Par George L. EKOL Mathématiques

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(1)Équation différentielle Mathématiques. Par George L. EKOL. African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana.

(2) Université Virtuelle Africaine 1. NOTE Ce document est publié sous une licence Creative Commons. http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/ License (abréviation « cc-by »), Version 2.5..

(3) Université Virtuelle Africaine 2. ;()3,+,:4(;0Ï9,: I.. Équation différentielle _______________________________________ 3. II.. Cours ou connaissances préalables nécessaires ___________________ 3. III.. Temps ___________________________________________________ 3. IV.. Matériel didactique _________________________________________ 3. V.. Justification_______________________________________________ 4. VI.. Contenu__________________________________________________ 4 6.1 Vue d’ensemble_________________________________________ 4 6.2 Plan __________________________________________________ 5 6.3 Représentation graphique _________________________________ 6. VII. Objectifs généraux du module_________________________________ 7 VIII. Objectifs spécifiques des activités d’apprentissage _________________ 7 IX.. Activités d’enseignement et d’apprentissage______________________ 8. X.. Activités d’apprentissage ___________________________________ 12. XI.. Glossaire des mot-clés _____________________________________ 68. XII. Liste des lectures obligatoires________________________________ 70 XIII. Liste des ressources multimédia (optionnelle) ___________________ 70 XIV. Liste de liens pratiques _____________________________________ 71 XV. Synthese du module _______________________________________ 72 XVI. Évaluation sommative ______________________________________ 73 XII. Références ______________________________________________ 83 XVIII. Fichiers de l’étudiant ______________________________________ 84 XIX. Auteur principal du module __________________________________ 84.

(4) Université Virtuelle Africaine 3. 0iX\H[PVUKPMMtYLU[PLSSL Par George L. Ekol, BSc,MSc.. 00*V\YZV\JVUUHPZZHUJLZWYtHSHISLZ UtJLZZHPYLZ Calcul unité 3. 000;LTWZ Le nombre total d’heures pour ce module est de 120 heures de cours réparties comme suit : Activité d’apprentissage #1. Sujet Introduction aux équations différentielles du premier et du second ordre. Unité une. Temps 30 heures. #2. Techniques et outils pour équations différentielles linéaires. une. 30 heures. #3. Séries de solutions du second ordre linéaire de l’équation Équations aux dérivées partielles; transformations de Laplace, Séries de Fourier, et leurs applications. deux. 30 heures. deux. 30 heures. #4. 0=4H[tYPLSKPKHJ[PX\L /HVpWXGLDQWVGRLYHQWDYRLUDFFqVDX[OHFWXUHVQpFHVVDLUHVVSpFL¿pVSOXVORLQ Ils auront aussi besoin d’un ordinateur pour pouvoir consulter entièrement les lectures nécessaires. De plus, les étudiants devraient être en mesure d’installer OHORJLFLHODSSURSULpZ[0D[LPDD¿QGHO¶XWLOLVHUSRXUSUDWLTXHUOHVQRWLRQV DOJpEULTXHV.

(5) Université Virtuelle Africaine 4. =1\Z[PÄJH[PVUK\TVK\SL 2QUHWURXYHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGDQVOHVGLIIpUHQWVGRPDLQHVGHODVFLHQFHHW GHODWHFKQRORJLHjFKDTXHIRLVTX¶XQHUHODWLRQLPSOLTXDQWXQFKDQJHPHQWFRQWLQXHO GHTXDQWLWpHWVHVGpULYpHVHVWFRQQXHRXIRUPpH(QPpFDQLTXHFODVVLTXe par exemSOHOHPRXYHPHQWGHODFDUURVVHULHHVWGp¿QLSDUVDSRVLWLRQHWVDYLWHVVHDXIXUHWj PHVXUHTXHOHWHPSVYDULHLes Loi de mouvement de Newton permettent à un corps GHUHOLHUODSRVLWLRQODYLWHVVHO¶DFFpOpUDWLRQHWOHVGLIIpUHQWHVIRUFHVDJLVVDQWGDQV OHFRUSVFHWWHUHODWLRQSHXWrWUHYXHFRPPHXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHjFDXVHGH ODSRVLWLRQLQFRQQXHGXFRUSVHQWDQWTXHIRQFWLRQGXWHPSV(QJpQpUDOO¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOHSHXWrWUHUpVROXHSRXUSURGXLUHODORLGXPRXYHPHQW /HVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVVRQWpWXGLpHVVRXVGHVDQJOHVGLIIpUHQWV'DQVOHVFDV ROHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVRQWpWpXWLOLVpHVSRXUUpVRXGUHGHVSUREOqPHVGHOD vie, on a le diagnostic des maladies et la croissance de plusieurs populations (M. %UDXQ

(6) /HVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGHSUHPLHURUGUHHWG¶RUGUHSOXVpOHYpRQW DXVVLSHUPLVGHWURXYHUGHQRPEUHXVHVGHPDQGHVHQPpFDQLTXHFLUFXLWpOHFWULTXH géométrie, biologie, chimie, économie, ingénierie, et en génie aérospatiale. (M. R. 6SLHJHOS

(7) /¶pWXGHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGHYUDLWDORUVSHUPHWWUH DX[HQVHLJQDQWVGHPDWKpPDWLTXHVHWGHVFLHQFHGHVHGRWHUGHVFRQQDLVVDQFHVHW GHVFRPSpWHQFHVQpFHVVDLUHVSRXUELHQHQVHLJQHUOHXUVPDWLqUHVHQLPSOLTXDQWGHV applications pertinentes dans leurs domaines.. =0*VU[LU\ 6.1 Vue d’ensemble. &HPRGXOHFRPSUHQGGHX[XQLWpVjVDYRLUO¶,QWURGXFWLRQDX[pTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVRUGLQDLUHVHWpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVG¶RUGUHSOXVpOHYp'DQVO¶XQLWp RQWUDLWHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVRUGLQDLUHVKRPRJqQHVHWOHVpTXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHVRUGLQDLUHVQRQKRPRJqQHVDLQVLTXHOHXUVVROXWLRQVREWHQXHV DYHFGHVWHFKQLTXHVYDULpHV4XHOTXHVXQHVGHFHVWHFKQLTXHVLQFOXHQWODYDULDWLRQGHVSDUDPqWUHVODPpWKRGHGHVFRHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpVHWO¶RSpUDWHXU LQYHUVH'DQVO¶XQLWpGHVVpULHVGHVROXWLRQVSRXUOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV VRQWSUpVHQWpHV2QWUDLWHDXVVLOHVpTXDWLRQVDX[GpULYpHVSDUWLHOOHVHWOHXUV solutions obtenues par la méthode de séparation des variables. On s’intéresse DXVVLDX[WUDQVIRUPpHV/DSODFHGHVVpULHV)RXULHUDX[WUDQVIRUPpHV)RXULHU DLQVLTXHOHXUVDSSOLFDWLRQV..

(8) Université Virtuelle Africaine 5. 6.2 Plan de cours Unité 1: Introduction aux équations différentielles ordinaires Niveau 2. Priorité A. Calcul 3 est pré requis. eTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGXSUHPLHURUGUHHWOHVDSSOLFDWLRQVeTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGXVHFRQGRUGUHeTXDWLRQVKRPRJqQHVjFRHI¿FLHQWVFRQVWDQWV eTXDWLRQV j FRHI¿FLHQWV YDULDEOHV eTXDWLRQV QRQKRPRJqQHV &RHI¿FLHQWV LQGpWHUPLQpV9DULDWLRQGHVSDUDPqWUHV2SpUDWHXUGLIIpUHQWLHOLQYHUVH Unité 2: Équation différentielle d’ordre plus élevé et applications Niveau 2. Priorité B. Équation différentielle 1 est pré requis.. 6pULHVGHVROXWLRQVDX[pTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVOLQpDLUHVRUGLQDLUHVGHVHFRQG RUGUH)RQFWLRQVVSpFLDOHV0pWKRGHVGHVpSDUDWLRQGHVYDULDEOHVDSSOLTXpHDX[ pTXDWLRQVDX[GpULYpHVSDUWLHOOHVGHVHFRQGRUGUH+DUPRQLTXHVVSKpULTXHV 7UDQVIRUPpHV GH /DSODFH HW DSSOLFDWLRQV 6pULHV )RXUULHU7UDQVIRUPpHV GH )RXUULHUHWDSSOLFDWLRQV.

(9) Université Virtuelle Africaine 6. 6.2 Représentation graphique. eTXDtions dLIIérentielles du premier ordre et applications. eTXDtions dLIIérentielles du second. eTXDtions à coeIILcients variables. )onctions spéciales. eTXDtions homogènes à coeIILcients constants. Séries de solution de l’pTXDtion dLIIérentielle linéaire ordinaire de deuxième ordre. eTXDtions non homogènes. CoeIILcients indéterminés Variation des paramètres Opérateurs dLIIérentielles inverses. +DUmoniTX e sphériTXH Méthode de séparation des variables. Séries )ourrier, transIormées de )ourrier et applications. TransIormée s de Laplace et applications.

(10) Université Virtuelle Africaine 7. =00. 6IQLJ[PMZNtUtYH\_K\TVK\SL. ¬OD¿QGHFHPRGXOHO¶pWXGLDQWGHYUDLWrWUHHQPHVXUHGH GpPRQWUHUHWFRPSUHQGUHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVHWPDvWULVHUOHVGLIIpUHQWHVWHFKQLTXHVD¿QGHOHVDSSOLTXHUGDQVODYLHFRXUDQWH GpPRQWUHUHWFRPSUHQGUHOHVFRQFHSWVHWOHVSURSULpWpVGHVIRQFWLRQVVSpFLDOHV GHVWUDQVIRUPpHV/DSODFHGHV6pULHV)RXUULHUGHVWUDQVIRUPpHVGH)RXUULHU et maitriser leurs applications. G¶H[SORLWHUO¶XWLOLWpGHV7,& WHFKQRORJLHVGHO¶LQIRUPDWLRQHWGHVFRPPXQLFDWLRQV

(11) HQJpQpUDOHWOHVV\VWqPHVGHFDOFXOIRUPHOVHQSDUWLFXOLHUSRXU DQDO\VHUO¶DOJqEUHHWUpVRXGUHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV. =000 6IQLJ[PMZZWtJPÄX\LZKLZHJ[P]P[tZ K»HWWYLU[PZZHNL (Objectifs pédagogiques): différents objectifs pour chaque unité. Vous devriez être capable de : 0DvWULVHUOHVGLIIpUHQWHVWHFKQLTXHVGHUpVROXWLRQGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV D¿QGHOHVDSSOLTXHUSRXUUpVRXGUHOHVSUREOqPHV &RPSUHQGUHOHVFRQFHSWVHWGpPRQWUHUOHVSURSULpWpVGHVIRQFWLRQVVSpFLDOHV WUDQVIRUPpHV/DSODFH6pULHV)RXUULHUWUDQVIRUPpHV)RXUULHUHWPDvWULVHUOHXUV applications. 9RXVGHYULH]PHWWUHHQDSSOLFDWLRQOHVFRQQDLVVDQFHVDFTXLVHVHQPDWKpPDWLTXHVGH base: 1. calcul de base : dérivation et intégration Vous devriez exploiter l’utilité des TIC en : XWLOLVDQWOHVV\VWqPHVGHFDOFXOIRUPHOVSRXUDQDO\VHUO¶DOJqEUHGHVpTXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHV.

