CAPES
Exercices sur les nombres réels et les suites
J.M. Morvan 2007 − 2008
Exercice 1 Déterminer l'ensemble des couples de nombres réels strictement positifs solutions du système :
½ xy = yx x2= y3
Exercice 2 Déterminer toutes les paires {m, n} d'entiers naturels non nuls, m 6= n, véri ant :
mn= nm.
Exercice 3 Démontrer qu'il n'existe pas de fonction rationnelleQP telle que l'on ait, pour tout x ∈ R :
P (x) Q(x) = ex.
Exercice 4 Déterminer l'ensemble des nombres réels solutions de l'équation :
[qp
x2− 8x + 9 +p
x2− 8x + 7]x +[qp
x2− 8x + 9 −p
x2− 8x + 7]x= 21+x4.
Exercice 5 Déterminer le nombre rationnel dont le développement décimal est r = 1, 363636...
Exercice 6 On désigne par X l'ensemble des nombres réels de ]0, 1[ dont le développement décimal propre contient le chire 9. Construire une suite conver- gente d'éléments de X dont la limite n'appartient pas à X.
Exercice 7 Soit k ∈ N∗. On considère le nombre réel xk dé ni par la donnée d'un développement décimal (propre ou impropre)
xk= 0, a1a2...an...
où la n-ième décimale an est le chire des unités dans l'écriture décimale du coe cient binomial de Cnk.
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1. Démontrer que pour tout n ∈ N∗, il existe q ∈ N∗, tel que Cn+10k!k = Cnk+ 10q.
2. En déduire que xk appartient à Q.
Exercice 8 1. Soit (un)n≥1 une suite de nombres réels qui converge vers le nombre réel a. Démontrer que la suite (vn)n≥1dé nie par
vn= u1+ u2+ ... + un
n converge également vers a.
2. En exhibant une suite adaptée, montrer que la réciproque de cette propriété est inexacte.
Exercice 9 On considère la suite (un)n≥0 de nombres réels dé nie par la don- née de ses deux premiers termes
u0= 1, u1= 2, et
un+1= un+ un−1. (1)
1. Démontrer que, pour tout entier n ≥ 0,
u2n+1− unun+2= (−1)n. (2) 2. Pour tout entier n ≥ 0, on pose :
vn= un+1
un . (3)
Démontrer que la suite (vn)n≥0 converge. Quelle est sa limite ?
Exercice 10 Soit f une application de N∗ dans R. On dé nit la suite (un)n≥1
d'entiers naturels de la façon suivante : pour tout n ∈ N∗, un est la n-ième décimale du développement décimal propre de f(n).
On dé nit alors la suite (vn)n≥1en posant, pour n ≥ 1, (
vn= 1 si un = 0, vn= 0 si un 6= 0.
1. Démontrer que le nombre réel
y = 0, v1v2...vn...
(où la n-ième décimale est vn) n'a pas d'antécédent par f. En déduire que f n'est pas surjective.
2. En déduire qu'il n'existe pas d'application bijective de N sur R.
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Exercice 11 Soit (un)n≥0une suite de nombres réels telle que la suite (|un|)n≥0
ne tende pas ver +∞. Montrer qu'il existe une suite extraite de la suite (un)n≥0
qui converge.
Exercice 12 On considère la suite de nombres réels (un)n≥1 dé nie par :
un =sin 1 3 +sin 2
32 + ... +sin n 3n . Démontrer que la suite (un)n≥1 ainsi dé nie converge.
Exercice 13 Soit B le sous ensemble de R dé ni comme suit :
B = {sinnπ 2 +1
n; n ∈ N∗}.
Démontrer que B possède une borne supérieure et une borne inférieure, et les déterminer.
Exercice 14 Soit D le sous ensemble de R dé ni comme suit : D = { p + q
p2+ q2+ 1; p ∈ N∗, q ∈ N∗}.
La partie D possède-t-elle une borne supérieure et une borne inférieure ? les déterminer éventuellement.
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