soit M = (x₀, y₀) un point de C₁. On a h(M ) = (x₀,b

ay₀) et les tangentes à C₁ en M et à E en h(M ) ont respectivement pour équations

xx₀ a² +yy₀

a² = 1 et xx₀ a² +

y(b ay0) b² = 1.

(Voir le document 17)

Si x06= 0, elles rencontrent toutes deux l’axe (O,~i) au mˆeme point I de coordonn´ees (a² x₀, 0).

L’image par l’affinit´e h de la droite M I est la droite h(M )I car I = h(I). Autrement dit, l’image par h de la tangente en M au cercle C1 est la tangente `a E au point h(M ).

Maintenant si x0= 0, la tangente en M à C1 est parallèle à (O,~i) et son image par h est la parallèle à (O,~i) qui passe par h(M ), c’est-à-dire la tangente en h(M ) à E et donc dans tous les cas, l’image par h de la tangente en M au cercle C₁ est la tangente à E au point h(M ).

Ce résultat peut aussi être obtenu en utilisant la géométrie différentielle mais il ne doit pas ˆ

etre considéré comme évident.

Cela permet de construire à la règle et au compas la tangente en un point N d’une ellipse, N pouvant être supposé distinct d’un sommet car les tangentes aux sommets d’une ellipse sont faciles à construire. On construit la tangente au cercle principal C₁ au point M = h⁻¹(N ) qui rencontre (O,~i) en I. La droite N I est la tangente en N à l’ellipse.

La même idée permet de construire les points d’intersection lorsqu’ils existent d’une droite D et d’une ellipse E . En conservant les notations précédentes on construit la droite ∆ = h⁻¹₁ (D) et D ∩ E 6= ∅ si et seulement si ∆ ∩ C₁ 6= ∅. Cette dernière condition équivaut encore à d(O, ∆) ≤ a.

Supposons que ∆ ∩ C1= {M1, M2}. On a alors D ∩ E = {h(M₁), h(M2)}.

On peut aussi construire les tangentes passant par un point A à une ellipse car on sait (?) construire les tangentes à un cercle passant par un point donné.

(6)

Les exemples précédents illustrent la méthode générale suivante. On considère un problème P concernant l’ellipse. Si on sait résoudre le problème ”h⁻¹(P )” qui lui concerne le cercle alors l’image par h de sa solution est la solution de P. La méthode ne marche que si P ne fait intervenir que des propriétés qui sont conservées ou transformées de manière connue par les affinités orthogonales. Par exemple si l’on cherche les points d’où l’on peut mener deux tangentes orthogonales à une ellipse, la méthode est inopérante car les affinités orthogonales ne conservent pas l’orthogonalité.

Donnons des exemples o`u la m´ethode est efficace.

Exemple 1 : une caractérisation et une propriété des tangentes à l’ellipse.

On va d’abord montrer que les tangentes à une ellipse sont les droites qui rencontrent cette ellipse en un seul point. Remarquons que ce résultat est faux pour la parabole et l’hyperbole, il ne faut donc pas le considérer comme évident.

Il suffit de montrer le résultat analogue pour le cercle car les affinités de rapport non nul sont des bijections et on a vu que les tangentes à une ellipse sont les images par une affinité des tangentes à son cercle principal.

Lemme 19.1. Dans un plan affine euclidien une droite D est tangente a un cercle C si et seulement si D rencontre C en un seul point.

On suppose connu le fait qu’une droite D est tangente en M0 à un cercle de centre O si est seulemnt si OM₀ est orthogonal à D (Voir le poly 2, nombre dérivé et fonctions dérivées.).

Si D est tangente en M0 à C de centre O alors OM0 est orthogonal à D et pour tout point M de D distinct de M₀, OM² = OM₀²+ M₀M² > OM₀² et donc M 6∈ C d’où D ∩ C = {M₀}.

Réciproquement si D ∩ C = {M₀} et si D n’est pas tangente à C alors soit I le pied de la perpendiculaire à D passant par O. Si M est le symétrique de M0 par rapport à I alors M 6= M0

et comme OM = OM₀, M ∈ D ∩ C. C’est contradictoire et donc D est tangente `a C.