(12) Université Virtuelle Africaine 8. 0?(J[P]P[tZK»LUZLPNULTLU[L[K»HWWYLU[PZZHNL 9.1 Pré-évaluation. QUESTIONS /DTXHOOHGHVSURSRVLWLRQVWULJRQRPpWULTXHVVXLYDQWHVQ¶HVWpas exactement vraie ? A. sin 2 x cos 2 x 1 B. sec 2 x < tan 2 x 1 C. tan(< x) tan x D. cos( < x ) cos x 2.. 4XHOOHHVWO¶pTXDWLRQGHODGURLWHWDQJHQWHjODFRXUEHG¶pTXDWLRQ y x 2 au point de coordonnées (2,1) ? A. y 2 x < 3 B. y 4 x < 7 C. y 4 x < 9 D. y 4 x < 5 dy. 3.. Si y tan x , alors dx est égal à ? A. cot 2 x B. sec 2 x C. sec x tan x D. cos ecx. 'LIIpUHQWLHU f ( x) . 1 2x e 4x B. e A.. 1 x e 42 x D. e C.. 1 2x e TXDQGj x . 2. 3.

(13) Université Virtuelle Africaine 9. /DIRQFWLRQ. f ( x) x <. x3 x5 x7. <. ... 3! 5! 7! est la série Taylor standard de :. A. sin x B. cos x C. sin( < x ) D. cos( < x ). 3RXUWURXYHUODGpULYpHGHODIRQFWLRQ y x sin x OHSULQFLSHGHEDVHDSSOLTXp est : A. la trigonométrie %OHSULQFLSHGXTXRWLHQW &OHSULQFLSHSDUDPpWULTXH D. le principe du produit. /¶LQWpJUDWLRQHVWSDUIRLVGpFULWHFRPPHOHBBBBBBBBBBBBBBBGHODGpULYDWLRQ . &RPSOpWHUODSKUDVHDYHFOHPRWTXLFRQYLHQW

(14) A. procédé B. inverse C. extrême D. résultat. 8. Pour trouver la solution de e2 x sin xdx , l’approche la plus courante est :. 0. A. l’intégration directe B. la méthode de substitution &ODIUDFWLRQSDUWLHOOH D. l’intégration par parties.

(15) Université Virtuelle Africaine 10. x3 < 1 2 9. Exprimer x < 1 HQIUDFWLRQVSDUWLHOOHV A. x. 1 x <1. B. x <. 1 x <1. C. x. 1 x 1. D. x <. 1 x 1. x3 < 1 10. Trouver l’intégrale de 2 x <1 A.. x2. ln(x < 1) c 2. x2 B. < ln(x < 1) c 2 C.. x2 < ln(x 1) c 2. x2 D.. ln(x 1) c 2. Solutions 1.. C. 2.. B. 3.. B. 4.. D.. 5.. A. 6.. D. 7.. B. 8.. D. 9.. C. 10.. D.

(16) Université Virtuelle Africaine 11. Remarques pédagogiques pour les étudiants /HVLGHQWLWpVWULJRQRPpWULTXHVVRQWGLVSRQLEOHVGDQVODSOXSDUWGHVGRFXPHQWV PDWKpPDWLTXHVGHEDVH,OIDXGUDYpUL¿HUFHVLGHQWLWpVHWSHQGUHGHVQRWHV /H SUREOqPH TXL VH SRVH HVVHQWLHOOHPHQW SRXU WURXYHU XQH OLJQH WDQJHQWH au point P et le même pour retrouver l’inclinaison de la tangente au point P. UpIpUH]YRXVjO¶XQLWpGXPRGXOH /HV GpULYpHV WULJRQRPpWULTXHV VRQW GHV H[SUHVVLRQV VWDQGDUG GLVSRQLEOHV GDQVODSOXSDUWGHVGRFXPHQWVPDWKpPDWLTXHVGHEDVH'DQVFHUWDLQVFDVFHV GpULYpHVGpFRXOHQWGHVSUHPLHUVSULQFLSHV9HXLOOH]YRXVUpIpUHUjO¶XQLWp du module 3. 6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH 6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH 6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH 6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH 6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH 6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH 6HUpIpUHUjO¶XQLWpGXPRGXOH.

(17) Université Virtuelle Africaine 12. ?(J[P]P[tZK»HWWYLU[PZZHNL Activité d’apprentissage 1 Introduction àux équations différentielles de premier et de second ordre 2EMHFWLIVSpFL¿TXHVG¶DSSUHQWLVVDJH. ¬OD¿QGHFHWWHXQLWpO¶pWXGLDQWGHYUDLWrWUHHQPHVXUHGH % ,GHQWL¿HU FRUUHFWHPHQW OHV pTXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHV GH GLIIpUHQWV RUGUHV HW degrés; % )RUPHUXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHQpOLPLQDQWOHVFRQVWDQWHVDUELWUDLUHV % 5pVRXGUHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGHSUHPLHURUGUHHQXWLOLVDQWODPpWKRGH de séparation des variables; % 5pVRXGUHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVKRPRJqQHVSDUODUpGXFWLRQjODVpSDration des variables. Résumé. &HWWHXQLWpSUpVHQWHOHPRGXOHVXUOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV/HVFRQQDLVVDQFHVHWFRPSpWHQFHVSUpDODEOHVDXFDOFXOLQWpJUDOHWGLIIpUHQWLHOWUDLWpHVGDQV ce module sont pris en compte. 'DQVFHWWHXQLWpYRXVDSSUHQGUH]FRPPHQWLGHQWL¿HUFRUUHFWHPHQWOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVHQGpWHUPLQDQWOHXUVRUGUHVHWGHJUpV9RXVDSSUHQGUH] DXVVLFRPPHQWIRUPHUGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVG¶XQHIRQFWLRQGRQQpH 9RXVUpVRXGUH]DXVVLGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVSDUODPpWKRGHGHVpSDUDWLRQGHVYDULDEOHV(Q¿QYRXVDSSUHQGUH]FRPPHQWUpVRXGUHOHVpTXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHVKRPRJqQHVSDUODUpGXFWLRQjVpSDUDWLRQGHVYDULDEOHV Liste des lectures obligatoires :. 0$8&+6

(18) Introduction to Methods of Applied Differential Equations or Advanced Mathematics Methods for Scientists and Engineers: Mauch Publishing Company. http://www.its.caltech.edu/~sean.

(19) Université Virtuelle Africaine 13. Lectures supplémentaires. 6WHSKHQVRQ*

(20) 0DWKHPDWLFDO0HWKRGVIRU6FLHQFH6WXGHQWV6LQJDpore: Longman. P.380-386. Wikibooks, Équations différentielles Concepts clés Équation différentielle :XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHVWXQHUHODWLRQHQWUHXQHIRQFtion et ses dérivées. Ordre O¶RUGUHG¶XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHVWO¶RUGUHPD[LPDOGHGpULYDWLRQTXL LQHUYLHQWGDQVO¶pTXDWLRQ Degré OHGHJUpG¶XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUHHVWODSXLVVDQFHGRQWODGpULYpH la plus élevée est soulevé..

(21) Université Virtuelle Africaine 14. Activité d’apprentissage Introduction aux équations différentielles du premier et du second ordre. 1.1 Équation différentielle. 8QHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHVWXQHUHODWLRQHQWUHXQHIRQFWLRQHWVHVGpULYpHV /¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHIRUPHOHODQJDJHGDQVOHTXHOOHVORLVIRQGDPHQWDOHV GHVVFLHQFHVSK\VLTXHVVRQWIRUPXOpHV /DVFLHQFHQRXVGpFULWFRPPHQWXQV\VWqPHSK\VLTXHFKDQJHG¶XQLQVWDQWj O¶DXWUH/DWKpRULHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVQRXVIRXUQLWOHVRXWLOVHWOHV WHFKQLTXHVSRXUSUHQGUHFHWWHLQIRUPDWLRQjFRXUWWHUPHHWREWHQLUOHIRQFWLRQQHPHQW j ORQJ WHUPH GH WRXW O¶RUJDQLVPH /¶DSWLWXGH HW OD SUDWLTXH GHV pTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVLPSOLTXHQWO¶RUGUHGHVpWDSHVVXLYDQWHV Équation différentielle. Solution. fonctionnement avec le temps. (Étape 2) Modèle. (Étape 1) (Étape 3). interprétation. (Étape 4) Validation ……………… . .……………… Monde physique Un système physique dynamique.. 1.1.1 Equations différentielles ordinaires et équations aux dérivées partielles 'p¿QLWLRQV. 8QHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH ('

(22) HVWXQHpTXDWLRQTXLFRPSUHQGGHVGpULYpHV GHODIRQFWLRQLQFRQQXHGHXQRXSOXVLHXUVYDULDEOHV6LODIRQFWLRQLQFRQQXH dépend de seulement uneYDULDEOHO¶pTXDWLRQHVWGLWHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH RUGLQDLUH ('2

(23) 6L OD IRQFWLRQ LQFRQQXH GpSHQG GH SOXV G¶XQH YDULDEOH O¶pTXDWLRQHVWGLWHpTXDWLRQDX[GpULYpHVSDUWLHOOHV ('3

(24) .

(25) Université Virtuelle Africaine 15. Exemples. dy 2x y ou y / 2 x y HVWXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUH dx SXLVTXHVDIRQFWLRQ y f (x) dépend d’une seule variable x . Exemple 1:. 'DQVODIRQFWLRQ y f (x) , x est la variable indépendante, et y est la variable dépendante.. ,y 2x z HVWXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHSDUWLHOOHSXLVTXHODIRQFWLRQ ,x y f ( x, z ) dépend de deux variables x et z .. Exemple 2 :. 1.1.2 Définition : ordre et degré d’une équation différentielle L’ordre d’une ED est l’ordre de dérivation le plus élevé dans une expression. Le GHJUpG¶XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUHHVWOHGHJUpDOJpEULTXHOHSOXVpOHYpOD IRQFWLRQHWVHVGpULYpHVTXLDSSDULVVHQWGDQVO¶pTXDWLRQ. dy 2x y Exemple 3 : dx XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUHGHSUHPLHURUGUH premier degré. Exemple 4:. ,y 2x z HVWXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHSDUWLHOOHGHSUHPLHURUGUH ,x. premier degré.. Exemple 5:. d2 x dx < 2 < 15x 0 HVWXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGHVHFRQGGHJUp 2 ,t dt. premier ordre..

(26) Université Virtuelle Africaine 16. Activités 1.1.1 Activité dans le logiciel : FKHUFKHU XQH pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH VLPSOH HQ XWLOLVDQW wxMaxima. Z[0D[LPDSHXWDXVVLUpVRXGUHXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHSRXUYRXV&HSHQGDQWFH n’est pas une raison pour éviter de résoudre les problèmes de l’exercice par vousPrPH3DUFRQWUHYRXVSRXYH]O¶XWLOLVHUSRXUFKHUFKHUGLIIpUHQWVpTXDWLRQVHWUpÀpFKLU VXUODIDoRQGRQWHOOHVIRQFWLRQQHQW % Tout d’abord, télécharger wxMaxima. % &OLTXHUVXUOHERXWRQGHFRPPDQGHDXEDVGHO¶pFUDQ % 7DSHUµGLII \[

(27) HWDSSX\HUVXU(175(55HPDUTXHUO¶DSRVWURSKHµDXGpbut.. d y dy % Celà vous permet d’entrer dx par exemple . dx % (QWUHUPDLQWHQDQWO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHQFRPPHQoDQWSDUXQHpTXDWLRQ. dy 1 plus simple: dx 4XHOOHHVWODVROXWLRQ" % 6LODGLIIpUHQWLHOOHHVWDORUVODIRQFWLRQGRLWrWUHx, avec une constante arbitraire ajoutée, par exemple x + C % 'DQVZ[0D[LPDWDSHUµGLII \[

(28) HWDSSX\HUVXU(175(5 % &HWWHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGHYUDLWDSSDUDLWUH. dy 1. dx. % 'HPDQGHUPDLQWHQDQWjZ[0D[LPDGHUpVRXGUHO¶pTXDWLRQSRXUYRXV % 3RXUFHODXWLOLVHUODIRQFWLRQode2&HODHVWYDODEOHSRXUO¶pTXDWLRQGLIIpUHQtielle ordinaire (et de second degré). % ,OIDXWVSpFL¿HUjZ[0D[LPDWURLVFKRVHVODIRQFWLRQTXHYRXVXWLOLVH]VD variable dépendante, et sa variable indépendante. % /DIRQFWLRQHVWFHOOHYRXVTXHYRXVYHQH]G¶HQWUHUOHFDUDFWqUHHVWXWLOLVp SRXUVLJQDOHUjZ[0D[LPDGHOHIDLUH/DYDULDEOHLQGpSHQGDQWHHVWy, et la dépendante, x. % 7DSHUDORUVRGH \[

(29) HWDSSX\HUVXU(175(5 % La solution est y x C % 5HPDUTXHUTXHZ[0D[LPDPRQWUHXQHFRQVWDQWHDUELWUDLUHGHOLQWpJUDWLRQ FRPPH& >YRXVSRXYH]IDLUHWRXWFHODHQPrPHWHPSVHQWDSDQWRGH µGLII \[

(30) \[

(31) @.

