Chapitre 1
Notion de topologie
1.1 Norme, distance, topologie
Définition 1.1.1
Soit E un espace vectoriel (e. v.) réel. Une normesur E est une applicationx 7→ kxk deE dansR+ = [0,∞[telle que :
(N1) kxk= 0⇔x= 0;
(N2) kλxk=|λ|kxk,∀λ ∈R,∀x∈E
(N3) kx+yk ≤ kxk+kyk,∀x, y ∈E(inégalité triangulaire).
Exemple 1
On rappelle que, dansRn, kxk2 = (Pn
i=1x2i)1/2 est une norme (la norme euclidienne stan- dard) ; avecx= (x1, . . . , xn).
Exemple 2
On vérifie aisément que, dansRn, les formuleskxk1 =Pn
i=1|xi|etkxk∞ =max|x1|, ...,|xn| définissent des normes.
Exemple 3
Pour 1 < p < ∞ et x ∈ Rn, on définit kxkp = (Pn
i=1xpi)1/p (pour p = 2, on retrouve le cas particulier de la norme euclidienne).k.kp vérifie clairement (N1) et (N2). On peut montrer que k.kp vérifie aussi (N3) ; c’est l’inégalité de Minkowski que l’on prouvera plus tard. Par conséquent,k.kp est une norme. Plus généralement, si on a une normek.kj surEj, j = 1, ..., n, alorskxkp = k(kx1k1, . . . ,kxnkn)kp,1 < p < ∞,est une norme surE = E1×E2×. . . En. SurR,toutes les normes définies ci-dessus coïncident avec l’applicationx 7→ |x|.Cette norme est lanorme usuellesurR.
Définition 1.1.2
Unespace norméest un couple(E,k.k),oùk.kest une norme surE.
Définition 1.1.3
Soit X un ensemble non vide. Une distance (métrique) sur X est une application (x, y) 7→
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1.1 Norme, distance, topologie Chapitre 1 d(x, y)deX×XdansR+telle que :
(D1) d(x, y) = 0⇔x=y;
(D2) d(x, y) =d(y, x),∀x, y ∈X;
(D3) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y),∀x, y, z ∈X (inégalité triangulaire).
Exemple 4
Soit(E,k.k)un espace normé. On posed(x, y) =kx−yk,∀x, y ∈X.Alorsdest une distance surE.En effet, (D1) découle de (N1). Pour vérifier (D2), on note que
d(y, x) =ky−xk=k(−1)(x−y)k=| −1|kx−yk=kx−yk=d(x, y).
Enfin, (D3) est une conséquence de (N3) :
d(x, y) = kx−yk=k(x−z) + (z−y)k ≤ kx−zk+kz−yk=d(x, z) +d(z, y).
Ainsi, toute norme définit une distance associée. La distance associée à la norme usuelle surR est ladistance usuellesurR.
Exemple 5
Sur tout ensemble non videXon peut définir une distance. Par exemple, en posant :
d(x, y) =
0 six=y 1 sinon C’est la distance triviale surX.
Définition 1.1.4
Un espace métrique est un couple(X, d),oùdest une distance surX.
Définition 1.1.5
Soit(X, d)un espace métrique. Pourx∈X etr >0,on définit :
a) la boule ouverte de centrexet rayonr:B(x, r) = {y∈X;d(y, x)< r};
b) la boule fermée de centrexet rayonr:B0(x, r) ={y∈X;d(y, x)≤r};
c) la sphère de centrexet rayonr:S(x, r) ={y∈X;d(y, x) = r}.
Exemple 6
DansRmuni de la distance usuelle,B(1,1) =]0,2[.
Exemple 7
DansR2 muni de la normek.k∞et de la distance associée,B(0,1) = [−1,1]2. Définition 1.1.6
Soit (X, d) un espace métrique. Par définition, une partie U deX est un ouvert si, pour tout x∈U,il existe unr >0tel queB(x, r)⊂U.
Remarque
En principe,rdépend dex.
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1.1 Norme, distance, topologie Chapitre 1 Exemple 8
Dans R muni de la distance usuelle, U =]0,1[ est un ouvert. En effet, si on pose, pourx ∈ U, r= min{x,1−x},on vérifie aisément queB(x, r)⊂U.
Définition 1.1.7
Soit(X, d)un espace métrique. La topologie de(X, d)est τ ={U ⊂X;Uest un ouvert}.
Définition 1.1.8
Soit(X, d)un espace métrique. Un ensembleF ⊂ X est fermé si son complémentaireFcest ouvert.
Exemple 9
∅etXsont à la fois ouverts et fermés.
Proposition 1.1.1
a) Pour toutx∈Xet toutr >0, B(x, r)est un ouvert.
b) SiUi est un ouvert,∀i∈I,alorsS
i∈IUiest un ouvert.
c) Soitn ∈N∗.SiUi est un ouvert,i= 1, . . . , n, alorsTn
i=1Ui est un ouvert.
Preuve
a) Soity∈B(x, r).Soitρ=r−d(y, x)>0.On va prouver queB(y, ρ)⊂B(x, r).En effet, z ∈B(y, ρ)⇒d(z, y)< ρ⇒d(x, z)≤d(z, y) +d(y, x)< ρ+d(y, x) =r ⇒z ∈B(x, r).
b) Soitx ∈S
i∈IUi.Il existe uni0 ∈ Itel quex∈ Ui0. Ui0 étant ouvert, il existe unr >0tel queB(x, r)⊂Ui0.Pour ce mêmer,on aB(x, r)⊂S
i∈IUi. c) Soitx∈Tn
i=1Ui.On ax∈Ui,∀i= 1, . . . , n.ChaqueUiétant ouvert, il existe unri >0tel queB(x, ri) ⊂ Ui,∀i = 1, . . . , n.Soitr = min{r1, ..., rn}.AlorsB(x, r) ⊂ B(x, ri), i = 1, . . . , n,et doncB(x, r)⊂Ui, i= 1, . . . , n.Il s’ensuit queB(x, r)⊂U.
2 Proposition 1.1.2
a) Pour toutx∈Xet toutr >0, B0(x, r)est un fermé.
b) Soitn ∈N∗. SiFiest un fermé,i= 1, . . . , n,alorsSn
i=1Fi est un fermé.
c) SiFiest un fermé,∀i∈I,alorsT
i∈IFiest un fermé.
Preuve
a) On doit montrer queB0(x, r)cest un ouvert. Soity∈B0(x, r)c;ysatisfait doncd(y, x)> r.
Soitρ=d(y, x)−r >0.On a
z ∈B(y, ρ) =)d(z, x)≥d(y, x)−d(z, y)> d(y, x)−ρ=r⇒z ∈B(x, r)c; autrement dit, on aB(y, ρ)⊂B0(x, r)c.
Les propriétés b) et c) s’obtiennent de b) et c) de la proposition précédente par passage au complé-
mentaire. 2
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