Soit E une ellipse de centre O, de cercle principal C et h l’affinité orthogonale qui transforme C en E. Considérons une droite D passant par O et qui coupe l’ellipse en M₁ et M₂. La droite h⁻¹(M1)h⁻¹(M2) étant un diamètre de C, les tangentes en h⁻¹(M1) et h⁻¹(M2) à C sont parallèles. Comme les affinités conservent le parallélisme, les tangentes en M₁ et M₂ à E sont parallèles.

Exemple 2 : Existence d’ellipses inscrites dans un triangle.

Soit ABC un triangle et h une affinit´e orthogonale de rapport non nul. Si C est le cercle inscrit du triangle h⁻¹(A)h⁻¹(B)h⁻¹(C) alors l’ellipse h(C) est inscrite dans le triangle ABC.

Il y a donc une infinité d’ellipses inscrites dans un triangle et on peut imposer à h(C) certaines conditions. Par exemple si la base de h est AB alors un axe de h(C) est parallèle à AB. On peut aussi à l’aide du rapport de h, imposer à h(C) d’avoir une excentricité donnée.

On obtient des r´esultats analogues avec les notions de cercles circonscrits et de cercles exin- scrits.

Exemple 3 : Invariance d’une ellipse par des symétries obliques ; diamètres con- jugués.

Soit D₁et D₂deux diam`etres orthogonaux du cercle principal C d’une ellipse E . Si une droite

∆ parall`ele `a D1 rencontre C en deux points M1 et M2 alors le milieu I de [M1M2] appartient

(7)

`

a D2. Soit h l’affinité orthogonale qui transforme C en E . En utilisant le fait que les affinités orthogonales conservent le parallélisme et les milieux, on voit que si une droite D parallèle à h(D1) rencontre E en deux points N1 et N2 alors le milieu J de [N1N2] appartient à h(D2).

Autrement dit E est invariante par la symétrie d’axe h(D2), parallèlement à h(D1).

Réciproquement, montrons que la méthode précédente permet d’obtenir toutes les symétries obliques qui conservent une ellipse. Pour cela, supposons qu’une ellipse E soit conservé par la symétrie par rapport à une droite D₂, parallèlement à une droite D₁. Son cercle principal C est conservé par la symétrie par rapport à la droite ∆2 = h⁻¹(D2), parallèlement à ∆1 = h⁻¹(D1).

Toutes les cordes de C parallèles à ∆₁ ont un milieu qui appartient à la perpendiculaire à

∆1 passant par le centre O de C. Mais ces milieux appartiennent aussi à ∆2 et donc ∆2 est le diamètre de C orthogonal à ∆1. Comme les seules symétries orthogonales qui conservent un cercle sont les symétrie par rapport un diamètre, ∆₁et ∆₂sont deux diamètres de C orthogonaux.

En général, une droite passant par le centre d’une ellipse E s’appelle un diamètre. Deux diamètres D₁ et D₂ sont dit conjugués si E est invariante par la symétrie par rapport à D₁, parallèlement à D₂. L’ellipse est alors aussi invariante par la symétrie par rapport à D₂, parallèlement à D1, car d’après ce qui précède, D1 et D2 sont conjugués si et seulement si

∆₁ = h⁻¹(D₁) et ∆₂ = h⁻¹(D₂) sont deux diam`etre orthogonaux du cercle principal de E . Soit ∆₁ et ∆₂ deux diam`etres orthogonaux d’un

cercle C de centre O et de rayon R. Si M1 ∈

∆₁∩ C et M₂ ∈ ∆₂∩ C alors, en désignant par A le point d’intersection des tangentes en M1 et M2 à C, OM1AM2 est un carré d’aire R². En particulier, M₁A est parallèle à ∆₂et M₂A à ∆₁. En prenant ”l’image par h⁻¹” de ces propriétés, on va obtenir un théorème du à Appolonius.

D´emontrons d’abord un lemme.

Lemme 19.2. Soit h une affinité orthogonale de rapport k et de base B. L’image par h d’un parallélogramme ABCD est un parallélogramme dont l’aire vaut |k| fois celle de ABCD.