(32) Université Virtuelle Africaine 17. 0DLQWHQDQW YRXV GHYULH] H[SpULPHQWHU O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH 7RXMRXUV trouver par vous même la réponse avant d’appuyer sur ENTRER dans wxMaxima! 3RXUFRPPHQFHUHVVD\H]FHVpTXDWLRQV dy 5, dx. dy x, dx. dy sin x, dx. dy x 2 5x dx. >5DSSHOH]YRXVTXH x 2 HVWHQWUpHQWDQWTXH[AHWVLQx doit être entré comme VLQ [

(33) @ Lectures obligatoires 0$8&+6

(34) SSGLVSRQLEOHVXUOHCD du cours. En vous basant sur les lectures obligatoires et les notes dans la section 1.4, discuter en groupe de 3-4 de l’ordre et du degré GHFHVpTXDWLRQVGLIIpUHQtielles suivantes. 'DQVOHFDVGXGHJUpGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGRQQpHVHQIUDFWLRQVLOHVW FRQVHLOOpGHUHQGUHUDWLRQQHOOHVIUDFWLRQVHQOHVPXOWLSOLDQWSDUOHSOXVSHWLW.

(35) Université Virtuelle Africaine 18. GpQRPLQDWHXU 9HXLOOH] QRWHU TXH OH GHJUp GH O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH HVW REWHQXSDUOHPrPHWHUPHTXLGRQQHO¶RUGUHOHSOXVpOHYpGDQVXQHpTXDWLRQ donnée. (i) x 2 dy ydx 0 3. £ dy ¥ (ii) ² ´ 3x 2 < 1 ¤ dx ¦ 1. 1. £ d2 y ¥ 2 £ dy ¥ 3 (iii) ² 2 ´ ² x < dx ´¦ ¤ ¤ dx ¦ 2. 5. £ d3 y ¥ £ d 2 y ¥ (iv) ² 2 ´ ² 2 ´ y ex ¤ dx ¦ ¤ dx ¦ 1.2. Formation d’une équation différentielle. %LHQTXHOHSUREOqPHPDMHXUGDQVO¶pWXGHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVHVWGH trouver les solutions, le problème inverse est intéressante aussi. C’est-a-dire GHWURXYHUXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHTXLVDWLVIDLWXQHVROXWLRQGRQQpH/H problème est résolu par la dérivation répétée et l’élimination des constantes arbitraires. x <x Exemple : WURXYHUO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH ayant y c1e c2 e 3x comme sa solution générale.. Solution : GLIIpUHQWLHUGHX[IRLVO¶H[SUHVVLRQGRQQpH (1) y c1 ex c2 e< x 3x (2) y / c1 ex < c2 e< x 3 (3) y / / c1 ex c2 e< x. Éliminer c1 et c 2 HQGpGXLVDQWO¶pTXDWLRQ

(36) GHO¶pTXDWLRQ

(37) SRXUREWHQLU, // donne y < y 3x O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH GpVLUpH 1RWH] TXH O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOHGpVLUpHQHIDLWSDVSDUWLHGHVFRQVWDQWHVDUELWUDLUHV.

(38) Université Virtuelle Africaine 19. Activité 1.2.1. 7URXYHUO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHDYHFOHVVROXWLRQVJpQpUDOHVVXLYDQWHV indicatione : prendre l’exemple dans la section 1.2. 1. y 2 4c( x c) , c est une constante arbitraire. [réponse : y( y / )2 2xy / < y 0 @ 2.. y Ae< x Be<3 x , A et B sont des constants arbitraires. [Réponse : y / / < 4 y / 3y 0 @. 1.3. Solutions des équations du premier et du second ordre. /H GpYHORSSHPHQW V\VWpPLTXH GHV WHFKQLTXHV SRXU UpVRXGUH ORJLTXHPHQW OHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVFRPPHQFHDYHFO¶pTXDWLRQGHSUHPLHUHWGHVHFRQGGHJUp(QJpQpUDOOHVpTXDWLRQVGHFHJHQUHV¶pFULYHQWFRPPHVXLW dy F (x, y) dx (1.3.) où F ( x , y ) HVWXQHIRQFWLRQGRQQpH&HSHQGDQWPDOJUpODVLPSOLFLWpDSSDUHQWHGHFHWWHpTXDWLRQGHVVROXWLRQVDQDO\WLTXHVVRQWJpQpUDOHPHQWSRVVLEOH seulement si F ( x , y ) DGHVIRUPHVVLPSOHV'HX[IRUPHVFRPPHWHOOHVVRQW présentées dans ce activité. 1.3.1. séparation des variables. Lectures obligatoires : MAUCH, S. (2004).pp.780-782 disponible sur le CD du cours. Si F ( x , y ) f ( x )g ( y ). (1.3.1a). où f et g VRQWGHVIRQFWLRQVUHVSHFWLYHVGH x et y VHXOHPHQWDORUVO¶pTXDWLRQ dy (1.3) devient dx f ( x) g ( y ) (1.3.1b). SXLVTXH OHV YDULDEOHV x et y sont PDLQWHQDQW VpSDUDEOHV j SDUWLU O¶pTXDWLRQ (1.3.1b), dy. on a ,. 0 g( y) 0 f (x)dx. (1.3.1c)..

(39) Université Virtuelle Africaine 20. 4XLH[SULPH y implicitement en terme de x . ExempleUpVRXGUHO¶pTXDWLRQ. d y y 1 x <1 dx. (1.3.1d).. Solution HQUppFULYDQWO¶pTXDWLRQ G

(40) VRXVODIRUPHGHO¶pTXDWLRQ F

(41) . dy. dx. 0 y 1 0 x <1 Ou bien log e ( y 1) log e (x < 1) log e C . (1.3.1e).. . y 1 Où C est une constante arbitraire. Ainsi x < 1 C ,. . I

(42) (1.3.1g). est sa solution générale.. Activité 1.3.1 Soit une condition aux limites y 1 à x 0 . 3UHQH]FHWWHH[SUHVVLRQSRXUODVROXWLRQJpQpUDOHGHO¶pTXDWLRQ J

(43) SRXUtrouver la solution particulière. [Solution : y 2(1 < x) < 1) @ 1.3.2. Équation différentielle homogène. Lectures obligatoires : MAUCH, S. (2004).pp.786-791 disponible sur le CD du cours. Une expression de degré n en x est y est dite homogène nORUVTXHVLRQUHPSODFH. x et y est par tx et ty , on obtient le l’expression originale multipliée par t n ; symboOLTXHPHQW f (tx, ty) t n f ( x, y) . Exemple : PRQWUHUTXH x 2 xy < y 2 est homogène et déterminer son degré. Solution : Remplacer x et y par txDLQVLTXH ty pour obtenir. t 2 x 2 (tx)(ty) < t 2 y 2 t 2 ( x 2 xy < y 2 ) . Le degré est 2..

(44) Université Virtuelle Africaine 21. 6RLWO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH M ( x , y ) dx N ( x , y ) dy 0 &HWWHpTXDWLRQHVWGLWHKRPRJqQHHQ x et y si M et NVRQWGHVIRQFWLRQV homogènes de même degré dans x et y /DWHFKQLTXHSRXUUpVRXGUHFHWWHpTXDWLRQHVWGHIDLUH une substitution y vx ou x vy TXLHVWEDVpHVXUOHWKpRUqPHVXLYDQW Théorème : une équation différentielle du premier et du second degré peut être réduite aux genres de variables séparables parla substitution de y vx ou bien x vy . Exemple : WURXYHU OD VROXWLRQ JpQpUDOH GH O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH 2. 2. 2 xydx < ( x < y ) dy 0 .. Solution : XQHVLPSOHYpUL¿FDWLRQUpYqOHTXHO¶pTXDWLRQHVWKRPRJqQH UpIpUH]YRXV au premier exemple de cette section). Soit y vx et dy vdx xdv , VXEVWLWXH]OHVGDQVXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHSRXU obtenir :. 2 x ( vx ) dx < ( x 2 < v 2 x 2 )( vdx xdv ) 0 x ( v v ) dx x ( v < 1) dv 0 . 2. 3. 3. 2. En les divisant par x 3 (v v 3 ) on sépare les variables.. dx (v 2 < 1)dv + 0 v(1 v 2 ) x L’intégration produit : 2 ln x < ln v ln( v 1) ln c ou bien x ( v 2 1) cv. En réécrivant les mêmes variables en substituant v solution générale y 2 x 2 cy .. y , on obtient comme x.

(45) Université Virtuelle Africaine 22. Activité 1.3.2 Groupe de discussion :. 'DQVFHWWHDFWLYLWpYRXVWUDYDLOOHUH]HQJURXSHGHjSHUVRQQHV&KDTXH PHPEUHGXJURXSHOLUD0$8&+6

(46) SSTXLHVWGLVSRQLEOHDXVVL VXU&'(QXWLOLVDQWO¶LQIRUPDWLRQGDQVOHVOHFWXUHVREOLJDWRLUHVYRXVHVVDLHUH] G¶DERUGGHUpVRXGUHOHSUREOqPHLQGLYLGXHOOHPHQW4XDQGWRXVOHVPHPEUHVGX JURXSHVHURQWSUrWVPHWWH]YRXVHQJURXSHHWSDUOH]GHYRVTXHVWLRQV&KDTXH PHPEUHDXUDFLQTPLQXWHVSRXUSUpVHQWHUVDVROXWLRQHWOHVDXWUHVPHPEUHV SUHQGURQWGHVQRWHV9RXVSRXYH]SRVHUGHVTXHVWLRQVDXEHVRLQ Problème 2 xy. dy x 2 y 2 , y (1) 0 dx. Indication pFULUH\ Y[HQLQGLTXDQWTXHG\ YG[YG[&RQYHUWLUOHUpVXOWDWGHO¶pTXDWLRQHQpTXDWLRQVpSDUDEOHGHSUHPLHURUGUHHQWHUPHVGHYHW x et le résoudre. Après, substituer v et x pour obtenir la solution demandée en termes x et y. [solution : x 2 < y 2 x @.

(47) Université Virtuelle Africaine 23. Activités supplémentaires pour l’unité : groupe de travail 6LYRXVDYH]GXWHPSVOLEUHYRXVSRXYH]IDLUHFHVDFWLYLWpVG¶DSSUHQWLVVDJH&HSHQGDQWYRXVGHYH]UpSRQGUHFRUUHFWHPHQWDX[TXHVWLRQVSUpFpGHQWHV Mise en garde ,OHVWFRQVHLOOpG¶pYLWHUGHUHJDUGHUOHVVROXWLRQVIRXUQLHVjOD¿QDYDQWG¶pFULUHYRV réponses. $SUqVYRLUIDLWO¶H[HUFLFHFRPSOpWH]OHWDEOHDXSRXUFKDTXHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH Équation différentielle. 1 2. Ordinaire ou aux dérivées partielles. Ordre. Degré. Variable Indépendante. Variable dépendante. variable dépendante y y u. s. y/ x2 5y. xy // < 4 y / < 5 y e3 x. 3. ,u ,t. 4. ,2u dx. 2. ,u dy. 4 2. £ d 3s ¥ £ d 2s ¥ ²² 3 ´´ ²² 2 ´´ s < 3t ¤ dt ¦ ¤ dt ¦. Solution de l’exercice de l’activité d’apprentissage Équation différentielle 1 2 3. y/ = x2 + 5y y// – 4y/-5y = e3x. ,u ,t. 4. ,2u dx. 2. Ordre. Degré. 1 2 2. 1 1 1. variable indépendante x x x, y, t. Ordinaire. 3. 2. t. ,u dy. 4 2. aux dérivées partielles Ordinaire Ordinaire Partielle. £ d 3s ¥ £ d 2s ¥ ²² 3 ´´ ²² 2 ´´ s < 3t ¤ dt ¦ ¤ dt ¦.

(48) Université Virtuelle Africaine 24. Commentaires pédagogiques sur les solutions de l’activité d’apprentissage. 4&¶HVW XQH pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH RUGLQDLUH GH SUHPLHU RUGUH \/ G\G[ PRQWUHTXHO¶RUGUHHVW/HGHJUpHVWDXVVLFDU \/)1 \/. La variable indépendante est x. 4&¶HVWXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUHGHVHFRQGRUGUH\// G2y/dx2 PRQWUHTXHO¶RUGUHHVW/HGHJUpHVWFDU \//)1 \//. La variable indépendante est encore x. 2. 4&¶HVWXQHpTXDWLRQ aux dérivées partielles de second ordre. u // d 2 u dt PRQWUHTXHO¶RUGUHHVW/HGHJUpHVWFDU X//)1 X//. Les variables indéSHQGDQWHVFHWWHIRLVFLVRQW[\HWW 4&¶HVWXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUHGHWURLVLqPHRUGUH s /// d 3 s dt PRQWUHTXHO¶RUGUHHVW. 3. /H GHJUp HVW GRQQp SDU OD SXLVVDQFH PD[LPDO D ODTXHOOH OD IRQFWLRQ HW VHV dérivées sont élevées. Le degré est alors 2 à cause de (s///)2. La variable indépendante est t. Références. ZWILLINGER, D (1997).Handbook of Differential Equations (3e Ed). Boston: Academic Press. 32/<1,1$' =DLWVHY 9)

(49) Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2e Ed).Boca Raton: Chapman & +DOO&5&3UHVV,6%1 -2+1621 :

(50) A Treatise on Ordinary and partial Differential Equations. 8QLYHUVLW\RI0LFKLJDQ+LVWRULFDO0DWK&ROOHFWLRQ-RKQ Wiley and Sons. Wikibooks, Équations différentielles INCE, E.L. (1956). Ordinary Differential Equations. Dover Publications Liens externes Lectures on differential equations MIT Open CourseWare video Online Notes/Differential Equations Paul Dawkins, Lamar University Differential Equations, S.O.S Mathematics Introduction to modeling via differential equations Introduction to modeling E\PHDQVRIGLIIHUHQWLDOHTXDWLRQVZLWKFULWLFDOUHPDUNV % Differential Equation Solver -DYDDSSOHWWRROXVHGWRVROYHGLIIHUHQWLDOHTXDWLRQV. % % % %.

(51) Université Virtuelle Africaine 25. Activité d’apprentissage 2 Techniques et outils pour la résolution de différents problèmes de l’équation différentielle ordinaire 2EMHFWLIVVSpFL¿TXHVGHO¶DSSUHQWLVVDJH. ¬OD¿QGHFHWWHXQLWpO¶pWXGLDQWGHYUDLWrWUHFDSDEOHGH % ,GHQWL¿HUHWUpVRXGUHOHVSUREOqPHVGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVjGHVFRHI¿FLHQWVYDULDEOHV % ,GHQWL¿HUHWUpVRXGUHOHVSUREOqPHVGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVQRQKRPRgènes; % $SSOLTXHUODPpWKRGHGHVFRHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpVDX[pTXDWLRQVGLIIpUHQtielles; % $SSOLTXHUODPpWKRGHGHYDULDWLRQGHVSDUDPqWUHVDX[SUREOqPHVGHVpTXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHV % $SSOLTXHUO¶RSpUDWHXUGLIIpUHQWLHOLQYHUVHjODVROXWLRQGHVpTXDWLRQVGLIIprentielles linéaires. Sommaire. 'DQVFHWWHXQLWpRQSUpVHQWHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVjFRHI¿FLHQWVYDULDEOHV/HVpTXDWLRQVQRQKRPRJqQHVOHVpTXDWLRQVjFRHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpHV ODPpWKRGHSRXUWURXYHUOHVVROXWLRQVSDUODYDULDWLRQGHVSDUDPqWUHVHQ¿QOD WHFKQLTXHLQYHUVHSRXUWURXYHUOHVVROXWLRQVGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVVRQW examinées. Les activités d’apprentissage de cette unité incluent l’étude par soi-même, les lectures obligatoires, les groupes de discussion et la résolution des problèmes. Lectures obligatoires (texte principal). 'DQVFHWWHDFWLYLWpG¶DSSUHQWLVVDJHYRWUHSULQFLSDOHUpIpUHQFHVHUD0$8&+ S. (2004, chapitre 17). Lectures générales supplémentaires. Wikibooks, eTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV LQFOXVOHVLWHZHEVSpFL¿TXH

(52).

(53) Université Virtuelle Africaine 26. Concepts-clés. &RHI¿FLHQWVYDULDEOHVFRQWUDLUHPHQWDX[pTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVjFRHI¿FLHQWVFRQVWDQWVLOH[LVWHDXVVLGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVjFRHI¿FLHQWV YDULDEOHV8QFRHI¿FLHQWHVWGLWYDULDEOHV¶LOQ¶HVWSDVFRQVWDQWF¶HVWjGLUH TX¶LOHVWH[SULPpVRXVIRUPHIRQFWLRQQHOOH Équations différentielles non-homogènes XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHQRQ KRPRJqQHHVWXQHpTXDWLRQGRQWOHPHPEUHGHGURLWHHVWpJDOj]pUR &RHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpVFHVRQWGHVFRQVWDQWHVTXLGRLYHQWH[SOLFLWHPHQW rWUH GpWHUPLQpHV HQ UpVROYDQW O¶LQWpJUDOH SDUWLFXOLqUH G¶XQH pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH/DPpWKRGHTXLSHUPHWGHOHIDLUHHVWGLWHPpWKRGHGHFRHI¿FLHQWV indéterminés. Variation des paramètres :F¶HVWXQHPpWKRGHTXLSHUPHWGHWURXYHUXQH VROXWLRQSDUWLFXOLqUHG¶XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHOLQpDLUHTXDQGODVROXWLRQ JpQpUDOHGHO¶pTXDWLRQUpGXLWH pTXDWLRQKRPRJqQH

(54) HVWFRQQXH 9RLUOHVQRWHV ci-dessous pour les détails) Technique inverse FHWWHWHFKQLTXHHVWDSSOLTXpHSRXUODUpVROXWLRQG¶XQH pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHQXWLOLVDQWOHVSURSULpWpVGHO¶RSpUDWHXUGLIIpUHQWLHO (Voir les notes).

(55) Université Virtuelle Africaine 27. 2. Activité d’apprentissage 7HFKQLTXHVHWRXWLOVSRXUODUpVROXWLRQGHGLIIpUHQWVSUREOqPHVGHVpTXDWLRQVGLIIprentielles linéaires 2.1.1 Définition des équations linéaires. /¶pTXDWLRQGXSUHPLHURUGUHpWXGLpHGDQVO¶XQLWpDXGHVVXVHVWXQFDVSDUWLFXOLHUG¶pTXDWLRQOLQpDLUHG¶RUGUHn n. a 0 ( x). d y dx. n. a1 ( x). d. n <1. dx. y. n <1. ... a n < 1 ( x ). dy dx. a n ( x) y f ( x). (2.1.1). Où a 0 ( x), a1 ( x) ... a n ( x) et f (x) VRQWGHVIRQFWLRQVGRQQpHVGH x ou des constantes. 2.1.2 Définition des équations homogènes et non homogènes &RQVLGpURQVO¶pTXDWLRQ

(56) VL f ( x) 0 HOOHHVWGLWHpTXDWLRQhomogène jFRHI¿FLHQWYDULDEOHRXFRHI¿FLHQWFRQVWDQWGpSHQGDQWGHVL a 0 ( x), a1 ( x) ... a n ( x) sont GHVIRQFWLRQVGH x RXGHVFRQVWDQWHV(OOHHVWDXVVLDSSHOpHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH linéaire réduite.. Exemple : x. d2y 2. 2. dy. dx dx FRHI¿FLHQWYDULDEOH. 3 y 0 HVWXQHpTXDWLRQKRPRJqQHGHVHFRQGGHJUpj. Si f ( x) & 0 GDQVO¶pTXDWLRQ

(57) HOOHHVWGLWHpTXDWLRQQRQKRPRJqQHjFRHI¿FLHQW variable ou constant dépendant de si a 0 ( x), a1 ( x) ... a n ( x) VRQWGHIRQFWLRQVGH. x ou sont des constantes. Exemple : x. d2y. dy. 3 y sin x HVWXQHpTXDWLRQ dx dx GXVHFRQGGHJUpQRQKRPRJqQHjFRHI¿FLHQWVYDULDEOHV 2. 2.

(58) Université Virtuelle Africaine 28. Activité 2.1.2 Travail en groupe. Travailler avec un camarade sur ces problèmes. Discuter des VROXWLRQVDYHFHX[(QXWLOLVDQWO¶pTXDWLRQ

(59) IDLUHXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH DYHFOHVFRHI¿FLHQWVVXLYDQWV (i) a 0 2x 2 , a1 x . a 2 2, a3 5 , f ( x) cos x (ii) a 0 2x 2 , a1 x . a 2 2 , f ( x) 3 x 3. 2.1.3 Définition: solution des équations de second ordre 6XSSRVRQVTXH y1 et y 2 VRQWGHX[VROXWLRQVLQGpSHQGDQWHVGHO¶pTXDWLRQUpGXLWH GZO¶pTXDWLRQ

(60) jVDYRLU n. a 0 ( x). d y dx. a1 ( x). n. d. n <1. y. n <1. dx. ... a n < 1 ( x ). dy dx. a n ( x) y 0. (2.1.3a). Alors la combinaison linéaire y c1 y1 c 2 y 2 où c1 , c 2 sont des constantes arbiraires, est aussi une solution. Preuve :. Substituer y c1 y1 c 2 y 2 GDQVO¶pTXDWLRQ D

(61) RQD n. [a 0 ( x). [a 0 ( x). d y1 dx. n. d n y2 dx. n. a1 ( x). a1 ( x). d. n <1. dx. y1. n <1. d n <1 y 2 dx. n <1. ... a n < 1 ( x ). ... a n < 1 ( x ). dy1 dx dy 2 dx. +. a n ( x ) y1 @. a n ( x) y 2 @ > 0. (2.1.3b). /HUpVXOWDWGHO¶pTXDWLRQ E

(62) GHYLHQW]pURSXLVTXHFKDTXHSDUHQWKqVHHVW XQ]pURSXLTXH y1 et y 2 VRQWGHVVROXWLRQVGHO¶pTXDWLRQ D

(63) .