Les affinités étant des applications affines h(A)h(B)h(C)h(D) est un parallélogramme.

On voit facilement que ABCD se décompose en quatre triangles ayant chacun un coté par- allèle à B (Tracer AC et les parallèles à B passant par A et C) et donc une hauteur perpendiculaire à B. Par h ces triangles deviennent des triangles ayant des hauteurs perpendiculaires à B avec les bases correspondantes par- allèles à B. L’image par h de ces hauteurs ont des longueurs multipliées par |k| alors que les images des bases correspondantes gardent la même longueur. Chaque triangle a une image par h dont l’aire est multipliée par |k| d’où le résultat analogue pour les parallélogrammes.

(8)

Remarque. Comme la valeur absolue du Jacobien du changement de variables x → x, y → ky est 1

|k|, la théorie de l’intégration montre que plus généralement h multiplie les aires par |k|.

Par exemple, avec les notations précédentes, l’aire du cercle principal de E étant πa², l’aire de E est b

aπa² = πab.

Proposition 19.4. Soit E l’ellipse d’´equation r´eduite x²

a² +y² b² = 1 dans un rep`ere orthonorm´e (O,−→

i ,−→

j ). Soit D1 et D2 deux diamètres conjugués de E , M1 ∈ E ∩ D₁, M₂ ∈ E ∩ D₂ et A le point d’intersection des tangentes en M₁ et M₂ à E . Le quadri- latère OM1AM2 est un parallélogramme d’aire ab. En particulier, son aire est indépendante des diamètres conjugués D₁ et D₂.

Si h est l’affinit´e orthogonale qui transforme le cercle principal C de E en E alors

Oh⁻¹(M1)h⁻¹(A)h⁻¹(M2) est un carré d’aire a². Le quadrilatère OM1AM2est un parallélogramme d’aire b

aa² = ab.

3. Appendice : les affinit´es

Soit F et G deux sous-espaces vectoriels distincts de {0} d’un espace vectoriel E et k ∈ R. Si la somme F +G est directe (F +G = E, F ∩G = {0}), on peut définir une application f_k : E → E par f_k(x) = x_F + kx_G si x = x_F + x_G, x_F ∈ F et x_G ∈ G. On a f_k(x) = kx − (k − 1)x_F d’où fk= kIdE− (k − 1)p où p désigne la projection sur F , parallèlement à G. L’application fk est donc linéaire. Si k 6= 1, f_k possède exactement deux valeurs propres, 1 et k, avec F et G comme sous-espaces propres associés.

Quelques cas particuliers :

• f₁ est l’application identique ;

• f₀ est la projection sur F , parall`element `a G ;

• f₋₁ est la symétrie par rapport à F , parallèlement à G.

L’application linéaire f_k est appelé l’affinité vectorielle de rapport k, de base F , parallèlement

`

a G. Toute affinit´e vectorielle de rapport k 6= 0 est bijective avec f_k⁻¹ = f1

k. La base d’une affinit´e vectorielle est l’ensemble de ses vecteurs fixes. C’est aussi le sous espace propre associ´e

`

a la valeur propre 1.

Lorsque E est un espace euclidien et si G est l’orthogonal de F , on dit que fk est l’affinit´e orthogonale vectorielle de base F et de rapport k.

Considérons dans un plan affine une symétrie glissée. Son application linéaire associée est une symétrie qui est un cas particulier d’affinité vectorielle. Une application affine ayant pour application linéaire associée une affinité vectorielle n’a donc pas toujours de point fixe. Cela justifie l’existence d’un point fixe dans la définition suivante d’une affinité (affine).

Définition 19.1. Soit E un espace affine d’espace vectoriel associé E. Une application f : E → E est une affinité de rapport k si f est une application affine ayant un point fixe et si son application linéaire associée est une affinité vectorielle de rapport k.

(9)

Proposition 19.5. Soit E un espace affine d’espace vectoriel associé E et f : E → E une affinité de rapport k 6= 1 ayant O comme point fixe. Si ~f est l’affinité vectorielle de base F , parallèlement à G, alors O + F est le sous espace affine formé par les points fixes de f .