(64) Université Virtuelle Africaine 29. 2.1.4 Généralisation de la définition de l’équation 2.1.3 à la solution de l’équation différentielle linéaire Théorème 2.1.4a : si y1 , y 2 ,..., y n VRQWGHVIRQFWLRQVOLQpDLUHPHQWLQGpSHQGDQWHVGH. x TXLVDWLVIRQWjXQHpTXDWLRQKRPRJqQH

(65) DORUVODFRPELQDLVRQOLQpDLUH y c c1 y1 c 2 y 2 ... c n y n. (2.1.4). Où c1 , c 2 ,..., c n VRQWGHVFRQVWDQWHVHVWDXVVLVROXWLRQGHO¶pTXDWLRQKRPRJqQH /DVROXWLRQGRQQpHGDQV

(66) TXLGRQQHODVROXWLRQGHO¶pTXDWLRQKRPRJqQHHVW GLWHIRQFWLRQFRPSOpPHQWDLUH 7KpRUqPHEODVROXWLRQJpQpUDOHG¶XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHKRPRJqQHHVW égale à la somme de sa fonction complémentaireHWQ¶LPSRUWHTXHOOHintégrale particulière. Si P est une solution particulière de (2.1.1), alors la solution générale est :. y y c P c1 y1 c 2 y 2 ... c n y n + P. (2.1.4b). $LQVLSRXUOHVpTXDWLRQVQRQKRPRJqQHV Solution générale = fonction complémentaire + intégrale particulière. 2.1.5 Application du théorème 2.1.4b /¶pTXDWLRQJpQpUDOHOLQpDLUH E

(67) DQDO\VpHGDQV ODVHFWLRQ FLGHVVXV HVW JpQpUDOHPHQWGLI¿FLOHjUpVRXGUHHWGHPDQGHGHVWHFKQLTXHVSDUWLFXOLqUHV7RXWHIRLV XQFDVLPSRUWDQWHWVSpFLDOLQWHUYLHQWTXDQGOHVFRHI¿FLHQWV a 0 ( x), a1 ( x) ... a n ( x) VRQWGHVFRQVWDQWHVO¶pTXDWLRQHVWGLWHpTXDWLRQjFRHI¿FLHQWFRQVWDQW&RQVLGpURQV O¶pTXDWLRQKRPRJqQHjFRHI¿FLHQWFRQVWDQW n. a0. d y dx. n. a1. d. n<1. dx. y. n<1. ... a n<1. dy dx. any 0. (2.1.5a). dn y GDQVO¶pTXDWLRQ D

(68) RQD dx n a 0 D xn y a 1 D xn < 1 y ... a n < 1 D x y a n y 0. En désignant, D xn y donc. ( a 0 D xn a1 D xn <1 ... a n <1 D x a n ) y 0 .. (2.1.5b).

(69) Université Virtuelle Africaine 30. 6LRQIDLWXQHVXEVWLWXWLRQIRUPHOOH D x m GDQVO¶pTXDWLRQ E

(70) RQREWLHQW XQHIRQFWLRQSRO\Q{PLDOHGDQV m d’un degré n donné : g ( m) a 0 m n a 1 m n < 1 ... a n < 1 m a n 0 ,. (2.1.5c). (WVLRQpJDOLVHO¶pTXDWLRQ F

(71) j]pURRQREWLHQWXQHpTXDWLRQDOJpEULTXH de degré n 4XLGRLWDYRLUXQHUDFLQH n /¶pTXDWLRQ g (m) 0 est dite équation auxiliaire GHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH F

(72) . Théorème 2.1.5: si m1 HVWXQHUDFLQHGHO¶pTXDWLRQDX[LOLDLUH m x a 0 m1n a 1 m1n < 1 ... a n < 1 m1 a n 0 , alors y e HVWXQHVROXWLRQGHO¶pTXD-. WLRQGLIIpUHQWLHOOHOLQpDLUHKRPRJqQH ( a 0 D n a 1 D n < 1 ... a n < 1 D a n ) y 0 où ai est une constante Preuve : à la suite d’une GLIIpUHQWLDWLRQVXFFHVVLYHRQREWLHQW y e m1x y / m1e m1x 2 y // m1 e m1x 3. y /// m1 e m1x n. y ( n ) m1 e m1x (QVXEVWLWXDQWFHVGpULYpHVGDQVO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRQREWLHQW a 0 m1n e m x a 1 m1n < 1 e m x ... a n < 1 m1 e m x a n e m x 0 1. 1. 1. 1. ou encore. ( a 0 m1n a 1 m1n < 1 ... a n < 1 m1 a n ) e. m1 x. 0. HWSXLVTXH m1 HVWXQHUDFLQHGHO¶pTXDWLRQDX[LOLDLUHO¶H[SUHVVLRQHQWUHSDUHQWKqVHVHVWpJDOj]pURHWO¶pTXDWLRQHVWUpVROXH.

(73) Université Virtuelle Africaine 31. 2.1.6 Résumé pour la résolution des équations différentielles homogènes.. /DVROXWLRQGHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHVHUpGXLWDORUVjODUpVROXWLRQGHO¶pTXDWLRQDX[LOLDLUHDOJpEULTXHSRXUVDUDFLQH n HWIRUPHXQHFRPELQDLVRQOLQpDLUH indépendante ci e mi x (i 1,..., n) comme sa solution générale, si les racines sont tous distincts. Exemple : trouver la solution générale de y // < y / < 6 y 0 Solution : O¶pTXDWLRQDX[LOLDLUHHVW m2 < m < 6 0. ( m < 3)( m 2) 0 TXL D XQH UDFLQH m 3 ou m <2 . La solution est y c1 e 3 x + c 2 e <2 x /¶pWXGLDQWGHYUDLWYpUL¿HUODUpSRQVH&RPPHQW",QGLFHYRXVUDSSHOH]YRXVGHV H[HUFLFHVIDLWVSRXUIRUPHUXQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGDQVO¶DFWLYLWpG¶DSSUHQWLVVDJH 1? Théorème 2.1.6 6L O¶pTXDWLRQ DX[LOLDLUH GH O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH OLQpDLUH KRPRJqQH FRQWLHQW r comme racine, alors y ( c 0 c1 x c 2 . x 2 ... c s < 1 x s < 1 ) e rx est la solution de O¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH Exemple: si r m GHX[IRLV

(74) ODVROXWLRQVHUD y (c0 c1 x)e mx 2.1.7 Équation auxiliaire aux racines complexes. 6L O¶pTXDWLRQ DX[LOLDLUH j FRHI¿FLHQW UpHO FRQWLHQW GHX[ UDFLQHV FRPSOH[HV m1 a bi et m2 a < bi alors y e ax ( C 1 cos bx C 2 sin bx ) est une solution GHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH C1 , C 2 , a, b sont des constantes. Généralisation 6LOHVUDFLQHVFRPSOH[HVVHSUpVHQWHQWHQUDFLQHVPXOWLSOHVHWFHTXDQG ( a ( bi ) est paire de s-fold de racines complexes, alors OHVWHUPHVTXLFRUUHVSRQGHQWjODIRQFtion complémentaire sont y e ax [( C 0 C 1 x C 2 . x 2 ... C s < 1 x s < 1 ) cos bx. ( D 0 D 1 x D 2 . x 2 ... D s < 1 x s < 1 ) sin bx@.

(75) Université Virtuelle Africaine 32. Activités d’apprentissage 2.1.7. (i) Lectures individuels : lire 5HDG0$8&+6

(76) &KDSLWUH LL

(77) 5pVROXWLRQGHSUREOqPHV. eFULUHOHVpTXDWLRQVDX[LOLDLUHVSRXUOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVVXLYDQWHVHW les résoudre par la suite y // 3 y / 2 y 0 [Solution : y Ae < x Be <2 x ]. (a) 2. (b). d y dx. 2. <6. d y dx. 3x. 9 y 0 [Solution : y ( A Bx ) e ]. Indication UpIpUH]YRXVDXWKpRUqPHHWO¶H[HPSOHTXLVXLW (c) y /// < 3 y // 7 y / < 5 y 0 IndicationUpIpUH]YRXVjODJpQpUDOLVDWLRQGDQVODVHFWLRQ (iii) groupe de discussion. 'LVFXWH]GHYRVVROXWLRQVWURXYpHVDX[TXHVWLRQV(ii) ci-dessus en petits groupe et voir s’ils correspondent aux solutions suggérées entre parenthèses.. 2.1.8 Équation à coefficients indéterminés. 'DQVODVHFWLRQSUpFpGHQWHQRXVDYRQVDSSULVTXHODVROXWLRQG¶XQHpTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH OLQpDLUH FRPSOqWH HVW FRPSRVpH GH OD VRPPH GH OD IRQFWLRQ FRPSOpPHQWDLUHHWGHO¶LQWpJUDOHSDUWLFXOLqUH/HVWHFKQLTXHVSRXUREWHQLUOD IRQFWLRQFRPSOpPHQWDLUH y c ont été développées dans les sections 2.1.4-2.1.6 DYHFEHDXFRXSG¶H[HPSOHVSUDWLTXHV&HTXLUHVWHF¶HVWVHXOHPHQWGHGRQQHU GHVWHFKQLTXHVSRXUSHUPHWWUHGHWURXYHUXQHLQWpJUDOHSDUWLFXOLqUHD¿QG¶REWHQLUXQHVROXWLRQFRPSOqWH'DQVFHWWHVHFWLRQQRXVGLVFXWHURQVGHVWHFKQLTXHV DSSHOpHVPpWKRGHVGHVFRHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpV %LHQTXHODPpWKRGHGHVFRHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpVQ¶HVWSDVDSSOLFDEOHGDQVWRXVOHV cas, elle peut être utilisée si le deuxième membre f (x) QHFRQWLHQWTXHOHVWHUPHVTXL RQWXQQRPEUH¿QLGHGpULYpHVLQGpSHQGDQWHVOLQpDLUHPHQWFRPPH x n , e mx , sin bx , cos bx ou des produits de celles-ci..

(78) Université Virtuelle Africaine 33. 2.2 Règles générales concernant les techniques des coefficients indéterminées /DUqJOHJpQpUDOHSRXUFHWWHWHFKQLTXHHVWGHSUHQGUH y p G¶XQHIRUPHVLPLODLUHGX deuxième membre f (x) GDQVO¶pTXDWLRQ

(79) /HVGpULYpHVQpFHVVDLUHVGH y p son DORUVREWHQXHVHWVXEVWLWXpHVGDQVO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGRQQpH,OHQUpVXOWHXQH LGHQWLWpSRXUODYDULDEOHLQGpSHQGDQWHHWSDUFRQVpTXHQWOHVFRHI¿FHQWVGHVWHUPHV VLPLODLUHVVRQWPLVHQpTXDWLRQ/HVYDOHXUVGHVFRHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpVVRQWWURXYpHVjSDUWLUGHODVWUXFWXUHTXLUpVXOWHGHO¶pTXDWLRQOLQpDLUH/DUqJOHHVWSOXVFODLUH avec un exemple. /H WDEOHDX FLGHVVRXV UpVXPH XQH UqJOH JpQpUDOH SRXU OD IRUPXODWLRQ G¶XQH intégrale particulière. Si f (x) est sous la forme. Choisir y P qui devient. c0 c1 x c 2. x 2 ... c n x n. C 0 C1 x C 2. x 2 ... C n x n. (c0 c1 x c 2. x 2 ... c n x n )e rx. (C 0 C1 x C 2. x 2 ... C n x n )e rx. c 0 sin bx c1 cos bx. C 0 sin bx C 1 cos bx. 7DEOHDX. Exemple 2.2.1: trouver l’intégrale particulière de y // 3 y / 2 y e 2 x Solution : GDQVO¶DFWLYLWpG¶DSSUHQWLVVDJHGHODVHFWLRQYRXVDYH]HQIDLWWURXYp ODIRQFWLRQFRPSOpPHQWDLUHGHFHWWHpTXDWLRQTXLGRLWrWUH y Ae < x Be <2 x . Ainsi, O¶pTXDWLRQ DX[LOLDLUH HVW m 2 3m 2 0 ( m 2 )( m 1) 0 FH TXL GRQQH <x <2 x m < 2 ou m < 1 /DIRQFWLRQFRPSOpPHQWDLUHHVWGRQF y c Ae Be. comme avant.. (QUHJDUGDQWOHGHX[LqPHPHPEUHGHO¶H[HPSOHG¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHFL dessus et la règle générale dans le tableau table 2.2.1, l’intégrale particulière est. Y Ae2 x , Y / 2 Ae 2 x , Y // 4 Ae 2 x 3DUVXEVWLWXWLRQGDQVO¶pTXDWLRQRULJLQDOH (4 A 6 A 2 A)e 2 x e 2 x (WFRPSDUDQWOHVFRHI¿FLHQWVVXUFKDTXHFRWp 12 A 1 A . 1 12.

(80) Université Virtuelle Africaine 34. /DVROXWLRQJpQpUDOHHVWDORUVODIRQFWLRQFRPSOpPHQWDLUHO¶LQWpJUDOHSDUWLFXOLqUH TXLHVW y Ae < x Be < 2 x. 1 12. Activité d’apprentissage 2.2.1 (i) Lectures : étudier la matière présentée dans la section 2.2. (ii) Groupe de discussion. $SUqVDYRLUIDLWOHVOHFWXUHVJpQpUDOHVGHODVHFWLRQWURXYHUOHVVROXWLRQV JpQpUDOHV GHV pTXDWLRQV GLIIpUHQWLHOOHV VXLYDQWHV &RPSDUH] YRV VROXWLRQV DYHFFHOOHVGRQQpHVGDQVO¶DFWLYLWpG¶DSSUHQWLVVDJH)RUPXOH]YRVVROXWLRQV FRQFRUGDQWDYHFFHOOHVIRXUQLHV (a) y // < 5 y / 6 y x 2 [solution générale :. y Ae 2 x Be 3 x (1 / 6 ) x 2 (5 / 18 ) x (9 / 108 ) @ (b). y // 4 y 3 sin x [solution générale :. y A cos 2 x B sin 2 x < (3 / 4 ) x cos 2 x @. 2.3 Méthode pour trouver une solution par la variation des paramètres (VDP). 'DQV FHWWH DFWLYLWp G¶DSSUHQWLVVDJH YRWUH WH[WH UpIpUHQFH SULQFLSDOH VHUD 0$8&+6 SS

(81) 2.3.1 Introduction. /DPpWKRGHGHVFRHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpVGLVFXWpHVGDQVODVHFWLRQSUpFpGHQWH HVWOLPLWpHTXDQGjVRQDSSOLFDWLRQ2QDEHVRLQG¶XQHDXWUHWHFKQLTXHDYHF XQHDSSOLFDWLRQSOXVODUJH/HVWHFKQLTXHVDGRSWpHVGDQVFHWWHVHFWLRQVRQW appelées méthode de variation des paramètres. 2.3.2 Description de la méthode. /D PpWKRGH GH 9'3 YDULDWLRQ GHV SDUDPqWUHV

(82) FRQVLVWH j UHPSODFHU OD IRQFWLRQ FRPSOpPHQWDLUHSDUOHVIRQFWLRQVLQGpWHUPLQpHVGHODYDULDEOHLQGpSHQGDQWH x et HQVXLWHGpWHUPLQHUFHVIRQFWLRQVSRXUTXHODIRQFWLRQFRPSOpPHQWDLUHPRGL¿pHVRLW VXEVWLWXpHGDQVO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH f (x) sera obtenu dans le premier membre..

(83) Université Virtuelle Africaine 35. &HTXLIDLWVHXOHPHQWXQHUHVWULFWLRQGDQVODIRQFWLRQDUELWUDLUH n ci , (i 1,..., n) , et on a ( n < 1) TXLVRQWGHVFRQGLWLRQVGHGLVSRVLWLRQ2QSUHQGFHWWHOLEHUWpGHOD manière suivante :. D

(84) FRPPHRQGLIIpUHQWLH y c pour trouver D x yc /. dyc LO\DXUDGHVWHUPHVTXL dx. contiennent ci ( x) . On regroupe cette combinaison de termes à zéro.. b) Comme on dérive pour trouver D x2 y c RQDHQFRUHIRUPXOpODFRPELQDLVRQUp/. VXOWDQWHGHVFRQGLWLRQVTXLFRQWLHQQHQW ci ( x) égal à zéro. F

(85) 2QFRQWLQXHjDSSOLTXHUFHWWHPpWKRGHGDQV D xn<1 yc d) On trouve alors D xn y c HWRQVXEVWLWXHWRXWHVFHVYDOHXUVGDQVO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGRQQpH3XLVTXH y c HVWODIRQFWLRQFRPSOpPHQWDLUHOHVUpVXOWDWVGHFHWWH substitution auront seulement les conditions D xn y c TXLDSSDUDLVVHQWFDU ci sont GHVIRQFWLRQVGH x . H

(86) /HVpTXDWLRQVREWHQXHVjSDUWLUGH G

(87) HWODFRQGLWLRQ ( n < 1) impose par (a)-(c) SURGXLUDXQHVWUXFWXUHG¶XQHpTXDWLRQOLQpDLUH n dans n inconnus, (i 1,..., n) (OOHHVWUpVROXHHWLQWpJUpHSRXUSURGXLUHOHVIRQFWLRQV n ci (x) . /DPpWKRGHQ¶HVWSDVVLGLI¿FLOHjFRQGLWLRQTXHO¶RUGUHGHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH VRLWSHWLW/¶H[HPSOHVXLYDQWLOOXVWUHODWHFKQLTXH Exemple 2.3.2 Trouver la solution générale de y // < y x 2. (2.3.2). Solution O¶pTXDWLRQDX[LOLDLUHHVW m2 < 1 0 m 1 ou m <1 (QVHUDSSRUWDQWjODGLVFXVVLRQGHODVHFWLRQODIRQFWLRQFRPSOpPHQWDLUHGH O¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHHVW. y c k1. e x k 2 e < x. (2.3.2a).

(88) Université Virtuelle Africaine 36. ci , (i 1,2) UHVWHODIRQFWLRQGH x :. y p c1. ( x)e x c 2 ( x)e< x. (2.3.2b). 'pULYH]D¿QG¶REWHQLU y / p c1. e x < c 2 e < x + c1/ e x c 2/ e < x. (2.3.2c). Imposer la première condition, c’est-à-dire c1/ e x c 2/ e < x 0. 2.3.2d). 8WLOLVHUODFRQGLWLRQGHO¶pTXDWLRQ G

(89) LPSRVpHGDQVODVHFWLRQ F

(90) HWGpULYHU encore Pour obtenir y //p c1. e x c 2 e < x + c1/ e x < c 2/ e < x. (2.3.2e). 6XEVWLWXHUO¶pTXDWLRQ H

(91) HW E

(92) GDQVO¶pTXDWLRQ

(93) HQOHXUDWWULEXDQW les conditions : x <x x <x 2 c1 . e c 2 e + c1/ e x < c 2/ e < x < c1. e < c 2 e x ,. ou bien c1/ e x < c 2/ e < x x 2 . . . I

(94). 5HPDUTXHUTXHWRXWHVOHVFRQGLWLRQVVDXIFHOOHVTXLFRPSUHQQHQWGHVGpULYpHVGH ci , (i 1,..., n) GLVSDUDLVVHQWHWTXHYRXVSRXYH]JDJQHUGXWHPSVHQpJDOLVDQWWRXW VLPSOHPHQWODFRQGLWLRQGHO¶pTXDWLRQ H

(95) j f (x) . /HVpTXDWLRQV G

(96) HW I

(97) IRUPHQWPDLQWHQDQWXQV\VWqPHGHGHX[pTXDWLRQV linéaires /. /. 4XLGRLYHQWrWUHUpVROXHVVLPXOWDQpPHQWSRXU c1 et c 2 (QDMRXWDQWFHVGHX[pTXD/. tions on obtient 2c1 e x x 2 Ou encore dc1 . c1 . 1 2 <x x e dx 2 1. 0 2x. 2. e < x dx. L’intégration par parties nous donne. c1 < (1 x. 1 2. x 2 )e < x ).

(98) Université Virtuelle Africaine 37. ¬SDUWLUGHO¶pTXDWLRQ G

(99) QRXVDYRQV. c 2/ < c1/ e 2 x <. 1 2. x2ex. L’intégration par parties nous donne encore c 2 < (1 < x. 1 2. x 2 )e x. /DVROXWLRQJpQpUDOHHVWDORUVFRPPHG¶KDELWXGHODVRPPHGHODIRQFWLRQFRPSOpPHQtaire plus l’intégrale, c’est-à-dire . . . y k1. e x k 2 e < x + c1 ( x)e x c 2 ( x)e < x. k1 . e x k 2 e < x + < [1 x (1 / 2) x 2 @ + < [1 < x (1 / 2) x 2 @. k1. e x k 2 e < x - x 2 < 2. Activités d’apprentissage 2.3 L

(100) 5pVROXWLRQGHSUREOqPH:DSSOLTXH] OHVWHFKQLTXHVGHYDULDWLRQGHVSDUDPqWUHV. 7'3

(101) GLVFXWpHVGDQVODVHFWLRQjFHSUREOqPHFLGHVVRXV1RWH]TXHFHV problèmes ont été aussi résolus avec une autre méthode (section 2.2) : (a). y // < 5 y / 6 y x 2. (b). y // 4 y 3 sin x. Voir si le (TDP) mène aux mêmes solutions obtenues dans la section (ii) Groupe de discussion. 4XHOOHPpWKRGHWURXYH]YRXVSOXVVLPSOHSRXUODUpVROXWLRQGHFHVSUREOqPHV HWSRXUTXRL".

(102) Université Virtuelle Africaine 38. 2.4. Opérateurs différentiels Introduction :. 'DQVFHWWHVHFWLRQRQH[SRVHODWKpRULHGHO¶RSpUDWHXUGLIIpUHQWLHOOH/¶DSSOLFDWLRQ GH OD WKpRULH SRXU WURXYHU OD VROXWLRQ GH O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH linéaire est ainsi discutée. Des séries d’exemples sont données. En plus des H[HPSOHVLO\DDXVVLGHVDFWLYLWpVG¶DSSUHQWLVVDJHjIDLUHGDQVOHVVHFWLRQV avant de procéder aux prochaines sections. 2.4.1 Symboles et définitions. 2SpUHUXQFDOFXOVLJQL¿Hproduire un résultat convenable, et c’est l’opérateur TXLSURGXLWFHUpVXOWDW2QDGpMjXWLOLVpOHV\PEROH k y. D y. dk y dx k. , k 1,2,.... 3RXULQGLTXHUODGpULYpHNLqPHGHODIRQFWLRQ y par rapport à x . D k désigne la dérivée d’ordre k SDUUDSSRUWjODYDULDEOHLQGpSHQGDQWHTXLFRQYLHQW D k HVWO¶RSpUDWHXUGLIIpUHQWLHOOH3XLVTX¶LOGRLWSURGXLUHXQUpVXOWDWLOGRLWRSpUHU VXU XQH IRQFWLRQ HW IRQFWLRQQHU HQ UHVSHFWDQW OHV UqJOHV GH GpULYDWLRQ /HV propriétés suivantes sont valides : Propriété 2.4.1a. :. Si c est une constant alors y D k (cy) cD k y. 3URSULpWpE :. D k ( y1 y 2 ) D k ( y1 ) + D k ( y 2 ). Propriété .2.4.1c. :. Deux opérateurs A et B sont égaux si et seulement si y Ay By. Propriété 2.4.1d. : . Si les opérateurs A, B, et C sont des opérateurs GLIIpUHQWLHOOHVTXHOFRQTXHVLOVVDWLVIHURQWDX[ ORLVG¶DOJqEUHRUGLQDLUHTXLVRQW. /DFRPPXQLFDWLYLWpGHO¶DGGLWLRQ$% %$ /¶DVVRFLDWLYLWpGHO¶DGGLWLRQ $%

(103) & $ %&

(104) /¶DVVRFLDWLYLWpGHODPXOWLSOLFDWLRQ $%

(105) & $ %&

(106) 4. La distributivitée de la multiplication par rapport à l’addition : $ %&

(107) $%$&HQ¿Q.