Soit ~p la projection sur F , parall`element `a G. Pout tout M ∈ E on a f (M ) = f (O) + ~f (

−→

OM ) = O + k

−→

OM −(k − 1)~p(

−→

OM ) d’o`u

f (M ) = M ⇔ M = O + kOM −(k − 1)~^−→ p(

−→

OM )

⇔ (k − 1)OM = (k − 1)~^−→ p(

−→

OM )

⇔ OM = ~^−→ p(

−→

OM )

⇔

−→

OM ∈ F ⇔ M ∈ O + F.

Le sous espace affine O + F sera appel´e la base de l’affinit´e f .

En conservant les notations précédentes, désignons par p la projection affine de projection vectorielle associé ~p telle que p(O) = O (p est la projection affine sur O + F parallèlement à G).

Avec les notations pr´ec´edentes :

Proposition 19.6. Pour tout point M ∈ E , les points p(M ), M et f (M ) sont align´es,

−→

p(M )M ∈ G et

−→

p(M )f (M )= k

−→

p(M )M . On a ~p(

−→

p(M )M ) =

−→

pp(M )p(M )=

−→

p(M )p(M )= 0 et donc

−→

p(M )M ∈ G.

Comme p(M ) ∈ O + F ,

−→

p(M )f (M )=

−→

f (p(M ))f (M )= ~f (

−→

p(M )M = k

−→

p(M )M car

−→

p(M )M ∈ G.

3.1. Les affinités orthogonales planes. En s’inspirant de la proposition 19.6 on peut définir directement les affinités orthogonales planes de la fa¸con suivante :

Définition 19.2. Soit D une droite d’un plan affine euclidien P et k ∈ R. On appelle affinité orthogonale de base D et de rapport k l’application f : P → P qui à tout point M fait correspondre le point f (M ) tel que

(1) M , f (M ) et la projection orthogonale p(M ) de M sur D sont align´es.

(2)

−→

p(M )f (M )= k

−→

p(M )M .

Si on adopte cette méthode pour définir les affinités, il faut démontrer que ce sont des applications affines. Soit ~p la projection orthogonale vectorielle sur ~D. On a :

−→

f (M )f (N ) =

−→

f (M )p(M ) +

−→

p(M )p(N ) +

−→

p(N )f (N )

= k

−→

M p(M ) +[k

−→

p(M )p(N ) +(1 − k)

−→

p(M )p(N )] + k

−→

p(N )N

= k

−→

M N −(k − 1)

−→

p(M )p(N )

= k

−→

M N −(k − 1)~p(

−→

M N ).

(10)

Cela montre que f est affine avec ~f = kIdP− (k − 1)~p.

Construction de l’image d’un point.

On consid`ere toujours l’affinit´e orthogonale plane f de base D et de rapport k que l’on peut supposer distinct de 1 et de 0.

Dans les constructions `a la r`egle et au compas, on utilise les faits suivants :

• Un point M , son image f (M ) et sa projection orthogonale p(M ) sur D sont align´es sur une perpendiculaire `a D.

• L’application f ´etant affine, elle conserve l’alignement, le parall´elisme et les barycentres (en particulier, les milieux).

• Les points de D sont invariants par f .

A partir d’un point M₀ 6∈ D et de son image f (M₀) on peut construire l’image par f de tout point M 6= M0.

(1) Si M n’est pas sur la droite M0f (M0) et si M0M n’est pas parall`ele `a D alors soit I le point d’intersection de M₀M et de D. L’image par f de la droite M₀I est f (M₀)I.

Le point f (M ) est donc `a l’intersection de f (M0)I avec la perpendiculaire `a D passant par M .

(2) Si M₀M est parallèle à D alors f (M₀)f (M ) est parallèle à D car f (D) = D. Le point f (M ) est à l’intersection de la parallèle à D passant par f (M0) avec la perpendiculaire

`

a D passant par M .

(3) Si M est sur la droite M0f (M0), on construit d’abord l’image d’un point N qui n’appartient pas `a cette droite puis `a partir de N et f (N ) on obtient l’image de M .

(1) (2)