(108) Université Virtuelle Africaine 39. /DFRPPXQLFDWLYLWpGHODPXOWLSOLFDWLRQVHORQODTXHOOHWRXVOHVRSpUDWHXUVRQW GHVFRHI¿FLHQWVFRQVWDQWV$% %$. Propriété 2.4.1e. Changement de l’exponentielle. Si P(D) HVWXQHIRQFWLRQ polynomiale dans D DYHFGHVFRHI¿FLHQWVFRQVWDQWV rx rx (a) e P ( D ) y P ( D < r )[ e y @ rx rx (b) P ( D )[ e y @ e P ( D r ) y ;. (c). e. < rx. rx. P ( D )[ e y @ P ( D r ) y. 2.5 Les opérateurs inverses. 3RXUFRPSOpWHUO¶H[SRVpVXUO¶RSpUDWHXUGLIIpUHQWLHOQRXVFRQVLGpURQVPDLQWHQDQWODIRQFWLRQ D < k y $¿QG¶rWUHORJLTXH D <1 y . 1 y z UHVWHXQHH[SUHVVLRQWHOOHTXH Dz y . D. (QG¶DXWUHVWHUPHVOHUpVXOWDWQHWREWHQXSDUO¶RSpUDWHXUGLIIpUHQWLHODYHFXQ LQGLFHQpJDWLIHVWGLWHLQWpJUDWLRQ&HWRSpUDWHXUHVWDSSHOpopérateur différentiel inverse.. 'p¿QLWLRQ O¶RSpUDWHXUGLIIpUHQWLHOLQYHUVH ( D < c ) < k , k 1,2,..., HVWGp¿QLHQ WDQWTXH. Intégral ( D < c ) < k y( x) DUELWUDLUHPDLV¿[H. x. ( x < u ) k <1. x0. ( k < 1)!. 0. e c ( x < u ) y (u ) du , où x0 est un nombre. Propriété 2.5.2: OHV pTXDWLRQV VXLYDQWHV UHOHYDQW GHV GLVFXVVLRQV GH FHWWH section.. Propriété 2.5.2a.. 1 P (D ). [ e rx @. e rx , si P ( r ) & 0 P (r ).

(109) Université Virtuelle Africaine 40. 3URSULpWpE Propriété 2.5.2c. Propriété 2.5.2d.. 1 e rx P (D ) 1 2. D r. 2. 1 D r 2. 2. x k e rx k! ( r ) sin rx cos rx. x 2r. cos rx .. x sin rx 2r. Propriété 2.5.2e.. c 1 sin bx , b & r (c sin bx) 2 2 r < b2 D r. Propriété 2.5.2f.. c 1 cos bx , b & r (c cos bx) 2 2 r < b2 D r. 2. 2. Propriété 2.5.2g. Illustrée par l’exemple : 3UHXYHI. 1 x4 [x3 @ = < 3x 2 6 D( D 1) 4. 1 <1 2 4 D (1 < D D < ...) D ( D 1). D <1 < D 1 D 3 < ... On a. 1 [ x 3 @ D < 1 [ x 3 @ < D 1 [ x 3 @ D 3 [ x 3 @ < ... D( D 1) =. x4 < 3x 2 6 4. Propriété 2.5.2h. Changement d’exponentiel.. 1 1 [ y@ [e rx y@ e rx P (D r ) P (D ).

(110) Université Virtuelle Africaine 41. Activité d’apprentissage 2.5 'DQVFHWWHVHFWLRQG¶DFWLYLWpG¶DSSUHQWLVVDJHYRWUHUpIpUHQFHSULQFLSDOHHVW0$8&+ S. (2004, pp.902-915). ,GHQWL¿H]ODERQQHSURSULpWpjSDUWLUGHVVHFWLRQVHWFLGHVVXVHWO¶XWLOLVHUSRXU HIIHFWXHUOHVRSpUDWLRQVVXLYDQWHV 1. D 2 e 4 x 2. ( D 2 4) <1 sin 2 x (indication : essayez la propriété 2.5.2c) 3. [ D ( D 2 < 1

(111) @ <1 5 x 4 (indication : essayez la propriété 2.5.2g) 2.6. Application de l’opérateur différentiel inverse aux solutions des équation différentielles linéaires.. /¶DSSOLFDWLRQGHODWKpRULHGHVRSpUDWHXUVSHXWYRXVIDLUHJDJQHUGXWHPSVSRXUWURXYHU OHVLQWpJUDOHVSDUWLFXOLqUHVGHWRXWHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHOLQpDLUH. P( D) y f ( x). (2.6.1). 6LRQUpVRXWO¶pTXDWLRQ

(112) FRPPHXQHVLPSOHpTXDWLRQDOJpEULTXHLOIDXGUDDORUV calculer la valeur de y par une division :. y. 1 f ( x) P( D). (2.6.2). Les propriétés données dans les sections 2.5.1 et 2.5.2 peuvent maintenant être DSSOLTXpHVjERQHVFLHQWSRXUQRWUHDYDQWDJH Exemple. Trouver une intégrale particulière 2x D ( D < 2) 3 ( D 1) y e. Solution : HQSUHQDQWO¶H[HPSOHGHO¶pTXDWLRQ

(113) WURXYHUODYDOHXUGH y pour obtenir l’intégrale particulière 3. <1. y p [ D ( D < 2 ) ( D 1

(114) @ e. 2x.

(115) Université Virtuelle Africaine 42. par la propriété (2.5.2b), avec r 2 , k 3 et ( D ) D ( D 1) SRXUTXH ( r ) r ( r 1)

(116)

(117) HWRQD yp . x 3e2 x 3!6. . 1 36. x 3e2 x. Activité d’apprentissage 2.6: groupe de travail Dans cette activité vous discuterez des solutions en groupe de 3 à 5. Le but de cette DFWLYLWp G¶DSSUHQWLVVDJH HVW G¶DERUG G¶LGHQWL¿HU OD SURSULpWp FRUUHFWH j SDUWLU GHV VHFWLRQVHWSRXUFKDTXHTXHVWLRQ 9HXLOOH]QHSDVRXEOLHUTXHOHVGHX[pTXDWLRQVSHXYHQWrWUHUpVROXHVSDUG¶DXWUHV PpWKRGHVDSSULVHVMXVTX¶LFL3DUH[HPSOHODPpWKRGHGHVFRHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpV présentée dans la section 2.2. 7URXYHUODVROXWLRQFRPSOqWHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVVXLYDQWHV 1. ( D 2 < 4 D 4 ) y xe 2 x 2. ( D 2 4) y 4 cos 2 x.

(118) Université Virtuelle Africaine 43. Activité d’apprentissage 3 Séries de solutions pour les équations différentielles linéaires de second ordre 2EMHFWLIVVSpFL¿TXHVG¶DSSUHQWLVVDJH . 5pVRXGUHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVjFRHI¿FLHQWVYDULDEOHVHQXWLOLVDQWOHV méthodes de la série des puissances. Résumé 'DQVFHWWHXQLWpOHVVROXWLRQVGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVOLQpDLUHVDYHFGHVVpULHVGH puissances sont présentées. La méthode des séries de puissances est particulièrement DSSOLFDEOHjODUpVROXWLRQGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVjFRHI¿FLHQWVYDULDEOHVGDQV les cas où les méthodes présentées dans les unités précédentes ne marchent pas. Dans cette activité d’apprentissage deux méthodes sont présentées. La méthode des GpULYpHVVXFFHVVLYHVHWODPpWKRGHGHVFRHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpV/DWHFKQLTXHGHV VpULHVGHSXLVVDQFHVSRXUUpVRXGUHOHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVH[LJHGHVFRQQDLVVDQFHVSUpDODEOHVVXUOHVIRQFWLRQVVSpFLDOHVGHVVpULHVGHSXLVVDQFHVFRPPHODVpULH de Taylor. Lecture (texte principal) /HWH[WHSULQFLSDOjOLUHSRXUFHWWHDFWLYLWpHVW0$8&+6

(119) Introduction to Methods of Applied Mathematics. Il est aussi disponible sur le CD du cours. Lectures générales supplémentaires : Wikibooks, Équations différentielles Mots-clés Série de puissance : une série dont les termes contiennent des puissances intégrales positives ascendantes d’une variable, par exemple a 0 a1 x a 2 x 2 a3 x 3 ... a n x n ..., où les ai sont des constantes et x une variable.. &RHI¿FLHQWVYDULDEOHV UpIpUH]YRXVDX[PRWVFOpVGHO¶DFWLYLWp

(120) Séries de Taylor : HQJpQpUDOVLXQHIRQFWLRQSHXWrWUHH[SULPpHHQVpULHGH puissancescomme c 0 c1 ( x < a ) c 2 ( x < a ) 2 c 3 ( x < a ) 3 ... c n ( x < a ) n ..., elles est dite série de Taylor..

(121) Université Virtuelle Africaine 44. Dérivation successive : c’est une des méthodes utilisées pour trouver les VROXWLRQVGHODVpULHGHSXLVVDQFHVG¶XQHpTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH &RHI¿FLHQWVLQGpWHUPLQpV UpIpUH]YRXVDX[PRWVFOpVGHO¶DFWLYLWp

(122). 3. 1 Activité d’apprentissage 6pULHVGHVROXWLRQVGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVOLQpDLUHVGHVHFRQGRUGUH -XVTX¶LFLQRXVQRXVVRPPHVVHXOHPHQWLQWpUHVVpVHWOLPLWpVDX[pTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVTXLSRXUUDLHQWrWUHUpVROXHVULJRXUHXVHPHQWHWOHVGLIIpUHQWHVDSSOLFDWLRQVTXL PqQHQWYHUVHOOHV,O\DFHUWDLQHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVTXLVRQWG¶XQHLPSRUWDQFH FDSLWDOHGDQVOHVDSSOLFDWLRQVVFLHQWL¿TXHVPDLVTXLQHSHXYHQWSDVrWUHUpVROXHV FRPSWHWHQXGHVIRQFWLRQVpOpPHQWDLUHVSDUQ¶LPSRUWHTXHOOHPpWKRGH3DUH[HPSOH OHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV. y / x 2 y 2 et xy // y / xy 0. (3.1). 1HSHXYHQWSDVrWUHUpVROXHVH[DFWHPHQWFRPSWHWHQXGHVIRQFWLRQVDSSULVHVHQJpnéral en calcul élémentaire. /D TXHVWLRQ HVW GH TXHOOH PDQLqUH SRXUUDLWRQ SURFpGHU SRXU WURXYHU OD VROXWLRQ GHPDQGpHV¶LOHQH[LVWHXQH"8QHIDoRQSRVVLEOHSRXUFRPPHQFHUHVWGHVXSSRVHU TXHODVROXWLRQ VLHOOHH[LVWH

(123) FRPSUHQGXQHVpULHGHVROXWLRQ¬FHQLYHDXLOHVW important d’introduire la série de puissances pour nous aider à trouver une solution DX[SUREOqPHVFRPPHGDQVO¶pTXDWLRQ

(124) GRQQpFLGHVVXV 3.1.1 Définition Série de Taylor. (Q FDOFXO YRXV DYH] DSSULV TX¶XQH IRQFWLRQ SHXW rWUH UHSUpVHQWpH SDU OD VpULH GH Taylor /. f. //. x 0 . 2. (3.1.1) 2! ¬FRQGLWLRQTXHWRXWHVOHVGpULYpHVH[LVWHQWHQ x x0 1RXVGLURQVSOXVORLQTXHOD. f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 )( x < x 0 ). ( x < x 0 ) ... ,. IRQFWLRQHVWDQDO\WLTXHHQ x x0 si f (x) peut être développée en série de puissances YDOLGHVVXUSUHVTXHOHPrPHSRLQW.

(125) Université Virtuelle Africaine 45. 3.1.2 Définition de point ordinaire, singulier et régulier.. 6RLWO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHRUGLQDLUH. [ a 0 ( x ) D xn a 1 ( x ) D xn < 1 ... a n < 1 ( x ) D x a n ( x

(126) @ y f ( x ). (3.1.2). 'DQVODTXHOOH ai (x), (i 0,..., n) VRQWGHVIRQFWLRQVSRO\QRPLDOHV Le point x x0 est un point ordinaire GHO¶pTXDWLRQVL a 0 ( x 0 ) & 0 . un point x x1 SRXUOHTXHO a 0 ( x1 ) 0 est appelé point singulier GHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH/HSRLQW. x x1 est un point régulier VLO¶pTXDWLRQ

(127) SHXWrWUHpFULWHVRXVODIRUPH [( x < x1 ) n D n ( x < x1 ) n <1 b1 ( x) D n <1 ( x < x1 )b2 ( x) D n < 2 ... ( x < x1 )bn <1 ( x) D bn ( x

(128) @ y f ( x). (3.1.3), avec f ( x) 0 et où bi (x), (i 1,..., n) VRQWGHVIRQFWLRQVDQDO\WLTXHV x x1 . Exemples Donnez les points singuliers de : (a). //. ( x < 3 ) y ( x 1) y 0. [Solution : x 3 ] (b) ( x 2 1) y /// y // < x 2 y 0 [Solution : x (i ] Activité d’apprentissage 3.1.2 donnez les points singuliers de : (i) 8 y /// < 3 x 3 y // 4 0 .[Solution : aucune] (ii) ( x < 1) 2 y // < x ( x < 1) y / xy 0 .[Solution : x 1 régulier]. On utilise l’expression « trouver une solution au point x x0 », dans les discussions VXUODVpULHGHVSXLVVDQFHVGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHV&HODVLJQL¿HTXHSRXUREWHQLU une série de puissances de. ( x x0 ).

(129) Université Virtuelle Africaine 46. 4XLHVWYDOLGHDXYRLVLQDJHGXSRLQW x0 HWTXLXQGpYHORSSHPHQWG¶XQHIRQFWLRQ. y (x) TXLVDWLVIHUDO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH 3.2 Méthode de la dérivation successive Cette méthode est dite série de Taylor. Elle permet de trouver la solution de la série GHSXLVVDQFHGHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH. p ( x) y // q ( x) y / r ( x) y 0. (3.2.1). Où p ( x), q ( x) et r (x) VRQW GHV IRQFWLRQV SRO\QRPLDOHV VXU XQ SRLQW RUGLQDLUH x a. Pour résoudre (3.2.1) de y // , nous obtenons /. //. y <. q( x ) y r ( x ) y. (3.2.2). p( x ). &RPPHQRXVO¶DYRQVYXSOXW{WXQHYDOHXU x WHOOHTXH p ( x) 0 est un point singulier ou une singularité GHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOH

(130) Q¶LPSRUWHTXHOOHDXWUHYDOHXU de x est appelée point ordinaire ou point non-singulier. Dans cette méthode on utilise les valeurs des dérivées évaluées au point ordinaire, TXL VRQW REWHQXHV GDQV O¶pTXDWLRQ GLIIpUHQWLHOOH

(131) SDU GpULYDWLRQ VXFFHVVLYH Après avoir trouvé les dérivées, on utilise la série de Taylor. /. y ( x ) y ( a ) y ( a )( x < a 0 ). (QGRQQDQWODVROXWLRQUHTXLVH. //. y ( a )( x < a ) 2!. 2. y /// ( a )( x < a ) 3. .... 3!. (3.2.3). Exemple 3.2 Trouver la solution de xy // x 3 y / < 3 y 0 TXLVDWLVIDLW y 0 et y / 2 en x 1 . Solution. y // < x 2 y / 3 x <1 y y /// < x 2 y // < ( 2 x < 3 x < 1 ) y / < 3 x < 2 y , y iv < x 2 y /// < ( 4 x < 3 x < 1 ) y // < ( 2 6 x < 2 ) y / 6 x < 3 y..

(132) Université Virtuelle Africaine 47. En évaluant ces dérivées en x 1 //. y (1) < 2 ,. y /// (1) 4 , y iv (1) < 18 . En substituant (3.2.3 dans la série de Taylor, la solution sera :. y( x) 0 2( x < 1) <. 2( x < 1) 2 4( x < 1) 3 18 ( x < 1) 4. .... 24 6 2. 2( x < 1) 3 3( x < 1) 4. ... 2( x < 1) < ( x < 1). 3 4 2. Activité d’apprentissage 3.2 (i) Lecture : YHXLOOH]OLUH0$8&+6 SS

(133) (ii) Groupe de discussion )DLUHGHVpTXDWLRQVGLIIpUHQWLHOOHVGHVHFRQGRUGUHVRXVODIRUPHGHO¶pTXDWLRQ

(134) 3RXUFKDTXHpTXDWLRQFRPSRVHUHWWURXYHUOHSRLQWVLQJXOLHURUGLQDLUHHWUpJXOLHU LLL

(135) 5pVROXWLRQGHSUREOqPH WUDYDLOHQpTXLSH

(136) (a). Résoudre y / x 2 y 2 pWDQWGRQQpTXH y 1 en x 0 .. 8 x 3 28 x 4 144 x 5. ... @ [Solution : y ( x ) 1 x. 3! 5! 4! 2! 2x. (b). 2. Trouver la solution de ( x < 1) y /// y // ( x < 1) y / y 0. [Solution : y ( x ) x <. 1 3 1 5 x + x -… sin x @ 5! 3!.

(137) Université Virtuelle Africaine 48. 3.3 Méthode des coefficients indéterminés Si x0 HVWXQSRLQWRUGLQDLUHGHO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGRQQpHODVROXWLRQSHXWrWUH GpYHORSSpHVRXVODIRUPH '. y ( x ) c 0 c1 ( x < x 0 ) c 2 ( x < x 0 ) 2 ... c k ( x < x 0 ) k ... . - c (x < x i. 0. ). i. i 0. (3.3.1) ,O UHVWH j GpWHUPLQHU OHV FRHI¿FLHQWV ci , (i 0,...). RQ GLIIpUHQWLH OD VpULH

(138) terme par terme pour obtenir '. y / ( x ) 2 c 2 ( x < x 0 ) c 3 ( x < x 0 ) 2 .... - ic i ( x < x0 ) i <1. (3.3.2). i 0. &HVYDOHXUVVRQWPDLQWHQDQWVXEVWLWXpHVjO¶pTXDWLRQGLIIpUHQWLHOOHGRQQpHHWUHJURXpées dans les termes de ( x < x 0 ) i , c’est-à-dire '. -C. i. ( x < x0 ) i 0. (3.3.4). i0. Où C i VRQWGHVIRQFWLRQVGH ci HWO¶pTXDWLRQHVWXQHLGHQWLWpGDQV ( x < x 0 ) pour TXH C i 0 , i 0,... . On pourra alors déterminer les valeurs de ci . Exemple 3.3 Trouvez une série de solution à 2. //. /. ( x < 1) y < 2 xy < 4 y 0. (3.3.5). Solution :. 3XLVTXHQRXVYRXORQVXQSRLQWRUGLQDLUHRQFKRLVLOHSRLQWOHSOXVVLPSOHTXL est x 0 pour cet exemple. On écrit alors y ( x) c 0 c1 x c 2 x 2 c3 x 3 c 4 x 4 ..., y / ( x) c1 2c 2 x 3c3 x 2 4c 4 x 3 5c5 x 4 6c 6 x 5 ...,. (3.3.6 ).

(139) Université Virtuelle Africaine 49. y // ( x ) 2 c 2 6 c 3 x 12 c 4 x 20 c 5 x 3 30 c 6 x 4 +…,. /HVpTXDWLRQV

(140) VRQWPDLQWHQDQWVXEVWLWXpHVGDQVO¶pTXDWLRQ

(141) HW les mêmes termes de x VRQWUHJURXSpHV,OHVWUHFRPPDQGpGHOHIDLUHVRXV IRUPHGHWDEOHDXFRPHVXLW. x0. x1. x2. x3. x4. 2c2. 6c3. 12c4. <6c3. <12c4. <20c5. <30c6. - 2c1. <4c2. <6c3. <8c4. <4c0. <4c1. <4c2. <4c3. <4c4. 0. 0. 0. 0. 0. x2 y/ / < y/ /. <2c2. <2xy / <4 y Somme. x5 ... ... ... ... .... (QDGGLWLRQQDQWODFRORQQHGHVFRHI¿FLHQWVVRXVODIRUPH. 2c2 4c0 0 ;. c2 <2c0. 6c3 6c1 0 ;. c3 <c1. 12c4 6c2 0 ;. 1 c4 < c2 c0 2. 20c5 4c3 0 ; 30c0 0c4 0 ;. 1 1 c5 < c3 c1 5 5 c6 0. /HVSUHPLHUVWHUPHVGHODVpULHSHXYHQWPDLQWHQDQWrWUHpFULWVVRXVODIRUPH 1 y(x) c0 c1 x < 2c0 x 2 < c1 x3 c0 x 4 c1 0x6 5 1 c0 (1 < 2x 2 x 4 ...) c1 (x < x3 x5 ...) 5.

(142) Université Virtuelle Africaine 50. Activité d’apprentissage 3.3 L

(143) 5pVROXWLRQGHSUREOqPH. Essayez d’abord de résoudre le problème par vous-même en prenant l’exemple (3.3) comme appui. Trouvez la série de solution de : (a) (2x < 1) y / / < 3y / 0 (b) (2x 2 1) y / / 3xy / < 6 y 0. (ii) Groupe de discussion : 'LVFXWH]GHVVROXWLRQVGHODVHFWLRQ L

(144) HQSHWLWJURXSH6R\H]DWWHQWLIjFRPPHQW les autres membres du groupe on trouvé la solution. Demandez leurs comment ils ont trouvé la solution. (iii) Lectures suivantes :. Voir dans Wkipedia : méthode des séries de puissances. 3.4 Fonctions spéciales (QPDWKpPDWLTXHOHVIRQFWLRQVVSpFLDOHVVRQWGHVIRQFWLRQVSDUWLFXOLqUHVWHOOHVTXH OHVIRQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHVTXLRQWGHVSURSULpWpVSUDWLTXHVHWTX¶RQUHWURXYHDVVH] VRXYHQWGDQVGLIIpUHQWHVDSSOLFDWLRQVSRXUMXVWL¿HUHX[PrPHVXQQRPHWXQHDWWHQWLRQ LO\DEHDXFRXSGHSRLQWVGHYXHVXUOHVIRQFWLRQVVSpFLDOHVGHODWKpRULHFODVVLTXH MXVTX¶DXYLQJWLqPHVLqFOHDX[WKpRULHVFRQWHPSRUDLQHVGHVIRQFWLRQVVSpFLDOHV4XHOTXHVXQHVGHVIRQFWLRQVLQFOXHQWODIRQFWLRQGH%HVVHOODIRQFWLRQ%HWDODIRQFWLRQ LQWpJUDOHHOOLSWLTXHODIRQFWLRQK\SHUEROLTXHODIRQFWLRQGXF\OLQGUHSDUDEROLTXH ODIRQFWLRQG¶HUUHXUODIRQFWLRQJDPPDODIRQFWLRQGH:KLWWDNHU/DOLVWHHVWSOXV ORQJXHTXHFHOOHOj3RXUSOXVG¶LQIRUPDWLRQjSURSRVGHODWKpRULHGHODIRQFWLRQ spéciale voici le lien : KWWSIUZLNLSHGLDRUJZLNL)RQFWLRQBVS&$FLDOe Activité d’apprentissage : consultez ce site web KWWSIUZLNLSHGLDRUJZLNL)RQFWLRQBVS&$FLDOe, et allez vers les liens disponibles sur cette page pour voir les DXWUHVIRQFWLRQV.